2021全国大学生数学建模比赛B题 答案

（2）附件1、附件2为纵切碎片数据，每页纸被切为19条碎片。
（3）附件3、附件4为纵横切碎片数据，每页纸被切为11×19个碎片。
（4）附件5为纵横切碎片数据，每页纸被切为11×19个碎片，每个碎片有正反两面。该附件中每一碎片对应两个文件，共有2×11×19个文件，例如，第一个碎片的两面分别对应文件000a、000b。
任选其中一例说明，由于碎纸片倒置情况未知，需要考虑未倒置时的情况与倒置式的情况，未倒置时矩阵第一列与其他矩阵第二列的边缘匹配度矩阵第一行最大值与倒置时矩阵第一列与其他矩阵第一列的边缘匹配度第一行的最大值进展比拟，选取匹配度大的作为拼接的纸片，即编号为000的碎纸片要与该纸片拼接。以此类推把19张碎纸片拼接完成后做人工处理。
4.2．1中文碎纸片的分析
此问中同4.1的图片处理方法，也需要将209张碎纸片进展同样的图像处理转化为灰度矩阵后进展二值化处理得到处理后的矩阵。根据结果知此问中的图片转化后的矩阵为 的矩阵，列数由第一问中的1980变为180，虽然数量变少，但是图片数量由19张变为了209张。假设同样使用4.1中的边缘匹配的方法，一张碎纸片对应其他208张碎纸片的边缘匹配一样的像素点有208种情况，变化范围为0-180，可知假设直接采用4.1中的方法得到的结果可能出现多个一样或无法判断的情况，所以这里我们先考虑附件3中碎纸片的特性。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规那么，以保证竞赛的公正、公平性。如有违背竞赛规那么的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是〔从A/B/C/D中选择一项填写〕：B
我们的参赛报名号为〔假如赛区设置报名号的话〕：
所属学校〔请填写完好的全名〕：重庆邮电大学
参赛队员(打印并签名)：1.
2.
3.
指导老师或指导老师组负责人(打印并签名)：
针对问题一中给出的“长条形〞碎纸片：对图片转化后的矩阵进展边缘检测，发现每一张图片的两短边在一定范围内全是白色，而仅有2张图片的长边在一定范围内全是白色，说明我们需要对长边进展拼接，一边包含全白的长边是原文件纸张的两端。由于考虑到模型应用的推广，我们在此问中的模型包含了图片倒置的情况〔仅在问题一中考虑倒置情况，鉴于问题二、三中数据量的增多，二三问不再考虑倒置情况〕，对图片的长边及矩阵中的第一列和最后一列与其他矩阵的第一列和最后一列进展边缘匹配，根据边缘匹配度来确定图片复原，最后假设发现拼接效果有偏向，在进展人工操作。
观察下面的图3可以发现，通过查阅资料分析[2]基于文字特征的文档碎纸片半自动拼接，每一行的绝大多数中文文字均可认为拥有同一上界、同一下界〔图3最右端出现了“一〞字，但是同行还存在其他文字，可以认为同一行文字有同一上界与同一下界〕，我们可以根据这一特性使用软件将[3]匹配度高及位置一样的碎纸片归类为一组。方法为：搜索每一张碎纸片转化后二值化矩阵 的每一行，假设矩阵该行中存在数值1，那么将该行全部赋值为1，假设这一行元素全为0，那么将该行全部赋值为0，其中1表示本行存在灰度小于255的像素，0表示不存在灰度小于255的像素，这样将209张碎纸片做出[4]新的二值化矩阵 ，之后同4.1的分析取边缘做边缘匹配得修改后的[6]边缘匹配度矩阵 ，匹配度高那么说明碎纸片的文字信息处于同一程度位置，见下列图图4，之后再人工干预，得到较优的结果。
、 、 、
边缘匹配度矩阵
编号为i的图片在此处理后的二值化矩阵
边缘匹配度之和矩阵
*其他未提及的符号会在文章中说明。
四、问题分析
4.1．1 中文碎纸片的复原分析
问题1、2、3附件1、2、3、4、5中的碎纸片均为一份纸张撕裂所得，所以碎纸片中不会存在含有一样信息的公共局部，这里进展强调，下面不再重述。
附件1中所给的图片为[5]扫描原纸张碎片后得到的BMP格式的图片，图片像素均为 ，使用[1]matlab中的iamread函数可以做出图片的灰度矩阵 ，举例如下〔由于该像素图片转换后为 的矩阵，论文中无法放置，所以仅简单举例说明，论文中假设还出现庞大的矩阵，同本说明〕：
观察两种文字的特点我们可以发现中英文在位置上均有一定的特性我们利用这种特性将有相同位置特性的碎纸片归类为一组在问题一方法的基础上做少许修改后代入有相同位置特性的一组碎纸片中根据边缘匹配度将他们连接检查并做人工处理可得拼接后的横行纸片再将横行纸片的长边用同样的方法做边缘匹配可将行与行之间拼接起来再做人工调整得到最优结果
针对问题三考虑到双面问题以及问题二中英文碎纸片的情况，我们把碎纸片两面匹配度之和作为判断碎纸片是否连接的评价标准，在问题一方法的根底上，在计算机每一步的匹配结果加以人工选择与判断，这样再次处理得到的结果，可以得到同问题二中一样的横行碎纸片，在根据新的横行碎纸片的两面边缘匹配度之和进展同样的操作处理可以将原纸张拼接复原。
综合图一图二我们可以做出4个边缘匹配度的矩阵，即未倒置时矩阵第一列与其他矩阵第二列的边缘匹配度、未倒置时矩阵第二列与其他矩阵第一列的边缘匹配度、倒置时矩阵第一列与其他矩阵第一列的边缘匹配度、倒置时矩阵第二列与其他矩阵第二列的边缘匹配度。由于〔未〕倒置时矩阵第一列与其他矩阵第二列匹配在思想上同〔未〕倒置时矩阵第二列与其他矩阵第一列匹配一样，所以这里只需考虑其中一种情况即可。
3.上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达要求同上。
【数据文件说明】
（1）每一附件为同一页纸的碎片数据。
日期：2021年9月13日
赛区评阅编号〔由赛区组委会评阅前进展编号〕：
2021高教社杯全国大学生数学建模竞赛
Hale Waihona Puke Baidu编号专用页
赛区评阅编号〔由赛区组委会评阅前进展编号〕：
赛区评阅记录〔可供赛区评阅时使用〕：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号〔由赛区组委会送交全国前编号〕：
全国评阅编号〔由全国组委会评阅前进展编号〕：
i，矩阵均为 的矩阵，这里我们分别将每张图片的Bi矩阵第1列和第72列提取出来做一新的二维边缘矩阵Ci，它是 的矩阵。通过对所有图片矩阵的分析可以发现C3 、C4矩阵中均有一列为0，所以可以认为编号为003和004的图片为原完好文件的一端，在做题过程中
无需考虑会存在其他白边与白边拼接的情况。
做如上判断后解题过程同4.11。
图1中左边矩阵第一列与右边矩阵第二列匹配的原那么与上述一样，不再重述。
如图2，当图片出现倒置情况时，正常情况下应是左边矩阵的第二列元素与右边矩阵的第一列元素进展两两匹配，假设倒置后，那么应该是左边矩阵的第二列元素与右边矩阵的第二列元素倒置顺序进展比拟，同样记录一样元素的个数并计算匹配度。
图2中左边矩阵第一列元素与右边矩阵第一列元素的匹配原那么与上述一样，不再重述。
得到很多组有一样位置的的碎纸片后，在每一组内采用4.1的中的边缘匹配方法，这里为了防止出现两白边匹配造成碎纸片连接混乱的现象，要加以限制。方法为：假设在组内做边缘匹配出现匹配度为1的情况，那么暂时不连接此碎纸片，从剩余的碎纸片出发做边缘匹配与其他碎纸片连接，直到组内所有碎纸片均已覆盖。
这样再通过一定的人工干预可以得到拼接复原后的的11横行碎纸片，在同样使用4.1的边缘匹配方法，[7]将得到的11行的碎纸条的长边进展边缘匹配做出 的匹配度矩阵后找最大匹配度作为连接的碎纸条，同样为了防止出现两白边匹配造成碎纸片连接混乱的现象，要加以限制。方法为：假设在组内做边缘匹配出现匹配度为1的情况，那么暂时不连接此碎纸片，从剩余的碎纸片出发做边缘匹配与其他碎纸片连接，直到11张拼接后的碎纸片均已覆盖。最后加以人工处理，得到完好的原文件。
【结果表达格式说明】
复原图片放入附录中，表格表达格式如下：
(1)附件1、附件2的结果：将碎片序号按复原后顺序填入1×19的表格；
(2)附件3、附件4的结果：将碎片序号按复原后顺序填入11×19的表格；
(3)附件5的结果：将碎片序号按复原后顺序填入两个11×19的表格；
(4)不能确定复原位置的碎片，可不填入上述表格，单独列表。
1.对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片〔仅纵切〕，建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进展拼接复原。假如复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及表格形式表达〔见【结果表达格式说明】〕。
2.对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进展拼接复原。假如复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果表达要求同上。
面对题目中给出的BMP格式的黑白文字图片，我们使用matlab软件的图像处理功能把图像转化为矩阵形式，矩阵中的元素表示图中该位置像素的灰度值，再对元素进展二值化处理得到新的矩阵。题目每一个附件中的碎纸片均为来自同一页的文件，所以不需考虑残片中含有未知纸张的残片以及残片中不会含有公共局部。鉴于残片形状分为“长条形〞与“小长方形〞，残片内容分为中文、英文，纸张的打印类型分为“单面型〞、“双面型〞，所以我们根据残片的类型对矩阵做不同处理。
针对问题二中的“小长方形〞碎纸片：由于数据量变多，盲目使用问题一中的方法不能保证准确度，所以这里要进一步约束使当前图片与少量图片进展匹配。观察两种文字的特点，我们可以发现中英文在位置上均有一定的特性，我们利用这种特性将有一样位置特性的碎纸片归类为一组，在问题一方法的根底上做少许修改后代入有一样位置特性的一组碎纸片中，根据边缘匹配度将他们连接、检查并做人工处理可得拼接后的横行纸片，再将横行纸片的长边用同样的方法做边缘匹配可将行与行之间拼接起来，再做人工调整得到最优结果。通过模型的建立求解过程可以发现中英文在本问题的求解方法中有着一定的不同，英文需要更多地人工判断处理。
二、模型假设
①假设题目中的碎纸图片与真实文件纸张大小、颜色、边缘情况一样。
②假设题目中的碎纸照片边缘完好，不存在破损。
③假设所有碎纸片的扫描情况一样。
④假设人工干预后可以得到正确结果。
⑤假设原文件纸张的内容具有意义。
三、符号说明
符号
符号意义
编号为 的图片的灰度矩阵
编号为 的图片经二值化处理后的矩阵
编号为 的图片的二维边缘矩阵
碎纸片的拼接复原
摘要
本文研究的是碎纸片的拼接复原问题。由于人工做残片复原虽然准确度高，但有着效率低的缺点，仅由计算机处理复原，会由于各类条件的限制造成误差与错误，所以为理解决题目中给定的碎纸片复原问题，我们采用人机结合的方法建立碎纸片的计算机复原模型解决残片复原问题， 并把计算机通过算法复原的结果优劣情况作为评价复原模型好坏的标准，通过人工后期的处理得到最正确结果。
2021高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规那么.
我们完全明白，在竞赛开场后参赛队员不能以任何方式〔包括、电子邮件、网上咨询等〕与队外的任何人〔包括指导老师〕研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违背竞赛规那么的,假如引用别人的成果或其他公开的资料〔包括网上查到的资料〕，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用途和参考文献中明确列出。
矩阵的中元素表示该位置图片的灰度，255表示为白，0为黑，图片中信息为黑白文字信息，但由于文字信息会存在阴影，所以矩阵中出现了介于0-255的元素。为了方便应用，并查阅相关资料所得，可以对于此题中的黑白图片做[2]二值化处理，可将上面例子中的 转化为如下的矩阵：
其中白色用0值表示，非白色用1表示。
将附件1中的19张图片做如上处理得到各自的二值化后的矩阵Bi，矩阵均为 的矩阵，这里我们分别将每张图片的Bi矩阵第1列和第72列提取出来做一新的二维边缘矩阵Ci，它是 的矩阵。通过对所有图片矩阵的分析可以发现C6、C8矩阵中均有一列为0，所以可以认为编号为006和008的图片为原完好文件的一端，在做题过程中无需考虑会存在其他白边与白边拼接的情况。
关键词： 残片复原 matlab图像处理 二值化 边缘匹配度 倒置情况 位置特性 人工处理
一 问题重述
B题碎纸片的拼接复原
破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量宏大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的开展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以进步拼接复原效率。请讨论以下问题：
两张图片匹配的原那么可以根据下面的图1、图2来表示。
如图1，当图片未出现倒置情况时，即题目中的图片均是正常摆放，将左边矩阵的第二列元素与右边矩阵的第一列元素进展两两匹配。记录元素一样的个数，个数除以1980为左边矩阵第二列对右边矩阵第一列的边缘匹配度，记为：
将所有碎纸片的二值化矩阵做如上匹配可依次选取与其匹配的碎纸片。