计量经济学第6章时间序列分析

则一个时间序列是“弱平稳的”，通常情况下，我们所 说的平稳性指的就是弱平稳。
三、五种经典的时间序列类型
1.白噪声（ White noise）
白噪声通常用εt表示，是一个纯粹的随机过程，满足： （1）E(εt) = 0 , 对所有t成立； （2）V ar(εt) = σ2，对所有t成立； （3）Cov (εt, εt+k) = 0，对所有t和k≠0成立。
而与α、β无关。
2. ADF检验
在DF检验中，实际上是假定了时间序列是由具有白噪声 随机误差项的一阶自回归过程AR(1)（见教材式6.3.2）生成的。 但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成 的，或者随机误差项并非是白噪声的，为了保证DF检验中随 机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，
第六章 时间序列分析
6.1 时间序列分析的基本概念 6.2 平稳性检验 6.3 ARIMA模型 6.4 协整与误差修正模型 6.5* 向量自回归（VAR）模型
第一节 时间序列分析的基本概念
一、时间序列与随机过程
随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为{X t ，t T }
的两个模型分别进行检验，可以得到同样的结论。
第三节 ARIMA模型
ARIMA 模 型 （ autoregressive integrated moving average model ），又称为 Box-Jenkins 模型，简称为 BJ 模 型。它是单变量时间序列在同方差情况下进行线性建模的 最常用的方法。 ARIMA 模型实质上是差分运算与 ARMA 模型 的组合，它不同于经济计量模型的两个主要特点是：第一， 这种建模方法不以经济理论为依据，而是依据变量自身的 变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化；第二，明 确考虑时间序列的非平稳性，如果时间序列非平稳，建立 模型之前应先通过差分把它变换成平稳的时间序列，再考 虑建模问题。
随机游走过程是最简单的非平稳过程，它是 xt=xt-1
+ ε t 的特例，此式通常被称为一阶自回归过程（简记为
AR(1)），可以证明该过程在－1＜＜1时是平稳的，其
他情况下，则不平稳。
xt=xt-1+εt 又是 xt =1 xt-1+2 xt-2+……+q xt-q+εt的特
例，即q阶自回归过程（简记为AR(q)），如果其特征方
x t = 0 + 1 t + ε t , ( <1, vt IID(0, 2))
、单整
如果一个时间序列经过一次差分后能够变成平稳
序列，就称原序列是一阶单整（ integrated of 1 ）
序列，记为 I(1) 。如果一个时间序列经过 d 次差分后 能够变成平稳序列，则相应的称原序列是 d 阶单整 （ integrated of d ）序列，记为 I(d) 。如果一个序 列不管差分多少次，也不能变为平稳序列，则该序列
k
(x
t 1
n k
t
x )( xt k x )
2 ( x x ) t t 1
n
, k 1,2,
理论上，对于平稳序列来说，其自相关函数值 一般会随着滞后期k的增加而快速趋向于0；相反， 非平稳序列的自相关函数值通常随着 k 的增加趋向 于 0 的速度会比较慢，这就是我们利用自相关函数 图进行平稳性判断的标准。
简记为 {X t } 或 X t 。随机过程中的每一个元素 X t 都是随机变量。随机过程的一次观测结果称为时间序列，用 {xt，t T } 表示，并简记为 {xt } 或 xt 时间序列中的元素称为观测值。
时间序列
随机过程的一次实现称为时间序列，可用{xt}或 xt表示。随机过程与时间序列的关系图示如下：
二、平稳性（Stationarity）
1.严平稳
如果一个时间序列xt的联合概率分布不随时 间而变，即对于任何n和k， x1, x2 ,…，xn的联合 概率分布与x1+k , x2+k , … xn+k的联合分布相同， 则称该时间序列是严格平稳的。
2、弱平稳
由于在实践中上述联合概率分布很难确定，我 们用随机变量 xt （ t=1,2,… ） 的均值、方差和协方 差代替之。如果满足：
t-Statistic
Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level 5% level 10% level
-0.264131 -2.717511 -1.964418 -1.605603
0.5749
白噪声可用符号表示为：εt～IID(0, σ2)
写。
（6.1.1）
这里IID为Independently Identically Distributed（独立同分布)的缩
2.随机漫步（Random walk）
如果一个序列由如下随机过程生成：
xt= xt-1+ut ，
其中ut是一个白噪声，则该列序被称为随机漫步。容易 证得E(xt)= E(xt-1)，Var(xt)= t2，xt的方差与时间t有关 而非常数，因此随机漫步序列是非平稳序列。 随机游走序列可以通过差分变换后： Δxt=ut 。由 于ut 是白噪声，所以Δxt是平稳序列，说明随机漫步可 以通过差分变换为平稳序列。
为“非单整” （non-integrated）序列。显然，I(0)
代表平稳时间序列。
第二节 平稳性检验
平稳性检验的方法可分为两类：一类是根据时间
序列图和自相关图显示的特征作出判断的图形检验
法；另一类是通过构造检验统计量进行定量检验的
单位根检验法 (unit root test)。
一、图形检验法
1.时间序列图检验
随机过程： {X 1，X 2，...X T 1，X T } 第1次观测： {x11，x21，...xT 11，xT 1} 第2次观测： {x12，x2 2，...xT 12，xT 2 } : : : : : 第n次观测： {x1n，x2 n，...xT 1n，xT n }
样本空间
比如某河流一年的水位值， {x1, x2, …, xT-1, xT,}， 可以看做一个随机过程，每一年的水位记录则是一 个时间序列，如{x11, x21, …, xT-11, xT1}。 而在每年中同一时刻（如t=2时）的水位记录是不 同的，{ x21, x22, …, x2n,} 构成了x2取值的样本空间。
(6.3.1)
（6.3.1）中0，1，…p为模型的待估参数；p为自回 归模型的阶数；ε t为白噪声。
当p＝1时,称为一阶自回归模型，简记为AR(1)。
i 1
p
三个模型检验的原假设和备择假设都是： H0 ： =0; H1 ：
<0 。只要上述三个模型中有一个能拒绝原假设，则说明原
序列是平稳的；若三个模型都接受了原假设，则说明原序列
是非平稳的，进而需要对其一阶差分序列再进行平稳性检验。
ADF 检验的原理与 DF 检验相同，只是对模型 1 ， 2 ， 3 进行检验
根据平稳时间序列均值、方差为常数的特点，可知平稳 序列的时间序列图应该围绕其均值随机波动，且波动的范 围有界。如果所考察的时间序列的时间序列图具有明显的 趋势性或者周期性，那么通常认为该序列是不平稳的。
2.序列自相关函数的图形检验
对于一个时间序列来讲，其样本自相关函数 （autocorrelation function, ACF）可表示为：
一、ARMA模型
1.ARMA模型的种类
ARMA 模型全称为自回归移动平均模型，是目前最常 用的拟合平稳序列的模型，包括 AR 模型、 MA 模型和 ARMA模型。 （1）AR(p)模型
AR(p)模型可以表述为：
xt 0 1 xt 1 2 xt 2
p xt p t
二、单位根检验法
在实际应用中，对于平稳性的判断，更常用的还是定量的 检验方法——单位根检验法。
1.Dickey-Fuller检验（DF检验）
第一步：首先对Δx t =δx t－1+εt进行回归，得到tδ的值 第二步：检验假设
H 0： 0 H1： ＜0
用第一步得到的tδ值与临界值τ相比较，如果tδ>τ，则接受原假 设H0，即Xt非平稳，若tδ＜τ，则拒绝原假设H0，Xt为平稳 序列。
*MacKinnon (1996) one-sided p-values. Warning: Probabilities and critical values calculated for 20 observations and may not be accurate for a sample size of 16
形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）检验。
ADF检验的模型1 ：
xt xt 1 i xt i t
i 1
p
ADF检验的模型2 ：
xt xt 1 i xt i t
i 1
p
ADF检验的模型3：
xt t xt 1 i xt i t
表6-3显示ADF检验值为-0.264131，大于软件给出的1%、5%和10%
三个水平的临界值，检验伴随概率为0.5749，我们可以得到结论GDP
x x t t 1 t 是非平稳序列。当然大家可以对包括截距项的
和既包括截距项又包括趋势项的 xt
t xt 1 t
程的所有根的绝对值均大于1，则序列是平稳的，否则为 非平稳过程。
3.带漂移项的随机漫步 (Random walk with drift)
首先考虑如下随机过程： xt =+t+ xt-1+ut 其中：ut是白噪声，t为时间趋势。如果=1，=0，则 上式为一带漂移项的随机游走过程： xt =+xt-1+ut （1） 根据的正负，xt表现出明显的上升或下降趋势，这种 趋势称为随机性趋势（stochastic trend）。对于（1 ） 式我们同样可通过差分的方法使其变为平稳的序列， 因 此 （ 1 ） 式 也 被 称 为 差 分 平 稳 过 程 （ difference stationary process），或称随机趋势非平稳过程。