2015-2016概率统计论试题

A 卷

2015—2016学年度第二学期

概率论与数理统计 试题答案及评分标准

一．填空题（每小题3分，共15分）

1. 设事件A 和事件B 相互独立，发生的概率分别为0.4和0.7，那么A 与B 的和事件发生的概率为 。

2. 从19-这九个数字中任取三个，它们的乘积是偶数的概率是 。

3. 设A n 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的0ε>，lim A n n P p n ε→+∞

⎧⎫

-<=⎨

⎬⎩⎭

。 4. 设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间[]0,1上的均匀分布，那么

()D X Y += 。

5.

设

总

体

X

的一个样本

12,,,,1,

n X X X n >L 在三个统计量

12312123,

,

6n

X X X X X X X n

+++++L 中，可以作为总体期望EX 的无偏估计量的统计量的个数是 ．

填空题答案：1.0.82 2.

3742 3.1 4.1

6

5.3

二．选择题（每小题3分，共15分）

1．假设事件A 和B 满足()

1P B A =，则 。 （A ）事件A 是必然事件 （B ）()

0P B A = （C ）A B ⊃ （D ）A B ⊂

2．设,X Y 是两个相互独立的随机变量，且()()221

1

2

2

~,,~,X N Y N μσμσ，则2Z X Y =+服从

的分布是 。 （A ）()22

1

2

12,2N μμσ

σ++ （B ）()2

2

1

2

122,2N μμσ

σ++ （C ）()221

2

1

2,4N μμσ

σ++

（D ）()221

2

1

22,4N

μμσ

σ++

3. 设随机变量,X Y 同分布，分布律为101111424-⎛⎫

⎪ ⎪

⎝⎭

，且满足{}01P XY ==，则{}P X Y == 。

（A ）0 （B ）

12

（C ）14

（D ）1

4. 设12,,,n X X X L 是来自正态总体()

20,2N 的样本，,X S 分别为样本均值与样本标准差，则 。 （A ）()~0,1nX N

（B ）()~0,1X N （C

）()~1X

t n S

- （D ）()2

2~14

nS n χ-

5. 在假设检验中，记1H 为备择假设，则称 为犯第一类错误。 （A ）1H 真时接受1H （B ）1H 不真时接受1H （C ）1H 真时拒绝1H

（D ）1H 不真时拒绝1H

选择题答案：1.B 2.D 3.A 4.C 5.B

三．（本题10分）罐子中有()1m m >只白球，1只黑球。从中随机摸出一只，观察颜色后放回罐中，并同时再放入一只同一颜色的球。问：（1）第二次摸出白球的概率是多少？（2）连续摸出三个白球的概率是多少？（3）随机摸球两次，若第二次摸出白球，判断第一次更有可能摸出哪种颜色的球？ 【解答】用,i i W B 分别表示第i 次摸出白球和黑球。 （1）由全概率公式

{}{}{}{}{}21211211112121

m m m m

P W P W P W W P B P W B m m m m m +=+=

⋅+⋅=+++++。（1+1+1分） （2）由乘法公式{}{}{}{}123121312

121233m m m m

P WW W P W P W W P W WW m m m m ++==⋅⋅=++++。（2+1分）

（3）由贝叶斯公式

{}12P W W {}{}{}{}{}{}121121121P W P W W P W P W W P B P W B =

+1

1121121212

m m m m m m m m m m m m m +⋅

+++==++⋅+⋅

++++，（1+1分） {}12P B W {}{}

{}{}{}{}

121121121P B P W B P B P W B P W P W W =

+1

2

m =

+，（1分） 因此，第一次更有可能摸出的是白球（1分）。

四．（本题12分）在某次实验中需要测量某物体的长度。一组测量结果如下（单位：毫米） 286 285 289 284 284 287 288 283 288。 物体长度服从正态分布，其均值和方差分别记作μ和2σ。

问题：（1）求均值μ的置信区间，置信度为0.95；（2）是否可以认为物体的长度是282毫米？显著性水平0.05α=；（3）是否可以认为物体的长度282μ≤毫米？显著性水平0.05α=。 已知数据：0.05 1.65z =；()0.058 1.860t =；()0.059 1.833t =；()0.0510 1.813t =； 0.025 1.96z =；()0.0258 2.306t =；()0.0259

2.262t =；()0.02510 2.228t = 2.12=。

解：构造t -统计量3

X t S μ

-=

，则()~8t t （2分）。简单计算得到286X =，2 4.5S =。（2分） （1）置信度为0.95，则()0.0258 2.306t =，置信区间为()()0.0258284.37,287.63S X t ⎛⎫

±= ⎪⎝⎭

。（2分）

（2）作双边检验01:282,:282H H μμ=≠，（1分）拒绝域为()0.0258 2.3063

X t t S μ

-=

>=，（1分）本题 5.66 2.306t =>，因此不接受零假设0H ，不能认为物体的长度是0282μ=毫米（1分）。 （3）作单边检验01:282,:282H H μμ≤>，（1分）拒绝域为()0.058 1.8603

X t t S μ

-=

>=，

（1分）本题5.66 1.860t =>，因此拒绝原假设0H ，认为物体的长度282μ>毫米。（1分）

五．（本题12分）设总体X 分布在区间()0,1上，其概率密度为()()1,01f x x x θ

θ=+<<，其中θ

是未知参数，1θ>-。求：θ的矩估计量和最大似然估计量。 【解】由于()1

1

0112EX x dx θθθθ++=

+=+⎰（2分），令1

2X θθ+=+（2分），解得211X X

θ-=-，所以θ