变分法的基本思想

变分法的基本思想

变分法是一种数学方法，用于研究函数的极值问题。这一方法

的基本思想是将函数的变化量表示成一个函数的积分，然后通过

求积分的极值来求解函数的极值。变分法不仅应用广泛，而且在

理论上也有较大的价值。

一、变分法的历史

变分法可以追溯到十七世纪，当时著名数学家莱布尼兹和尤拉

分别独立地提出了这一方法。莱布尼兹用变分法解决了曲线和曲

面的最短路径问题，而尤拉则将其应用于力学中的最小作用量原理。在之后的两个世纪里，变分法被广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

二、变分法的基本思想

变分法的基本思想是将函数的变化量表示成一个函数的积分，

然后求解积分的极值。具体来说，假设有一个函数y(x)满足某些

条件，如y(x)在一个区间[a,b]内连续、光滑等等，那么可以构造一个函数J[y(x)]，称为泛函，其表达式为：

J[y(x)] = ∫[a,b] L(x,y,y’)dx

其中L(x,y,y’)称为被积函数，y’表示y对x的导数，∫[a,b]表示

在区间[a,b]内积分。这里的J[y(x)]就是一个关于y(x)的函数，如果能够求出J[y(x)]的极值，那么对应的y(x)就是所要求的函数。

三、最小作用量原理

最小作用量原理是变分法应用于力学中的一个重要例子。假设

有一质点从时刻t1到时刻t2经过一条路径，路径上有一个势场

V(x)，则质点的作用量可以表示为：

S = ∫[t1,t2] L(x,v)dt

其中L(x,v) = T(v) – V(x)，T(v)表示质点的动能，V(x)表示势能。根据最小作用量原理，实际上质点遵循的是作用量取极小值的路径。换句话说，如果从t1到t2有多条路径，那么实际上质点所走

的是其中作用量最小的路径。

四、应用举例

变分法可以用于求解很多问题。以下是一些应用举例：

1、最短路径问题：这是莱布尼兹最早提出的应用之一。假设

有一条曲线y(x)，要使得从点A到点B的路径长度最短，即曲线

y(x)在[a,b]内的弧长最小，可以通过应用变分法求解。

2、求解微分方程：变分法可以用于求解常微分方程的边值问题。假设要求解的方程为：

y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)

其中y(a) = y(b) = 0。通过将y(x)表示成一个参数的形式y(x,α)，并将求解y(x)的问题转化为求解一个泛函的最小值问题，就可以

用变分法求解该微分方程。

3、求解最佳控制问题：假设有一个系统在时刻t=0处初始状态为x(0)，在时刻t=T处要达到一个特定状态x(T)，同时要尽量减

少控制的代价，即最小化J = α∫[0,T] [u(t)]2dt + βφ(x(T))，其中u(t)

表示控制变量，φ(x(T))表示在时刻T时达到所需状态的代价。

五、总结

变分法是一种求解函数极值问题的方法。它的基本思想是将函数的变化量表示成一个函数的积分，通过求积分取极值来求解函数的极值。变分法的应用十分广泛，不仅包括力学、物理学等自然科学领域，还包括经济学、工程学等社会科学领域。在实际应用中，变分法具有很强的求解能力和广泛的应用前景。