2021年中考数学专项训练： 开放型问题(含答案)

一、选择题

二、填空题 14．（2020·北京）在△ABC 中，AB =AC ，点D 在BC 上（不与点B ，C 重合）.只需添加一个条件即可证明△ABD ≌△ACD ，这个条件可以是 （写出一个即可）． {答案}答案不唯一，∠BAD =∠CAD 或者BD =CD 或AD ⊥BC

{解析}根据等腰三角形三线合一的性质可得，要使△ABD ≌△ACD ，则可以填∠BAD =∠CAD 或者BD =CD 或AD ⊥BC 均可．

16．（2020·北京）下图是某剧场第一排座位分布图

甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2,3,4,5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1,2号座位的票，乙购买3,5,7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 . {答案}答案不唯一，丙，丁，甲，乙．

{解析}要使自己选的座位之和最小，丙先选择：1，2，3，4；丁选：5，7，9，11，13；甲选6，8；乙选10，12，14，所以顺序为丙，丁，甲，乙． 三、解答题 20．（2020·温州）如图，在6×4的方格纸ABCD 中，请按要求画格点线段(端点在格点上)，且线段的端点均不与点A ,B ,C ,D 重合.

(1)在图1中画格点线段EF ,GH 各一条,使点E ,F ,G ,H 分别落在边AB , BC ,CD ,DA 上，且EF ＝GH ,EF 不平行GH .

(2)在图2中画格点线段MN ,PQ 各一条，使点M ,N ,P ,Q 分别落在边AB ,BC ,CD ,DA 上,且PQ

.

注:图1,图2在答题纸上.

{解析}本题考查了勾股定理．

{答案}解：⑴画法不唯一，如图1或图2等 ⑵画法不唯一，如图3或图4等

A B

C

D

E

H

D

C

B

A

G

F

G H

F

E

图1

图2

D C

B

A

D

C

B

A

Q

P N

M P Q

M N

图3

图4

D

C

B A

23．（2020·青岛）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额.某顾客获得了次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？

问题建模：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1

横型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法. 探究一：(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果.

(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果.

(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果.

(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n=3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果. 探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果.

(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果. 探究三：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同的结果.

归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1

问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽

取5张奖券，共有种不同的优惠金额.

拓展延伸：(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)

(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1

{答案}解：探究一：（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9，也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果.

答案：7

（4）从1，2，3，…，n(n为整数，且n=3)这n个整数中任取2个整数，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，n+n-1=2n-1，也就是从3到2n-1的连续整数，其中最小是3，最大是2n-1，所以共有2n-1-2=2n-3（种）不同的结果.

答案：2n-3

探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，所取的3个整数之和可以为6，7，8，9，也就是从6到

9的连续整数，其中最小是6，最大是9，所以共有4种不同的结果. 答案：4

(2)从1，2，3，…，n(n 为整数，且n=3)这n 个整数中任取3个整数，所取的3个整数之和可以为6，7，8，…，n+n-1+n-2=3n-3，也就是从6到3n-3的连续整数，其中最小是6，最大是3n-3，所以共有3n-3-8=3n-8（种）不同的结果. 答案：3n-8

探究三：从1，2，3，…，n(n 为整数，且n ≥5)这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有 种不同的结果.

从1，2，3，…，n(n 为整数，且n=3)这n 个整数中任取4个整数，所取的4个整数之和可以为10，11，12，…，n+n-1+n-2+n-3=4n-6，也就是从10到4n-6的连续整数，其中最小是10，最大是4n-6，所以共有4n-6-9=4n-15（种）不同的结果. 答案：4n-15

归纳结论：从1，2，3，…，n(n 为整数，且n ≥3)这n 个整数中任取a(1

2)1(+a a ，最大是n+n-1+n-2+…+n-（a-1)=2

)

1(--a a an ，所以共有不同的结果数为：2)1(--a a an ]12

)1([-+-a a =22a a an --122++-a a =1222+++--a

a a a an =12+-a an . 答案：12

+-a an

问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽 取5张奖券，共有不同优惠金额的种类为：1510052

+-⨯=476（种）.

答案：476

拓展延伸：(1)设从1，2，3，…，36这36个整数中任取a 个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果，则2041362

=+-a a ，即0203362

=+-a a ，∴a=7或29.

答：从1，2，3，…，36这36个整数中任取7个或29个整数，可以使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果.

(2)从3，4，5，…，n+3(n 为整数，且n ≥2)这(n+1)个整数中任取a(1

2

)

5(+a a ， 最大是n+3+n+2+n+1+…+[n+3-（a-1)]=2

)

3)(4(6a a an ---

+，所以共有不同的结果数为：

2)3)(4(6a a an ---+]12

)5([-+-a a =1252712622++-+--

+a

a a a an =25712722a a a a an +++--+=2

122272+--+a a an =)6(72

+--+a a an

=672

-+-+a a an =12

++-a a an . 答案：12++-a a an

24．（2020·随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a 2

x +bx+1的对称轴为直线x=

2

3

，其图象与x 轴交于