第七讲 重复拉丁方设计及分析(安徽农大徐建新版)

B
本例为4×4拉丁方内设置重复的试验。首先以表7-7作方差分析辅助表7-8，即把 重复观察值合并。
表7-8 方差分析辅助表 列 行 B1 B2 B3 B4 TC TA A1 A4 A3 A2 C1 17.9 16.5 21.7 17.3 73.4 A1 73.6 9.20 A3 A2 A1 A4 C2 22.1 19.1 18.8 16.5 76.5 A2 67.9 8.49 A3 A2 A3 A4 A1 C C3 14.1 21.8 14.8 17.5 68.2 85.4 10.68 A4 A1 A2 A3 C4 16.5 19.4 17.4 19.8 73.1 A4 64.3 8.04 T=291.2 TB 70.6 76.8 72.7 71.1
表7-7 不同施氮肥期下的小麦产量（单位：㎏） 列 行 B1 B2 B3 B4 A1 A4 A3 A2 C1 （9.3 8.6） （7.7 8.8） （10.7 11.0） （7.8 9.5） A3 A2 A1 A4 C2 （10.9 11.2） A2 （9.0 10.1） A3 （9.6 9.2） A4 （7.1 9.4） A1 C C3 （8.2 5.9） （11.0 10.8） （7.7 7.1） （9.0 8.5） A4 A1 A2 A3 C4 （8.0 （9.4 （7.8 （9.6 8.5） 10.0验得期望均方（EMS）
EM S 随机模型 2 2 2 2 2 r 2 R r B（R） r C（R） r AR e 2 2 r B（R） e 2 2 r C（R） e 2 2 2 sr A r AR e 2 2 r AR e 处理固定，其余随机 2 2 2 2 r 2 R r B（R） r C（R） e 2 2 r B（R） e 2 2 r C（R） e 2 2 2 sr A r AR e 2 2 r AR e
表7-1
变异来源 拉丁方间R 方内横行B 方内直行C 处理间A A B 误差项
xi j k (l ) i j (i ) k (i ) (l ) ( ) i (l ) ei j k (l ) (i 1,2,, s, j, k (l ) 1,2,, r )
表7-2 不同饲料对奶牛产奶量的试验结果（I）（单位：㎏）
牛号
时期 B1 B2 B3 TC TA C1
C
C2 C3 A3 370 A1 370 A2 300 1040 A1 350 A2 340 A2 340 A3 400 A3 380 A1 390 1070 1130
TB 1060 1110 1070 3240
r 3 B1 B2 B3 TR
T1
T2
r 3 C1 C2 C3 TR
T1
T2
1110 1100 1150 1120
1060 1040 1110 1060 1040 1090 3240 3190
1070 1120 1130 1050 1040 1020 3240 3190
3240 3190 T 6430
4 1089 17 149611 . 11 2161.3
查F值表：F0.05(4 ， 4)=6.39；F0.05(2 ， 4)=6.94；F0.01(2 ， 4)=18.00；F0.05(4 ， 11)=3.36； F0.01(2，11)=7.20。 检验结果表明：不同类型饲料对奶牛的产奶量有明显的影响。由于A×R检验 不显著，说明不同类型的饲料在两个拉丁方中表现出一致的效果。为了提高F检 验的灵敏度，一般把F检验不显著的平方和，尤其是F〈1.5的平方和，均可与误 差项的平方和合并，算出合并均方，再作F检验，本例中，合并均方， MSe=(138.9+888.9+44.5+1089)/(1+4+2+4)=196.5， 经检验饲料间的差异达到1%的显著水准，奶牛个体间亦存在一定的差异。 3、多重比较 采用SSR检验，仅对饲料间的差异作多重比较即可。
第一节
线性模型与期望均方
一、线性数学模型 设拉丁方与横行、直行区组均按系统分组方式组合。此时总变异可剖分为拉丁 方间、方内横行间，方内直行间、处理间、处理×拉丁方和误差共6种变异。则 xijk表示第i个拉丁方、第j横行、第k直行的观察值的线性模型为：
其中α i为第i拉丁方的效应；β j(i)为第i拉丁方内第j横行的效应；γ k(i)为第 i拉丁方内第k直行的效应；τ (l)为第l个处理的效应，l带上括号是因为i、j、k 即拉丁方、横、直行已确定了位于该位置的处理是被固定了的；[α τ ]i(l)为第i 拉丁方与（l）处理的交互效应。eijk（l）为随机误差，相互独立，且服从正态分 布N（0，σ 2）。 二、期望均方 根据上述数学模型，可得重复拉丁方试验的期望均方表7-1。
表7—4 2个3×3拉丁方试验结果方差分析表
变异来源 拉丁方间R 方内时期间B 方内个体间C 饲料间A R A 误差 总变异 合并误差
df 1 4 4 2 2
SS 138.9 888.9 3155 4 . 9644 4 . 44.5
MS 138.9 222.2
F 1 1
F合
788.9 2.90 4.01* 4822 2 17.71* 24.54* * . 22.5 272.3 196.5 1
(32402 31902 ) C
辅助表2总平方和： SS
CR

2 TCR
时期间（B）：
r
(10702 11202 10202 ) C
(10602 10402 10902 ) C
3
C 32943 .
SSB=SSBR-SSR=888.9
B
xA
S x MSe sr 196.5 2 3 5.72(kg) 根据dfe=11，k=2、3查得SSR值，依下式算得LSR值后分别列于表7—5。 LSRα =SSRα × S x 表7—5 LSR值计算表
k
2 3
SSR0.05 SSR0.01
3.11 3.27 4.39 4.63
LSR0.05
2 e
MS 固定模型 2 2 MSR r 2 R e 2 2 MSB r B（R） e 2 2 MSC r C（R） e 2 2 MSA sr A e 2 2 MSA R r AR e 2 2 MSe e e
第二节
实例分析
一、重复使用同型拉丁方进行两次试验的实例分析 例1 为了研究三种类型的饲料对奶牛产奶量的影响，饲料（A） 分三个水平A1、A2、A3；因为试验用牛差别较大，选择各方面条件 相同的供试牛三头。列在直行方向（C）上，亦分C1、C2、C3三个 水平，连续给予不同处理。但泌乳期仍不能统一。故需列出第二方 向横行（B）。按泌乳期的前、中、后划分为三个阶段B1、B2、B3 ；每一阶段45天。该设计的前提是因素与各方向区组间不存在互作 ，三个阶段之间不存在残留效应，因此这是采用了3×3拉丁设计。 其试验结果见表7-2。3×3拉丁方误差项的自由度为（3-1）（3-2） =2过小，经计算得F=5.1，仍未达到显著水准。为克服检验灵敏度 低的缺点，故又重复使用同型3×3拉丁方进行重复试验。第二次试 验，另选三头奶牛，亦将泌乳期分为三个阶段（不同于第一次试验 ），与第一次试验完全相同的是饲料的三种类型，亦即共同研究的 一个因素。其结果列于表7-3。试作重复拉丁方试验结果的分析。
2 T AR
辅助表1总平方和： SS AR
r
(11102 11002 11202 ) C
3
C 9827 8 .
2 TR 拉丁方间（R）： SSR
饲料间（A）：
饲料×拉丁方
C 138.9 3 3 r2 2 TA (22102 19502 22702 ) SS A C C 9644 4 . sr 23 SSA×R=SSAR－SSA－SSR=44.5
17.8 18.7
LSR0.01
25.1 26.5
列出均数间差异的多重比较如表7—6。
表7—6 饲料均数间差异的多重比较
水平 平均数 x i 350.0 x i 368.3 A3 378.3 28.3 * * 10.0 A1 368.3 18.3 * A2 350.0
比较结果表明：A3 和A1 类型的饲料与A2 饲料相比，其产奶量上的差异分别达到 1%和5%的显著水准。A3类型饲料对奶牛的产奶量影响最大，但与A1之间差异不 显著。 二、一个拉丁方内安排重复试验的实例分析
第七讲 重复拉丁方设计及分析方法 REPEATED LATIN SQUARE DESIGN
拉丁方设计主要的优点是从横行和直行两个方向控制 系统误差，提高试验的精确度和效率。即在同样的精确度 下可用较少的重复。但其缺点是被必要的条件约束。如区 组数（横行和直行数）都必须等于处理数。如果处理数要 多一些，就需要同样多的区组，这在实际应用中相当不便， 也没有更大意义。要是处理数过少，则误差项的自由度亦 小。检验结果很难达到显著水准。为使误差项的自由度不 小于12，以提高检验的灵敏度。通常将一个拉丁方重复试 验n次，如将3×3拉丁方重复5次，4×4拉丁方重复2次等。 这种试验设计称为重复拉丁方设计。同型的多点拉丁方试 验，多年的拉丁方试验或者在拉丁方内引入重复的试验， 实质上也是重复拉丁方设计的试验。
2 TBR
C 10278 . 辅助表3总平方和：SSBR r 3 奶牛个体间（C）：SSC=SSCR-SSR=3155.4 误差项： SSe=SST－SSR-SSA-SSB-SSC-SSA×R=1089 dfT=sr2－1=2×32－1=17 dfA=r―1=3―1=2 dfR=s―1=2―1=1 dfB=s（r－1）=2×2=4 dfC=s（r―1）=2×2=4 dfA×R=（s―1）（r―1）=1×2=2 dfe=s（r―1）（r―2）=2×2×1=4 2、 列出方差分析表，进行F检验（假定为固定模型）
1020
1040 1060 1090
3190
A1 1100 A2 970
A3 1120
下面进行方差分析：为计算各项平方和，可先列出两次试验资料的合并辅助表， 辅助表1 辅助表2 辅助表3
r 3 A1 A2 A3 TR T1 980 T2 970 TA 2210 1950 2270 x 368.3 350.0 378.5
如果把安排在行、列上的系统误差也看作是影响试验结果的因素，那么，拉丁 方内安排重复的试验是指各因素水平组合（处理）内至少有2个或2个以上的观察 值。这种设计重复的目的是为了增加误差项的自由度，以便降低试验误差，突出 处理效应。 例2 为考察在大田中不同施氮肥期对小麦产量的影响，设不同施肥期为：A1（ 播种期），A2（越冬期），A3（拔节期），A4（抽穗期）。为从行（B）、列（ C）两个方向控制地域差异，试验采用拉丁方设计。计产按区组内各小区平分面 积30m2的产量作为重复的观察值。其田间排列和产量如表7—7。试作方差分析。 表7-7 不同施氮肥期下的小麦产量（单位：㎏）
B
A1 1110 A2 980 A3 1150
表7-3 不同饲料对奶牛产奶量的试验结果（Ⅱ）（单位：㎏） C 牛号 TB 时期 C1 C2 C3 B TC
B1 B2 B3 TA
A1 380 A3 380 A2 360
1120
A3 370 A2 320 A1 360
1050
A2 290 A1 360 A3 370
辅助表1为拉丁方与处理的两向表，因同一饲料类型有二次重复，故可求得R×A 互作。辅助表2、3则不是重复，可视作单因素模式。 1、 平方和与自由度的剖分 本例s=2，r=3 C=T2/sr2=64302/18=2296938.9 总平方和：
SST x 2 C 3502 3402 3702 C 149611 .