正方形的性质教案

18.2.3 正方形

第1课时正方形的性质

1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算；(重点)

2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．(难点)

一、情境导入

做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．

问题：什么样的四边形是正方形？

二、合作探究

探究点一：正方形的性质

【类型一】特殊平行四边形的性质的综合

菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )

A．对角线相等且互相平分

B．对角线相等且互相垂直平分

C．对角线互相平分

D．四条边相等，四个角相等

解析：选项A不正确，菱形的对角线不相等；选项B不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C正确，三者均具有此性质；选项D不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C.

方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质．

【类型二】利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题

如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点

F.

(1)求证：BE＝CF；

(2)求BE的长．

解析：(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，即可证

BE ＝CF ；(2)设BE ＝x ，在△CEF 中可表示出CE .由BC ＝1，可列出方程，即可求得BE .

(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝90°.∵EF ⊥AC ，∴∠EFA ＝90°.∵AE 平分∠BAC ，∴BE ＝EF .又∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴AC 平分∠BCD ，∴∠ACB ＝45°，∴∠FEC ＝∠FCE ＝45°，∴EF ＝FC ，∴BE ＝CF ； (2)解：设BE ＝x ，则EF ＝CF ＝x ，CE ＝1－x .在Rt△CEF 中，由勾股定理可得CE ＝2x .∴2x ＝1－x ，解得x ＝2－1，即BE 的长为2－1.

方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．

【类型三】 利用正方形的性质解决角的计算或证明问题

在正方形ABCD 中，点F 是边AB 上一点，连接DF ，点E 为DF 的中点．连接BE 、CE 、AE .

(1)求证：△AEB ≌△DEC ；

(2)当EB ＝BC 时，求∠AFD 的度数．

解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB ＝CD ，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD ＝∠ADC ＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AE ＝EF ＝DE ＝12

DF ，根据“等边对等角”可得∠EAD ＝∠EDA ，再得出∠BAE ＝∠CDE ，然后利用“SAS”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB ＝EC ，再得出△BCE 是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC ＝60°，然后求出∠ABE ＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE ，然后根据“等边对等角”可得∠AFD ＝∠BAE .

(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°.∵点E 为DF 中点，∴AE

＝EF ＝DE ＝12DF ，∴∠EAD ＝∠EDA .∵∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ，∠CDE ＝∠ADC －∠EDA ，∴∠BAE ＝∠CDE .在△AEB 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，

∴△AEB ≌△DEC (SAS)；

(2)解：∵△AEB ≌△DEC ，∴EB ＝EC .∵EB ＝BC ，∴EB ＝BC ＝EC ，∴△BCE 是等边三角形，

∴∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°.∵EB ＝BC ＝AB ，∴∠BAE ＝12

×(180°－30°)＝75°.又∵AE ＝EF ，∴∠AFD ＝∠BAE ＝75°.

方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等．

探究点二：正方形性质的综合应用

【类型一】 利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系

如图，AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，AE 分别交BD 、BC 于F 、E ，AC 、BD 相交于O .求证：

(1)BE ＝BF ；

(2)OF ＝12CE . 解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE ＝∠AOF ＝90°.由于AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO ＝∠AEB .根据“对顶角相等”即可求得∠BFE ＝∠AEB ，BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .根据三角形的中位线的性质即可证得OG ∥BC ，OG ＝12

CE .根据平行线的性质即可求得∠OGF ＝∠FEB ，从而证得∠OGF ＝∠AFO ，OG

＝OF ，进而证得OF ＝12

CE . 证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABE ＝∠AOF ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝∠CAE ＋∠AFO ＝90°.∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝∠BAE ，∴∠AFO ＝∠AEB .又∵∠AFO ＝∠BFE ，∴∠BFE ＝∠AEB ，∴BE ＝BF ；

(2)连接O 和AE 的中点G .∵AO ＝CO ，AG ＝EG ，∴OG ∥BC ，OG ＝12

CE ，∴∠OGF ＝∠FEB .∵∠AFO ＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝12

CE . 方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．

【类型二】 有关正方形性质的综合应用题

如图，正方形AFCE 中，D 是边CE 上一点，B 是CF 延长线上一点，且AB ＝AD ，若

四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是________cm.

解析：∵四边形AFCE 是正方形，∴AF ＝AE ，∠E ＝∠AFC ＝∠AFB ＝90°.在Rt△AED 和Rt△AFB 中，⎩

⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，AE ＝AF ，∴Rt△AED ≌Rt△AFB (HL)，∴S △AED ＝S △AFB .∵S 四边形ABCD ＝24cm 2，∴S 正

方形AFCE ＝24cm 2，∴AE ＝EC ＝26cm.根据勾股定理得AC ＝（26）2＋（26）2＝43(cm)．故答案为4 3.

方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题．

三、板书设计

1．正方形的定义和性质