ppt机器人正逆运动学ppt课件
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ppt机器人正逆运动学解析
将上面两个方程两边平方相加，并利用和差化积公式得到
S2 S23 C2C23 cos3
于是有：
C3
(
pxC1
py S1
C234a4 )2 ( pz 2a2a3
S234a4 )2
a22
a32
已知 S3 1 C32
于是可得到：
3
arctan
S3 C3
依次类推，分别在方程2.19两边左乘A1~A4的逆，可得到
O4
x2
z5
y5
x4
O5
y4
z2
y2
关节3
A1 连杆2
O2 坐标系2
x5
o3 , o4 , o5重合 d4 d5 0
关节2 O1
z1
坐标系1
y1 连杆1
x1
d2
关节1 坐标系0
ai—沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到Oi 的距离 αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至Oi –1 坐标
系原点的距离 θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
连杆0
z0 y0
d1 x0
O0
解：
例2、PUMA560运动学方程（六个自由度，全部是旋转关节） 关节变量都是θ
θ2
θ1
θ3
θ5
θ4 θ6
PUMA560机器人的连杆及关节编号
A1
O1 O0
A2
为右手坐标系，Yi轴：按右手定则
C234a4 ) S234a4 )
进而可得：
4 234 2 3
机器人技术基础课件第三章-机器人运动学精选全文完整版
03T 01T12T 23T
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T 12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含 有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。 其中三个自由度用于规定位置，而另外三个自由度用 来规定姿态。
8
3.1.1 连杆坐标系
机械手的运动方向
机器人手部的位置和姿态也可以
用固连于手部的坐标系{B}的位姿
来表示
关节轴为ZB， ZB轴的单位方向 矢量α称为接近矢量，指向朝外。
(1) 坐标系｛i-1｝绕xi-1轴转角αi-1，使Zi－1与Zi平行，算子为Rot(x, αi-1) ； (2) 沿Xi-1轴平移ai-1，使Zi－1和Zi共线， 算子为Trans(ai-1,0,0)； (3)绕Zi轴转角θi; 使得使Xi－1与Xi平行, 算子为Rot(z,θi)；
(4) 沿Zi轴平移di。使得i-1系和i系重合, 算子为Trans(0,0,di)。
3.2.1 机器人正运动学方程
连杆 i 1
2
3
连杆长 度ai-1
0
a0
a1
连杆偏距 di 0
0
d2
连杆扭角 αi-1 00
00
-900
关节角 θi
θ1(00) θ2(00) θ3(00)
3.2.1 机器人正运动学方程
该3自由度机器人的运动学方程为：
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T 12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含 有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。 其中三个自由度用于规定位置，而另外三个自由度用 来规定姿态。
8
3.1.1 连杆坐标系
机械手的运动方向
机器人手部的位置和姿态也可以
用固连于手部的坐标系{B}的位姿
来表示
关节轴为ZB， ZB轴的单位方向 矢量α称为接近矢量，指向朝外。
(1) 坐标系｛i-1｝绕xi-1轴转角αi-1，使Zi－1与Zi平行，算子为Rot(x, αi-1) ； (2) 沿Xi-1轴平移ai-1，使Zi－1和Zi共线， 算子为Trans(ai-1,0,0)； (3)绕Zi轴转角θi; 使得使Xi－1与Xi平行, 算子为Rot(z,θi)；
(4) 沿Zi轴平移di。使得i-1系和i系重合, 算子为Trans(0,0,di)。
3.2.1 机器人正运动学方程
连杆 i 1
2
3
连杆长 度ai-1
0
a0
a1
连杆偏距 di 0
0
d2
连杆扭角 αi-1 00
00
-900
关节角 θi
θ1(00) θ2(00) θ3(00)
3.2.1 机器人正运动学方程
该3自由度机器人的运动学方程为：
课件
工业机器人正运动和逆运动学LOREM IPSUM DOLOR1工业机器人正运动和逆运动学为了方便研究使工业机器人的运动控制问题简单易懂，我们需要研究机器人 末端执行器（工具）位姿。
2工 业机器人正运动和逆运动学为了使问题简单易懂，先以二自由度的机器人手爪为例 来说明。
图 5⁃14所示为二自由度 机器人手部的连杆机构。
由于 其运动主要由连杆机构来决定，所以在进行机器人运动学分析 时,大多数是把驱动器及减速器 的元件去除后来进行分析的。
图5-14 二自由度机械手的正运动学工业机器人正运动和逆运动学图 5⁃14中的连杆机构是两杆件通过转动副连接的关节结构， 通过确定连杆长 度了l1、l2 以及关节角θ1、θ2，可以定义该连杆机构。
在分析机器人末端手爪的运动时， 若把作业看作主要依靠机器人手爪来实现 的，则应考虑手爪的位置（图中点Ｐ的位置）。
一般场合中，手爪姿势也表示手指位置。
从几何学的观点来处理这个手爪位 置与关节变量的关系称为运动学(Kinematics)。
工业机器人正运动和逆运动学引入矢量分别表示手爪位置r 和关节变量θ， 即,rx y 1 2 因此，可以利用上述两个矢量来描述图 5-13 所示的二自由度机器人的运动学问题工业机器人正运动和逆运动学手爪位置r在x，y轴上的分量， 按几何学可表示为x l1 cos1 l2 cos(1 2 ) y l1 sin1 l2 sin(1 2 )(5 1) (5 2)工业机器人正运动和逆运动学用矢量表示这个关系式， 其一般可表示为r f ( )(5 - 3)式中，ｆ表示矢量函数。
已知机器人的关节变量θ，求其手爪位置 ｒ 的 动学问题称为正运动学(directkinematics)。
式(5-3)称为运动方程式。
工业机器人正运动和逆运动学如果给定机器人的手爪位置ｒ，求能够到达这个预定位置的机 关节变量θ的运动学问题称为逆运动学(inversekinematics)。
第四章机器人学逆运动学方程ppt课件
这里 其中
f11 = C1 x＋S1 y
f12 = - z f13 = - S1 x＋C1 y
(4.10) (4.11) (4.12)
x =[ nx ox ax px ]T， y =[ ny oy ay py ]T， z =[ nz oz az pz ]T 由第三章得到的斯坦福机械手运动学方程式（3.48）为
同样比较式（4.48）等号两边矩阵的第2行第1列和第2行第2列元素可知
sin f12 (n)
（4.64）
cos f12 (o)
（4.65）
或
由此可得
sin sin nx cos ny cos sin ox cos oy
tan
1
sin sin
n o
x x
cos ny cos oy
d3 S2 C1 px S1 py C2 pz
（4.24） （4.25）
4
tan 1
C2
S1ax C1ay C1ax S1ay S2az
（4.26）
5
tan 1
C4
C2
C1ax
S1ay S2az S2 C1ax S1ay
S4 S1ax C2az
C1ay
由式（4.36）和式（4.43）可解出Ψ角
cos1 nz
sin
（4.43） （4.44） （4.45）
这里需要指出的是，在我们采用式（4.43）~式（4.45） 来计算θ、φ、Ψ时都是采用反余弦函数，而且式（4.43）和 式（4.45）的分母为sinθ，这会带来如下问题：
1）由于绝对值相同的正负角度的余弦相等，如cosθ＝ cos（-θ），因此不能确定反余弦的结果是在那个象限；
由于机械手各关节变量的相互耦合，后面计算的关节变量与前 面的关节变量有关，因此当前面关节变量的计算结果发生变化 时，后面关节变量计算的结果也会发生变化，所以逆运动方程 的解不是唯一的，我们应该根据机械手的组合形态和各关节的 运动范围，经过多次反覆计算，从中选择一组合理解。由此可 见，求解机械手的逆运动方程是一个十分复杂的过程。
机器人位置运动学(上课用)110页PPT
6
P
10
4
2
3
和
P
5
2
0
13
接下来我们将方向向量变为单位向量。我们只需把每一个 分量都除以三个分量平方和的开方，最终的答案是：
0 .487
P
0
.
811
0 .324
0
14
§2.3.3 坐标系在固定参考坐标系原点的表示
在上一节中我们得知，每一个向量都可由它们所在参考坐标 系中的三个分量表示，我们不妨用三个相互垂直的单位向量来
注意：这就是矩阵表示法中方向向量的表示方法。
接下来我们看这样一个例子:
12
∧∧∧
例2.1 有一个向量P=3i+5j+2k,按如下要求将其表示 成矩阵形式：
（1）比例因子为2
（2）将它表示为方向的单位向量
解：该向量可以表示为比例因子为2的矩阵形式，当 比例因子为0时，则可以表示为方向向量，结果如下：
17
在上式中，前三个向量是w=0的方向向量，表示该坐标系三 个单位向量n, o, a的方向，而第四个w=1的向量表示该坐标 系原点相对于参考坐标系的位置。与单位向量不同，向量P 的长度十分重要，因而使用比例因子为1。
2
§2.1 引言
位置运动学
正运动学∶ 关节变量
位姿
逆运动学∶ 位姿
关节变量
3
假设：
假设机器人末端是一个平板面，并称其为“手”或“端面 ”。只有在必要时，才将末端执行器加到机器人的末端来确 定其位姿。
说明：
实际上，机械手型机器人没有末端执行器，用户可根 据实际应用为其附加不同末端执行器。而末端执行器的大 小和长短决定机器人末端位置。
我们可以这样来表示
电机拖动技术基础第三章机器人的运动学PPT课件
第三章 机器人的运动学
►3.1 刚体的位姿描述 ►3.2 坐标变换 ►3.3 齐次坐标和齐次变换 ►3.4 变换方程和欧拉角 ►3.5 机器人运动学的正问题和逆问题
3.1 刚体的位姿描述
一、位姿的定义
刚体参考点的位置（坐标系的位置）和刚体的姿态统称为刚体的位姿。
(为描述机器人本身的各个连杆之间.机器人和环境之间的运动关系,将
n
n o a
手爪的方位由旋转矩阵R规定。
R n
o
a
手爪的位置由位置矢量 p
规定。
代表手p 爪坐标系的原点。
则手爪的位姿可由四个矢量
来 来描述。
noa p
记为:
T n o a p
3.2 坐标变换
定义：由于空间中任意点P在不同坐标系中的描述不同，所以需要 研究从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述之间的变换关，通 常称为坐标变换。
{S}代表工作站(操作台)坐标系(工作站框)
{G}代表目标坐标系(目标框) 它们之间的位姿关系用相应的齐次变换来描述。图3-6 机器人与环境坐标系
B S
T描述工作站框{S}相对于基座{B}的位姿，
S G
T描述目标框{G}相对于工作站{S}的位姿。
对物体进行操作时(搬运或装配机器人)，工具框{T}相对目标框{G} 的位姿 直接GT T 影响操作效果。 是机GT T器人控制和轨迹规划的对象。
=
相对于固定坐标系运动 相对于活动坐标系运动
2.变换过程的可逆性
齐次坐标变换过程是可逆的. 若有 ，则逆变换
。
所以有 I44BATABT A B0R BP 1AO BA0R AP 1BO
A BR0BAR
A BRAPB1OBPAO
►3.1 刚体的位姿描述 ►3.2 坐标变换 ►3.3 齐次坐标和齐次变换 ►3.4 变换方程和欧拉角 ►3.5 机器人运动学的正问题和逆问题
3.1 刚体的位姿描述
一、位姿的定义
刚体参考点的位置（坐标系的位置）和刚体的姿态统称为刚体的位姿。
(为描述机器人本身的各个连杆之间.机器人和环境之间的运动关系,将
n
n o a
手爪的方位由旋转矩阵R规定。
R n
o
a
手爪的位置由位置矢量 p
规定。
代表手p 爪坐标系的原点。
则手爪的位姿可由四个矢量
来 来描述。
noa p
记为:
T n o a p
3.2 坐标变换
定义：由于空间中任意点P在不同坐标系中的描述不同，所以需要 研究从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述之间的变换关，通 常称为坐标变换。
{S}代表工作站(操作台)坐标系(工作站框)
{G}代表目标坐标系(目标框) 它们之间的位姿关系用相应的齐次变换来描述。图3-6 机器人与环境坐标系
B S
T描述工作站框{S}相对于基座{B}的位姿，
S G
T描述目标框{G}相对于工作站{S}的位姿。
对物体进行操作时(搬运或装配机器人)，工具框{T}相对目标框{G} 的位姿 直接GT T 影响操作效果。 是机GT T器人控制和轨迹规划的对象。
=
相对于固定坐标系运动 相对于活动坐标系运动
2.变换过程的可逆性
齐次坐标变换过程是可逆的. 若有 ，则逆变换
。
所以有 I44BATABT A B0R BP 1AO BA0R AP 1BO
A BR0BAR
A BRAPB1OBPAO
机器人学导论--ppt课件可编辑全文
关节变量
ppt课件
2
1.2 描述：位置、姿态和坐标系
位置描述
一旦建立坐标系，就能用一
个3*1的位置矢量对世界坐标 系中的任何点进行定位。因 为在世界坐标系中经常还要 定义许多坐标系，因此在位 置矢量上附加一信息，标明 是在哪一坐标系中被定义的。
例如：AP表示矢量P在A坐标系中的表示。
BP 表示矢量P在B坐标系中的表示。
c os90
c os120 c os30 c os90
XB XA
X
B
YA
X B Z A
c os90 c os90 cos0
]
YB X A YB YA YB Z A
ZB XA
ZB
YA
ZB Z A
ppt课件
5
坐标系的变换
完整描述上图中操作手位姿所需的信息为位置和姿态。机器人学中
在从多重解中选择解时，应根据具体情况，在避免碰撞的前 提下通常按“最短行程”准则来选择。同时还应当兼顾“多 移动小关节，少移动大关节”的原则。
ppt课件
23
4 PUMA560机器人运动学反解-反变换法
❖ 由于z4 , z5, z6 交于一点W,点W在基础坐标系中的位置仅与 1,2,3
有关。据此，可先解出 1,2,3 ，再分离出 4 ,5,6 ，并逐
PUMA560变换矩阵
ppt课件
21
将各个连杆变换矩阵相乘便得到PUMA560手臂变换矩阵
06T 01T (1)21T (2 )23T (3 )34T (4 )45T (5 )56T (6 )
什么是机器人运动学正解？ 什么是机器人运动学反解？
ppt课件
22
操作臂运动学反解的方法可以分为两类：封闭解和数值解、 在进行反解时总是力求得到封闭解。因为封闭解的计算速度 快，效率高，便于实时控制。而数值法不具有些特点为。 操作臂的运动学反解封闭解可通过两种途径得到：代数解和 几何解。 一般而言，非零连杆参数越多，到达某一目标的方式也越多， 即运动学反解的数目也越多。
ppt机器人正逆运动学
迭代法
通过不断迭代和优化关节角度，逐渐 逼近满足末端执行器位置和姿态要求 的解。这种方法适用于复杂机器人结 构和动态环境下的逆运动学求解。
逆运动学应用实例
工业机器人
在工业自动化领域，逆运动学被广泛应用于机器人轨迹规划和精确控制。通过逆运动学算法，可以快速求解机器 人的关节角度，实现精确的定位和姿态控制。
技术发展趋势
深度学习
01
利用深度学习技术，使机器人能够更好地理解和识别环境，提
高自主导航和避障能力。
强化学习
02
通过强化学习算法，使机器人能够在实践中不断学习和优化，
提高任务执行效率。
模块化设计
03
采用模块化设计理念，使机器人能够根据不同任务需求进行快
速重构和升级。
未来挑ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与机遇
安全问题
随着机器人应用场景的扩 大，如何保证机器人的安 全性和可靠性成为亟待解 决的问题。
控制硬件实现
传感器选择
根据机器人运动需求，选择合适的传感器， 如编码器、陀螺仪、加速度计等。
硬件平台搭建
根据控制需求，搭建合适的硬件平台，如采 用微控制器、DSP、FPGA等。
控制软件实现
要点一
软件架构设计
设计合理的软件架构，包括主程序、中断服务程序、任务 调度程序等。
要点二
算法实现
根据优化后的算法，在软件中实现相应的控制逻辑，并进 行调试和测试。
约束条件
机器人关节角度限制、工作空间限制、动力学限制等。
常用优化算法
梯度下降法
通过迭代计算，逐步逼近最优解。
遗传算法
模拟生物进化过程，通过基因突变和自然选择寻找最优解。
粒子群优化算法
模拟鸟群、鱼群等生物群体的行为，通过个体间的相互协作寻找 最优解。
通过不断迭代和优化关节角度，逐渐 逼近满足末端执行器位置和姿态要求 的解。这种方法适用于复杂机器人结 构和动态环境下的逆运动学求解。
逆运动学应用实例
工业机器人
在工业自动化领域，逆运动学被广泛应用于机器人轨迹规划和精确控制。通过逆运动学算法，可以快速求解机器 人的关节角度，实现精确的定位和姿态控制。
技术发展趋势
深度学习
01
利用深度学习技术，使机器人能够更好地理解和识别环境，提
高自主导航和避障能力。
强化学习
02
通过强化学习算法，使机器人能够在实践中不断学习和优化，
提高任务执行效率。
模块化设计
03
采用模块化设计理念，使机器人能够根据不同任务需求进行快
速重构和升级。
未来挑ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与机遇
安全问题
随着机器人应用场景的扩 大，如何保证机器人的安 全性和可靠性成为亟待解 决的问题。
控制硬件实现
传感器选择
根据机器人运动需求，选择合适的传感器， 如编码器、陀螺仪、加速度计等。
硬件平台搭建
根据控制需求，搭建合适的硬件平台，如采 用微控制器、DSP、FPGA等。
控制软件实现
要点一
软件架构设计
设计合理的软件架构，包括主程序、中断服务程序、任务 调度程序等。
要点二
算法实现
根据优化后的算法，在软件中实现相应的控制逻辑，并进 行调试和测试。
约束条件
机器人关节角度限制、工作空间限制、动力学限制等。
常用优化算法
梯度下降法
通过迭代计算，逐步逼近最优解。
遗传算法
模拟生物进化过程，通过基因突变和自然选择寻找最优解。
粒子群优化算法
模拟鸟群、鱼群等生物群体的行为，通过个体间的相互协作寻找 最优解。
机器人运动学反解-完整PPT课件
4.1.3 运动学反解
反解就是已知手爪位姿求关节变量。
正解
nx ox ax px
04T
ny
nz 0
oy oz 0
ay az 0
p
y
pz 1
01T (1) 21T (2 ) 23T (3 ) 34T
反解
反变换法是一种把关节变量分离出来从而求解的方法，也称 代数法。
c1 0 s1 0
01T
4.1.4 运动学反解的有关问题
一、解的存在性和工作空间 容易求得
x y
l1c1 l1s1
l2c12 l2s12
两自由度平面机械手
通常把反解存在的区域(如圆环)称为该机器人的工作空间。 严格地讲，工作空间分为两种：(1)灵活（工作）空间，是指机器 人手爪能以任意方位到达的目标点集合； (2)可达（工作）空间， 是指机器人手爪至少能以一个方位到达的目标点集合。
式中正，负号对应着θ3 的两种可能解。
最后求θ2： 将 pz a3s23 d4c23 a2s2 展开并整理得：
pz (a3c3 a2 d4s3)s2 (a3s3 d4c3 )c2
同样再利用三角代换容易求得θ2的四种可能解：
2 A tan 2( pz ,
k
2 x
k
2 y
pz2
)
d
c2 2
4 23
2a3a2 s23 s2
2d4a2c23s2
2a3d 4 s23c23
合并同类项并整理得：
2a2a3c3 2a2d4s3 px2 py2 pz2 d22 a32 a22 d42
令
k
( px2
py2
pz2
a22
a32
d22
反解就是已知手爪位姿求关节变量。
正解
nx ox ax px
04T
ny
nz 0
oy oz 0
ay az 0
p
y
pz 1
01T (1) 21T (2 ) 23T (3 ) 34T
反解
反变换法是一种把关节变量分离出来从而求解的方法，也称 代数法。
c1 0 s1 0
01T
4.1.4 运动学反解的有关问题
一、解的存在性和工作空间 容易求得
x y
l1c1 l1s1
l2c12 l2s12
两自由度平面机械手
通常把反解存在的区域(如圆环)称为该机器人的工作空间。 严格地讲，工作空间分为两种：(1)灵活（工作）空间，是指机器 人手爪能以任意方位到达的目标点集合； (2)可达（工作）空间， 是指机器人手爪至少能以一个方位到达的目标点集合。
式中正，负号对应着θ3 的两种可能解。
最后求θ2： 将 pz a3s23 d4c23 a2s2 展开并整理得：
pz (a3c3 a2 d4s3)s2 (a3s3 d4c3 )c2
同样再利用三角代换容易求得θ2的四种可能解：
2 A tan 2( pz ,
k
2 x
k
2 y
pz2
)
d
c2 2
4 23
2a3a2 s23 s2
2d4a2c23s2
2a3d 4 s23c23
合并同类项并整理得：
2a2a3c3 2a2d4s3 px2 py2 pz2 d22 a32 a22 d42
令
k
( px2
py2
pz2
a22
a32
d22
机器人运动学正解逆解课件
机器人力控制
在机器人力控制中，需要知道每个关节的角度变化来调整 机器人的姿态和力矩。逆解可以用于求解每个关节的角度 变化，从而调整机器人的姿态和力矩。
机器人定位
在机器人定位中，需要知道每个关节的角度变化来调整机 器人的位置和姿态。逆解可以用于求解每个关节的角度变 化，从而调整机器人的位置和姿态。
04
实现复杂运动轨迹
利用运动学正解与逆解，可以规划出 复杂的运动轨迹，满足各种应用需求 。
02
机器人运动学正解
正解的基本概念
正解是指机器人末端执行器从某一初 始位置和姿态到达目标位置和姿态所 需经过的关节角度值。
正解是机器人运动学中的基本问题， 是实现机器人精确控制和自主导航的 基础。
正解的求解方法
逆解的求解方法
01
代数法
通过建立机器人关节角度与目标点坐标之间的方程组，利用数学软件求
解方程组得到关节角度。这种方法适用于简单的机器人结构，但对于复
杂机器人结构求解过程可能较为繁琐。
02
数值法
通过迭代或搜索的方法，不断逼近目标点坐标，最终得到满足要求的关
节角度。这种方法适用于复杂机器人结构，但求解时间较长且可能存在
机器人运动学正解逆解课件
目 录
• 机器人运动学概述 • 机器人运动学正解 • 机器人运动学逆解 • 机器人运动学正逆解的对比与联系 • 机器人运动学正逆解的实例分析
01
机器人运动学概述
定义与分类
定义
机器人运动学是研究机器人末端 执行器位姿与关节变量之间的关 系的学科。
分类
根据机器人的结构和运动特性， 可以分为串联机器人和并联机器 人。
局部最优解。
03
解析法
通过几何学和代数学的方法，直接求解关节角度与目标点坐标之间的关
在机器人力控制中，需要知道每个关节的角度变化来调整 机器人的姿态和力矩。逆解可以用于求解每个关节的角度 变化，从而调整机器人的姿态和力矩。
机器人定位
在机器人定位中，需要知道每个关节的角度变化来调整机 器人的位置和姿态。逆解可以用于求解每个关节的角度变 化，从而调整机器人的位置和姿态。
04
实现复杂运动轨迹
利用运动学正解与逆解，可以规划出 复杂的运动轨迹，满足各种应用需求 。
02
机器人运动学正解
正解的基本概念
正解是指机器人末端执行器从某一初 始位置和姿态到达目标位置和姿态所 需经过的关节角度值。
正解是机器人运动学中的基本问题， 是实现机器人精确控制和自主导航的 基础。
正解的求解方法
逆解的求解方法
01
代数法
通过建立机器人关节角度与目标点坐标之间的方程组，利用数学软件求
解方程组得到关节角度。这种方法适用于简单的机器人结构，但对于复
杂机器人结构求解过程可能较为繁琐。
02
数值法
通过迭代或搜索的方法，不断逼近目标点坐标，最终得到满足要求的关
节角度。这种方法适用于复杂机器人结构，但求解时间较长且可能存在
机器人运动学正解逆解课件
目 录
• 机器人运动学概述 • 机器人运动学正解 • 机器人运动学逆解 • 机器人运动学正逆解的对比与联系 • 机器人运动学正逆解的实例分析
01
机器人运动学概述
定义与分类
定义
机器人运动学是研究机器人末端 执行器位姿与关节变量之间的关 系的学科。
分类
根据机器人的结构和运动特性， 可以分为串联机器人和并联机器 人。
局部最优解。
03
解析法
通过几何学和代数学的方法，直接求解关节角度与目标点坐标之间的关
02-课件：3.3 机器人逆运动学
从手部位姿到关节变量—运动学逆问题操作机的手臂解r -θ对于 操作机，其逆变换就是由表示手部位姿的齐次矩阵求操作机的两个关节变量。
r -θ由手坐标系到基座坐标系的齐次矩阵可以表示为21A A T H B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000100001000011000010000cos sin 00sin cos 1000r P a o n P a o n P a o n z zzz y y y y x x x x θθθθ令上面矩阵的对应元素分别相等 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθθθθθsin cos 010000cos sin 00sin cos 1001000000r r P P o o n n y x y x yx cos x r P θ=sin yr P θ=tan yx P P θ=arctan yxP P θ=所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1000010000cos sin 00sin cos 1000010000cos sin 00sin cos 1θθθθθθθθ令其中的对应元素分别相等，则可以得到cos sin x y r P P θθ=+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10000100001000110010000001000010000cos sin 00sin cos r P P o o n n y x y x y x θθθθ令关节多了则不然！其实问题很简单P xP yrθθcos xr P θ=sin y r P θ=正解：cos sin x y r P P θθ=+arctan y x P P θ=逆解：手部姿态角的确定手部的姿态可以用绕x ，y ，z 轴依次转动侧摆，俯仰和横滚获得。
),(),(),(1x y OH z x Rot y Rot T z Rot ΦΦ=Φ-),(),(),(),,(x y z z y x OH x Rot y Rot z Rot RPY T Φ⋅Φ⋅Φ=ΦΦΦ=等式左式与右式对应元素相等，最终可得()⎪⎩⎪⎨⎧=ΦΦ+Φ-=ΦΦ-ΦΦ-Φ=Φx y zz y z x z y z x z y z y z x x n n n n n o o a a /arctan )]sin cos /(arctan[)]sin cos /()cos sin arctan[(6关节操作机的手臂解6关节操作机位置运动学逆问题就是由描述手部位姿的齐次矩阵BTH 求解构成手臂的六个关节角 、 、 、 、 、 ，这一逆问题又称为手臂解。
第三章机器人运动学PPT课件
用一组关节变量(di或i)来描述。这组变量通常称为关节矢量或关节坐标，
由这些矢量描述的空间称为关节空间。
• 正向运动学：关节空间末端笛卡儿空间，单射 • 逆向运动学：末端笛卡儿空间关节空间，复射
不同的关节空间，相同的 末端笛卡儿空间
关节空间与末端笛卡儿空 间映射关系
第三章 机器人的运动学
3.1 工业机器人运动学
，它的齐
次坐标就是
，即满足Px=ωPx/ω，Py=ωPy/ω，
Pz=ωPz/ω（ω是非零整数）。可以看出，在三维直角坐标系中，
由于ω取值的不同，一个点的齐次坐标的表达不唯一。
齐次坐标不仅可以规定点的位置（ω为非零整数），还可以
用来规定矢量的方向（第四个元素为零时）。列向量
(
）表示空间的无穷远点，a，b和c称为它的方向
单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成：
xB
yB
zB
xA
yA
zA
其中：co scoxB s ,xA ()
既表示了刚体F在{A}系中的方位，也描述了{B}系在{A}系中的 姿态。
3.1.2.2 坐标变换
一、坐标平移
如图3-5，坐标系{B}与{A} 方向相同，但原点不重合。
图3-5 坐标平移
此式称为平移方程。其中 是B系中的原点在A系中的表示。
0
0
0
1
1
1
给定坐标系{A}，{B}和{C}，已知{B}相对{A}的描述为 ，
{C}相对{B}的描述为
AP A BTBP BPC BTCP APC ATCP
，则有
APA BTC BTCP
CATABTCBT
从而定义复合变换
。
同理得出：
由这些矢量描述的空间称为关节空间。
• 正向运动学：关节空间末端笛卡儿空间，单射 • 逆向运动学：末端笛卡儿空间关节空间，复射
不同的关节空间，相同的 末端笛卡儿空间
关节空间与末端笛卡儿空 间映射关系
第三章 机器人的运动学
3.1 工业机器人运动学
，它的齐
次坐标就是
，即满足Px=ωPx/ω，Py=ωPy/ω，
Pz=ωPz/ω（ω是非零整数）。可以看出，在三维直角坐标系中，
由于ω取值的不同，一个点的齐次坐标的表达不唯一。
齐次坐标不仅可以规定点的位置（ω为非零整数），还可以
用来规定矢量的方向（第四个元素为零时）。列向量
(
）表示空间的无穷远点，a，b和c称为它的方向
单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成：
xB
yB
zB
xA
yA
zA
其中：co scoxB s ,xA ()
既表示了刚体F在{A}系中的方位，也描述了{B}系在{A}系中的 姿态。
3.1.2.2 坐标变换
一、坐标平移
如图3-5，坐标系{B}与{A} 方向相同，但原点不重合。
图3-5 坐标平移
此式称为平移方程。其中 是B系中的原点在A系中的表示。
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给定坐标系{A}，{B}和{C}，已知{B}相对{A}的描述为 ，
{C}相对{B}的描述为
AP A BTBP BPC BTCP APC ATCP
，则有
APA BTC BTCP
CATABTCBT
从而定义复合变换
。
同理得出：
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§1.4 机器人正向运动学
工业机器人的正向运动学是指已知各关节的类型、相邻 关节之间的尺寸和相邻关节相对运动量的大小时，如何确 定工业机器人末端操作器在固定坐标系中的位姿。
主要包括以下内容： 1) 相对杆件的坐标系的确定； 2) 建立各连杆的模型矩阵A； 3) 正运动学算法；
D-H表示法
学习目标：1. 理解D-H法原理 2. 学会用D-H法对机器人建模
• xi轴： Zi和Zi-1构成的面的法线 • yi轴：按右手定则
坐标系5
d6 z4
A4 z3
关节4 坐标系3
x3
连杆4
y3
O3
连杆3
A3
d3 A2
O4
x2
z5
y5
x4
O5
y4
z2
y2
关节3
A1 连杆2
O2 坐标系2
x5
o3 , o4 , o5重合 d4 d5 0
关节2 O1
z1
坐标系1
y1 连杆1
斯坦福机器人
斯坦福机器人开始的两个关节是旋转的， 第三个关节是滑动的，最后三个腕关节 全是旋转关节
例1：Stanford机器人运动学方程
• 为右手坐标系 • 原点Oi： Ai与Ai+1关节轴线的交点
A6
y6
z6
A5
连杆5
• zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意
x6
O6
关节6
关节5 坐标系4
A5
A4 A6
连杆 n θ n
dn
1 θ 1 (900) 0
2 θ 2 (0) d2 3 θ 3 (-900) 0
4 θ 4 (0) d4
5 θ 5 (0) 0
6 θ 6 (0) 0
an α n 0 -900
a2
0
a3 -900
0 900
0 -900
00
例3
对下图所示简单机器人，根据D-H法，建立必要坐标系及 参数表。
0
a3
0
4
4
0
a4
-90
5
5
0
0
90
C1 0 S1 0
A1
S1
0
0 1
C1 0
0 0
0
0
0
1
6
6
0
0
0
第四步：将参数代入A矩阵，可得到
C1 0 S1 0
A1
S1
0
0 1
C1 0
0 0
0
0
0
1
C2 S2 0 C2a2
第一步：根据D-H法建立坐标系的规则建立坐标系
第二步：将做好的坐标系简化为我们熟悉的线图形式
第三步：根据建立好的坐标系，确定各参数，并写 入D-H参数表
#
d
a
1
1
0
0
90
2
2
0
a2
0
3
3
0
a3
0
4
4
0
a4
-90
5
5
0
0
90
6
6
0
0
0
nTn1 An1 Rot(z,n1 ) Trans (0,0, dn1 ) Trans (an1 ,0,0) Rot ( x,n1 )
情况2：两关节Z轴平行 此时，两Z轴之间有无数条公垂线，可挑选与前一关节的公垂线共线的 一条公垂线。 情况3：两关节Z轴相交
取两条Z轴的叉积方向作为X轴。 4.Y轴确定原则
取X轴、Z轴叉积方向作为Y轴方向。（右手）
5.变量选择原则
用θ n+1角表示Xn到Xn+1绕Zn轴的旋转角;dn+1表示从Xn到Xn+1沿 Zn测量的距离;an+1表示关节偏移，an+1是从Zn到Zn+1沿Xn+1测量 的距离;角α表示关节扭转, αn+1是从Zn到Zn+1绕Xn+1旋转的角度。 通常情况下，只有θ 和d是关节变量。
坐标系的确定
1.第一个关节指定为关节 n,第二个关节为n+1,其余 关节以此类推。
2.Z轴确定规则：如果关 节是旋转的，Z轴位于按 右手规则旋转的方向， 转角 为关节变量。如果 关节是滑动的，Z轴为沿 直线运动的方向，连杆 长度d为关节变量。关节 n处Z轴下标为n-1。
3.X轴确定规则 情况1：两关节Z轴既不平行也不相交 取两Z轴公垂线方向作为X轴方向，命名规则同Z轴。
原点Oi： Ai与Ai+1关节轴线的交点，或Zi与Xi的交点
A3
ai—沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到Oi 的距离
αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi
di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至Oi –1 坐标
系原点的距离
θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
C n1
An1
S n1
0
0
Sn1C n1 C n1C n1
S n1
0
S n1 S n1 Cn1S n1
C n1
0
an1C n1
a
n1
S
n1
dn1
1
#
d
a
1
1
0
0
90
2
2
0
a2
0
3
3
A5
S5
0
0 1
C5 0
0 0
0
0
O0
解：
例2、PUMA560运动学方程（六个自由度，全部是旋转关节） 关节变量都是θ
θ2
θ1
θ3
θ5
θ4 θ6
PUMA560机器人的连杆及关节编号
A1
O1 O0
A2
为右手坐标系，Yi轴：按右手定则
Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意
Xi轴： Zi和Zi-1构成的面的法线，
或连杆i两端轴线Ai 与Ai+1的公垂线(即： Zi和Zi-1的公垂线)
A2
S2
0
C2 0
0
S
2a2
1 0
0
0
0
1
C3 S3 0 C3a3
A3
S3
0
C3 0
0
S
3a3
1 0
0
A4
S4
0
0 1
C4 0
S4a4
0
0
0
0
1
C5 0 S5 0
学习重点：1. 给关节指定参考坐标系 2. 制定D-H参数表 3. 利用参数表计算转移矩阵
背景简介：
1955年，Denavit和Hartenberg(迪纳维特和哈坦伯格)提出 了这一方法，后成为表示机器人以及对机器人建模的标准方法， 应用广泛。
总体思想：
首先给每个关节指定坐标系，然后确定从一个关节到下一个 关节进行变化的步骤，这体现在两个相邻参考坐标系之间的变化， 将所有变化结合起来，就确定了末端关节与基座之间的总变化， 从而建立运动学方程，进一步对其求解。
x1
d2
关节1 坐标系0
ai—沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到Oi 的距离 αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至Oi –1 坐标
系原点的距离 θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
连杆0
z0 y0
d1 x0
工业机器人的正向运动学是指已知各关节的类型、相邻 关节之间的尺寸和相邻关节相对运动量的大小时，如何确 定工业机器人末端操作器在固定坐标系中的位姿。
主要包括以下内容： 1) 相对杆件的坐标系的确定； 2) 建立各连杆的模型矩阵A； 3) 正运动学算法；
D-H表示法
学习目标：1. 理解D-H法原理 2. 学会用D-H法对机器人建模
• xi轴： Zi和Zi-1构成的面的法线 • yi轴：按右手定则
坐标系5
d6 z4
A4 z3
关节4 坐标系3
x3
连杆4
y3
O3
连杆3
A3
d3 A2
O4
x2
z5
y5
x4
O5
y4
z2
y2
关节3
A1 连杆2
O2 坐标系2
x5
o3 , o4 , o5重合 d4 d5 0
关节2 O1
z1
坐标系1
y1 连杆1
斯坦福机器人
斯坦福机器人开始的两个关节是旋转的， 第三个关节是滑动的，最后三个腕关节 全是旋转关节
例1：Stanford机器人运动学方程
• 为右手坐标系 • 原点Oi： Ai与Ai+1关节轴线的交点
A6
y6
z6
A5
连杆5
• zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意
x6
O6
关节6
关节5 坐标系4
A5
A4 A6
连杆 n θ n
dn
1 θ 1 (900) 0
2 θ 2 (0) d2 3 θ 3 (-900) 0
4 θ 4 (0) d4
5 θ 5 (0) 0
6 θ 6 (0) 0
an α n 0 -900
a2
0
a3 -900
0 900
0 -900
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例3
对下图所示简单机器人，根据D-H法，建立必要坐标系及 参数表。
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a3
0
4
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C1 0 S1 0
A1
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C1 0
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6
6
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0
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第四步：将参数代入A矩阵，可得到
C1 0 S1 0
A1
S1
0
0 1
C1 0
0 0
0
0
0
1
C2 S2 0 C2a2
第一步：根据D-H法建立坐标系的规则建立坐标系
第二步：将做好的坐标系简化为我们熟悉的线图形式
第三步：根据建立好的坐标系，确定各参数，并写 入D-H参数表
#
d
a
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nTn1 An1 Rot(z,n1 ) Trans (0,0, dn1 ) Trans (an1 ,0,0) Rot ( x,n1 )
情况2：两关节Z轴平行 此时，两Z轴之间有无数条公垂线，可挑选与前一关节的公垂线共线的 一条公垂线。 情况3：两关节Z轴相交
取两条Z轴的叉积方向作为X轴。 4.Y轴确定原则
取X轴、Z轴叉积方向作为Y轴方向。（右手）
5.变量选择原则
用θ n+1角表示Xn到Xn+1绕Zn轴的旋转角;dn+1表示从Xn到Xn+1沿 Zn测量的距离;an+1表示关节偏移，an+1是从Zn到Zn+1沿Xn+1测量 的距离;角α表示关节扭转, αn+1是从Zn到Zn+1绕Xn+1旋转的角度。 通常情况下，只有θ 和d是关节变量。
坐标系的确定
1.第一个关节指定为关节 n,第二个关节为n+1,其余 关节以此类推。
2.Z轴确定规则：如果关 节是旋转的，Z轴位于按 右手规则旋转的方向， 转角 为关节变量。如果 关节是滑动的，Z轴为沿 直线运动的方向，连杆 长度d为关节变量。关节 n处Z轴下标为n-1。
3.X轴确定规则 情况1：两关节Z轴既不平行也不相交 取两Z轴公垂线方向作为X轴方向，命名规则同Z轴。
原点Oi： Ai与Ai+1关节轴线的交点，或Zi与Xi的交点
A3
ai—沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到Oi 的距离
αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi
di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至Oi –1 坐标
系原点的距离
θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
C n1
An1
S n1
0
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Sn1C n1 C n1C n1
S n1
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S n1 S n1 Cn1S n1
C n1
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an1C n1
a
n1
S
n1
dn1
1
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A5
S5
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0 1
C5 0
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解：
例2、PUMA560运动学方程（六个自由度，全部是旋转关节） 关节变量都是θ
θ2
θ1
θ3
θ5
θ4 θ6
PUMA560机器人的连杆及关节编号
A1
O1 O0
A2
为右手坐标系，Yi轴：按右手定则
Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意
Xi轴： Zi和Zi-1构成的面的法线，
或连杆i两端轴线Ai 与Ai+1的公垂线(即： Zi和Zi-1的公垂线)
A2
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0
C2 0
0
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2a2
1 0
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1
C3 S3 0 C3a3
A3
S3
0
C3 0
0
S
3a3
1 0
0
A4
S4
0
0 1
C4 0
S4a4
0
0
0
0
1
C5 0 S5 0
学习重点：1. 给关节指定参考坐标系 2. 制定D-H参数表 3. 利用参数表计算转移矩阵
背景简介：
1955年，Denavit和Hartenberg(迪纳维特和哈坦伯格)提出 了这一方法，后成为表示机器人以及对机器人建模的标准方法， 应用广泛。
总体思想：
首先给每个关节指定坐标系，然后确定从一个关节到下一个 关节进行变化的步骤，这体现在两个相邻参考坐标系之间的变化， 将所有变化结合起来，就确定了末端关节与基座之间的总变化， 从而建立运动学方程，进一步对其求解。
x1
d2
关节1 坐标系0
ai—沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到Oi 的距离 αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至Oi –1 坐标
系原点的距离 θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
连杆0
z0 y0
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