概率论与数理统计习题及答案----第6章习题详解

习题六

1.设总体X ~N （60，152

），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.

【解】μ=60,σ2=152

,n =100

~(0,1)/X Z N n

σ-=

即 60

~(0,1)15/10

X Z N -=

(|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-<

2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-=

2.从正态总体N （，52

）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（,）内的概率不小于，则样本容量n 至少取多大 【解】

~(0,1)5/X Z N n

-=

2.2 4.2 6.2 4.2

(2.2 6.2)(

)55

P X P n Z n --<<=<<

2(0.4)10.95,n =Φ-=

则Φn =，故n >,

即n >，所以n 至少应取25

3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N （1000，σ2

）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S 2

=1002

，试求P （X ＞1062）. 【解】μ=1000,n =9，S 2

=1002

1000

~(8)100/3/X X t t S n

-=

=

10621000

(1062)()( 1.86)0.05100/3

P X P t P t ->=>

=>=

4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差. 【解】~(0,1)/X Z N n

σ=，由P (|X -μ|>4)=得

P |Z |>4(σ/n )=,

故210.02σ⎡⎤⎛-Φ=⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦

,

即0.99.Φ=⎝⎭

查表得

2.33,=

所以

5.43.σ=

= 5.设总体X ~N （μ，16），X 1，X 2，…，X 10是来自总体X 的一个容量为10的简单随

机样本，S 2为其样本方差，且P （S 2

＞a ）=，求a 之值.

【解】22

22299~(9),()0.1.1616S a P S a P χχχ⎛

⎫=>=>= ⎪⎝⎭

查表得

914.684,16

a

= 所以 14.68416

26.105.9

a ⨯==

6.设总体X 服从标准正态分布，X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统计量

Y =

∑∑==-n

i i

i i X

X n 6

25

1

2)15(，n ＞5

服从何种分布 【解】25

2

2

2

2

221

1

~(5),~(5)i n

i

i i i X

X X n χχχ===

=-∑∑

且12

χ与22χ相互独立. 所以

2122/5~(5,5)/5

X Y F n X n =--

7.求总体X ~N （20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于的概率.

【解】令X 的容量为10的样本均值，Y 为容量为15的样本均值,则

X ~N (20,310), Y ~N (20,

3

15

)，且X 与Y 相互独立. 则33~0,

(0,0.5),1015X Y N N ⎛⎫

-+= ⎪⎝⎭

那么~(0,1),X Y

Z N = 所以

(||0.3)||2[1(0.424)]P X Y P Z Φ⎛

->=>=- ⎝

2(10.6628)0.6744.=-=

8.设总体X ~N （0，σ2

）,X 1,…,X 10,…,X 15为总体的一个样本.则

Y =()

2

15

2122112

10

22212X X X X X X ++++++ 服从 分布,参数为 . 【解】

~(0,1),i

X N σ

i =1,2, (15)

那么122

2

10

15

2222

111~(10),~(5)i i i i X X χχχχσσ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑

且12χ与22

χ相互独立, 所以

22

2110122

211152/10~(10,5)2()/5

X X X Y F X X X ++==++ 所以Y ~F 分布，参数为（10,5）.

9.设总体X ~N （μ1,σ2

）,总体Y ~N (μ2,σ2

),X 1,X 2,…,1n X 和Y 1，Y 2，…，2n X 分

别来自总体X 和Y 的简单随机样本，则

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==2)()(21121

22

1

n n Y Y X X E n j j n i i = . 【解】令 122

221

211

1211(),(),11n n i i i j S X X S Y Y n n ===-=---∑∑ 则

1

2

2

2

22

11

221

1

()(1),()(1),n n i

j i j X

X n S y y n S ==-=--=-∑∑

又2

2

22

221122

1

12

22

2

(1)(1)~(1),~(1),n S n S n n χχχχσσ--=-=

-

那么