应用地球物理学原理第二章01

§2.1 重力场的基本特征
• 一、地球重力场(The Earth’s gravity field) • (一)重力与重力加速度 • 1重力 (Gravity) • 一切物体都有重量，重量是物体受重力作 用的结果，这是人们最为熟悉的一种物理 现象。 • 重力，即地球引力，它是物质万有引力的 一种体现。
• 3重力的单位（Units of gravity） • 衡量重力大小的单位有两个系统，一个 是高斯制（CGSM)，另一个是国际制 （SI）。 • 历史上使用的是C.G.S.制，它是为了纪 念第一个测定重力加速度值的意大利著 名物理学家伽利略(G.Galieo)，取 1cm/s２作为重力的一个单位，称作 “伽”(Gal)，
• 1971年第15届国际大地测量和地球物理协会决 定采用有关地球形状的参数是：赤道半径 a=6378.136km Equatorial Radius (a) = 6378.136 km • 极地半径c=6356.751km Polar Radius (c) = 6356.751 km 地球扁 α ＝a－c／a=1／298.25 Polar flattening α = (a-c)/a = 1/298.257 若把地球近似当作一个正球体时，其平均半 径: • R=6371 km
2V 2V 2V 2V 2 2 2 0 x y z
• 在物体内部，引力位满足泊松方程：
V 4G
2
• 式中σ为物体的密度。
• 惯性离心力位 U 不满足拉普拉斯方程：
2U 2U 2U 2U 2 2 2 2 x 2 y z
• 引力场中任一点的位的表达式有以下几种 形式： • ①点质量建立的引力场是某点的位为：
V Gm

• ②点质量以体密度 ( , , ) 连续分布质体在 质体外某点的位：
V G


d G

x y z
2 2
( , , )ddd
• 从时间上来说，由于太阳、月亮与地球 之间的相对位置存在一定周期的变化， 造成海洋潮汐及固体地球的弹性形变等 一系列地球物理现象。 • 这种由于太 阳、月亮对地球引力的变化 使固体地球形变而造成地表同一点出现 重力随时间的微小变化， 就称为重力固 体潮，其变化幅度约2－3g.u.，因而在 高精度重力测量中必须考虑这一因素的 影响。
P FC
• 引力场F的性质： • （1）引力场是有源场
divF 4G
• 由上式可以知道，空间任一点只要有质 量存在（ 0 ），则该点的散度就不为 零。
• 这说明引力场是有源场，负号的物理意 义：该点的引力线是汇聚的。 • （2）、引力场是位场 • 引力场做功与路径无关，只与起止点位 置有关。 rotF 0 • • 引力场是无旋场。 • （3）引力场与位之间的关系
F gradV
• 随地球自转而引起来的单位质量的惯性 离心力C
C r
2
ω为地球自 传的角速度
C Cxi Cy j Cz k
rotC 0
• 由于惯性离心力也是位场，即
C gradU
• 2重力加速度(Gravity acceleration) • 当物体仅受到重力作用时，就会自由下 落，下落的加速度就称为重力加速度g， 即
dm 2


• 式中G为万有引力常数，其值为 • 6.67×１０-11ｍ3／（ｋｇ·2）， s • ｄｍ为地球内部某一质量单元，它的坐标为(ξ， η，ζ)， • ρ为A点至dm的距离 ，其值 • ρ＝[(ξ－ｘ）2＋(η－ｙ)2＋(ζ－ｚ)2］1/2 • ρ/ρ为由A至dm方向上的单位矢量， • M为地球的总质量。
• (2.1-16)式代表了空间的一个曲面，该 面上重力位处处相等，故叫作重力等位 面。 • 该面又处处与重力方向垂直，测量学上 又称作水准面，因为此时水不会流动而 静止下来。 • 由于 积分常数有无数多个，因而重力等 位面也有无数多个。
• 我们将其中一个与平均的海洋面(在 陆 地上是它的顺势延伸而构成封闭的曲面) 重合的那个重力等位面称为大地水准面，
• 2重力位 • (1)重力的表达式 • (211)式表明，重力是引力与惯性离 心力的矢量和。 • 当把地心作为坐 标原点，xoy平面与赤 道面一致，z轴向上与地球自转轴重合时， 依据牛顿万有引力 定律，整个地球质量 对地表A(x,y,z)点处单位质量的引 力可表达为:
F G
M
• 在重力 测量学和大地测量学中，都是以 该面作为地球的基本形状来研究的。 • 现在对人造卫星观测资 料的研究，可以 获得更为精确的大地水准面形状。
• 图2.1-3是夸大了它与参考椭球体的差 异而绘制的，在南极要凹进去约30m，而 北极附近则凸出10m，中纬度地区偏差约 7.5m，是 一个不规则的形状复杂的曲面。
• 所以有：
1 2 2 1 2 2 U rdr rdr r x y 2 0 0 2 2
r 2 2 r


• 重力位与重力之间有下面关系
g gradW gradV gradU
V U gx x x V U gy y y V U gz z z
• A点处单位质量的惯性离心力则为
C r
2
• 式中ω为地球自转的角速度，r为自转 轴到A点的矢径， • 其模为r=(x2＋ ｙ2）1/2。
• 由ρ、ｒ在三个坐标轴上的方向余弦，可 以得到引力与离心力在各坐 标轴上的分 力，从而也就得到重力在三个坐标轴上 分力的表达式：
x g x Fx C x G 3 dm 2 x M y g y Fy C y G 3 dm 2 y M z g z Fz C z G 3 dm (2.1-9) M
P mg
• m 为物体的质量，P也就是人们常说的 物体的重量。
• 为方便比较重力场中各点重力值的大小， 总是采用单位质量在重力场中所受的重 力大小来度量 • 这即是场论中的重力场强度，由(2.1-2) 式可知:
P g m
• 该式表明：重力场强度与重力加速度无 论在数值上还是单位的量纲上都是相同 的，今后本书 中所说的重力不再是重量 的概念，而是指重力加速度或重力场强 度。 • 通常所说的重力，实际上是指单位质量 所受的力，在数值上等于重力加速度。
• 第二，地球自转——惯性离心力 • 地球在不停地绕自转轴旋转，因而不同 纬度处的回转半径也不同； • 第三，地球表面起伏不平，形态复杂； 第四，地球内部物质密度分布不均匀； • 在漫长的地球演化史中，长期的地质构 造运动与岩浆活动等，造成自地表直至 上地幔内物质密度分布的不均匀。 • 第五，太阳与月球的引力
• 所以
rotg rotF rotC 0
• 重力场也是位场
• 这样可以引入一个“位”的标量函数 W 来描述重力场的特征
W G
V
dm
1 2 2 r V ( x, y, z ) U ( x, y, z ) 2
• 其中V称引力位，U称离心力位。函数W 就叫作重力位。
• 在一般情况下，第一项所表示的引力位， 它占总重力位的绝大部分，而第二项所 表示的离心力位，计算表明，它仅是第 一项引力位的 1／300。 • 它沿某个方向求偏导数就恰好等于重力 在该方向上的分力，这是重力位的一个 重要性质，它的引入使我们的计算也大 为方便。
• 由场论知识我们还知道，在g 的大小为
g (g g g )
2 x 2 y
2 1/ 2 z
• 其方向是过 A 点水平面的内法线方向 (即铅垂方向)。 • 粗略的估算表明，在赤道上 离心力为最 大，但也仅为引力的约1/300。
• (2)重力位 • 由前面可以知道，引力场和离心力场都 是位场，满足
rotF rotC 0
• 4重力的变化 • 重力加速度并不是一个恒量，在空间上和时间 上都存在着一定的变化，只是这种变化相对重 力全值(约9.8m/s２)来说太小了，因而需要专 门设计的仪器—重力仪才能可靠地测量出这些 变化来。 • 就空间而言，造成重力变化的原因有： • 第一，地球的形状——扁椭球体引力 • 地球本身并不是一个正圆球体 ，而是一个近 于两极压扁的扁球体，因而地心到地表的距离 并不处处一样；
2 1/ 2
• ③在质体τ内某点的位：
V lim G
0 0

d
G


d
• 式中δ为质体τ中挖出的空洞τ0的最大线 径。 • 由②、③中的两式可知位在整个空间是 连续的。
• 离心位为：
gradU C r ( x i y j )
2 2
• 综上所述，重力位W具有以下性质： • 在地球外部 2W 2 2
• 在地球内部
2W 4G 2 2
• (3)重力等位面与地球的形状 • 下面我们来看两种特殊情况下引出的结 论。 • 当沿垂直重力g的方向l求偏导数时，显 然应为：
W 0 l
• 积分后得到W(x,y,z)=C(常数) • 上式代表了空间的一个曲面，该面上重 力位处处相等，故叫作重力等位面。
• 重力勘查无论是研究构造还是寻找各种 矿产资源以及近年来在水、工、环中的 应用与研究， 都是利用地下物质密度分 布不均匀这一点所引起的重力微小变化 来达到其目的，因而其它因素的影响就 被当作干扰而要引入相应的校正予以消 除。
• (二)地球的正常重力
• 1 正常重力的概念 • 现在人类居住的地球，其表面形状十分 复杂，地壳内的密度分布又很不均匀， 既然我们需要的仅仅是密度分布不均匀 产生的重力的变化，很自然地就会提出： 假如地球是一个形状规则且内部密度均 匀情况下地表各处的重力分布是什么样 子这一问题了，这就提出了“正常重力” 这一概念。
• 实用中是取它的 千分之一即“毫伽”作 常用单位。 • 近二十年来随着高精度重力测量，特别 是在水文、工程、 环境勘查中微重力测 量的迅速发展与研究，又使用毫伽的千 分之一作单位，称为“微伽”， 它们可 表示为 • 它们与法定计量单位制中的m／s2（米／ 秒2）有如下换算关系：