平面与平面垂直的性质

如果两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。平面与平面垂直有如下性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一个平面；如果两个平面垂直，那么与一个平面垂直的直线平行于另一个平面或在另一个平面内。

面面垂直定义

若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。

面面垂直性质定理

1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。

3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）

线面垂直定义

如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。

线面垂直判定定理

直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

两个平面垂直的性质

下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论。如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面是否存在某些特定的关系．探究如图，设α⊥β，α∩β＝a ．在β 内任意画一条直线b ，b 与a 有哪些位置关系相应地，b 与α有哪些位置关系为什么显然，b 与a 平行或相交．当b ∥a 时，b ∥α；当b 与a 相交时，b 与α也相交．特别的，当b ⊥a 时，b ⊥α．下面我们来证明这个结论．如图，设b 与a 的交点为A ，过点A 在α内作直线c ⊥a ，则直线b ，c 所成的角就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β知，b ⊥c ．又b ⊥a ，a 和c 是α内的两条相交直线，所以b ⊥α．由此我们得到平面与平面垂直的性质定理．定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．这个定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面图 βαb a

垂直．这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题．例如，装修房子时，需要在墙壁上画出与地面垂直的直线，这时只要在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可．探究设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面 β的垂线 a，直线a与平面α具有什么位置关系我们知道，过一点只能作一条直线与已知平面垂直．因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合．如图，设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理有b⊥β．因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b重合，因此aα．对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系。如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论下面的例子就是其中的一些结果。例9 如图，已知平面α，β和直线a有如下关系：α 图

平面与平面垂直性质教案

平面与平面垂直的性质教学设计教学目标 (一)知识与技能让学生理解和掌握面面垂直性质定理,能运用性质定理证明一些简单命题. (二)过程与方法 1) 由“直观感知、操作确认、推理证明”理解和掌握面面垂直性质定理; 2) 由证明一些空间位置关系的简单命题,体会性质定理的初步运用. (三)情感、态度与价值观 1) 由面面垂直性质定理的引入与证明,发展学生空间想象力,培养学生逻辑推理能力; 2) 由线面垂直和面面垂直的相互转化,体会转化思想在立几中重要性,进一步帮助学生树立辨证统一思想; 3) 由实际问题与数学模型间的转化,让学生体会到数学学习的重要性,激发学生数学学习的主观能动性. 内容分析 (一)教学重点平面与平面垂直性质定理 (二)教学难点平面与平面垂直性质定理应用 (三)教学模式教师设疑引导,学生自主探究教学过程（一）情境创设、引入课题复习回顾两个平面互相垂直定义、判定定理. 生活感知教室里就有许多平面与平面垂直的例子. 问题1 黑板所在面与地面垂直,能否在黑板上画一条直线与地面垂直? 直观感知在黑板面内画地面垂线板书课题平面与平面垂直的性质（二）合作探究、形成知识 (1)合作探究,证明定理抽象概括实际问题化归为数学模型动手操作小组合作例1 如图,已知平面α⊥平面β,CD αβ=, 直线,AB AB CD α?⊥于点B ,求证:AB ⊥β. 展示操作几何画板演示学生思路 ,CD B =β. 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直黑板地面 β B D A C α

符号描述 ,,CD AB AB AB CD αβαββα⊥=? ?⊥??⊥? 图形描述 (2)小题竞答,夯实基础想一想: 判断下列语句是否正确,并说明理由: ①两个平面不垂直,则一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直.( ) ②两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面.( ) ③两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面( ) 展示操作由几何画板展示命题3的示意图. 强调条件由此我们也认识到,性质定理的成立,必须具备哪几个条件? 习惯引导我们在学习定义、法则或定理时,要紧扣其关键词. 变式引入现在我们把问题3的条件改变一下,看看又有什么样的结论? (3)类比迁移,发展思维问题2 面α⊥面β,过一个平面α内任意一点P 作平面β的垂线a ,则直线a 与面α具有板书推论两个平面垂直,经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内. （三）小试牛刀、应用巩固过渡引入性质定理的结论是线面垂直,它还能解决其它空间位置关系问题吗? 问题展示例2 如图,已知平面α⊥平面β,且l α β=, 直线a ,a βα⊥?,试判断直线a 与平面α的位置关系. 逻辑推理 l β=,所以所以//a b 所以//a α. 变式练习改变条件,结论如何? β B D A C α α a l β α a l β

两个平面垂直

两个平面垂直 1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为二面角，则这两个平面互相垂直． 2．两个平面垂直的判定：如果一个平面有一条直线另一个平面，则这两个平面互相垂直． 3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面的垂直于它们的的直线垂直于另一个平面． 4．异面直线上两点间的距离公式：EF ＝θcos 2222mn n m d ±++，其中：d 是异面直线a 、b 的，θ为a 、b ，m 、n 分别是a 、b 上的点E 、F 到 AA'与a 、b 的交点A ，A'的距离．例1 如图所示，在四面体S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°．求证：平面ABC ⊥平面BSC ．证明：略变式训练1：如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ． ⑴ 求证：AB ⊥BC ； ⑵ 若设二面角S －BC －A 为45°， SA ＝BC ，求二面角A －SC －B 的大小．证明：(1) 作AH ⊥SB 于H ，则AH ⊥平面SBC ∴AH ⊥BC ，又SA ⊥BC ∴BC ⊥平面SAB ∴BC ⊥AB (2) ∠SBA 是二面角S －BC －A 的平面角，∠SBA ＝45°，作AE ⊥SC 于E ，连结EH ，EH ⊥SC ，∠AEH 为所求二面角的平面角，∠AEH ＝60° 例2.在120°的二面角P －a －Q 的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B ，已知点A 和点B 到棱a 的距离分别是2和4，且线段AB ＝10，求： (1) 直线AB 和棱a 所成的角； (2) 直线AB 和平面Q 所成的角．答案：(1) arc sin 57 (2) arc sin 10 3 变式训练2：已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点．（1）证明：平面PED ⊥平面PAB ；（2）求二面角P －AB －F 的平面角的余弦值．（1）证明：连BD ．∵AB ＝AD ，∠DAB ＝60°， ∴△ADB 为等边三角形，∴E 是AB 中点．∴AB ⊥DE ，∵PD ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥PD ． ∵DE ⊂面PED ，PD ⊂面PED ，DE∩PD ＝D ， ∴AB ⊥面PED ，∵AB ⊂面PAB ．∴面PED ⊥面PAB ． C A S D B A S B C

平面与平面垂直的性质和判定

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。面面垂直的判定方法 ① 面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是 ②面面平行的性质结论：γαβα⊥,//⇒βγ⊥ 平面与平面垂直的性质一、选择题： 1、下列命题中，不正确的是（） A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 B. 平面的垂线一定与平面相交 C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 2、已知平面a ⊥平面β，l =βα ，点P ∈l ，则给出下面四个结论： ①过P 和l 垂直的直线在平面α内； ②过P 和平面β垂直的直线在平面α内； ③过P 和l 垂直的直线必与β垂直； ④过P 和平面β垂直的平面必与l 垂直。其中真命题是：（） A. ② B. ③ C. ①、④ D. ②、③ 3、夹在直二面角两个半平面间的一条线段与两个平面所成的角分别是30°和45°，如果这条线段的长是5，则它在二面角棱上的射影长为（） A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 8 4、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题： ①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥； ③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是（） A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③ 5、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（）

面面的平行与垂直的判定与性质 (1)

一、复习预习 1．面面和平面位置关系 2．面面和平面平行的判定定理 3．面面和平面平行的性质定理 4．公垂线、公垂线段、两个平行平面间的距离5．平面和平面垂直的判定定理 6．平面和平面垂直的性质定理 7．半平面、二面角、棱．二、知识讲解 1．平面和平面位置关系

2．平面和平面平行的判定定理如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面相互平行推论：如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面内的两条直线（相交）平行，那么这两个平面相互平行 3．平面和平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行 4.两个平行平面间的距离两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离． 5.平面与平面垂直判定（1）定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直. （2）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. （3）判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 5.直线与平面垂直的性质：（1）一条直线和一个平面垂直,那么该直线与平面内所有直线垂直. （2）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 6.平面与平面垂直的判定（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直. （2）如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. （3）一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个. 7.平面与平面垂直的性质：（1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

高中数学线面、面面垂直的判定与性质

线面、面面垂直的判定与性质知识回顾 1．直线与平面垂直的判定（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α．（2）判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述： ⎭ ⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b ⇒l ⊥α． 2．直线与平面垂直的性质文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。符号表述： ⎭⎪⎬⎪ ⎫a ⊥αb ⊥α⇒ a ∥b 3. 直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 4．平面与平面的垂直的判定（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．（2）面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号表示： ⎭ ⎪⎬⎪ ⎫a ⊥β ⇒α⊥β． 5．平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． 6．二面角

二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．题型讲解题型一例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交答案：C 例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为() A．4 B．3 C．2 D．1 答案：A 例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．证明在平面B1BCC1中， ∵E、F分别是B1C1、B1B的中点， ∴△BB1E≌△CBF， ∴∠B1BE＝∠BCF， ∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1， ∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．

平面与平面平行垂直的判定与性质

15.3 平面与平面平行、垂直的判定与性质【考纲要求】 1.了解平面与平面的位置关系； 2.掌握平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理；会运用这些定理证明空间两平面位置关系. 【命题规律】本节内容是高考考查的重点内容，主要以棱柱、棱锥、长方体、正方体等空间几何体为载体考查面面平行、面面垂直，题型有填空题、解答题，以解答题居多，主要考查空间想象能力，推理论证能力。【知识回顾】一.平面与平面的位置关系 →→???????? 两平面平行两平面没有公共点两平面斜交两平面相交两平面有一条公共直线两平面直交二．二面角与二面角的平面角相关概念 1.半平面：一条直线将一个平面分成两个部分，每一部分叫做半平面。 2.二面角：指一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形。该直线称为二面角的棱，每个半平面称为二面角的面. 3.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点作为端点；在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图所示，简记为二面角 l αβ--的平面角.其范围为[0,180]o o 4.直二面角：当二面角的平面角是直角时叫直二面角，也即两个半平面互相垂直。三．平面与平面平行 1.定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面，符号表示为：平面α，平面β，若αβ=?I ，则αβ∥. 2.平面与平面平行的判定定理（不要求证明）文字语言图形语言符号语言判定定理1 如果一个平面内有两条相交．．的直线都．平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行?面面平行”） a b a b P a b α αβ βαβ ??=? ? ?? ???? ?? I ∥∥∥ 判定定理2 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 l l αβαβ??????? ⊥∥ α l β α a β b P β α O A B l

空间中的垂直关系

空间中的垂直关系 1．两条直线互相垂直定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直． 2．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理及其推论：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直? ? ? ?? a?α b?α a∩b＝O l⊥a l⊥b ?l⊥α 推论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 ?? ? ?? a∥b a⊥α ?b⊥α 推论2 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 ?? ? ?? a⊥α b⊥α ?a∥b 3. 平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直?? ? ?? l⊥α l?β ?α⊥β (3)平面与平面垂直的性质定理：文字语言图形语言符号语言

性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ?????α⊥βl ?β α∩β＝a l ⊥a ?l ⊥α 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α. ( ) (2)若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直． ( ) (3)直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b . ( ) (4)若α⊥β，a ⊥β?a ∥α. ( ) (5)a ⊥α，a ?β?α⊥β. ( ) 2． (2013·广东)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A ．若α⊥β，m ?α，n ?β，则m ⊥n B ．若α∥β，m ?α，n ?β，，则m ∥n C ．若m ⊥n ，m ?α，n ?β，则α⊥β D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β 3．设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分条件是 ( ) A ．a ⊥c ，b ⊥c B ．α ⊥β，a ?α，b ?β C ．a ⊥α，b ∥α D ．a ⊥α，b ⊥α 4．将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线折起得到空间四面体ABCD (如图2)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是 ( ) A ．相交且垂直 B ．相交但不垂直 C ．异面且垂直 D ．异面但不垂直 5． α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ； ②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________________________. A 组专项基础训练

平面与平面垂直的判定与性质26

平面与平面垂直的判定与性质教学重、难点： 1.重点：平面与平面垂直的判定及应用。 2.难点：二面角的度量及判定定理的应用。教学内容：要点一、二面角 1．二面角定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle ）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 2 二面角的求法与画法棱为AB 、面分别为α、β的二面角记作二面角AB αβ--. 有时为了方便，也可在,αβ内(棱以外的半平面部分)分别取点P 、Q ，将这个二面角记作二面角P – AB – Q .如果棱记作l ，那么这个二面角记作二面角l αβ--或P – l – Q . 3．计算二面角大小的方法（1）作二面角的平面角，并将其放在一个三角形中，解三角形求出二面角的平面角大小，它就是二面角的大小。作二面角的平面角常用下列三种方法： ① 用定义作二面角的平面角—在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条射线组成二面角的平面角。利用定义作二面角的平面角，关键在于找棱及棱上的特殊点。学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用。 ② 用三垂线定理作二面角的平面角—从二面角的一个面内选一个特殊点A ，由A 向另一个平面作垂线垂足为B ，再由B 向棱作垂线交棱于C ，连结AC ，则∠ACB 就是二面角的平面角。利用三垂线定理（逆定理）作二面角的平面角是最常用的方法，它是通过二面角一个面上的点向另一个面（基面）作垂线（主垂线）的办法来实现的，因此选好基面，再作主垂线，主垂线是解题的关键。 ③ 用垂面法作二面角的平面角—作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面，则该垂面与二面角两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角。（2）面积法—如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ，则。 3 二面角的平面角如图（1）在二面角l αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.

垂直关系4：面面垂直的性质

平面与平面垂直的性质教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗？怎样画一条直线方能与地面垂直？平面与平面垂直的性质定理证明直线与平面垂直预习自测 1．已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是(C) ①α内的直线必垂直于β内的无数条直线； ②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线； ③α内的任何一条直线必垂直于β； ④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α． A．4B．3 C．2D．1 [解析] 2．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(D)

A．平行 B．EF?平面A1B1C1D1 C．相交但不垂直 D．相交且垂直 [解析]∵平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1，EF?平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1． 3．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1(C) A．平行B．共面 C．垂直D．不垂直 [解析]如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD．∴BD⊥AC．∵平面AA1C1C ⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C．又CC1?平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C． 4．已知三棱锥P－ABC中，侧面P AC与底面ABC垂直，P A＝PB＝PC． (1)求证：AB⊥BC； (2)若AB＝BC，过点A作AF⊥PB于点F，连接CF，求证：平面PBD⊥平面AFC． [解析]如图所示： (1)取AC的中点D，连接PD、BD ∵P A＝PC，∴PD⊥AC 又平面P AC⊥平面ABC，且平面P AC∩平面ABC＝AC ∴PD⊥平面ABC，D为垂足．

15.3 平面与平面平行、垂直的判定与性质

15.3 平面与平面平行、垂直的判定与性质【考纲要求】 1.了解平面与平面的位置关系； 2.掌握平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理；会运用这些定理证明空间两平面位置关系. 【命题规律】本节内容是高考考查的重点内容，主要以棱柱、棱锥、长方体、正方体等空间几何体为载体考查面面平行、面面垂直，题型有填空题、解答题，以解答题居多，主要考查空间想象能力，推理论证能力。【知识回顾】一.平面与平面的位置关系 →→⎧⎪⎨⎧⎨⎪⎩⎩两平面平行两平面没有公共点两平面斜交两平面相交两平面有一条公共直线两平面直交二．二面角与二面角的平面角相关概念 1.半平面：一条直线将一个平面分成两个部分，每一部分叫做半平面。 2.二面角：指一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形。该直线称为二面角的棱，每个半平面称为二面角的面. 3.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点作为端点；在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图所示，简记为二面角 l αβ--的平面角.其范围为[0,180] 4.直二面角：当二面角的平面角是直角时叫直二面角，也即两个半平面互相垂直。三．平面与平面平行 1.定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面，符号表示为：平面α，平面β，若αβ=∅ ，则αβ∥. 2.平面与平面平行的判定定理（不要求证明）文字语言图形语言符号语言判定定理1 如果一个平面内有两条相交．．的直线都．平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”） a b a b P a b α αβ βαβ ⊂⊂=⎫ ⎪ ⎪⎪ ⇒⎬⎪⎪ ⎪⎭ ∥∥∥ 判定定理2 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 l l αβαβ⊂⎫⎪ ⇒⎬⎪⎭ ⊥∥ 判定定理3 平行于同一个平面的两个平面平行 αββαγγ⎫⎪ ⇒⎬⎪⎭ ∥∥∥ 注：判定定理1的推论：如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线分别平行，则两平面平行 α β γ α l β α a β b P β α O A B l

两个平面垂直的判定和性质（一）

两个平面垂直的判定和性质（一）第一篇：两个平面垂直的判定和性质(一) 两个平面垂直的判定和性质(一) 一、教学目标 1、理解并掌握两个平面垂直的定义． 2．掌握两个平面垂直的判定定理的证明过程，培养学生严格的逻辑推理，增强学生分析、解决问题的能力． 3．利用转化的方法掌握和应用两个平面垂直的判定定理．二、教学重点、难点 1．教学重点：掌握两个平面垂直的判定． 2．教学难点：掌握两个平面垂直的判定及应用．三、课时安排本课题安排2课时．本节课为第一课时：主要讲解两个平面垂直的判定．四、教与学的过程设计 (一)复习近平面角的有关知识 1、是二面角的平面角？以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 2、一般地，作二面角的平面角有哪几种方法？三种．一是利用定义；二是利用三垂线(逆)定理；三是利用棱的垂面． 3、练习(幻灯显示)．已知：二面角α-AB-β等于45°，CD＜α，D∈AB，∠CDB＝45°．求：CD与平面β所成的角．证明：作CO⊥β交β于点O，连结DO，则∠CDO为DC与β所成的角．过点O作OE⊥AB于E，连结CE，则CE⊥AB，∴∠CEO为二面角α-AB-β的平面角，即∠CEO=45°．

∵CO⊥OE，OC＝OE，∴∠CDO=30°．即DC与β成30°角．点评：本题涉及到直线与平面所成角的范围[0°，90°]以及利用三垂线定理寻找二面角的平面角．事实上，利用三垂线定理作二面角的平面角是最常用，也是最有效的一种方法． (二)两个平面垂直的定义、画法 1、两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况，日常我们见到的墙面和地面、以及一个长方体中，相邻的两个面都是互相垂直的．那么，什么是两个平面互相垂直呢？两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2、知道了两个平面互相垂直的概念．如何画它们呢？如图1-128，把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直．记作α⊥β． 3、练习：(P.45中练习1) 画互相垂直的两个平面、两两垂直的三个平面．如图1-129． (三)两个平面垂直的判定两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．提示：要证明两个平面互相垂直，只有根据两个平面互相垂直的定义，证明由它们组成的二面角是直二面角，因此必须作出它的一个平面角，并证明这个平面角是直角．如何作平面角呢？根据平面角的定义，可以作BE⊥CD，使∠ABE为二面角α-CD-β的平面角．让学生独自写出证明过程．求证：α⊥β．证明：设a∩β=CD，则B∈CD． ∴AB⊥CD．在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角． ∴α⊥β．师：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的

两平面垂直的判定和性质

典型例题一例1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明．（１）如图1，已知l A l ∈=⋂,βα．在α内作l PA ⊥于A ，在β内作l QA ⊥于A ．（２）如图２，已知l A A l ∉∈=⋂,,αβα．作β⊥AP 于P ，在α内作l AQ ⊥于Q ，连结PQ ．（３）已知βαβα∉∉=⋂A A l ,,．作α⊥AP 于P ，β⊥AQ 于Q ，⋂l 平面H PAQ =，连结PH 、QH ．作图与证明在此省略．说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形．典型例题二例2. 如图，在立体图形ABC D -中，若E CD AD CB AB ,,==是AC 的中点，则下列命题中正确的是（）.

（A ）平面ABC ⊥平面ABD （B ）平面ABD ⊥平面BDC （C ）平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE （D ）平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE 分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直. 解：因为,CB AB =且E 是AC 的中点，所以,AC BE ⊥同理有AC DE ⊥，于是⊥AC 平面BDE .因为⊂A C 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于⊂AC 平面ACD ,所以平面ACD ⊥平面BDE .所以选C. 说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直. 典型例题三例３．如图，P 是ABC ∆所在平面外的一点，且⊥PA 平面ABC ，平面⊥PAC 平面PBC ．求证AC BC ⊥．分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．证明：在平面PAC 内作PC AD ⊥，交PC 于D ．因为平面⊥PAC 平面PBC 于PC ，⊂AD 平面PAC ，且PC AD ⊥，所以PBC AD 平面⊥．又因为⊂BC 平面PBC ，于是有BC AD ⊥①．另外⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以BC PA ⊥．由①②及A PA AD = ，可知⊥BC 平面PAC ．因为⊂AC 平面PAC ，所以AC BC ⊥．说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．

8.6.3平面与平面垂直

8.6.3平面与平面垂直第2课时平面与平面垂直的性质本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习平面与平面垂直的性质及其应用。课本从两垂直平面内的一个平面内找一条直线，考虑该直线与两面的交线，另一个平面之间的关系，引入平面与平面垂直的性质定理。空间中平面与平面之间的位置关系中,垂直是一种非常重要的位置关系,它不仅应用较多,而且是空间问题平面化的典范空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点:(1)它是立体几何中最难、最高级”的定理(2)它往往又是一个复杂问题的开端,即先由面面垂直转化为线面垂直,否则无法解决问题因此,面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理教学目标。

1.教学重点：平面与平面垂直的性质定理及其应用； 2.教学难点：用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题。多媒体

2、平面与平面垂直的判定定理【答案】一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 二、探索新知思考1 如图，长方体中，α⊥β, (1)α里的直线都和β垂直吗？ (2)什么情况下α里的直线和β垂直？【答案】（1）不一定（2）与AD垂直思考2 ，垂足为B，那么直线AB与平面β的位置关系如何？为什么？【答案】垂直证明：在平面内作BE⊥CD,垂足为B，则∠ABE就是二面角的平面角. ∵, ∴AB⊥BE 直的定义和判定定理，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过思考，引入平面与平面存在的额性质定理，提高学

又由题意知AB⊥CD,且BE CD=B， 1.平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．符号表示： α⊥β，α∩β＝l，⇒a⊥β 关键点：①线在平面内；②线垂直于交线作用：①它能判定线面垂直. ②它能在一个平面内作与这个平面垂直的垂线. 例1.如图，已知平面，直线，，判断的位置关系。生分析问题的能力。

高中数学例题：平面与平面垂直的性质

高中数学例题：平面与平面垂直的性质例3．如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。【解析】已知：αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，求证：l γ⊥。证法1：如图（左），在γ内取一点P ，作PA 垂直于α与γ的交线于A ，PB 垂直于β与γ的交线于B ，则PA ⊥α，PB ⊥β， ∵l αβ=，∴l ⊥PA ，l ⊥PB 。 ∵PA γ⊂，PB γ⊂，PA ∩PB=P ， ∴l γ⊥。证法2：如图（右），在α内作直线m 垂直于α与γ的交线，在β内作直线n 垂直于β与γ的交线， ∵αγ⊥，βγ⊥，∴m γ⊥，n γ⊥，∴m ∥n 。又n β⊂，∴m ∥β，∴m ∥l ，∴l γ⊥。证法3：如图，在l 上取一点A ，过A 作直线m ，使m γ⊥。 ∵αγ⊥，且A l α∈⊂，∴m α⊂。同理m β，∴m l αβ==，即l 与m 重合。 ∴l γ⊥。【总结升华】证法1、证法2都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是证法1、证

法2的关键。证法3利用两个平面垂直的推论，则较为简捷。由此可见，我们必须熟练掌握这一推论。举一反三：【变式1】已知△ABC ，AB=AC=3a ，BC=2a ，D 为BC 的中点，在空间平移△ABC 到△A 1B 1C 1，连接对应顶点，且满足AA 1⊥平面ABC ，AA 1=3a 。如图所示，E 是CC 1上一点，且CE=2a ，求二面角D —AE —C 的正弦值。【解析】 ∵AA 1⊥平面ABC ，CC 1∥AA 1，∴CC 1⊥平面ABC 。又CC 1⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面ABC 。作DH ⊥AC 于H ，DH ⊥平面AEC ，作HF ⊥AE 于F ，连接DF ，则DF ⊥AE ，∴∠DFH 是二面角D —AE —C 的平面角。在Rt △ADC 中，3 AD DC DH a AC ⋅==。在Rt △ADE （易证得）中，AD DE DF a AE ⋅= =。在Rt △DHF 中，sin 15 DH DFH DF ∠==。 ∴二面角D —AE —C 的正弦值为 15。【总结升华】面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法（即若有两个平面垂直，则在一个平面内作垂直于交线的直线，则该直线必垂直于另一个平面），利用它可以作出二面角的平面的角、直线与平面所成的角、平面的垂线等。

平面与平面垂直的性质说课稿

《平面与平面垂直的性质》说课稿刘淑芳我今天说课的课题是新课标高中数学人教版A版必修第二册第二章“2.3.4平面与平面垂直的性质”.我说课的程序主要由说教材、说教法、说学法、说教学程序、板书设计和评价分析这六个部分组成. 一、说教材: 1、教材分析: 平面与平面垂直问题是立体几何的重要内容,本节课的学习使学生掌握线面垂直与面面垂直的相互转化.通过对有关概念和定理的概括、证明和应用,使学生体会“转化”的观点,提高学生的空间想象力和逻辑推理能力. 2、教学目标: 根据本课教材的特点,新大纲对本节课的教学要求,结合学生身心发展的合理需要,我从三个方面确定了以下教学目标: （1）知识与技能目标: ①让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理的正确认识； ②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题,进一步培养学生空间观念. （2）过程与方法目标: ①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系,掌握等价转化思想在解决问题中的运用. ②通过“直观感知、操作确认,推理证明”, 培养学生逻辑推理能力. ③发展学生的合情推理能力和空间想象力,培养学生的质疑思辨、创新的精神. （3）情感、态度与价值观目标: ①学生的合情推理能力和空间想象力,培养学生的质疑思辨、创新精神. ②让学生亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣. 3、教学重点与难点: （1）教学重点:理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导. （2）教学难点:运用性质定理解决实际问题. 二、说教法: 本节课利用学生学习立体几何:“直观感知---操作确认---推理证明”的基本规律,通过小组活动、合作学习、自主探究等方式,启发学生利用“平面化”的思想,让学生主动参与、思考、探索空间线面垂直、面面垂直的转化关系. 三、说学法: 1、学情分析:在学习本课之前,学生已掌握了线面垂直及面面垂直的概念,判定定理,及线面垂直的性质定理,学生已具备了对空间几何图形的一定水平层次的想象能力和一定的逻辑推理能力和分析问题的能力. 2、学法指导:在教学过程中,从实际问题出发,不断创设疑问,以问题驱动激发学生的求知欲和学习主动性,使学生紧紧抓住立体问题“平面化”的思想,逐步完善立体几何的知识体系. 四、说教学程序: 1、复习导入: 通过简单小实验,利用墙与地面或书本和课桌垂直的案例,复习面面垂直判定定理的同时,让学生感受到数学知识在生活中的实例. （1）面面垂直的定义（2）面面垂直判定定理: 2、探究发现:

直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点

一、直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定 ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 ⅱ.思考：如图，设直线b 在平面α内，直线a 在平面α外，猜想在什么条件下直线a 与平面α平行.（a ||b ）线线平行，则线面平行（线与面的平行问题一定要排除现在直线内的情况） ※判定定理的证明

性质文字描述一条直线与一个平面平行，则这条直线与该平面无交点一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面相交，这条直线和交线平行．图形条件 a ∥α a ∥αa ⊂βα∩β＝ b 结论 a ∩α＝∅ a ∥b 特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行. 判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。图形条件 α∩β＝∅ a ， b ⊂β a ∩b ＝P a ∥α b ∥α l ⊥α l ⊥β 结论 α∥β α∥β α∥β

二、直线、平面垂直的判定及其性质与平面α内的任一直线，一直线总有l ⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质知识点三、二面角 Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）二面角的平面角的三个特征:ⅰ. 点在棱上 ⅱ. 线在面内 ⅲ. 与棱垂直 Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别

平面与平面垂直的性质说课稿教案教学设计

平面与平面垂直的性质一、教材分析空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题.因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理. 二、教学目标 1．知识与技能（1）使学生掌握平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系. 2．过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识； 3．情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力. 三、教学重点与难点教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 四、课时安排 1课时五、教学设计（一）复习（1）面面垂直的定义. 如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. （2）面面垂直的判定定理. 两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

两个平面垂直的判定定理符号表述为： ⇒⎭ ⎬⎫ ⊂⊥αβAB AB α⊥β. 两个平面垂直的判定定理图形表述为：图1 （二）导入新课思路1.(情境导入) 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？思路2.(事例导入) 如图2，长方体ABCD —A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD 垂直,直线A′A 垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A 与平面ABCD 垂直吗？图2 （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①如图3,若α⊥β,α∩β=CD,ABα,AB⊥CD,AB∩CD=B. 请同学们讨论直线AB 与平面β的位置关系. 图3 ②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明. ③设平面α⊥平面β,点P ∈α,P∈a,a⊥β,请同学们讨论直线a 与平面α的关系. ④分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点. ⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀. 活动:问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线AB 与平面β的关系.