济南大学2014级高数BW期末试题
0910高等数学B( 二)试题答案济南大学
解
所求直线的一个方向向量 n (3, 7,5)
所求直线方程为 x 3 y0 z 1 3 7 5
2.设函数 z f ( x , y )是由方程 x 2 y 2 z 2 4z 给出， 则全微分 dz ；xdx ydy
2 n 1 x n arctan x ( 1) 2n 1 n 0
见教材P282
二、选择题 （每小题2分，共10分） 1、 f ( x, y )在点 ( x0 , y0 ) 可微是两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )
都存在的 [ A. C.
(1)
n 1
n 1
n ; n 1 3
解 (1) 记 un sin
而级数
n 1
3
n
,
vn
3
n
.
因为 limsin
n
3
n
3
n
1
3
n
收敛，故原级数收敛.
n 1
un1 n1 3 1 lim n . ( 2) lim n u n 3 n 3 n
2 z u z v 2x 3x z 2 ln(3 x 2 y ) 2 x u x v x y y (3 x 2 y )
2. 计算
D
yd , 其中D 是抛物线
及直线
y 2 y2 x
所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 则
济南大学2009～2010学年第一学期课程考试试卷(A卷)答案
概念 极限 性质 计算方法
概念 连续 基本结论 性质 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
左右极限
第二章主要内容回顾
导数的概念、几何意义 定义求导 导数 求导方法 基本公式、四则运算、复合求导 反函数求导 特殊函数求导 隐函数求导 高阶导数
0
证明至少存在一点 (0,1) ，使得 f ( )(1 ) f ( x)dx
证:
令F ( x) (1 x) f (t )dt
0
x
F ( x) f (t )dt (1 x) f ( x)
0
x
显然，F ( x)在[0,1]上连续，在 0,1)内可导，且 (0) F (1), ( F
原积分
xdf ( x )
2
2
xf ( x)
f ( x)dx
2
4
1
五、解答题（8分）
y f ( x)
的极值。
dy t 2 1 2 0 dx t 1
由参数方程
x t 3 3t 1 3 y t 3t 1
确定，求
f ( x)
3 1 x 3 2 x x
x0 x0
5．设
x ln(1 t an t )dt 0 f ( x) x2 a
2
在原点处连续，则
a
0
lim
x 0
x2 0
ln( tan t )dt 1 x
2
2 x ln( tan | x |) 1 lim x 0 2x
济南大学高等数学下历年考题答案
L
是抛物线 2 x y
解
2
上从点 (0, 0) 到点 ( 2 ,1) 的一段弧.
2
Q x
P 2 y cos x 6 xy y
L1
积分与路径无关
L2 : x
选取积分路径 O(0,0) A( ,0) B( ,1) 2 2
L2
L1 : y 0, x [0, ] 2
得f x ( x, x) f x ( x, x) x 2
y( x) -2e 2 x f ( x, x) x 2e 2 x
一阶线性微分方程
P( x) 2
Q( x ) x 2e 2 x
P ( x ) dx
ye
P ( x ) dx
[C Q( x )e
x y (0 z 1) 取下侧.
2 2
解：
2 2 x dydz y dzdx ( z x )dxdy
1 2
1
影 为0 对于 1 : z 1. 向yoz和xoz投
x 2 dydz y 2 dzdx ( z x )dxdy
1
( z x )dxdy
2 2
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式 解：
1
补充 1 : z 1 ( x 2 y 2 1) (上侧)
1围成空间区域 . 在上使用高斯公式,
1 2 2 x dydz y dzdx ( z x )dxdy ( 2 x 2 y 1)dv
2
4
y c1e x c2e 2 x
r2 r 2 0
2
2
2014级高等数学第二学期期末试卷(B类)
3.
交换二次积分
1 0
dx
2 x2
x
x2
f
(x, y)dy 的积分次序，结果为
（
）
（
）
(A)
1dy y 0 1 1 y2
f (x, y)dx ；
(B)
1dy y
0
1 1 y2
f (x, y)dx ；
(C)
1 0
dy
1 y
1 y2
f (x, y)dx ；
(D)
1dy 0
2 y y2 y2
f (x, y)dx 。
n1
(2)
若级数 xn
n1
收敛，且级数
an
n1 xn
收敛，请猜测级数 an 是否收敛，
n1
并证明（或说明）你的猜测结论。
第2页
2014 级第二学期《高等数学》期中考试试卷 (B 类) （多元微分学部分试题）
1.
设
f
(x,
y)
2x2 y4 x2 y2
，则 lim x0
f (x, y)
y0
（A） 等于 0 ； （B）等于1； （C）等于 2 ；
2014 级高等数学第二学期期末试卷(B 类)
注 1：下面划去部分试题内容，不是 15 级(本次)期末考试范围。 注 2：后面增加的试题是本次期中考试范围内容。 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1. 设向量 a, b 满足| a b || a b |，则必有
（
）
(A) a 0 ； (B) b 0 ； (C) a b 0 ； (D) a b 0 .
n1
n1
n1
（A） 0 ；
（B）1；
2014级高数一期末A解答(多学时)1.6
（1）试求 D1 绕 y 轴旋转一周而成的旋转体体积V1 ；D2 绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体
积V2 ；
（2）问 t 为何值时，V1 V2 取得最大值？
解：（1）V1
t 2 xydx t4
0
（或V1 t2 2t2
2t2 y dy t 4 ） 02
2014 级本科高等数学（一）期末试题解答与评分标准 A
（理工类多学时）
一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
A
B
D
C
1．已知函数
y
x2
x2 1 3x
2
，则
x
1 是该函数的（
C
）.
A. 无穷间断点；
B. 跳跃间断点；
C. 可去间断点；
D. 振荡间断点.
2．当 x 0 时，函数 ln(1 x3 ) 是 tan2 x 的（ B ）.
A. 同阶无穷小，但不是等价无穷小； C. 低阶无穷小；
B. 高阶无穷小； D. 等价无穷小.
3．已知 F(x) 是 sin x2 的一个原函数，则 dF (x2 ) （ A ）.
A． 2x sin x4dx ； B． sin x4dx ； C． 2x sin x2dx ； D． sin x2dx2 .
（3 分）
V2
2 y2dx 128 4 t5
t
55
（3 分）
（2）
d dt
(V1
V2 )
4 t 3
4 t 4
高等数学B二试题答案济南大学PPT课件
有f关(，x, y ) 在点( x, yA)Δx B Δ y 称为函数 f (x, y)
在可点微，(x, y) 的全微分,
记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微,则称此函数在D 内可微.
当函数可微时 :
lim z lim ( Ax By ) o ( ) 0
a2 x2 y2d .
则 a _B__.
x2 y2 a2
A. 1 B. 3 3 C. 3 3
2
4
D. 3 1 2
解：被积函数 z a2 x2 y2表示上半球面，半径为R 1.
由二重积分的几何意义得
原式 2 a3 . a 3 3 .
3
2
3.在点P处函数 f (x, y),的全微分 df 存在的充分条件是
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x,
y) 可z微 f (x x, y y) f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
d(1z) 函d f数可Ax By 偏导数存在 (微2z) 偏A导x 数 B连y o( ) 函数可微
y (1,1)
(1,1)
因此有4 a 1 0 ，即 a 5.
补充. 设函数f (x, y) 2x2 ax xy2 2y 在 (1, 1)
处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型．
解： 求二阶偏导数
B
C
fxx (x, y) 4, fxy (x, y) 2 y , fyy (x, y) 2x
2014级高数B(I)A套参考答案重庆工商大学期末真题试卷【高等数学1】
2014级高数B （I ）A 套 参考答案－、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）1.-6；2. 2e -；3.-6;4. 2(arctan )1f x dx x '+;5. ()f x ;6. sin cos 2x x C x-+ 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共计12分）1.D ；2. C ；3.B ；4.C.三、计算题（本大题共8小题，每小题7分，共计56分）1.23200tan 1sec lim =lim 3x x x x x x x →→-- （4分） 222200tan 1lim lim 333x x x x x x →→--===-（7分） 2.00111lim()lim 1(1)x x x x x e x x e x e →→---=-- 201lim x x e x x→--=（4分） 0011lim lim 222x x x e x x x →→-===（7分） 3.221(1)(1)1(1)1()1x x dy y dx dx x x x --+'==⋅+-+- 211dx x =-+ （5分）0x dy dx ==- （7分）4.2x x y e '=（5分）x =7分） 5.221ln()2x y =+ 等式两端对x 求导，得2222112221+()xy y x yy y x x y x''-+⋅=+,（5分） 解得=x y y x y +'-.（7分） 6.22cos 1(sin )1sin 1sin x dx d x x x=++⎰⎰ （3分）arctansin x C =+ （7分） 7.4sin 4cos x t dx tdt ==令， ⎰-dx x x 2216=⋅=⎰⎰441622cos cos sin cot t t tdt tdt （3分） =-=--+⎰(csc )cot 21t dt t t c （6分）=---+1642x x x c arcsin .（7分）8.2414x x de =⎰原式24411244x x x e e xdx =-⋅⎰ （3分）2441148x x x e xde =-⎰ []=--⎰14182444x e xe e dx x x x （6分）=-++14181322444x e xe e c x x x .（7分）四、应用题（8分）如图所示：则过该点的切线为：，设切点为),(P 2x x 22()Y x x X x -=-2(0)8(8,16)2x x A x B x x =-切线与轴的交点，，切线与的交点， 于是所围的三角形的面积为：221(8)2(8)(16)(08)224x x S x x x x x ⎡⎤=--+=-<<⎣⎦ （3分） )316)(16(416416432x x x x S --=+-=' 1603S x '==令，得唯一驻点 01623316<''-=''=x S x S ， （7分）大处作切线，所围面积最，在点⎪⎭⎫ ⎝⎛∴9256316（8分） 五、证明题（6分）令f x e x x ()=+--12，（1分）()[0,2]f x 在上连续，0)2(,02)0(1->=<-=e f e f 又，故由零点定理知，()00,2)f x =方程在(内至少有一根.（3分）（或021)1(0=-+=e f 因，1120x x e x -=+-=故是方程的一个实根.） 1()10()x f x e x R -'=+>∀∈又因，(),f x ∞+∞故在（-）内单调递增， 于是.0)(至多有一个实根方程=x f （5分）.021有唯一实根从而方程=-+-x e x （6分）。
高数试卷A2013～2014(答案)
济南大学2013~2014学年第一学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）课程名称：高等数学A （一）一、填空题(1) e 1．(2) dx x x x )(sec )21(22++. (3) )6,1(-. (4) 2π．(5) 1．二、选择题(1) A ．(2) A . (3) B . (4) C ．(5) D ． 三、计算下列极限、导数 (1) 解：)13)(2()13)(13(lim 213lim2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 62)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x(2) 解：)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222x x xx x x x --=-→→ππππ 812sin lim 41sin 12cos lim 4122-=---=⋅--=→→x x x x x x πππ(3) 解：两边对x 求导得：01)1(ln ='+-'+y y y ，所以：yy ln 21+='3222)ln 2(1)ln 2(y y y y y dx y d +-=+'-= 四、计算下列积分（每小题8分，共32分）(1) 解：C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰)2cos(21)2()2sin(21)2sin(2222(2) 解：令t x sin =，2||π≤t ，则：⎰⎰=-tdt dx x 22cos 1C t t t C t t dt t ++=++=+=⎰cos sin 2122sin 412)2cos 1(21 C x x x +-+=2121arcsin 21 (3) 解：⎰⎰+-=10210101]arctan [arctan dx x xx x xdx 2ln 214)]1ln(21[4102-=+-=ππx (4) 解：令x t =，则2t x =，tdt dx 2=，⎰⎰=112dt te dx e t x22][221101=-==⎰⎰dt e te tde t t t五、综合题（每小题10分，共20分）(1) 解：23124tte dx dy t+=，令0=dx dy ，得0=t ，代入得：1=x 。
高数A二B二近四年期末解答A卷 课件
2014级本科高等数学A （二）期末试题解答与评分标准A （理工类多学时）一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共计18分） 1. （A ，B ）函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的偏导数(,)x f x y 和(,)y f x y 存在是函数在点00(,)x y 的全微分存在的（ B ）.A. 充分条件；B. 必要条件；C. 充要条件；D. 无关条件.2. （A ，B ）设级数1(2)nn n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，则级数在5x =处（ C ）.A. 发散；B. 条件收敛；C. 绝对收敛；D. 无法确定敛散性.3. （A ，B ）二阶微分方程224468e xy y y x '''-+=+的特解应具有形式（ C ），其中,,,a b C E 为常数.A. 22+e xax bx C +； B. 22+e xax bx C E ++； C. 222+e xax bx C Ex ++； D. 22+e xax bx C Ex ++.4. （A ，B ）与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线方程为（ A ）.A. 325431x y z +--==； B ．325431x y z +--==-； C. 325134x y z +--==； D ．325431x y z -++==.5. （A ，B ）设闭区域D ：229x y +≤，221:9,0D x y y +≤≥，则下列等式中错误的是（ D ）. A.22221e d 2e d x y xy DD σσ++=⎰⎰⎰⎰；B.2222122e d 2e d x y xy DD y y σσ++=⎰⎰⎰⎰；C. 22e d 0xy Dx σ+=⎰⎰；D. 1e d 2e d x y x y DD σσ++=⎰⎰⎰⎰.6. （A ）Ω由不等式2221,x y z z ++≤≥确定，则zdxdydz Ω⎰⎰⎰求解过程错误的是（ B ）.A.2212x y dxdy +≤⎰⎰；B.22210x y z dzzdxdy +≤⎰⎰⎰；C.20rd πθ⎰⎰⎰；D.2134001sin 22d d r dr ππθϕϕ⎰⎰⎰.二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共计18分） 7.（A ，B ）直线234112x y z ---==与平面260x y z ++-=的交点为 (1,2,2).8.（A ，B ）已知二阶齐次线性微分方程有两个特解312e x y =，2e x y -=，则该微分方程为 230y y y '''--=.9. （A ，B ）设函数4sin y z x xy xy =++，则(1,0)zy ∂=∂ 5.10. （A ，B ）交换二次积分的积分次序：2220(,)y ydy f x y dx =⎰⎰402(,)x dx f x y dy ⎰⎰.11. （A ）L 为圆周229x y +=，则对弧长的曲线积分=⎰18π.12. （A ）计算曲线积分(3)(2)LI x y dx y x dy =++-⎰Ñ，其中L 是沿椭圆2214y x +=正向的边界，则I ＝4p -.三、解答题（本大题6小题，每小题8分，共计48分） 13. （A ，B ）计算二重极限00x y →→.解：00x y →→0x y →→= （4分）0x y →→= （2分）14=-. （2分）14. （A ，B ）设函数),()(y x y g y x f z -++=，其中f 二阶可导，),(v u g 有连续的二阶偏导数，求yx z∂∂∂2.解：2zf g x∂''=+∂， (4分) 221222122(1)z f g g f g g x y∂''''''''''''=++-=+-∂∂. (4分)(或写为221221222(1)zf g g f g g x y∂''''''''''''=++-=+-∂∂ )15. （A ，B ）设函数(,)z f x y =由方程e 0z y xz x y x ----+=所确定，在点(0,1,1)处，求d z .解：令(,,)ez y xF x y z z x y x --=--+， （2分）1e e 1e z y x z y x x z y x z F zx x F x ------∂-+=-=∂+， （2分） 1e 1ez y x y z y xz F zx y F x ----∂+=-=∂+， （2分） (0,1,1)(0,1,1)(0,1,1)d d d zz z x y dy xy∂∂=+=∂∂. （2分）16. （A ，B ）求幂级数2121n n x n +∞=+∑的收敛域与和函数，并求数项级数201(21)2nn n ∞=+∑的值. 解：收敛域(1,1)-， （注：在端点处发散） （2分）2121220001(),(0)0,()21211n n n n n n x x S x S S x x n n x ++∞∞∞==='⎛⎫'===== ⎪++-⎝⎭∑∑∑ （2分）所以200111()(0)()d d ln ||121x xxS x S S x x x x x+'-====--⎰⎰，故11()ln ||21xS x x+=-，(11)x -<< （2分） 2210011122()ln 3(21)2(21)22n n n n S n n ∞∞+=====++∑∑. （2分）17. （A ，B ）计算二重积分(32)d d DI x y x y =+⎰⎰，其中D 为由y 轴与直线1x y +=，1x y -=所围成的闭区域. 解： (32)d d 3d d DDI x y x y x x y =+=⎰⎰⎰⎰ （3分）11013xx dx xdy --=⎰⎰（3分）1206()1x x d x =-=⎰. （2分）18. （A ） 计算2(31)xdydz ydzdx z dxdy ∑+++⎰⎰，其中∑为上半球面z =.解：取1∑为xoy 面上的圆盘22:4xy D x y +≤，取下侧，记∑与1∑围成的闭区域为Ω，从而由高斯公式，得 （2分）12(31)xdydz ydzdx z dxdy ∑+∑+++⎰⎰6dv Ω=⎰⎰⎰3262323ππ=⋅⋅=， （2分）而12(31)xdydz ydzdx z dxdy ∑+++⎰⎰1(31)4xyD z dxdy dxdy π∑=+=-=-⎰⎰⎰⎰， （2分）故 原式=32(4)36πππ--=. （2分）四、解答题（本题10分） 19. （A ，B ）设函数()y f t =满足2222()t x y tf t e fdxdy π+≤=+⎰⎰，(1) 求()f t 所满足的微分方程； (2) 求()f t . 解：（1） 2()2()tt f t ef r rdr ππ=+⎰， （2分）求导，得2()22()t f t te tf t πππ'=+,即2()2()2t f t tf t te πππ'-=， （2分） （2）此为一阶线性微分方程，其通解为：22()()tf t e t Cππ=+（C 为任意常数） （3分） 由(0)1f =得1C =， （2分）故22()(1)tf t et ππ=+ . （1分）五、证明题（本题6分）20. （A ，B ）证明：二次曲面222Ax By Cz D ++=上任一点000(,,)x y z 处的切平面为000Ax x By y Cz z D ++=.证：令222(,,)F x y z Ax By Cz D =++-，则0000(,,)2x F x y z Ax =，0000(,,)2y F x y z By =，0000(,,)2z F x y z Cz =， （2分） 故曲面(,,)0F x y z =上点000(,,)x y z 处的切平面方程为：0000002()2()2()0Ax x x By y y Cz z z -+-+-=，（2分） 又222000Ax By Cz D ++=，从而222Ax By Cz D ++=上任一点000(,,)x y z 处的切平面为：000Ax x By y Cz z D ++=. （2分）2014级本科高等数学（二）期末试题解答与评分标准A（理工类少学时）一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. （B ）由曲线2cos a ρθ=所围图形的面积为（ B ）. A. 22a π； B.2a π； C. 24a π； D. 22a π.2. （A ，B ）下列级数收敛的是（ C ）.A.112n n∞=∑； B.21ln n n∞=∑； C. 112nn ∞=∑；D. 1n ∞=3. （A ，B ）微分方程224468e x y y y x '''-+=+的一个特解应具有形式（ C ），其中,,,a b C E 为常数.A.22+e xax bx C +； B.22+e xax bx C E ++； C.222+e xax bx C Ex ++； D.22+e xax bx C Ex ++.4. （A ，B ）与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线方程为（ A ）.A. 325431x y z +--==； B ．325431x y z +--==-； C. 325134x y z +--==； D ．325431x y z -++==.5. （A ，B ）设二元函数(,)f x y 在2R 上有(,)0,(,)0x y f x y f x y ><，设1212,x x y y ><，则下列结论正确的是（ B ）.A. 1122(,)(,)f x y f x y <；B. 1122(,)(,)f x y f x y >；C.1112(,)(,)f x y f x y <；D.1121(,)(,)f x y f x y <.6. （A ，B ）设()f x 为连续函数，1()()t tyF t dy f x dx =⎰⎰，则(2)F '=（ D ）.A.2(2)f ；B.(2)f -；C.0；D.(2)f .二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. （B ）由曲线x y e =,直线0,1x x ==和x 轴所围成的平面图形，绕y 轴旋转一周所形成旋转体的体积为2π.8. （A ，B ）设(,)z f x y =由方程e 0z y x z x y x ----+=所确定，则zx∂∂在点(0,1,1)处的值为 0 .9. （A ，B ）2211(2),lim()nn n n x y aa d πσ∞→∞=+≤-+=∑⎰⎰设级数收敛则3π ．10. （A ，B ）已知二阶齐次线性微分方程有两个特解312e x y =，2e x y -=，则该微分方程为230y y y '''--=.11. （A ，B ）曲线2z y =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为22z x y =+.12. （A ，B ）函数2yz xe =在点A (1,0)处沿点A 指向点B (2,1)-的方向导数为2- .三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 13. （A ，B ）计算二重极限00x y →→.解：(法一)原式= 0x y →→ （4分）00x y →→= （2分）=14-（2分） (法二) 原式=00x y →→ （4分） 001224limx y xy xy →→-⋅⋅= （2分） =14-（2分）14. （A ，B ）计算函数yz x =在(2,1)的全微分． 解： 1,ln y y x y z yx z x x -== （4分）(2,1)1,(2,1)2x yz z == （2分） (2,1)d 2l n 2z d x d y =+ （2分）15. （A ，B ）设函数()f u 可微, ()ln xx z f x y =+,求222,z z x x y∂∂∂∂∂.解：()ln xz f x x y =+ ，1()ln 1z xf x x y y∂'=++∂ （2分） 22211()z x f x y y x ∂''=+∂ （3分） 2231()()z x x x f f x y y y y y∂'''=--∂∂ （3分）16. （A ，B ）求幂级数21021n n x n +∞=+∑的收敛域与和函数，并求数项级数201(21)2nn n ∞=+∑的值． 解： 收敛域为(1,1)- （2分）令210()21n n x S x n +∞==+∑，(0)0S =2122001()211n n n n x S x x n x +∞∞=='⎛⎫'=== ⎪+-⎝⎭∑∑， （2分） 所以200111()(0)()d d ln ||121x x xS x S S x x x x x+'-===--⎰⎰， 故11()ln ||21xS x x+=-， （11x -<<） （2分）2210011122()ln 3(21)2(21)22n n n n S n n ∞∞+=====++∑∑. （2分）17. （A ，B ）计算二重积分(32)d d DI x y x y =+⎰⎰，其中D 为由y 轴与直线1x y +=，1x y -=所围成的闭区域. 解： (32)d d 3d d DDI x y x y x x y =+=⎰⎰⎰⎰ （3分）11013xx dx xdy --=⎰⎰（3分）126()1x xd x =-=⎰ （2分）18. （A ，B ）求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积. 解：设长方体的长宽高为,,x y z ，则问题转化为在条件2(,,)2220x y z x y y z x za ϕ=++-= 下求函数(0,0,0)V xyz x y z =>>>的最大值. （3分） 设拉格朗日函数2(,,)(222)L x y z xyz xy yz xz a λ=+++-，解方程组22()02()02()0222yz y z xz x z xy y x xy yz xz aλλλ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩得x y z ===， （4分） 这是唯一的可能极值点，也是所求问题的最大值点.故表面积为2a3（1分）四、解答题（本题10分）19. （A ，B ）设函数()y f t =满足2222()t x y tf t e fdxdy π+≤=+⎰⎰，(1) 求()f t 所满足的微分方程； (2) 求()f t . 解：(1) 2()2()tt f t ef r rdr ππ=+⎰ （2分）求导得 2()22()t f t te tf t πππ'=+即 2()2()2t f t tf t te πππ'-= （2分） (2) 此为一阶线性微分方程，其通解为22()()tf t et Cππ=+ （C 为任意常数） （3分） 由(0)1f =得1C = （2分）故22()(1)tf t et ππ=+ （1分）五、解答题（本题6分）20. （A ，B ）设2,(,)(,)0,(,)x y Df x y x y D ∈⎧=⎨∉⎩，[0,1][0,1]D =⨯，求函数()(,)d d x y tF t f x y x y +≤=⎰⎰的表达式.解：0t ≤时，()0F t = （1分）01t ≤≤时，221()22F t t t =⋅= （2分）12t <≤时，221()21(2)422F t t t t ⎡⎤=--=--⎢⎥⎣⎦（2分）2t >时，()2F t = （1分）2013级高等数学(二)期末试卷解答A理工类 多、少学时1. （A ，B ）下列函数中有且仅有一个间断点的函数为（ B ）． （A ）x x y +； （B ）22e ln()x x y -+； （C ）xy； （D ）||1xy +．2. （A ，B ）曲线：23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线（ B ）．（A ） 有一条； （B ）有两条； （C ）有三条； （D ）不存在．3. （A ，B ）设222{(,)|()}D x y x a y a =-+≤，则二重积分22e d x y Dσ--=⎰⎰（ C ）（A ）22cos 0d d a re r r πθθ-⋅⎰⎰； （B ）22cos 0d d a re r πθθ-⎰⎰；（C ）22cos 22d d a r er r πθπθ--⋅⎰⎰；（D ）22cos 202d d a re r πθπθ--⎰⎰4. （A ，B ）微分方程x y y cos =+''的特解具有形式（ B ）（A ）cos sin A x B x + （B ）sin cos Ax x Bx x + （C ）cos A x （D ）cos Ax x5. （A ，B ）已知函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数存在，则( D )．（A ）(,)f x y 在00(,)x y 可微；（B ）(,)f x y 在00(,)x y 沿任意方向方向导数存在； （C ）(,)f x y 在00(,)x y 连续； （D ）0(,)f x y 在00(,)x y 连续．6. 多（A ）设221:1l x y +=，222:2l x y +=，223:12y l x +=， 224:12x l y +=为四条逆时针封闭曲线，记曲线积分33()d (2)d 63ii l y x I y x x y =++-⎰，1,2,3,4I =，则max{}i I =（ C ）（A ） 1I ； （B ）2I ； （C ）3I ； （D ）4I6. 少（A ，B ）下列各选项正确的是（ C ） A ． 若正项级数∑∞=1n n u 发散，则nu n 1≥； B ． 若级数∑∞=1n nu收敛，且),2,1( =≥n v u n n ，则级数∑∞=1n nv收敛．C ． 若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛，则∑∞=+12)(n n nv u收敛；D ． 若||1nn n vu ∑∞=收敛， 则∑∞=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛；二、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. （A ，B ）幂级数1(3)3n nn x n ∞=-⋅∑的收敛域为[0,6)．8. （A ，B ）已知级数1nn us ∞==∑，则11()n n n u u ∞+=+=∑12s u -．9.（A ，B ）设函数()f u 可微，且(2)1f '=，则函数()z f x y =+在点(1,1)处的全微分(1,1)d |z =d d x y +．10.（A ，B ）微分方程yy x'=-满足初始条件24x y =-=的特解为8xy =-．11.多（A ）设L 为上半圆周：222x y R +=，（0,0R y >>），则曲线积分22()d Lx y s +=⎰3R π．11. 少（A ，B ）设(){},01,11D x y x y =≤≤-≤≤，则二重积分()cos 1d d Dy xy x y +=⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 2 ．12.多（A ）设∑是球面2222()x y z R R ++-=的外侧，则曲面积分d d x y ∑=⎰⎰ 0 ．12.少（B ）2d 11A x x +∞-∞=+⎰，则 A = 1π.三、 解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）13.（A ，B ）设函数2(,)sin()z f x y xy ==，求(,1)2xx f π，(,1)2xy f π．解：22(,)cos()x f x y y xy =，42(,)sin()xx f x y y xy =-， 232(,)2cos()2sin()xy f x y y xy xy xy =- （6分）(,1)12xx f π=-，(,1)2xy f ππ=- （2分）14.（A ，B ）设函数()y x z z ,=由方程23z e xy z +-=所确定，求(2,1,0)x z 及(2,1,0)y z ．解：令(,,)23z F x y z e xy z =+--， （1分） y F x =，x F y =，2z z F e =- （3分）所以2z z y x e ∂=∂-，2zz xy e ∂=∂- （2分） (2,1,0)1x z =，(2,1,0)2y z =． （2分）15.（A ，B ）求幂级数0(1)1nnn x n ∞=-+∑的收敛域与和函数．解：收敛半径为1R =，收敛域为(1,1]- （2分）令0()(1)1nnn x S x n ∞==-+∑，0x =时，(0)1S =， （1分）0x ≠时，1000()(1)(1)d 1n x nn n n n x xS x x x n +∞∞===-=-+∑∑⎰001()d d ln(1)1x xnn x x x x x∞==-==++∑⎰⎰所以ln(1),0()1,0x x S x xx +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ （5分）16.（A ，B ）计算二重积分2e d d y DI x y -=⎰⎰，其中D 是以(0,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形所围的闭区域．解：21e d d yy I y x -=⎰⎰ （4分）21101e d (1e )2y y y --==-⎰ （4分）17. 多（A ）验证曲线积分(2,1)423(1,0)(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰在XOY 平面内积分与路径无关，并计算该曲线积分． 解：324Q x y x ∂=-∂，324Px y y∂=-∂，且连续，所以积分与路径无关 （4分）(2,1)423(1,0)(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰(2,0)(2,1)423(1,0)(2,0)(23)d (4)d xy y x x xy y =-++-⎰⎰21313d (48)d x y y =+-⎰⎰ （2分） 325=+= （2分）17. 少（A ，B ）计算二重极限22222001cos()lim sin ()x y x y x y →→-++．解：222222222220000()1cos()2lim lim sin ()()x x y y x y x y x y x y →→→→+-+=++ （4分） 12=（4分）18. 多（A ）计算曲面积分3d d 2d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =介于平面0z =与平面2z =之间部分的下侧．解：补充曲面221:2,4z x y ∑=+≤，取上侧， （2分） 由高斯公式13d d 2d d d d x y z y z x z x y '∑∑∑+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰6d V Ω=⎰⎰⎰ （2分）16π= ． （2分） 其中，113d d 2d d d d d d 2d d 8Dx y z y z x z x y z x y x y π∑∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以3d d 2d d d d 8x y z y z x z x y π∑++=⎰⎰ （2分）18. 少（A ，B ）判断级数1!n n n a n n∞=∑的敛散性，其中0,e a a >≠．解：111(1)!lim lim lim (1)!(1)e n n n n n n n n n n nu a n n a n au n a n n +++→∞→∞→∞+⋅=⋅==++ （4分） 所以0e a <<时，级数收敛；e a >时，级数发散。
山东省济南市2014届高三上学期期末考试数学(理)试题(含答案)
山东省济南市2014届高三上学期期末质量调研考试数学（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共4页,考试时间120分钟,满分150分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．若ibi a 4325+=+(a 、b 都是实数,i 为虚数单位）,则a +b = A ．1B ． -1C ．7D ．-72．已知集合}1|{2+==x y y M ,}1|{22=+=y x y N ,则=N M A ．)}1,0{(B ．}2,1{-C ．}1{D ．),1[+∞-3．设,2.0e P =2.0ln =Q ,715sin π=R ,则 A ．Q R P << B ．P Q R <<C ．Q P R <<D ．P R Q <<4．等比数列}{n a 的前n 项和为S n ,若63=a ,xdx s 433⎰=,则公比q 的值为A ．1B ．21-C ．l 或21-D ．-1或21-5．将函数x x y cos sin +=的图象向左平移)0(>m m 个长度单位后,所得到的函数为偶函数,则m 的最小值是A ．4πB .6π C ．43π D ．65π6．“m =3”是“直线057)3()1(21=-+-++m y m x m l ：与直线052)3(2=-+-y x m l ：垂直”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤-1210y x y x y x ,则目标函数y x z 5+=的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．58．函数)(22R ∈-=x x y x的图象大致为9．已知m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题： ①若βα⊥,α//m ,则β⊥m ；②若α⊥m ,β⊥n ,且n m ⊥,则βα⊥；③若β⊥m ,α//m ,则β⊥α； ④若α//m ,β//n ,且n m //,则βα//．其中正确命题的序号是A ．①④B ．②③C ．②④D ．①③10．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点,N 为AM 的中点,若AC AB AN μ+λ=,则λ+μ的值为 A ．21B ．31 C .41 D ．111．已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ,点A 是两曲线的一个交点,且x AF ⊥轴,则双曲线的离心率为A ．2B ．31+C .22+D ．21+12．设)(x f 是定义在R 上的可导函数,当x ≠0时,0)()(>+xx f x f ＇,则关于x 的函数)(x g xx f 1)(+=的零点个数为 A ．lB ．2C ．0D ．0或 2第Ⅱ卷（非选择题,共90分）注意事项：1．将第Ⅱ卷答案用0.5 mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上． 2．答卷将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题（本题共4小题,共16分）13．执行如图所示的程序框图,则输出的结果S 是________．14．一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形,则这个几何体的体积是________．15．已知定点)1,2(-Q ,F 为抛物线x y 42=的焦点,动点P 为抛物线上任意一点,当||||PF PQ +取最小值时P 的坐标为________．16．已知0>m ,0>n ,若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切,则n m +的取值范围是________．三、解答题（本题共6小题,共74分） 17．（本小题满分12分）已知)cos sin ,sin 2(x x x -=,)cos sin ,cos 3(x x x +=,函数.)(x f ⋅= (1)求函数)(x f 的解析式；(2)在ABC ∆中,角C B A 、、的对边为c b a ,,,若2)2(=Af ,1=b ,ABC ∆的面积为23,求a 的值．18．（本小题满分12分）已知函数xx mx f 24)(+=是奇函数．(1)求m 的值：(2)设a x g x -=+12)(．若函数错误！未找到引用源。
2014级高数B(I)A套重庆工商大学期末真题试卷【高等数学1】
院： 班级： 学号： 姓名：密 封 线考试科目： 高等数学B （I ） 考核方式：开卷（ ）闭卷（√ ） 试卷适用专业（班）： 环生学院、机械工程学院各专业2014－2015学年度第 一 学期 套别：A 套（ √）B 套（ ） 题号 一 二 三 四 五总计 分值 18 12 56 8 6 100 得分 阅卷人－、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）1.0sin lim3(2)x kxk x x →=-+已知，则的值为____________.2.极限10lim(12)xx x →-= .3.设(1)3f '=，则0(12)(1)lim __________t f t f t→--=.4.设(arctan )y f x =，其中()f u 可导，则dy = .5. ()d f x dx dx=⎰ . 6.设()f x 的一个原函数为 sin xx，则()xf x dx '=⎰____________. 二、单项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共计12分）１.设24402()sin 20x x x xf x x x x⎧-+≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，当，当，则关于()f x 的连续性的正确结论是( )A 、仅有一个间断点0x =B 、仅有一个间断点2x =C 、有两个间断点02x x ==及D 、处处连续 ２.()2320()y x=+-∞函数在，内 A 、单调递增而向上凸B 、单调递增而向下凸C 、单调递减而向上凸D 、单调递减而向下凸 ３.2ln y x x =关于函数的极值正确结论为 A 、12e 有极大值B 、12e-有极小值 C 、0有极小值 D 、0有极大值４.00(())(),()x f x y f x =若，为曲线的拐点则 A 、0()f x ''必有存在且等于零 B 、0(),f x ''一定存在但不一定等于零 C 、0(),f x ''如果存在必等于零 D 、0(),f x ''如果存在必不为零试 卷。
14高数A期末一真题与答案
淮 海 工 学 院13 – 14学年第 二 学期 高等数学A （2） 期末试卷（A 闭卷）1．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1,0)，而点B 的坐标为(0,1,2)，则c o s AOB ∠= --------------------------------------------------------------------（A ）（A ）15 （B ）13 （C （D 2．2232(,)tan [(2)]f x y x y xy =-+，则(2,2)yy f =----------------------------------（D ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3. 3x yu ez +=-在点(0,0,3)-处的梯度为----------------------------------------------（B ）（A ）i j k +- （B ）3i j k +- （C ）3i j k ++（D ）33i j k ++ 4．二次积分4011(,)xdx f x y dy -⎰⎰的另一种积分次序为-----------------------（D ） （A ） 110(,)y dy f x y dx -⎰⎰（B）11(,)y dy f x y dx -⎰⎰（C ）1410(,)y dy f x y dx -⎰⎰（D ）1100(,)y dy f x y dx -⎰⎰5．2224()x y x y ds +=+=⎰-------------------------------------------------------------------------（D ）（A ）0 （B ） 4π （C ）8π （D ） 16π 6．设n u =则级数-------------------------------------------------------------------（C ）（A ）1nn n u ∞∞==∑与（B ）∑∞=1n nu与n ∞=都发散（C ）∑∞=1n nu收敛，而1n ∞=发散 （D ）∑∞=1n n u 发散，而n ∞=收敛7．设)(x f 是以π2为周期的周期函数，其在],(ππ-上的解析式为,0(),0x x f x x x πππ--<≤⎧=⎨-<≤⎩，若记)(x f 的傅里叶级数为()S x ，则(7)Sπ=------（C ） （A ）π-（B ）2π- （C ）2π （D ）π 8．x y y e -'=的通解为---------------------------------------------------------------------------（A ）（A ）x y e e C -= （B ）C e e y x =+- （C ）C e e y x =+-（D ）C e e yx =+ 二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1. 设(,)z f x y y x =，其中(,)f u v 可微，求,x y z z 以及x y xz yz +.解：12x u v z y f x yf --=----------------------------------------------------------------------------321y u v z xy f x f --=-+------------------------------------------------------------------------2 0x y xz yz +=.--------------------------------------------------------------------------------22．设D 由,y x y ==y 轴所围成，求D.解: :042D r πθπ≤≤≤≤----------------------------------------2 则原式221241)d r rdr ππθ-=+⎰--------------------------------------22120(1)(1)8r d r π-=++4π=.----------------------------------------33．取L 为2231x y +=的顺时针方向，用格林公式求3322()(23)3L x y dx x y dyx y -+++⎰.解：原式33()(23)Lx y dx x y dy =-++⎰------------------------------------------------------22231(21)Greenx y d σ+≤=-+⎰⎰----------------------------------------------------------------322313x y d σ+≤=-=⎰⎰.------------------------------------------------------------24．求11x y y x x '-=+的通解. 解： 11[]'1dx dx x xx ye e x--⎰⎰=+，则1()'1y x x =+----------------------------------------------4有ln(1)yx C x=++，-----------------------------------------------------------------------2 故[ln(1)]y x x C =++.---------------------------------------------------------------------1三、计算证明题（本大题8分）求曲面222236x y z ++=上点()1,1,1P --处的切平面I 的方程，并证明直线3:15x L y z -==+在切平面I 内. 解：记()222,,236F x y z x y z =++-，则(),,2x F x y z x '=，(),,4y F x y z y '=，(),,6z F x y z z '=-------------------------------2于是曲面在点P 处的法线向量为()()()(,,)(2,4,6)x y z n F P F P F P '''==----------1则切平面方程为()()()2141610x y z --+-+=，即2360x y z ---=，------ ---2直线L 的方向向量为(5,1,1)s =，由0n s ∙=，知n s ⊥，--------------------------------2 又直线L 上的点(3,0,1)-∈I ，则L 在切平面I 内.------------------------------------------1四、计算题（本大题８分）和建制造，乐在共享。
《高等数学B》本科期末考试试卷A卷
《咼等数学B2》本科期末考试试卷(A 卷)一、选择题(共5题，每小题3分，共15分) 1、 对于二元函数z f(x,y)在点P(x o ,y 。
)处偏导数存在是在该点处可微的()条 件。
A 、充分非必要B 、必要非充分 C 充要D 非充分非必要 0 1 x 2、 设I 1dx o f (x, y)dy ，交换积分次序后得I () 1 x 0 1 1 x A • 0 dy 1 f (x, y)dx B . °dy 0 f(x, y)dx 0 1 1 0 C . 1dy 0 f (x, y)dx D • 0 dy y 1f (x, y)dx 3、 设 D : x 2 y 2 9,,贝S 2dxdy () D A. 36 B.18 C.9 D. 3 4、 曲线积分jj(x 2y)dx (2x y)dy ，其中L 为三顶点分别为(0,0)、(3,0)、(3,2) 的三角形正向边界，该曲线积分二() A.0B.4 C.6D.8 _5、级数(1)n 1的敛散性为() n 1 n _A •绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法判断三二、填空题(共5题，每小题3分，共15分)西南科技大学 20132 0 14 2 学期 师教二二二二二一二名姓-------------号学称名级班一二二二二二二院学1、lim (x,y) (1.0)2、设z x y，求dz _____________ 。
3、求曲线x t,y t2,z t3在点(1,1,1)处的切线方程________________ 。
4、求函数u xy3z在点(1, 1,2)处的梯度________________。
5、设，为有向曲线弧L在点(x,y)处的切向量的方向角，则平面曲线L上的两类曲线积分的关系L Pdx Qdy J Jds。
三、解答题( 求曲面x21、2、设z f (x21-2小题每题8分，3-8小题每题9分，共70分)寸z2 14上平行于平面x 2y 3z 20的切平面方程。
1415济南大学线性代数试题答案
[A|b]= 4 3 5 1 1 0 1
1
5
3
a 1 3 b 1 0 1 a 3 a b a 1 a
k11 k22 knm nm ,
设 (k1, k2, , knm )T , 则存在一个 nm 维的列向量，使得
[A|b] 0 1 1 5
3
0
1
1
5
3 ，
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
同解方程组：
x1 x2
2x3 4x4 2 x3 5x4 3
；
( A E | B) 1 0
1
2
0
0
1
1
1
1
1 0 2 5 3 0 1 2 6 4
且二次型 f 经正交变换化为标准形：f 2y12 2y22 3y32 ，所以矩阵 A 的特征值为： 1 2, 2 2, 3 3
aexb??1101?1???1101?1?a?eb????10120???0?1111???10?25?3??????01?26?4?????1101?????0?111?1?10?09?3??00?17??1??01?02?83??????001?7??3???93??x???82????73????1202??1202?3解
二、选择题(每小题 3 分,共 15 分)
1.（B） 2.（B） 3.（B） 4．(A) 5．（D）
三、计算题(每小题 10 分,共 40 分)
1234
1、解：
0 D
2
6
8 24.
0038
0004
山东省济南市2014届高三上学期期末考试数学(文)试卷Word版含答案
2014年1月高三教学质量调研考试数学（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共4页,考试时间120分钟,满分150分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1．答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：1．棱锥的体积公式：h s V ⋅=31(S 为棱锥的底面面积,h 为棱锥的高) 2．样本数据n x x x ,,21的方差公式：222212)()()(nx x x x x x s n -⋅⋅⋅+-+-=（其中x 为样本平均数）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．已知复数iiz -+=131,则z 的实部为 A ．lB ．2C ． -2D ． -12．设全集R U =,集合}12|{<<-=x x M ,}30|{<<=x x N ,则)(M C N U 等于A ．}10|{<<x xB ．}31|{<≤x xC ．}02|{≤<-x xD ．}32|{≥-≤x x x 或3．为了调查城市PM2.5的情况,按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组,对应的城市数分别为8,16,24.若用分层抽样的方法抽取12个城市,则中型组中应抽取的城市数为A ．3B ．4C ．5D ．64．执行右面的程序框图．若输入n=7,则输出的值为A ．2B ．3C ．4D ．55．已知}{n a 为等差数列,且882=+a a ,56=a 则S l0的值为 A ．50B ．45C ．55D ．406．函数x e e y xxsin )(⋅-=-的图象大致是7．把函数)32sin(π+=x y 的图象向右平移6π个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,则所得图象对应的函数解析式是A ．x y sin =B .x y 4sin =C ．)34sin(π-=x yD .)6sin(π-=x y 8．已知命题p :R ∈∀a ,且a >0,有21≥+aa ,命题q :R ∈∃x ,3cos sin =+x x ,则下列判断正确的是A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．)(q p ⌝∧是真命题D ．q p ∧)(⌝是真命题9．已知直线l 1：02)1(=-+-ay x a ,l 2：03)12(=+++y a ax ,若21l l ⊥,则a的值为A ．0或2B ．0或一2C ．2D ．-210．若变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤,02,0,1y x y x y 则y x z 3-=的最大值为A ．4B ．3C ．2D ．111．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两条渐近线均与圆05622=+-+x y x C ： 相切,则该双曲线离心率等于A ．23 B ．26 C ．553 D ．55 12．设函数)(x f y =对任意的R ∈x 满足)()4(x f x f -=+,当]2,(-∞∈x 时,有x x f -=2)(-5．若函数)(x f 在区间))(1,(Z ∈+k k k 上有零点,则k 的值为A ．-3或7B ．-4或7C ．-4或6D ．-3或6第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分）13．已知两点)0,1(-A ,)3,1(B ,向量)2,12(-=k a ,若a AB //,则实数k 的值为 ．14．若a 1,a 2,…a 10这10个数据的样本平均数为x ,方差为0.33,则a 1,a 2,…a 10,x 这11个数据的方差为________．15．一个正三棱柱的三视图如图所示,如果左视图的面积为36,则这个三棱柱的体积为________．16.给出下列命题①在△ABC 中,A >B 是sin A >sin B 的充要条件；②设m ,n 是两条直线,α,β是空间中两个平面．若βα⊂⊂n m ,,βα⊥⊥则n m ；③函数f (x )=x cos 是周期为2π的偶函数；④已知定点A (1,1),抛物线y 2 =4x 的焦点为F ,点P 为抛物线上任意一点,则||||PF PA +的最小值为2；以上命题正确的是________（请把正确命题的序号都写上） 三、解答题（本大题共6小题,共74分） 17．（本小题满分12分）已知△ABC 的三内角A ,B ,C 所对三边分别为a ,b ,c ,且102)4cos(=-πA ． (Ⅰ)求sin A 的值；(Ⅱ)若△ABC 的面积S =12,b =6,求a 的值．18．（本小题满分12分）一个盒子中装有形状大小相同的5张卡片,上面分别标有数字1,2,3,4,5,甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张．(Ⅰ)写出所有可能的结果,并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率； (Ⅱ)以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形,求出能构成三角形的概率．19．（本小题满分12分）在四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,AD ⊥AB ,△ABC 是正三角形,AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点,N 为线段PB 的中点,G 在线段BM 上,且.2=GMBG(Ⅰ)求证：AB ⊥PD ； (Ⅱ)求证：GN //平面PCD ．20.（本小题满分12分）设正项数列{a n }为等比数列,它的前n 项和为S n ,a 1=1,且a 1+ S 2= a 3. (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)已知}{nn a b是首项为1,公差为2的等差数列,求数列}{n b 的前n 项和T n ．21.（本小题满分12分）已知椭圆C:)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为36,长轴长为32.(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线21-=kx y 交椭圆C 于A 、B 两点,试问：在y 轴正半轴上是否存在一个定点M 满足MB MA ⊥,若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．22.（本小题满分14分） 已知函数x ax x x f 32131)(23-+-=,x x x g ln )(= (Ⅰ)当a =4时,求函数f (x )的单调区间；(Ⅱ)求函数g (x )在区间)0](1,[>+t t t 上的最小值；(Ⅲ)若存在)](,1[,2121x x e ex x =/∈,使方程)(2)(x g x f =＇成立,求实数a 的取值范围（其中e =2.71828…是自然对数的底数）2014年1月高三教学质量调研考试数学（文科）试题答案（阅卷）一、选择题：1.D2.B3.B4.D5.B6.A7.A8.C9.B 10. A 11.C 12.D 二、填空题： 13.6714. 0.3 15. 312 16. ①④ 三、解答题：GNMPCBA17. 解：（Ⅰ）由102)4cos(=-A π得102)cos (sin 22=+A A 所以51cos sin =+A A ……………………………………3分 又1cos sin 22=+A A解得54sin =A …………………………………………6分 （Ⅱ）12sin 21==A bc S ，又6=b ，解得5=c ，……………………8分由51cos sin =+A A ，54sin =A 得3cos 5A =-……………………9分∴22232cos 3625265()975a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯-=……………………11分∴a =………………………………………………………12分18. 解：（Ⅰ）甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张，基本事件有)5,4(),3,4(),2,4)(1,4(),5,3(),4,3(),2,3(),1,3(),5,2(),4,2(),3,2(,),1,2(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1()4,5(),3,5(),2,5(),1,5(共20个………………………………………2分设事件=A “甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数”则事件A 包含的基本事件有)3,5(),1,5(),2,4(),5,3(),1,3(),4,2(),5,1(),3,1(共8个………4分 所以82()205P A ==.…………………………………………6分 （Ⅱ）剩下的三边长包含的基本事件为：(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10个；……………………………………………………8分设事件=B “剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“则事件B 包含的基本事件有：)5,4,3(),5,4,2(),4,3,2(共3个……………………10分 所以3()10P B =.……………………12分 备注:第二问也可看做20个基本事件，重复一倍。
1314高等数学B(二)试题答案 济南大学
Fy z xz z y Fz e xy
3. 求过点 (3, –1 , 2) ，且 垂直于直线
已知直线的方向向量可取为 解: 得
s n1 n2
x y z 1 0 的平面方程. 2 x y z 4 0
(0, 3, 3)
所以所求的切平面方程为
二．选择题(每小题2分,本大题满分10分) 1. 设平面 的方程为 4 x 2 y 2 z 3 , x3 y4 z 则（ 直线L的方程为 2 7 3
D)
(A) L与 垂直， (B)L与 相交但不垂直，
(C ) L在内， (D) L与 平行但不在内.
分析:Байду номын сангаас
4 (- 2) (2) (7) (2) 3 0, 所以平面与直线平行. 又直线上的点 (3 , 4 , 0)不在平面上
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
A Δ x B Δ y 称为函数 f ( x, y ) f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
在点 (x, y) 的全微分, 记作
d z d f Ax By
展开成x的幂级数，
1 1 x ( 解: f ( x ) ) 1 x 2 1 x 1 ( ) 1 x (1 x) 2 (1 x)(1 x) (1 x)(1 x) 2 2 (1 x) (1 x) (1 x) 2
(1 x) 2 (1 x) (1 x) 2 1 2 2 2 2 2 2x (1 x) 2(1 x ) 1 x
B
) B. g(y)在y0取得极大值
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济南大学2014～2015学年第二学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 高等数学（二）BW 考试时间 2015 年 7 月 7 日
………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………
一、选择题（每小题2分，共10分）
(1) 两平面1=++z y x 和2=+-z y x 2的位置关系是
(A) 相交但不垂直. (B) 垂直. (C) 平行但不重合. (D) 重合.
(2) 极限=+→22),0(),(lim
y x xy y x 0 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 不存在.
(3) 二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的全微分存在是它在该点连续的
(A) 充分条件. (B) 必要条件.
(C) 充分必要条件. (D) 既非充分也非必要条件.
(4) 点)0,0(是二元函数22),(y x y x f -=的
(A) 极大值点. (B) 极小值点. (C) 驻点但不是极值点. (D) 不是驻点.
(5) 下列级数中，收敛的是
(A) ∑∞=+11n n n . (B) ∑∞=11n n . (C) ∑∞=121n n . (D) ∑∞
=11sin n n . 二、填空题（每小题2分，共10分）
(1) 过点)5,2,3(-且与直线1
3241z y x =+=-平行的直线方程为 . (2) 极限=→x
xy y x )tan(lim ),0(),(1 . (3) 设二元函数)ln(2y x x z +=，则=z d .
(4) 幂级数∑∞
=1n n nx 的收敛半径为 .
(5) 级数∑∞
=13n n n
2的和为 . 三、计算题（每小题8分，共40分）
(1) 求过点)1,,(-01且平行于向量)1,1,(2=a 和)0,1,1(-=b 的平面方程.
(2) 设32sin y x x z y x -=+e ，求x z ∂∂，y
z ∂∂. (3) 设),(y x z z =是由方程03=---z y x z 所确定的隐函数，求
x z ∂∂和y z ∂∂.
(4) 判定级数∑∞
=12
3n n n 的收敛性. (5) 求幂级数∑∞=-1)5(n n x n
1的收敛域. 四、计算下列积分（每小题10分，共20分） (1) ⎰⎰D
y x y x d d ，其中D 是由两条抛物线x y =，2x y =所围成的闭区域.
(2) ⎰⎰+D y x y x d d )(22，其中D 是由圆周4
122=
+y x 所围成的闭区域. 五、综合题（每小题10分，共20分）
(1) 求函数x y xy x y x y x f 22),(222++++=2
3的极值. (2) 改变二次积分⎰⎰-1210x y xy y x d d 的积分次序，并计算此积分值.。