厚壁圆筒的弹塑性分析

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外压厚壁圆筒的弹塑性分析

：黄达飞

学号：SQ

指导教师：林智育

时间：2021-6-25

一、 问题描述

半径为a ，外半径为b 的厚壁圆筒，在外外表处作用有均匀压力p 〔如图1〔a 〕〕，圆筒材料为理想弹塑性的〔如图1〔b 〕〕。随着压力p 的增加，圆筒的θσ及r σ都不断增加，假设圆筒处于平面应变状态下，其z σ也在增加。当应力分量的组合到达某一临界值时，该处材料进入塑性变形状态，并逐渐形成塑性区，随着压力的继续增加，塑性区不断扩大，弹性区相应减小，直至圆筒的截面全部进入塑性状态时即为圆筒的塑性极限状态。当圆筒到达塑性极限状态时，其外压到达最大值，即载荷不能继续增加，而圆筒的变形也处于无约束变形状态下，即变形是个不定值，或者说瞬时变形速度无穷大。

为了使讨论的问题得以简化，本文中限定讨论轴对称平面应变问题，并设

2/1=ν。

〔a 〕 〔b 〕

图1 厚壁圆筒

二、 弹性分析

1.根本方程

平面轴对称问题中的未知量为r σ，θσ，r ε，θε，u ，它们应该满足根本方

程及相应的边界条件，其中平衡方程为

0r

dr d r r =-+θ

σσσ 〔1〕 几何方程为

dr du r =

ε，r

u

=θε 〔2〕 本构方程为

()()⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫-=-=

r r r E E

νσσενσσεθθθ1

1

〔3〕

边界条件为

r r F s =σσ ，在力的边界σS 上 〔4〕

2.应力的求解

取应力分量r σ，θσ为根本未知函数，利用平衡方程和以应力分量表示的协调方程联立求解，可以求得应力分量的表达式为

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬⎫

-=+

=221221r C

C r C C r θσσ 〔5〕 如图1〔a 〕所示半径为a ，外半径为b 的厚壁圆筒，在外外表处受外压p ，外表没有压力，相应的边界条件为

0==a

r r

σ ，p b

r r

-==σ

将以上边界条件代入式〔5〕，那么可以求得两个常数为

2221a b p b C --=，2

2222a

b p

b a C -= 那么应力分量为

⎪⎪

⎭⎪

⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=22

22

2222

2

211r a a b p b r a a b p

b r θσσ 〔6〕 上式和弹性常数无关，因而适用于两类平面问题。

三、 弹塑性分析

1. 屈服条件

在塑性理论中，常用的屈服条件是米泽斯〔Mises 〕屈服条件，其表达式为：

()()()()222

222226s z rz r z z r r στττσσσσσσθθθθ=+++-+-+- 〔7〕

由于厚壁圆筒为轴对称平面应变问题，那么有0===θθτττz rz r ，即r σ，θσ，

z σ均为主应力，且由0=z ε以及2/1=ν，可以得到()θσσσ+=r z 2

1

，代入Mises 屈服条件其表达式为

s s r σσσσθ155.13

2==

- 〔8〕

2．弹塑性分析

当压力p 较小时，厚壁圆筒处于弹性状态，由式〔6〕可求出应力分量

⎪⎪

⎭⎪

⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=22

22

2222

2

211r a a b p b r a a b p

b r θσσ 〔9〕 在a r =处r σσθ-有最大值，即筒体由壁开场屈服，假设此时的压力为e p ，由式〔8〕和〔9〕可以求得弹性极限压力为

()2

222155.1b a b p s

e σ-= 〔10〕

当e p p <时，圆筒处于弹性状态；当e p p >时，在圆筒壁附近出现塑性区，并且随着压力的增大，塑性区逐渐向外扩展，而外壁附近仍然为弹性区。由于应力组合r σ

σθ-的轴对称性，塑性区和弹性区的分界面为圆柱面。设筒体处于弹塑性状态下的压力为p p ，弹塑性分界半径为p r ，分别考虑两个变形区〔图2〕，也可将两个区域按两个厚壁圆筒分别进展讨论，设弹性区和塑性区的相互作用力为q ，即q p

r r r

-==σ。

图2 弹塑性分析

为求弹性区的应力分量，将弹性区作为半径为p r ，外半径为b ，承受外压p p ，压q 的厚壁圆筒。由圆筒的弹性分析公式可以求得弹性区〔b r r p ≤≤〕的应力分量为

()()⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎬⎫

--+---=--+--=222

22

22222222

22211

p p p p p p p p

p p p p r r b p b q r r r b q p b r r b p b q r r r b q p b r θσσ 〔11〕 为求解塑性区的应力分量，将弹性区作为半径为a ，外半径为p r ，承受外压

q 的厚壁圆筒。应满足平衡方程和屈服条件，即

0=-+r

dr d r r θ

σσσ s s r σσσσθ155.13

2==

-

由上面两式可得

r C s r ln 155.1σσ-=

由于在r=p r 处压力为q ，即q p

r r r

-==σ，代入可得p s r q C ln 155.1σ+-=，

代入r σ表达式，并利用屈服条件求得θσ，即塑性区〔p r r a ≤≤〕的应力分量为

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪⎬⎫

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-=1ln 155.1ln

155.1r r q r r q p s p

s r σσσσθ 〔12〕

上式〔11〕和〔12〕中的p r 和q 是未知量，由径向应力边界条件确定他们之间的关系。

在塑性区的r=a 处压力为0，即0==a

r r

σ，代入式〔12〕的第一式可得

a

r q p s ln

155.1σ= 〔13〕

在弹性区的r=p r 处刚到达屈服，由屈服条件s s r σσσσθ155.13

2==

-可得

(

)2

2

22155.1ln

155.1b r r b a

r p p p

s p s p -+

=σσ 〔14〕

上式给出了p p r p ~，当给定p p 可以确定p r ，或者给定p r 后也可以确定p p 。 将式〔13〕、〔14〕确定的q 代入式〔11〕、〔12〕，那么可以得到p r 表示的弹性区〔b r r p ≤≤〕和塑性区〔p r r a ≤≤〕的应力分量。