第二章单自由度无阻尼系统的振动

第二章 单自由度无阻尼系统的振动

单自由度系统是指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。系统的自由度数是指确定系统位置所必须的独立参数的个数，这种独立参量称为广义坐标，广

义坐标可以是线位移、角位移等。

单自由度系统振动理论是振动理论的基础，尽管实际的机械都是弹性体，属多自由度系统，然而要掌握多自由度系统振动的基本理论和规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。此外，许多工程实际问题在一定条件下可以简化为单自由度振动系统来研究。单自由度系统的力学模型如图2-1所示，图中，m 为质量元件（或惯性元件），k 为线性弹簧，C 为线性阻尼器。图2-1所示系统称为单自由度有阻尼系统，若该系统不计阻尼，则称之为单自由度无阻尼系统，若在质量元件上作用有持续外界激扰力，则系统作强迫振动，如无持续的外界激扰力而只有初始的激扰作用，则系统作自由振动。

下面先研究单自由度无阻尼系统的自由振动，再进一步研究其强迫振动。

2—1 自由振动

图2-2左图所示为单自由度无阻尼的弹簧质量系统。现用牛顿第二定律来建立该系统的运动微分方程。取质量m 的静平衡位置为坐标原点，取x 轴铅直向下为正，当系统处于平衡

位置时有，δk mg =，故有静位移

δ=mg/k （a ）

当系统处在位置x 处时，作用在质量上的力系不再平衡，有：

mg x k x

m ++-=)(δ (b) 式中:2

2

/dt x d x = 是质量的加速度，将（a ）式代入（b ）式；则得 kx x

m -= 即 0=+kx x

m （2-1） 注意，上式中-kx 是重力与弹簧力的合力，它的大小与位移x 的大小成正比，但其方向却始终与位移的方向相反，即始终指向平衡位置，故称其为弹性恢复力。由式（2-1）可以看到，只要取物体的静平衡位置为坐标原点，则在列运动微分方程时，可以不再考虑物体的重力与弹簧的静变形。

将（2-1）式改写成 0=+x m k x

，令2p m

k

= 则得 02=+x p x （2-2）

这是一个二阶齐次线性常系数微分方程。其解为

pt D pt D x sin cos 21+= （2-3） 式中两个积分常数D 1及D 2由初始条件确定。令t=0时，x(0)=x 0 ，0)0(x x =，得 D 1=x 0，

D 2=0x

/p 。将D 1、D 2值代入（2-3）式,得 pt p

x

pt x x sin cos 00 +

= （2-4）

由式（2-4）可见，由初始条件引起的自由振动是按正弦、余弦函数变化的两个简谐运动组成的，这两个同频率的简谐运动仍可合成为一个简谐运动。 令：

202

0)/(p x x A +=

（2-5）

00

1

x

px tg -=ϕ (2-6)

则式（2-4）可改写为

)sin(ϕ+=pt A x （2-7）

上式表示无阻尼自由振动是简谐振动，其运动图线如图2-3所示。上式中A 称为振幅，φ称

为初相角。p 称为振动系统振动的圆频率。其表达式为

m k p = （rad/s ） （2-8）

每秒时间内的振动次数称为系统的振动频率，用f 表示。 m k P f π

π21

2/=

=（HZ ） （2-9）

系统的振动重复一次所需要的时间间隔称为振动周期，用T 表示。

k m f T π2/1==（s ） （2-10）

由此可见，简谐振动的振幅A 与初相角φ的大小取决于p 、x 0、0x

的数值，这就是说A 与φ不仅取决于系统的k 与m ，而且还随初始条件的不同而改变；而振动频率及周期只与系

统的本身性质（弹性与惯性）有关，而与初始条件无关，它们是振系的固有特征，通常称为固有频率与固有周期。同样质量的两个系统，弹簧刚度小的系统固有频率低，弹簧刚度大的系统固有频率高；而刚度相同的两个系统，质量大的系统固有频率低，质量小的系统固有频率高。

系统的固有频率也可以从弹簧的静变形算出。由式（a ）可得δ//g m k =，代入（2-9）式即得

δπ

/21g f =

（2-11）

[例2-1] 均匀悬臂梁长为L ，弯曲刚度为EJ ，重量不计，自由端附有重P=mg 的物体，

如图2-4所示。试写出系统的振动微分方程，并求出固有频率。

解：将该系统简化为单自由度振动系统，悬臂梁相当 一根弹簧。由材料力学中悬臂梁的挠度公式知，当在梁的自由端作用一垂直力P 时，该点的静挠度为EJ pL 3/3

=δ，故悬臂梁的刚度3

/3/L EJ p k ==δ。所以梁端物体的振动微分方程为

y L

EJ

y

m 33-= 即 033

=+y mL EJ

y

固有频率为 3

321mL EJ

f π

=

。 在振动系统中，常遇到多个弹簧以不同的方式连接的问题，其中常见的为弹簧的串联与并联，以下研究这两种连接方式下振动系统的固有频率及弹簧刚度。

1.弹簧并联 设物块在重力m g 作用下作平移，其静变形为δst ，两个弹簧分别受力为F 1

和F 2（图2-5a 、b ），因弹簧变形量相同，因此 st k F δ11=， st k F δ22= 在平衡时有

mg=F 1+F 2=(k 1+k 2)δSt

令

k eq =k 1+k 2 k eq 称为等效弹簧刚度系数，上式成为

mg= k eq δST

或

δST = mg/k eq

因此上述并联系统的固有频率为 m

k k m

k p eq 2

1+=

=

由此可见，当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个弹簧刚度系数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。

2.弹簧串联 图2-6所示两个弹簧串联，每个弹簧受的力都等于物块的重量mg ，因此两个弹簧的静伸长分别为

11k mg st =

δ， 2

2t k mg

S =δ 两个弹簧总的静伸长

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+=+=21

2111k k mg st st st δδδ 若设串联弹簧系统的等效弹簧刚度系数为k eq ，则有eq st k mg /=δ 比较上面两式得

2

11

11k k k eq += 或 2

12

1k k k k k eq +=

上述串联弹簧系统的固有频率为

)

(212

1k k m k k m

k p eq +=

=

由此可见,当两个弹簧串联时,其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个弹簧刚度系数倒数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形。