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高等代数例题

第一章 多项式

1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有231x mx x px q +-++

2．45P 7 设3

2

()(1)22f x x t x x u =++++，3

()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、

u 的值。

3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3

x px q ++有重根的条件。

5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x -

6．46P 25 证明：如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1n

x -在复数域内和实数域内的因式分解。

8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？

9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。求证：

11((),())((),())f x g x f x g x =。

10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ； （2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最

小公倍式。证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()()

[(),()]((),())

f x

g x f x g x f x g x =

。

11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2m

n f x x

x =+-所得余式为 。

12． 求证：如果()d x |()f x ，()d x |()g x ，且()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与

()g x 的一个最大公因式。

13． 14

3

4141)g( , 21212321)(23423456

-+--=+--+--

=x x x x x x x x x x x x f 求())(),(x g x f 。 14． 设22()(1)

21m

n f x x x x =+--- (m ,n 是正整数),2()g x x x =+ 。证：()g x |()f x 。

第二章 行列式

1．96P 5 如果排列12

1n n x x x x -的逆序数为k ，排列121n n x x x x -的逆序数是多少？

2．97P 8 （3）

00100

200

100

00

0n n

-

3．97P 10 按行列式的定义计算 212111()32

11

11

x

x x f x x

x

-=

4．97P 12 设 2121

1

112

111

1

11

()1n n n n n n x x x a a a P x a a a ------=

，其中121,,,n a a a -是互不相同的数。

（1）由行列式的定义，说明()P x 是一个(1)n -次多项式； （2）由行列式性质，求()P x 的根。

5．98P 14 11

11111

1122

22

22

2

2

2

2b c

c a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++

6．99P 17 （5）1234211

100

00

2200000000220

11n n n n n

n n

-------- 7．100P 18 （3）证明

1

1

001

00010

1n n αβ

αβαβ

αβαβαβ

αβ

αβ

++++-=

+-+，其中αβ≠

8．100P 18 （5）

12312

1

1111

1111

111

11

111

(1)1

1

1

11n

n i i

n

a a a a a a a a =+++=++∑

，其中120n a a a ≠。

9．设1α、2α、3α为三维列向量，三阶矩阵123()A ααα=的行列式A =5，则行列式

112123()()()αααααα+++ = 。

10．若四阶行列式D 的第二列的元素依次是1- ，2 ，0 ，1 ，它们的余子式分别为5 ，3 ，7- ,4 ，

则D = 。

11． 若()f x =

2

123

2221222333324535

4435743

x x x x x x x x x x x x x

x x x ---------------，则()f x =0的根的个数为 【 】

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

12．计算行列式D n = 1231

23

1

231

2

3

n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a λ

λλλ

++++

13．求 D n +1 =

b

a a a a a a a a n

n

32

1

3211

0001000010

0001 的值。

14．计算n 阶行列式21000001

21

00

00012100000001210

1

2

n D -----=

---