吴望一《流体力学》第一章部份习题参考答案(p48-p50).

吴望一《流体力学》第一章部份习题参考答案（p48-p50）

1(2) 11, i

d r r

grad gradr gradr r dr x ⎛⎫ ⎪∂⎝⎭=⋅=∂

直角坐标系下12

()

j j r x x =故

11

223

11()()()2221i j j j j j j i i i x r gradr x x x x x x x x x r r r r grad r r

-∂∂=

====∂∂=- 若使用球坐标系r r r r

gradr e e r r

∂===∂ （3）()()j j j j j ij j i i

x grad c r c x c c c c x x δ∂∂

⋅=====∂∂ (5)

()2

()()()()22()2()

ijk j k imn m n jm kn jn km j m k n k j k k j j k k j k k j j j j k l l l

l j j l k k j l j grad c r c x c x c c x x x x x x c c x x c c x x c c c c x x x x c c c c x c c c r c c c c r εεδδδδ⎡⎤⨯=∇=∇-⎣⎦

∂∂∂

=

-=-∂∂∂=--=⋅-⋅

2.设x 和y 代表两个函数

11111

1

()()()

m n n m m n n m m n m

n

grad x y y mx gradx nx y grady mgradx y x x y mx y gradx x y ------=+=+=+

()0.

m m

y gradx grad y x n n

m

y x const n ⇒-=⇒-=grad =

3．

00x x y y

φϕφϕ

φϕ∂∂∂∂+=⇒∇⋅∇=⇒∂∂∂∂等φ线的法向n φ与等ϕ线的法向n ϕ满足0n n φϕ⋅=。即两者正交。考虑到等φ线与等ϕ线分别与各点的n φ和n ϕ正交，可

知等φ线和等ϕ线正交。

4. cos cos MK MN grad grad s s

φ

αφαφ∂==⋅=⋅=

∂（设MN 与MK 夹角α=，s 为

MK 方向的单位向量）

5. 设椭圆焦距c ，则

1212121221222221221111221112(), ()11()1cos 1cos r x c i yj r x c i yj r r n r r r r r n r r r r r r r r r n r r r r r r r r φφφφαφβφ

=-+=++⎛⎫

∇=

=∇+∇=+ ⎪∇∇∇⎝⎭

⎛⎫⋅⋅⋅==+ ⎪

∇⎝⎭⎛⎫⋅⋅⋅=

=+ ⎪∇⎝⎭

显然cos cos αβ=，二者皆为锐角必然相等。 7. 1MM =

1s ∂∂φ,22

MM s φ∂=∂，在1M 和2M 点分别作与垂直于1s 和2s 的直线，二者交于0M 点。0MM 向量即为φ∇。 8

(1) 12121212()()i i i i

i i i

a a a a div a a a a x x x ∂+∂∂+=

=+=∇⋅+∇⋅∂∂∂

(2) ()()i i i i i i

a div a a a a a x x x φφφφφφ∂∂∂==+=⋅∇+∇⋅∂∂∂ (3)

()()()()()()()c c c c c div a b a b a b a b b a b a b rota a b b rota a rotb

⨯=∇⋅⨯=∇⋅⨯+∇⋅⨯=-∇⋅⨯+⋅∇⨯=⋅-⋅∇⨯=⋅-⋅ 附：证明

()()()()()c c i

c ijk j k

i i j jki

ijk j k k

a b a b a b b a b a x b b

a b a a x x εεε∇⋅⨯=-⨯∇⋅=-⋅∇⨯∂⨯∇⋅=∂∂∂⋅∇⨯==∂∂

1

s

2

s

本题亦可用张量表示法证明如下：

()()()()()j k

ijk j k ijk k ijk j i i i

j k

kij

k j jik i

i

a b a b a b b a x x x a b b a b a a b x x εεεεε∂∂∂

∇⋅⨯==+∂∂∂∂∂=+-=⋅∇⨯+⋅-∇⨯∂∂

(4) 3i

i

x divr x ∂=

=∂ (5) ()()i i i i r r rc rc c c r c x x r

∂∂∇⋅===⋅∇=⋅∂∂ (7)

()()()()()()()

()

()

3

2

1

2

12

1

2112

23

1

2

2

()1323222

2j j i j j i i i

i i j j

j j j j i j j i j j i i j j

j j j j

j

j j

j x x x x x x x x x

r r x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x r

x

x x

x --∂∂-⎡⎤∂∂∂⎢⎥∇⋅==⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦--===

=

=

或23131312c c c r r r r grad r r r r r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫∇⋅=∇⋅+∇⋅=+⋅=+-⋅=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（附：2

)(v

v u v u v u '

-'='） (8)

()()

()()(

)()()2j i i

j i i j

j

j

i i i

i j

j j

k

i i j k

i i j k

j k

j

b x a b r a b a x r r a x x a x a

x a r a x

x d i v a r a r a a x δεεδ∂⎡⎤∇⋅⋅=

=⎣⎦∂∂∇⋅⋅==

+=⋅

⎡⎤⎣⎦∂∂⨯

=-⋅∇⨯=-=-∂ （附：

ij j

i

x x σ=∂∂） （9）()444434()347c r

div r r r r r r r r r r r

=∇⋅+∇⋅=+⋅=