高等代数例题全部

高等代数例题
第一章 多项式
1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有231x mx x px q +-++
2．45P 7 设3
2
()(1)22f x x t x x u =++++，3
()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、
u 的值。

3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3
x px q ++有重根的条件。

5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x -
6．46P 25 证明：如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1n
x -在复数域内和实数域内的因式分解。

8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？
9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。

求证：
11((),())((),())f x g x f x g x =。

10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ； （2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。

我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最
小公倍式。

证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()()
[(),()]((),())
f x
g x f x g x f x g x =。

11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2m
n f x x
x =+-所得余式为 。

12． 求证：如果()d x |()f x ，()d x |()g x ，且()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与
()g x 的一个最大公因式。

13． 14
3
4141)g( , 21212321)(23423456
-+--=+--+--
=x x x x x x x x x x x x f 求())(),(x g x f 。

14． 设22()(1)
21m
n f x x x x =+--- (m ,n 是正整数),2()g x x x =+ 。

证：()g x |()f x 。

第二章 行列式
1．96P 5 如果排列12
1n n x x x x -的逆序数为k ，排列121n n x x x x -的逆序数是多少？
2．97P 8 （3）
00100
200
100
00
0n n
-
3．97P 10 按行列式的定义计算 212111()32
11
11
x
x x f x x
x
-=
4．97P 12 设 2121
1
112
111
1
11
()1n n n n n n x x x a a a P x a a a ------=
，其中121,,,n a a a -是互不相同的数。

（1）由行列式的定义，说明()P x 是一个(1)n -次多项式； （2）由行列式性质，求()P x 的根。

5．98P 14 11
11111
1122
22
22
2
2
2
2b c
c a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++
6．99P 17 （5）1234211
100
00
2200000000220
11n n n n n
n n
-------- 7．100P 18 （3）证明
1
1
001
00010
1n n αβ
αβαβ
αβαβαβ
αβ
αβ
++++-=
+-+，其中αβ≠
8．100P 18 （5）
12312
1
1111
1111
111
11
111
(1)1
1
1
11n
n i i
n
a a a a a a a a =+++=++∑
，其中120n a a a ≠。

9．设1α、2α、3α为三维列向量，三阶矩阵123()A ααα=的行列式A =5，则行列式
112123()()()αααααα+++ = 。

10．若四阶行列式D 的第二列的元素依次是1- ，2 ，0 ，1 ，它们的余子式分别为5 ，3 ，7- ,4 ，
则D = 。

11． 若()f x =
2
123
2221222333324535
4435743
x x x x x x x x x x x x x
x x x ---------------，则()f x =0的根的个数为 【 】
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
12．计算行列式D n = 1231
23
1
231
2
3
n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a λ
λλλ
++++
13．求 D n +1 =
b
a a a a a a a a n
n
32
1
3211
0001000010
0001 的值。

14．计算n 阶行列式21000001
21
00
00012100000001210
1
2
n D -----=
---
第三章 线性方程组
1．154
P 7 （3）解线性方程组123
423412423
4
2344331733
x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪
⎨++=⎪⎪-++
=-⎩
2．155P 6 设123,,ααα线性无关，证明12αα+，23αα+，31αα+也线性无关。

3．155P 8 设12,,
,s ααα的秩为r ，12,,,r i i i ααα是12,,
,s ααα中的r 个向量，使得12,,,s ααα中
的每个向量都可以被它们线性表示，证明12,,,r i i i ααα是12,,
,s ααα的一个极大线性无关组。

4．156P 12 证明：如果向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示，那么（Ⅰ）的秩不超过（Ⅱ）的秩。

5．157P 19 （1） λ取什么值时下列线性方程组有解，并求解：1
231
1
1
21
1
1
1
x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪
++
=
⎨⎪+
+=⎩ 6．157
P 22 ,a b 取什么值时，线性方程组1234512
3
452
34512
34
5
132322635433x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x b
++
++=⎧⎪++
+
-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩
有解？在有解的情形，求一般解。

7．159P 1 设向量β可以经向量组12,,
,r ααα线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是
12,,,r ααα 线性无关。

8．159P 4 已知两向量组有相同的秩，且其中之一可被另一个线性表示，证明：这两个向量组等价。

9．159
P 7 线性方程组111
1221211
22221,11
1,22
1,000
n n n n
n n n n n
a x a x a x a x a x a x a x a x a x ---+
++
=⎧⎪+++
=⎪⎨⎪⎪+
++=
⎩
的系数矩阵为11
121212221,11,2
1,n n n n n n a a a a a a A a
a a ---⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
设i M 是矩阵A 中划去第i 列剩下的(1)(1)n n -⨯-矩阵的行列式。

（1） 证明：112(,,
,(1))n n M M M ---是方程组的一个解；
（2） 如果A 的秩为1n -，那么方程组的解全是112(,,
,(1))n n M M M ---的倍数。

10．求1α, 2α, 3α,4α 的一个极大线性无关组，并将其它向量用极大线性无关组线性表示： )4,3,2,0,1(1-=α ，)24,15,10,1,6(2-=α, )34,0,12,1,7(3-=α, )1,0,6,4,1(4--=α 11．设四()11,
2,0α=，2(1,2,3)a a α=+-，3(1,22)b a b α=---+，(1,3,3)β=-。

讨论a 、b 为何值时
（1） β不能由1α,2α,3α 线性表示；
（2） β可由1α,2α,3α 唯一地线性表示，并求出表示式；
（3） β可由1α,2α,3α 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。

12．维向量,23201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=32112α是非齐次线性方程组AX =B 的两个解， 则导出组AX =0的一个非零解为 。

13．设1α,2α,…，s α是齐次线性方程组0AX =的基础解系，向量β不是0AX =的解，
即0A β≠。

证明：β，1βα+，2βα+，…，s βα+线性无关。

14．若12,,
,s γγγ是非齐次线性方程组AX β=（0β≠）的s 个解，则1122s s t t t γγγ++
+是AX β=
的解的充要条件是121s t t t +++=．
15． 设整系数方程组
1
n
ij
j i j a
x b ==∑，1,2,,i n =，对任何1b ，2b ，…，n b 均有整数解。

求证：方程组的系数矩阵()ij A a =可逆，且1A =±．
第四章 矩阵
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，
则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为 【 】
(A) 010100101⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭ (B)
010101001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 010100011⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 011100001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
2．设n （2n >）阶非奇异矩阵A 的伴随矩阵是A *，则 【 】 (A) ()A **
=1
n A
A - (B) ()A ** =1
n A
A + (C) ()A ** =2
n A
A - (D) ()A ** =2
n A
A +
3．设n 阶矩阵A 与B 等价（即A 经初等变换可变为B ），则必须 【 】 (A) 当(0)A a a =≠时，B a = (B) 当(0)A a a =≠时，B a =- (C) 当0A ≠时，0B = (D) 当0A =时，0B = 4．设A 为三阶方阵,|A |a =；B 为二阶方阵,|B |b = (,a b 都不等于零),则
B 300
2A
等于 【 】 (A) 6ab - (B) 6ab (C) 72ab - (D) 72ab
5．设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则 【 】 (A) 当m n >时，必有0AB ≠ (B) 当m n >时，必有0AB = (C) 当n m >时，必有0AB ≠ (D) 当n m >时，必有0AB =
6．设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是 【 】 (A) BA AB - (B) 2
)(AB (C) BA AB + (D) BAB
7．设A 、B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵，则必有 【 】 (A) A 的列向量线性相关，B 的行向量线性相关 (B) A 的列向量线性相关，B 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性相关，B 的行向量线性相关 (D) A 的行向量线性相关，B 的列向量线性相关
8．设α为3维列向量，若111111111αα-⎛⎫
⎪'=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
，则αα'= 。

9．A =010100001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
， P 为三阶可逆矩阵， 1B P AP -=，则20122
2B A -= 。

10．设A =201030102⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，()f x =32
2744x x x -++ ，求()f A
11．设A 为4×3矩阵，102020103B ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，若()r A =2，则()r AB = 。

12．已知方阵A 满足 0322
=+-E A A ，则=+-1
)2(E A 。

13．设E 为n 阶单位矩阵，求2n 阶矩阵E
E A E E ⎛⎫=
⎪-⎝⎭
的逆矩阵1
A -。

14．设A 、
B 分别是s n ⨯和n m ⨯矩阵，若0AB =，求证()()r A r B n +≤。

15．设n （2n ≥）阶矩阵A 的伴随矩阵是A *，求证：1
n A A
-*
=。

16．设n （2n ≥）阶矩阵A 的伴随矩阵是A *
，求证：()()1
()10()1
n r A n r A r A n r A n *=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩。

17*
．设A 、B 分别是s n ⨯和n m ⨯矩阵，求证()()()r AB r A r B n ≤+-。

18*
．设A 、B 分别是m n ⨯和n m ⨯矩阵，m n ≥，λ是非零数，求证：
m n m n E AB E BA λλλ--=-。

第五章 二次型
1．求三元二次型()112312323102(,,),,020040x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪
=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
的矩阵。

2．两个矩阵的秩相等是它们合同的 条件。

3．用配方法求二次型222
1231231213(,,)2726f x x x x x x x x x x =-+-+的标准形。

4. 用初等变换法求下列二次型的标准形，并求非退化的线性变换⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y C x x x ：
（1）22
12311213233(,,)24223f x x x x x x x x x x x =+--+
（2）3221313,2,124)(x x x x x x x x x f -+-=
5. 设A 为n 级实对称矩阵， A 正定的充分必要条件是 【 】
(A) 存在实n 维列向量0X ≠，使0X AX '> (B) 对任意的所有分量都不为零的实n 维列向量X ，都有0X AX '> (C) A 的主对角线上的元素0ii a > ，1,2,,i n =
(D) 存在n 级正定矩阵C ，使A 2C =
6．矩阵A 是正定的，下列结论错误的是 【 】 (A) A 的主对角元全为正数 (B) A 的元素全为正数 (C) A 的特征值全为正数 (D) A 的顺序主子式全为正数
1. 在实数域上，下列矩阵中，与132A -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
合同的是 【 】 (A) 21
5⎛⎫
⎪- ⎪
⎪-⎝
⎭ (B) 13
2⎛⎫
⎪ ⎪
⎪⎝⎭ (C) 132-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ (D) 132-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
7．设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---122241211 ，B =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--63132010
1 。

A 、B 这两个矩阵中，不正定的是 。

8．全体n 元复二次型按等价分类，共分为多少类，全体n 元实二次型按等价分类，共分为多少类？ 9．设A 、B 是两个n 级正定矩阵，求证AB 也正定的充要条件是AB BA =。

10．设A 、B 分别为m 级和n 级正定矩阵。

证明：m n +级分块对角矩阵G ＝A B ⎛⎫
⎪⎝⎭
正定。

11．判断实二次型123(,,)f x x x =222
123121323222222x x x x x x x x x ++---是否正定。

下述方法：“对实二次型123(,,)f x x x =21x +22x +2
3x -12x x -13x x -23x x 配方后变形为：123(,,)f x x x =222122331()()()x x x x x x -+-+-
由此得到123(,,)f x x x 的规范形：
222
123123(,,)f x x x y y y =++，从而判定123(,,)f x x x 正定” 是否正确（说明理由）？
若不正确，给出正确解答。

11*
．设n 为偶数，A *
为A 的伴随矩阵。

证明：若A *
为n 阶正定矩阵， 则A 是正定矩阵。

12*．设
11
n n
ij i
j
i j a x x
==∑∑ (,1,)ij ji a a i j n =≤≤为正定二次型，证明：
121
11121122
212221
2
0(,,
,)n n
n
n n
n n nn
y y y y a a a f y y y y a a a y a a a =为负定二次型。

第六章 线性空间
1．判断下列命题正确与否：
(1) 设P 是数域，集合121(,,
,)1n
n
n i i V x x x P
x =⎧
⎫=∈=⎨⎬⎩
⎭
∑按照向量的加法和数乘法构成P 上的线性空间。

【 】
(2) 设P 是数域，集合121(,,
,)0n
n
n i i V x x x P
x =⎧
⎫=∈=⎨⎬⎩
⎭
∑按照向量的加法和数乘法构成P 上的线性空间。

【 】
(3) 设,R C 分别是实数域和复数域 , ,,,a b V a b c d C c d ⎧⎫
⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
， V 关于矩阵的加法、数乘法构成R
上的线性空间，维4V =。

【 】 (4) 1V 、2V 是有限维线性空间V 的子空间，若12dim dim dim V V V +=，则12V V V =⊕
2．4
R 的子空间 },),,,{(43214321x x x x R x x x x x W i ===∈=的维数是 。

3．向量⎪⎪⎭⎫
⎝⎛d b c a 关于基1e =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001，2e =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010，3e =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0100，4e =⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛2100 的坐标是 。

4．设基1α，2α，3α到基1β，2β，3β的过渡矩阵102221010A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，
若α在基1β，2β，3β下的坐标为()1,0,0，求α在基1α，2α，3α下的坐标。

5．设12,,
,n ααα是n 维线性空间V 的一个基, 12j j βααα=+++ ，1,2,
,j n = 。

向量组12,,,n βββ是否是V 的一个基？（说明理由）若是，求 基 12,,
,n ααα 到 基
12,,,n βββ 的过渡矩阵A 。

6．设P 是数域, 线性空间4[]P x =2
3
0123{,0,1,2,3}i a a x a x a x a P i +++∈=的子空间
4{()[]()()}W f x P x f x f x =∈-=，求维W 。

7．求n n P ⨯中全体对称矩阵作成的数域P 上的线性空间W 的维数。

8．W 是实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的线性空间，21A ωω⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，12ω=，
求维W 。

9．设T 是线性空间V 中由基n ααα ,,21到基n βββ ,,21的过渡矩阵，则T 的第j 列是 【 】 (A) j α关于基n ααα ,,21的坐标 (B) j β关于基n ααα ,,21的坐标 (C) j α关于基n βββ ,,21的坐标 (D) j β关于基n βββ ,,21的坐标
10．若1V 、2V 是n 维线性空间V 的两个子空间，则下列结论正确的是 【 】 (A) 1V ∩2V 不一定是V 的子空间 (B) 1V ∪2V 一定不是V 的子空
(C) 当12dim()V V n +=时，12V V V += (D) 当12dim dim V V n +=时，12V V V += 11．设向量组()1,
0,2,1α=，()22,0,1,1α=，()33,0,3,0α=；()11,1,0,1β=，
()24,1,3,1β=。

1123(,,)V L ααα=，212(,)V L ββ=，求
（1）12V V +的维数及一组基； （2）1
2V V 的维数及一组基。

12．设P 是数域，n n
A P ⨯∈，求证：集合{()0}n n
W B K
tr AB ⨯=∈=构成n n P ⨯的子空间。

13．{}{}
12,, ,, n n
n n n n V K V A A K A A V B B K B B ⨯⨯⨯''==∈==∈=-，证明：12V V V =⊕
第七章 线性变换
1．在3R 的如下对应法则中，为线性变换的是 【 】 (A) ),(),,(21321x x x x x =σ (B) ),,1(),,(321321x x x x x x +=σ
(C) ),,(),,(211332321x x x x x x x x x +++=σ (D) ),,(),,(232221321x x x x x x =σ
2.设σ是线性空间V 的线性变换，下列结论错误的是 【 】 (A)σ将V 中线性相关的向量变为线性相关的向量 (B)σ将V 中线性无关的向量变为线性无关的向量 (C)σ为满射的充要条件是Im()σ＝V (D)σ为单射的充要条件是()Ker σ＝{}0 3．设V 是数域P 上的四阶反对称矩阵的全体构成的线性空间，σ∈()L V ，σ关于V 的一个
基的矩阵的阶数是 【 】 (A) 4 (B) 6 (C) 10 (D) 16
4．设σ是n 维线性空间V 的一个线性变换, σ关于V 的两个基的矩阵分别为A 和B ，则A 与B 【 】 (A) 相等 (B) 合同 (C) 相似 (D) 无关系
5．有限维线性空间V 的线性变换σ在的任意一个基下的矩阵都相同的充要条件是 【 】 (A) σ是可逆变换 (B) σ是零变换 (C) σ是单位变换 (D) σ是数乘变换 6．设A 是数域P 上的n 维线性空间V 上的线性变换，因为dim ()dimIm()dim Ker A A V +=，所以
()Im()V Ker A A =⊕ 【 】
7．设 σ、τ是数域P 上的三维线性空间3
P 的两个线性变换，3P α∈。

若()σα=（1，－1，3），
()τα=（－1，－2，0），则(2)()στα-= 。

8．若线性空间3
R （R 是实数域）的线性变换T ：12312231(,,)(2,,)T x x x x x x x x =-+，求T 在基
1(1,0,0)ε=，(0,1,0)ε=，3(0,0,1)ε=下的矩阵。

9．线性空间3P 的线性变换σ：123(,,)x x x ∀∈3
P ，σ123(,,)x x x =12121(,,)x x x x x +-，求σ的秩及零度。

10.数域P 上的线性空间4P 的线性变换σ为：
123412233441(,,,)(,,,)x x x x x x x x x x x x σ=----
（1）求σ在基()11,0,0,0ε=，()20,1,0,0ε=，()30,0,1,0ε=，()40,0,0,1ε=下的矩阵； （2）分别求σ的值域Im()σ和核()Ker σ的一个基。

11．在数域P 上次数小于n 的一元多项式空间[]n P x 中，线性变换(())()D f x f x '=，求D 的特征多项式，
D 的特征值，D 的核。

12．设A 为三阶矩阵，E 为三阶单位矩阵。

若0E A +=，20E A +=，30E A +=，则
4E A += 。

13． 设三阶矩阵A 满足20A E +=，30A E +=，40A E -=，则5A E *
+= 。

14．若三阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为12、13、1
4，则行列式
10
B E E
A
--= 。

15．矩阵A =a b c d ⎛⎫
⎪⎝⎭
，1ad bc -=，2a d +> 。

求证：A 在实数域R 上可以对角化。

16*
．设A 是n 阶方阵，求证：
（1）A 的特征根全是零的充分必要条件是存在自然数m ，使0m A =； （2）若0m A =，则1A E +=。

17*
．设A 为n 阶方阵，且A 的特征值为n 2,,4,2⋅⋅⋅,证明： n
n A )1(||+≤
18*．设T 是线性空间V 上的线性变换，Z 是V 的非零向量。

若向量组Z ，TZ ，2T Z ，…，1
m T
Z -线性
无关，而m
T Z 与它们线性相关。

证明：子空间2
1,,,
,m W Z TZ T Z T Z -=<>是T 的不变子空间，并
求T 在基Z ，TZ ，2T Z ，…，1
m T
Z -下的矩阵。

第八章 λ—矩阵
1. 三阶矩阵A 的最小多项式()m λ=2
(1)(1)λλ-+，A 的Jordan 标准形为 【 】
(A) 10
0010001⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭ (B )
110010001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (C ) 11
0010001-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ (D ) 110010001-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
2．若5级矩阵A 的Jordan 标准形J ＝122(2)(2)(2)J J J ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
，求A 的最小多项式()m λ（其中0()r J λ是主对角元素为0λ的r 级Jordan 块）。

3．求2001
41240A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪--⎝⎭
的Jordan 标准形J 。

4．若三角形矩阵A 与幂零矩阵相似，求A 的对角线上的元素。

第九章 欧氏空间
1．判断下列命题正确与否：
（1） 在n 维欧氏空间中，度量矩阵为单位矩阵的基必是标准正交基。

【 】 （2） 对称变换在任意一个基下的矩阵都是对称矩阵 【 】 （3） 欧氏空间中保持两个向量夹角不变的线性变换是正交变换 【 】 2．()12,a a α=，()12,b b β=为实空间2
R 中的任意两个向量，p 、q 是两个实数，若2
R 对内积
()1122,pa b qa b αβ=+作成欧氏空间，求p 、q 的范围。

3．在实空间[]n R x 中定义内积为：((),())f x g x 1
1
()()f x g x dx -=
⎰。

求2x 与x 的夹角θ。

4. 设R 是实数域，在实空间{}
V R =上的全体二级矩阵中定义内积为：(,)A B =迹()AB ',求
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01211012与的夹角θ。

5．若1111111111111111k ⎛⎫
⎪--
⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭
是正交矩阵，求k 。

6．求齐次线性方程组1
4
234
1
2
3
00
x x x x x x x x -=⎧⎪
+-+=⎨
⎪+-=⎩ 的解空间W 的正交补W ⊥ 的一个标准正交基。

7． 设σ既是3维欧几里得空间V 的第一类正交变换，又是对称变换，
则下列矩阵中，能成为σ在V 的一个标准正交基下的矩阵的是 【 】
(A) cos sin 0sin cos 0001θθθθ-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)
2
1011000
1-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪⎝
⎭
(C) 0
1010000
1⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭ (D) 0
1010000
1-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝
⎭
8． 设σ是n 维欧氏空间V 的线性变换，下列结论正确的是 【 】
(A) 若σ是正交变换 则 σ在V 的任意一个基下的矩阵都是正交矩阵
(B ) 若σ是对称变换，则 σ在V 的任意一个基下的矩阵都是对称矩阵 (C ) 若σ是正交变换，则 σ可以对角化 (D) 若σ是对称变换， 则 σ可以对角化
9．三元实二次型123(,,)f x x x 的特征值为3、－2、0，则其规范形为 。

10．设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=122212221A ，求正交矩阵T ，使AT T '成对角形。

11．设121,,
,n ααα-是n 维欧氏空间V 中的1n -个线性无关的向量。

若1i βα⊥，2i βα⊥ ，
1,2,
,1i n =-，求证：1β，2β线性相关。

12． 对n 维欧氏空间n
R （内积按通常定义(,)αβαβ'=），线性变换A ： ()A A αα=，n
R α∀∈，
n n A R ⨯∈。

证明：
（1）若A 为正交矩阵，则A 为正交变换； （2）若A 为对称矩阵，则A 为对称变换。

13．设A 为m n ⨯实 矩阵。

求证：A A '正定的充分必要条件是秩A n =。

14*
．证明：不存在正交矩阵A 、B ，使得2
2
A A
B B =+
15*．设,T S 是n 维欧氏空间V 上的两个线性变换，且对于V 中任意向量,,αβ均有
(,)(,)T T S S αβαβ=，证明：1V TV =与2V SV =同构。