2.1 每课一练 数怎么又不够用了(北师大版八年级上册)7
北师版八年级数学数怎么又不够了
北师版八年级数学数怎么又不够了
教学设想教学课题
§2.1数怎幺又不够用了(二)课型新授课内容分析
本节课选自北师大版《数学》八年级上册第二章第一节的第二课时，
借助于计算器，采用估算的方法，定量的研究、探索无理数的产生过程。
让学生在概念的形成过程中，逐步理解所学的概念。
加强概念形成过程的教学，鼓励学生进行探索和交流是本节课的主体内容。
教学目标
知识目标
1、借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想。
2、会判断一个数是有理数还是无理数。
能力目标
1、借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力。
2、探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断和思维感知能力。
情感与价值观
1、让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力。
2、充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神、探索交流意识，提高他们的辨识能力。
教学重点
1、无理数概念的探索过程。
北师大版八年级上册数学课件2.1 数怎么又不够用了
做一做
C
b A 1 1 1 B
b是有边长b 的值（结果精确到十分位）. 2. 结果精确到百分位呢？
议一议
把下列各数表示成小数，你发现什么？
3,
4 5
,
5 9
,
8 45
,
2 11
.
无限不循环小数叫做
无理数
想一想
你能找到其他无理数吗？
例题
例1 下列各数中，哪些是有理数？ 哪些是无理数？
但后来，这学派的一位年轻成员希伯索 斯(Hippasus) 发现边长为1的正方形的对角 线的长不能用有理数来表示，这就动摇了毕 达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌， 他们试图封锁这一发现，然而希伯索斯偷偷 将这一发现传播出去，这为他招来了杀身之 祸，在他逃回家的路上，遭到毕氏成员的围 捕，被投入大海. 他这一死，使得这类数的计算推迟了500 多年，给数学的发展造成了不可弥补的损失.
小结
你今天学到了什么？
欣赏有趣的图形
1
1
毕达哥拉斯树
螺形图
a 是多少？
a =1.41421356…
它是一个无限不循环小数
小知识
然而，第一个发现这样的数的人却被 抛进大海，你想知道这其中的曲折离奇吗？ 这得追溯到2500年前，有个叫毕达哥拉斯 的人，他是一个伟大的数学家，他创立了 毕达哥拉斯学派，这是一个非常神秘的学 派，他们以领袖毕达哥拉斯为核心，认为 毕达哥拉斯是至高无尚的，他所说的一切 都是真理. 毕达哥拉斯( Pythagoras) 认为“宇宙间 的一切现象都能归结为整数或整数之比，即 都可用有理数来描述.
学习目标：
• 借助计算器探索无理数是无限不循环小数 判断无理数、有理数 • 判断一个数是无理数 • 无理数的估算
北师大版-数学-八年级上册-第二章第一节 数怎么不够用了
《七年级山第二章第二节 数轴》教案数轴【教学课型】：新课◆课程目标导航：【教学目标】：1．借助生活中的实例，体会引入负数的必要性和合理性、有理数应用的广泛性． 2．会判断一个数是正数和负数．3．初步学会用正、负数表示生活中具有相反意义的量．【教学重点】： 1．体验引入负数的合理性和必要性，并会用正、负数表示具有相反意义的量． 2．引导学生回顾目前为止所学过的数，并给予分类． 【教学难点】：1．用正数和负数表示具有相反意义的量． 2．正数和负数的概念．【教学工具】：中国地形图、一支温度计、小黑板 ◆教学情景导入课题导入［师］我们在小学数学里学过哪些数呢？ ［生］学过1、2、3、0、21、32、56、0．15、0．75、……等自然数、分数、小数． ［师］在小学学习过自然数，如：0，1，2，3……另外还学过分数、小数．其中0和1是两个最根本的整数．零表示“没有”，1表示计数基本单位．在整数中，2表示比1多1，3表示比2多1，4表示比3多1……依次类推，任一个自然数都可通过由零开始逐次加1得到．如果把计数单位1化小，把它分为2份、3份……，n 份，取其中的一份做单位，则这些分数单位分别是21、31……n 1．分数32，表示2个31，分数n m ，表示m 个n1． 但这些数能满足我们生活的需要吗？还会有新的数吗？◆教学过程设计出示“中国地形图”，引导学生观察，讨论并回答下列问题： （1）世界最高峰——珠穆朗玛峰海拔高8848米表示什么？ （2）吐鲁番盆地在地形图上标着－155（米）表示什么？［师生共析］小学地理中讲过在测量地形高度时，规定海平面的高度为0米，于是高8848米表示比海平面高出8848米，称作海拔8848米，而－155（米）表示吐鲁番盆地比海平面低155米，称作海拔－155米．在这里出现了“－155（米）”，它带有“－”号（读作负）表示比海平面低的高度．［师］老师再向大家提一个问题，有谁知道“新闻联播”之后除广告外接下来的节目是什么？ ［生］天气预报［师］很好．现在我们来共同看一下某天我国部分城市的天气预报．哈尔滨小雨15 6 长春多云18 10沈阳小雨19 7 天津小雨12 8呼和浩雨夹雪8 －3 乌鲁木齐晴 4 －5特西宁小雪 5 －4 银川小雪0 －4兰州雨夹雪 3 －3 西安小雨16 7拉萨多云15 1 成都雷阵雨17 10重庆雷阵雨22 11 贵阳雷阵雨13 8 从表中可以看到什么？［生］表中的低温数字有带“－”号的．［师］这里“－”号表示什么呢？［生］表示这个温度比0 ℃低的温度．［师］对．在测量温度时，用到了温度计．（出示温度计）．那么，温度计中又以什么为基准呢？［师生共析］把冰的溶解温度定为0℃，如果温度计液面上升指在0以上第5个刻度时，则它表示的温度比0℃高5摄氏度，记作5℃．如果液面下降指在0以下第5个刻度，则它表示的温度比0℃低5摄氏度，记作－5℃，读作负5摄氏度．上面两个例子中，分别出现了－155，－3，－4，－5这样的数，我们把这样的数叫负数．一般地，若一个地方的高度比海平面高35米，它的海拔高度就是35米；若一个地方的高度比海平面低15米，它的海拔高度就是－15米．温度的情况与海拔高度类似．即温度比0℃高8℃时，温度是8℃，当温度比0℃低3℃、4℃、5℃等时，温度就分别为－3℃、－4℃、－5℃等．（出示投影片§2.1B）．学生阅读，并归纳其特点：比0大的数叫正数（positive number）如，8848、35、8……在正数前面加上“－”（读作负）号的数叫负数（negative number）如，－3、－4、－5、－155……0既不是正数，也不是负数．［生］正数：比0大的数．负数：在正数前面加上“－”号的数．零：是正、负数的界限．［师］大家总结的很好．正数的特点就是比0大的数．为了突出数的符号，可以在正数前加“+”号．如，+5，+12，+8848……．负数的特点就是在正数前面加“－”号．零既不是正数，也不是负数，是正、负数的界限，表示“基准”的数．零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量．某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加10分，答错一题扣10分，不回答得0分；每个队的基本分均为0分．四个代表队答题情况如下表：每个代表队的最后得分是多少？你是怎么表示的？与同伴进行交流，完成下表（出示小黑板）：第1题第2题第3题第4题第5题合计第一队第二队第三队第四队（学生阅读题后，分组讨论填写，请一位同学上黑板填写．教师、学生共同纠正）：第一队分别为：+10、－10、+10、+10、－10、+10；第二队分别为：－10、+10、0、+10、+10、+20；第三队分别为：+10、+10、－10、－10、0、0；第四队分别为：+10、－10、+10、－10、－10、－10；强调：书写负数时不要忘了“－”号．［师］生活中你见过带有“－”号的数（即负数）吗？请举例．［生］见过．股市的股票的上升与下跌中下跌数用的数为负数；企业的年收入的盈利与亏损中的亏损数也为负数等等．［师］很好．在现实生活中．经常见到这些具有相反意义的量．这些量的大小都可用正、负或0表示．表示具有相反意义的量是正、负数最直接的重要应用．大家总结一下有哪些具有相反意义的量可以用正、负数表示呢？（学生讨论、总结、出示投影片§一般情况下，正、负规定如下：符号具有相反意义的量+ 收入盈余上升零上东增加……－支出亏损下降零下西减少……［例1］（1）在知识竞赛中，如果用+10分表示加10分，那么扣20分怎样表示？（2）某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？（3）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作+0.02克，那么－0.03克表示什么？［师生共析］刚才我们已经知道：习惯上，人们把零上的温度、向东的行程、上升的高度等规定为正的，而把零下的温度、下降的高度、向西的行程等与前面意义相反的量规定为负的．所以我们来看例1的（1）小题：用+10分表示加10分，那么扣20分就应表示为－20分．因为扣与加是两个具有相反意义的量．在这里的“基准”为0分．相应的（2）、（3）就可以表示出来．需要注意的是：（2）的基准是转盘不动；（3）的基准是一只乒乓球的标准质量．强调：并不是所有的基准都必须为零．在用正负数表示具有相反意义的量时，每一题都必须有一定的基准．解：（1）扣20分记作－20分．（2）沿顺时针方向转12圈记作－12圈．（3）－0.03克表示乒乓球的质量低于标准质量0.03克．◆课堂板书设计§2．1 数怎么不够用了一、概念正数：比0大的数．负数：在正数前面加上“－”号的数． 零：既不是正数，也不是负数． 二、正、负数的应用 例题 课堂练习 三、数的分类 四、课时小结 五、课后作业◆练习作业设计（课堂作业设计）1、用正、负数表示：盈利6000元可记作_____元，亏损500元可记作_____元． 答案：+6000 －5002、所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合．把下列各数中的正数和负数分别填在如图中表示正数集合和负数集合的圈里．－11，4．8，+73，－2．7，127,61，－8．12，43，0．解：如下图所示：3、甲地海拔高度是30米，乙地海拔高度是－10米，哪个地方高？高的地方比低的地方高多少？答案：甲地高，甲地比乙地高40米． 4、把下列各数填到相应的集合中：1，31，0．5，+7，0，－6．4，－9，136，0．.3，5%，－26正数集合：｛…｝； 分数集合：｛ …｝； 整数集合：｛ …｝； 负数集合：｛ …｝；答案：正数集合：｛1，31，0．5，+7，136，0．.3，5%，…｝；分数集合：｛31，0．5，－6．4，136，0．.3，5%，…｝整数集合：｛1，+7，0，－9，－26，…｝负数集合：｛－6．4，－9，－26，…｝。
八年级数学上册(第二章 第1课时 数怎么又不够用了)练习题北师大版 试题
轧东卡州北占业市传业学校<第二章 第1课时 数怎么又不够用了>练习题A 组一、填空题1.在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=1，那么斜边2AB=，AB 的长在正整数 与 之间。
2.如图，由9个边长为1的正方形拼成的，那么△ABC 的边长中， 是有理数线段， 和 不是有理数线段。
3.要做一个面积为172cm 的正方形，它的边长a 的整数局部是 ，十分位是 ，百分位是 。
4. 以下各数中哪些是有理数？哪些是无理数？0，722，14.3，9913，π-，6.5 错误！未找到引用源。
， 121121112.4〔每两个2中的1增加一个〕，901，6，14141414.3.有理数有 ； 无理数有 .5.一个圆的半径为1m ，第二个圆的面积是它的3倍，那么第二个圆的半径为 cm ．〔精确到1.0cm 〕．6.有六个数：123.0,3)5.1(-,1416.3,722,π2-, 2020020002.0〔每两个2中的0增加一个〕假设其中无理数的个数为x ，整数的个数为y，非负数的个数为z，那么z y x ++= ．二、解答题7.一长方形的长与宽之比为3：2，长方形的周长为10，对角线的长可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？如果要求精确到个位，对角线的长为多少？精确到十分位呢？8.如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的假设干个顶点，可得到一些线段，试在线段AB、AC、AD、AE、BE中分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段．9.如图：在长方形ABCD AE，BE10.在棱长为4cm的正方体箱子中，放进一根细长的铁棒，那么这根铁棒的最大长度可能是多少？你能估计出来吗？〔结果保存2个有效数字〕B组订正：。
北师大版八年级数学上册2.1数怎么又不够用了教案2
2.1 数怎么又不够用了(二) 教案教学目标：(一)教学知识点1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.2.会判断一个数是有理数还是无理数.3.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.教学重点：1.无理数概念的探索过程.2.用计算器进行无理数的估算.3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.教学难点：1.无理数概念的建立及估算.2.用所学定义正确判断所给数的属性.教学过程：一、创设问题情境，引入新课我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一些数，如a2=2,b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它的真面目.二、讲授新课1.导入请看图（1）如图1—2，3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。
（2）大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？因为a2大于1且a2小于4，所以a大致为1点几.（3）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索。
a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如 1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4＜a＜1.5，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.还可以继续算下去吗？ a 可能是有限小数吗？ 事实上，a=1.41421356…，它是一个无限不循环小数。
做一做（1）估计面积为5的正方形的边长b 的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计。
答案：精确到十分位是2.2．（2）如果精确到百分位呢？事实上，b=2.236067978…，它是一个无限不循环小数。
北师大版-数学-八年级上册-北师大版八年级上 2.1 数怎么又不够用了 培优教案
第二章实数●课题：§2.1 数怎么又不够用了(1)●教学目标(一)教学知识点1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由.(二)能力训练要求1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.(三)情感与价值观要求1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神.●教学重点1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2.会判断一个数是否为有理数.●教学难点1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2.判断一个数是否为有理数.●教学方法师生共同讨论法.教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.●教具准备有两个边长为1的正方形，剪刀.投影片两张：第一张：做一做(记作§2.1.1 A)；第二张：补充练习(记作§2.1.1 B).●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课［师］同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.［生］在初一我们还学过负数.［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.Ⅱ.讲授新课1.问题的提出［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？［生］好.(学生非常高兴地投入活动中). ［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下. 同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师. ［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a ，则a 应满足什么条件呢？［生甲］a 是正方形的边长，所以a 肯定是正数. ［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a 2=2.［生丙］由a 2=2可判断a 应是1点几.［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a 是整数吗？a 是分数吗？请大家分组讨论后回答.［生甲］我们组的结论是：因为12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所以a 应在1和2之间，故a 不可能是整数.［生乙］因为913131,943232,412121=⨯=⨯=⨯，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a 不可能是分数.［师］经过大家的讨论可知，在等式a 2=2中，a 既不是整数，也不是分数，所以a 不是有理数，但在现实生活中确实存在像a 这样的数，由此看来，数又不够用了.2.做一做投影片§2.1.1 A(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为b ，则b 应满足什么条件？ (3)b 是有理数吗？［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容.［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a ，b ，斜边为c ，则有a 2+b 2=c 2.［师］在这个题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b，根据勾股定理得b2=12+22，即b2=5，则b是有理数吗？请举手回答.［生甲］因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数.［生乙］没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数.［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.Ⅲ.课堂练习(一)课本P25随堂练习如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？解：由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h2=3.h不可能是整数，也不可能是分数.(二)补充练习为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为a米，则由勾股定理得a2=12+22，即a2=5，a的值大约是多少？这个值可能是分数吗？解：a的值大约是2.2，这个值不可能是分数.Ⅳ.课时小结1.通过拼图活动，让学生感受有理数又不够用了，经历无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断一个数是否为有理数.Ⅴ.课后作业(一)课本P49习题2.1解：设长、宽分别为3、2的长方形的对角线长为a，得a2=32+22，a2=13a不可能是整数，也不可能是分数.(二)预习内容：P49~P51预习提纲：(1)借助计算器，采用估算的方法探索a2=2中的a的大小.(2)无理数的概念.(3)会判断一个数是有理数或无理数.Ⅵ.活动与探究下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.解：如图，AB=2，BE=1，AB、BE是有理数.AD2=AB2+BD2=22+32=13，AC2＝1＋1＝2.AE2=AB2+BE2=22+12=5.AC、AD、AE既不是整数，也不是分数，所以不是有理数.§2.1 数怎么又不够用了(1)一、问题的提出(讨论a2=2中的a既不是整数，也不是分数)二、做一做(由勾股定理得b2=5，且b既不是整数，也不是分数)三、练习四、小结五、作业●课题：§2.1 数怎么又不够用了(2)●教学目标(一)教学知识点1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.2.会判断一个数是有理数还是无理数.(二)能力训练要求1.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.2.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练大家的思维判断能力.(三)情感与价值观要求1.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.2.充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.●教学重点1.无理数概念的探索过程.2.用计算器进行无理数的估算.3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.●教学难点1.无理数概念的建立及估算.2.用所学定义正确判断所给数的属性.●教学方法老师指导学生探索法●教具准备计算器.投影片三张：第一张：补充练习(记作§2.1.2 A);第二张：补充练习(记作§2.1.2 B)；第三张：补充练习(记作§2.1.2 C).●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］同学们，我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一些数，如a2=2,b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它的真面目.Ⅱ.讲授新课1.导入［师］请看图大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.［生］因为3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大.［师］大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？［生］因为a2大于1且a2小于4，所以a大致为1点几.［师］很好.a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如 1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4＜a＜1.5，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.［生］因为1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以a应比1.41大且比1.42小，所以百分位上数字为1.［生］因为 1.4112=1.990921，1.4122=1.993744，1.4132=1.996569，1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以a应比1.414大而比1.415小，即千分位上的数字为4.［生］因为1.41422=1.99996164，1.41432=2.00024449，所以a应比1.4142大且比1.4143小，即万分位上的数字为2.［师］大家非常聪明，请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.边长a 面积S1＜a＜2 1＜S＜41.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.251.41＜a＜1.42 1.9881＜S＜2.01641.414＜a＜1.415 1.999396＜S＜2.0022251.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜S＜2.00024449［师］还可以继续下去吗？［生］可以.［师］请大家继续探索，并判断a是有限小数吗？［生］a=1.41421356…，还可以再继续进行，且a是一个无限不循环小数.［师］请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？请大家分组合作后回答.(约4分钟)［生］b=2.236067978…，还可以再继续进行，b也是一个无限不循环小数.［生］边长b不会算到某一位时，它的平方恰好等于5，但我不知道为什么.［师］好.这位同学很坦诚，不会就要大胆地提出来，而不要冒充会，这样才能把知识学扎实，学透，大家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果b算到某一位时，它的平方恰好等于5，即b 是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以b 不可能是有限小数.2.无理数的定义请大家把下列各数表示成小数.3，112,458,95,54，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间.［生］3=3.0，54=0.8，95=•5.0，•=71.0458，••=818.1112［生］3，54是有限小数，112,458,95是无限循环小数.［师］上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.像上面研究过的a 2=2,b 2=5中的a ，b 是无限不循环小数. 无限不循环小数叫无理数(irrational number).除上面的a ，b 外，圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.3.有理数与无理数的主要区别(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. (2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能. 4.例题讲解下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，－34，••75.0，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).解：有理数有3.14，－34，••75.0.无理数有0.1010010001…. Ⅲ.课堂练习 (一)随堂练习下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.4583，•7.3，－π，－71，18. 解：有理数有0.4583，•7.3，－71，18.无理数有－π. (二)补充练习 投影片(§2.1.2 A)判断题(1)有理数与无理数的差都是有理数. (2)无限小数都是无理数. (3)无理数都是无限小数.(4)两个无理数的和不一定是无理数.解：(1)错.例π－1是无理数. (2)错.例•5.1是有理数.(3)对.因为无理数就是无限不循环小数，所以是无限小数. (4)对.因为两个符号相反的无理数之和是有理数.例π－π=0. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.351，－••69.4,32，3.14159，－5.2323332…，123456789101112…(由相继的正整数组成).解：有理数有0.351，－••69.4,32，3.14159，无理数有－5.2323332…，123456789101112…. 在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.［生］有理数集合填0，115，－3. 无理数集合填－π，－23π，0.323323332…. Ⅳ.课时小结本节课我们学习了以下内容. 1.用计算器进行无理数的估算. 2.无理数的定义.3.判断一个数是无理数或有理数. Ⅴ.课后作业 1.P 30习题2.2.2.预习内容：平方根. Ⅵ.探究与活动设面积为5π的圆的半径为a . (1)a 是有理数吗？说说你的理由.(2)估计a的值(精确到十分位，并利用计算器验证你的估计).(3)如果精确到百分位呢？解：∵πa2=5π∴a2=5(1)a不是有理数，因为a既不是整数，也不是分数，而是无限不循环小数.(2)估计a≈2.2.(3)a≈2.24.。
北师大版八年级上册数学《数怎么又不够用了》实数精品PPT教学课件
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你想出来了吗？
事实上，3，4两块并不密 切合缝，拼成的正方形缺 少了图中的阴影部分。
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开卷有益：
是谁最早使用符号π表示圆周率?
无理数π表示圆周率.是从什么时候开始用π表示圆周 率的呢？为什么用字母呢π ？
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1600年英国的威廉.奥托兰特（Willian Oughtred）首先使 用 表示圆周率，他的理由是，因为π是希腊文圆周的第一个
q 为整数且互质），而无理数不能.
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例3 以下各正方形的边长是无理数的是（ C ）
A.面积为25的正方形；
B.面积为 4 的正方形； 25
C.面积为8的正方形；
D.面积为1.44的正方形.
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例4
？
一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边
a是有理数吗?
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数够用了吗?
再见!!!
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感谢你的阅览
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日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
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设计面积为5π的圆的半径为a.
(1)a是有理数吗?说说你的理由.
(2)估计a的值(精确到十分位,并利用你的计算器验证
你的估计.
(3)如果精确到百分位呢?
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数学：2.1数怎么又不够用了课件(北师大版八年级上)
以正方形网格中 的格点为端点，分 别画出两条长度是 有理数和无理数的 线段．
公元前 500年，古希腊毕达哥拉斯 (Pythagoras) 学派认为“万物皆为数”，即宇 宙间的一切现象都能归结为整数与整数之比， 也就是指一切现象都可用有理数来描述。
但后来这学派的成员希伯索斯 (Hippasus) 发 现边长为 1的正方形的对角线的长不能用整数 或整数之比来表示，这就动摇了毕达哥拉斯 学派的信条，引起了信徒们的恐慌，据说， 他为此被投入大海，为发现真理而献出宝贵 的生命，但真理是不可战胜的。
把两个边长为 1的小正方形拼成一个大正方形
a
设大正方形的边长为 a，则 a满足什么条件？ 解：? S大正方形 ? 2
? a2 ? 2
a
aa
a 可能是整数吗？
Hale Waihona Puke a 可能是分数吗？? a 不是整数 又 ? a 也不是分数
? a 不是有理数
b
(1) 该线段的长度为b， 则b满足什么条件？ (2) b是有理数吗？
我们一方面应积极学习经验，另一方面， 不能死搬教条，要大胆致疑，如不这样， 科学就会停留某处而不前进。
北师大版数学八年级《数怎么又不够用了》
O
x
点拨：画出两函数的草图即可得答案
Y=-x-2
四、特殊值法：
选择题中所研究的量可以在某个范围内任意取值，这时可以 取满足条件的一个或若干特殊值代人进行检验，从而得出正确答 案．有些问题从理论上论证它的正确性比较困难，但是代入一些 满足题意的特殊值，验证它是错误的比较容易，此时，我们就可 以用这种方法来解决问题。
运用相关的定义、概念、定理、公理等内容，作出正确选择 的一种方法．
例8 已知一次函数y=kx－k，若y随x的增大而减小， 则该函数的图象经过（ ） A．第一、二、三象限； B．第一、二、四象限
C第二、三、四象限； D．第一、三、四象限
点拨：本题可采用“定义法”．因为y随x的增大而减小， 所以k＜0．因此必过第二、四象限，而－k＞0．所以图象 与y轴相交在正半轴上，所以图象过第一、二、四象限.
二、排除法：
排除法根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下
惟一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选 项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。排除法是解选 择题的间接方法，也是选择题的常用方法。
已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同 一坐标系内的大致图象是（ ）
A
128 27
C 12
B 10 D 27
直接变形法
选项变形
练习3 、当a=-1时，代数式(a+1)2+a(a-3) 的值是( )
A -4
B4Biblioteka C -2D2直接代入法
已知代入
练习4、
不等式组
x
2x 3 1 8 2x
的最小整数解是 ( )
A -1 B 0
2.1 同步素材 数怎么又不够用了(北师大版八年级上册)2
（二）、探究实数的相反数、倒数、绝对值．
学习建议：请同学们结合课本55页的内容认真思考、 小组合作、积极交流探讨完成以上探究，完成后小组展示 你们组所探讨的成果．
通过今天的学习,说说你的收获和体会?
１、实数的定义： 有理数和无理数统称为实数． ２、实数的分类： 有理数 实数 无理数 实数
正实数 正无理数 0 负有理数 负实数 负无理数
《数学》(北师大版八年级上册)
§2.6.1 实 数
兰州市第五十六中学 刘海军
3
学生观察下列所给出的数字，并思考教师提出 的问题．教师把制作好的卡片提前发给学生，让学 生根据自己的思路贴入相对应的集合中． 5 1 2， ， ， ， ， 2 ， 20 ， 5， 3 8 ， 4 ， 2 4 9 3
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实 数和数轴上的点是一一对应的．
实数 a
-2
-1
Ａ
0
1
2
实数的相反数、倒数、绝对值: a 是一个实数，则
（1）相反数：a与 a 互为相反数；0的相反数仍是 0 ； （2）倒 数）； （3）绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它 的相反数；0的绝对值是0； 即：
正有理数
３、实数与数轴上点之间的对应关系： 实数与数轴上的点是一一对应的． ４、实数的相反数、倒数、绝对值： 实数和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义 完全相同．
请同学们认真完成导学案中当堂 检测．
1.课本习题2.8的知识技能1、2、3； 2.预习实数第二课时．
实数与数轴上的点的对应关系：
| a |
1 数：当 a 0 时，a与 a 互为倒数（0没有倒
北师大版-数学-八年级上册--2.1数怎么又不够用了课后拓展训练
初中-数学-打印版初中-数学-打印版 2.1数怎么又不够用了1．在等式x 2＝3中，下列说法正确的是 ( )A ．x 是整数B ．x 是分数C ．x 是有理数D ．x 是无理数2．下列说法正确的是 ( )A ．无理数都是无限小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．无限小数不能化为分数3．下列各数由大到小排列正确的是 ( )A. 25＞π9＞13B. π9＞13＞25 C ．25＞13＞π9 D. π9＞25＞134．下列各数20，π6，|-4|，0.56，0．7070070007…中，无理数的个数与有理数的个数之积为 ( )A ．0B ．2C ．4D ．65在整数 和 之间．6．下列各数3．14，π，0，237，3.14，3.1414414441…中： (1) 是有理数， 是无理数；(2)把以上各数用“＜”连接起来．7．(1)设面积为13的正方形的边长为x ，则x 是有理数吗?(2)估计x 的值(结果精确到十分位)，并用计算器验证你的结果；(3)如果结果精确到百分位呢?8．已知4．7962≈23，15．1662≈230，则47．962和0．151662各为多少?参考答案1．D2．A3．A4．D5．9 106．解：(1)3．14，0，237，3．14 π，3．1414414441…(2)0＜3．14＜3．14＜3．1414414441…＜π＜237. 7．提示：(1)x 不是有理数，它是无限不循环小数． (2)x ≈3．6． (3)x ≈3．61．8．解：47．962＝(4．796×10)2＝4．7962×102≈23×100=2300，0．151662=(15.166100)2=215.16610000≈23010000=0．023．。
2021年八年级数学上册 第二章第一节 数怎么又不够用了(二)教案 北师大版
2019-2020年八年级数学上册第二章第一节数怎么又不够用了（二）教案北师大版一、学生起点分析通过第一课时的学习，让学生先感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，我们所学的数又不够用了，从而激发学生学习的好奇心、积极主动地参与到学习中，充分感受到无理数引入的必要，发展学生的合情推理能力.二、教材任务分析《数怎么不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节.第1课时让学生感受数的发展，建立无理数的概念，第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数.本课时为第2课时，内容是建立无理数的基本概念，并能结合实际判别有理数和无理数，同时在活动中进一步发展学生独立思考和合作交流的意识和能力，而且在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系.而且对今后学习数学也有着重要意义.三、教学目标分析（一）教学目标知识与技能目标1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数,并从中体会无限逼近的思想.2．会对所学的数进行分类，并说明理由.3．探索无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数.过程与方法目标1．通过学生活动准确认识到有理数都可以划成有限小数和无限循环小数，发展学生的抽象概括能力.2．通过对有理数的相关知识的归纳和总结，能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类.3．进一步让学生将有理数和无理数结合实际问题进行分析推理，培养学生解决问题的能力.情感与态度目标1．让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，同时发展学生的估算能力，在数学活动发挥学生的积极作用.2．充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神.（二）教学重点：1．无理数概念的建立过程.2．了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.（三）教学难点1．无理数概念的建立及估算.2．会判断一个数是无理数还是有理数，有理数与无理数的区别.四、教学方法1. 教学方法：引导、探究、发现与合作交流相结合.2. 课前准备：多媒体、计算器.五、教学过程本节课设计六个教学环节；第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与巩固；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置第一环节：新课引入想一想：1. 有理数如何分类的？整数（如-1，0，2，3，…):都可看成有限小数有理数分数(如-，，，… )：可不可能都化成有限小数或无限小数?2.上节课了解到一些数，如a2=2，b2=5中的a，b 既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，这些数既不是整数，也不是分数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数怎么又不够用了”.第二个环节：活动与探究（一）探索无理数的小数表示内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a和面积为5的正方形的边长b进行估计.归纳总结:a，b既不是整数，也不是分数，则a，b一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.意图：借助计算器探索出a=1.41421356…，b=2.2360679…，是一个无限不循环小数，并从中感受无限逼近的数学思想.效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续以无限部循环小数定义无理数打下基础.（二）探索有理数的小数表示，明确无理数的概念内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式。
八年级数学上册(2.1 数又不够用了)教学设计 北师大版 教案
数又不够用了一、教学内容与分析：（一）内容：建立无理数的概念，借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数。
（二）分析：让学生感受数的发展，建立无理数的概念，借助计算器感受无理数是无限不循环小数，并能结合实际判别有理数和无理数，同时在活动中进一步发展学生独立思考和合作交流的意识和能力，而且在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系.而且对今后学习数学也有着重要意义. 二、教学目标与分析： ( 一)目标:1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2．能正确地进行推理和判断识别某些数是否为有理数、无理数，训练他们的思维判断力，并能说出理由. （二）分析：通过学生活动准确认识到有理数都可以划成有限小数和无限循环小数，通过对有理数的相关知识的归纳和总结，能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类.无限不循环小数是无理数。
三、问题诊断分析：本节课学生可能出现的问题是有理数与无理数概念的区别。
特别注意，任何有限小数和无限循环小数都是有理数. 四、教学支持条件分析： 五、教学过程： （一）、想一想 1. 有理数如何分类的？整数（如-1，0，2，3，…):都可看成有限小数有理数分数(如-31，52，119，… )：可不可能都化成有限小数或无限小数? 2、.直角边长分别为3和1的直角三角形的斜边长是不是有理数？（二）、探究1、a 2=2中的a 是有理数吗？为什么？2、面积为5的正方形，它的边长b 可能是有理数吗？说说你的理由。
3、a 2=2，b 2=5中的a ，b 既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？ （三）、活动与探究1、探索无理数的小数表示：借助计算器以小组讨论的形式对 面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计.归纳总结:a ，b 既不是整数，也不是分数，则a ，b 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.2、探索有理数的小数表示，明确无理数的概念请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式。
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..
0.57，0.101001000100001, 1.2332333233332…，
1
， ， 2
2、在直角三角形ABC中，∠C＝ 90°若a＝2，b＝3，则c满足什么条件？ C是有理数吗？你能确定c的近似值吗？ （精确到0.1） 3、已知a、b是两个连续正整数，且 2 2 a ﹤7﹤b ，则a+b＝____ 5
无理数和有理数的区别： 1.无理数是无限不循环的小数； 2.有理数是有限小数和无限循环小数; 3.有理数都可以写成分数.
自学检测（8分钟）：
1、判断下列说法是否正确：
1)、无理数是无限小数。
2)、无限小数都是无理数。 3)、有理数都是有限小数。
（√ ）
（ （√ ） )
4)、有限小数都是有理数。 （√ ） 5)、 是分数。 （ ）
5 a
即a2=34.因为34不是完全
无理数的定义. 2.数的分类. （按小数的形式来分）
数 有理数：有限小数或无限循环小数 无理数：无限不循环小数 整数
分数
3.判定一个数是无理数还是有理数. 4、借助计算器求一个无理数的近似值。
当堂训练：（10分钟） 1、 下列各数中，哪些是无理数？哪些是 有理数？ 4 0.123432123432 … ， 3.14， 3 ，
2 2
4、已知m ＝26，n ＝88，那么在m、 6, 7, 8,。 9 n之间的正整数有________
5.
（1）设面积为20的正方形的边长为x， x是有理数吗？说说你的理由.
（2）估计x的值（结果精确到十分位） 并用计算器验证你的估计。
（3）如果结果精确到百分位呢？
数够用了吗?
再见!!!
3
2.下列各数中，哪些是有理数？ 哪些是无理数？
22 - ， ， 18 0.4583，3.7， 7 559 ，3.97，-234.10101010…… 180
.
0.12345678910111213…… （小数部分由相继的正整数组成）
3、一个直角三角形两条直角边的长分别是3和
5,则斜边a是有理数吗? 解:由勾股定理得:a2=32+52,
§2.1 数怎么又不够用了(2)
学习目标:(1分钟）
1.理解无理数的定义，并会判断一 个数是否是无理数。分清有理数与无理 数的区别。
2.借助计算器，探索无理数是无限 不循环小数。并会求一个无理数的近似 值。
自学指导：（5分钟）
自学课本P35议一议，想一想，完成：
1、把下列各数表示成小数，你发现什么？
4 5 8 2 3, , , , . 5 9 45 11
无限不循环小数 2、 ___________叫做无理数，有理数与无理 数的区别是_____________________。
3.仿例1完成P36－1T，P37－1T。
无理数和有理数的联系和区别
无理数和有理数的联系：
无理数与有理数都可以写成小数的形式.