正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理

一、三角形中的各种关系

设ABC ∆的三边分别是,,a b c ，与之对应的三个角分别是,,A B C .则有如下关系：

1、三内角关系

三角形中三内角之和为π（三角形内角和定理），即A B C π++=，；

2、边与边的关系

三角形中任意两条边的和都大于第三边，任意两条边的差都小于第三边,即,,a b c a c b b c a +>+>+>；,,a b c a c b b c a -<-<-<；

3、边与角的关系

（1）正弦定理

三角形中任意一条边与它所对应的角的正弦之比都相等，即

2sin sin sin a b c R A B C ===（这里，R 为ABC ∆外接圆的半径）. 注1：（I ）正弦定理的证明：

在ABC ∆中，设,,BC a AC b AB c ===, 证明：

2sin sin sin a b c R A B C ===（这里，R 为ABC ∆外接圆的半径）

证：法一（平面几何法）：

在ABC ∆中 ，作CH AB ⊥，垂足为H

则在Rt AHC ∆中，sin CH A AC =；在Rt BHC ∆中，sin CH B BC

= sin ,sin CH b A CH a B ∴== sin sin b A a B ⇒= 即

sin sin a b A B =

同理可证：sin sin b c B C

= 于是有sin sin sin a b c A B C

== 作ABC ∆的外接圆⊙O ，设其半径为R

连接BO 并延长，则可得到⊙O 的直径BD ，连接DA

因为在圆中，直径所对的圆周角是直角

所以90o DAB ∠=

于是在Rt DAB ∆中，sin 2AB c D BD R

== 又因为在同一圆中，同弧所对的圆周角相等

所以D C ∠=∠ 故2sin sin sin a b c R A B C

===（这里，R 为ABC ∆外接圆的半径） 法二（平面向量法）

（Ⅱ）正弦定理的意义：

正弦定理指出了任意三角形中三边与其对应角的之间的一个关系式，也就是任意三角形的边角关系. （Ⅲ）正弦定理适用的范围：

（i ）已知三角形的两角及一边，解三角形；

（ii ）已知三角形的两边及其中一边所对应的角，解三角形；

（iii ）运用::sin :sin :sin a b c A B C =解决角之间的转换关系.

（i ）::sin :sin :sin a b c A B C =；

（ii ）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R

===； （iii ）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===.

注3：已知三角形是确定的，则在运用正弦定理时，其解是唯一的；已知三角形的两条边和其中一条边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解是不确定的，此时可结合作图的方法、“大边对大角，大角对大边”定理及解决问题.

例1. ABC ∆中，,a b 分别为角,A B 的对边，若60,75,8o o B C a ===，则b =＿.

例2. ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，,13A a b π

===，则c =＿.

例3.在ABC ∆中，60,1o b B c ===，求a 和,.A C

例4. 在ABC ∆中，已知2,2,2B A BC AB ∠=∠==+则A ∠=＿.

例5.已知ABC ∆中，角,A B 所对的边分别是,a b ，若cos cos a B b A =,则ABC ∆一定是（）

A. 等腰三角形

B. 等边三角形

C. 直角三角形

D. 等腰直角三角形

（2）余弦定理

三角形中任意一条边的平方等于其他两条边平方的和减去这两条边与它们夹角的余弦的乘积的2倍，即

2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-.

法一（平面几何法）

在ABC ∆中 ，作CH AB ⊥，垂足为H

则在Rt AHC ∆中，sin CH CH A AC b ==；cos AH AH A AC b

== 在Rt CHB ∆中，由勾股定理有222BC CH BH =+

于是有

同理可证：2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-.

法二（平面向量法）

（Ⅱ）余弦定理的意义：

定理是揭示边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当结合其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

注3：常选用余弦定理判定三角形的形状；

注4：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.

例1. 在ABC ∆中，三边长为连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长.

例2.如下图所示，在四边形ABCD 中，已知,10AD CD AD ⊥=,14AB =， 60O BDA ∠=，135O BCD ∠=,求BC 的长.

例3. 在ABC ∆中，已知75,4,cos()8

BC AC A B ==-=，则cos C =() A. 1116 B. 916 C. 716 D. 316

（3）面积公式：

（i ）常规方法：12

ABC a S a h ∆=⋅； （ii ）三角函数法：111sin sin sin 222

ABC S ab C ac B bc A ∆===；

（iii ）海伦公式：ABC S r p ∆==⋅.

这里，a h 为边a 的高线；p 为ABC ∆周长的一半，即2

a b c p ++=

；r 为ABC ∆内切圆的半径.

例1. 在ABC ∆中，若已知三边为连续的正整数，且最大角为钝角.

（1）求该最大角；

（2）求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.（参考数据：cos710.25o =）

例2. 在ABC ∆中，内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，已知2222a c b +=.