实变函数习题

同理可证明： m* AB m* A m* B
10、设
En
n1
是可测集列,(i)求证：
m
lim
n
En
lim
n
m
En
.
证明： lim En Ek ,左右取测度
n
n1 k n
m
lim
n
En
m
n1
k n
Ek
m
lnim
k n
Ek
lim
n
m
k n
Ek
lim
n
m
k n
Ek
lim m En n
则 A 为至多可数集与已知矛盾.
第二章习题
2、求证： m* E inf m Q : E Q,Q是开集
证明：因为 E Q ,所以 m* E inf m Q : E Q,Q是开集
又因为
Q是开集
,而
Q
n1Leabharlann Baidu
an
,
bn
,其中
an
,
bn
为两两不交的开区间
m*
E
inf
n1
l
In
:
E
n1
证明：已知 E1 可测,则取集合 T E1 E2 ,有
mE1 E2 mE1 E2 E1 m E1 E2 E1C mE1 m E2 E1C 再取T E2 ,有 mE2 mE2 E1 m E2 E1C
结合上边两式便知 mE1 mE2 mE1 E2 mE1 E2
A B
0,V x, x B
x 为 B 的聚点 x B (ii)若 A B A ,求证： B 是闭集. 根据(i)式可知 B A B ,则 B 是闭集 32、 Rn 中任一集合的孤立点是至多可数的
证明：先来证明 R1 中的孤立点是至多可数的
记 B 为 R1 中以有理数为端点的开区间全体所成的集合, B rm , rn rn , rm Q
证明： mAB 0 AB 可测
由 A 可测可知 AC 可测
而 A BC AB AC ,所以 A BC 可测 从而 A B 可测; B A AB AC 可测,而 B B A B A ,所以可测. 13、设 E1, E2 都可测,求证： mE1 mE2 mE1 E2 mE1 E2 .
解：记 0,1 中的有理数点集为 Q ； 0,1 中的无理数点集为 M
0,1 Q M ；0,1 Q M 0,1 ,作映射
x M , x x, 0 r1,1 r2 , r1 r3.....rn rn2.....
所以 0,1与 0,1 等价
29、求证： Rn 中任一集合的导集是闭集.
证明：若 E ,则 E 为闭集,否则 要证明 E 为闭集 E E
x E x 为 E 的聚点 0,V x, x E x1 V x, x E
1 x1 V x, x 0,使得V x1, V x, 2 x1 E
1 0,V x1,1 x1 E
令 D x , x x A
则 A 与 D 等价,而 D B ,则 D 是至多可数集,从而 A 是至多可数集,因此有限个至多可数集
的直积是至多可数集.
33、若 A 不可数,则 A 也不可数. 证明：假设 A 是至多可数集,则设 B 为 A 的孤立点全体,则 B 为至多可数集
因为 A B A A , A A A ,则 A A 为至多可数集
第一章习题
2、(ii)
n1
An
n1
Bn
n1
An Bn
证明：对于 x
n1
An
n1
Bn ,
x
n1
An且x
n1
Bn
n0 1, x An0且对于n 1, x Bn
n0 1, x An0 Bn0
x An Bn n1
22、具体构造0,1 与 0,1 之间的一个完全的一一映射.
则 B 为可数集. 设 A 为 R1 中的孤立点全体,则对于任意的 x A ,则存在 x 的一个以有理数为端点的邻域
x , x ,使得
x , x A x `
对于每一个 x A ,都做出这样的一个邻域,由于每个邻域中只含有一个 A 中的点,故对于 A
中不同的两个点对应的邻域 x , x ， y , y 也不同.
(ii)若有
k0
,使得
m
k k0
Ek
,求证：
m
lnimEn
limm
n
En
证明： lim n
En
Ek
n1 k n
,左右取测度
m lnimEn
m
n1
k n
Ek
m
lnim
k n
Ek
lim
n
m
k n
Ek
lim
n
m
k n
Ek
lim
n
m
En
11、设 A 可测并且 m AB 0 ,则 B .
证明：要想证明 m* A m* B m* AB ,只需要证明
m* AB m* A m* B m* AB
下面来证明 m* A m* B m* AB ,即证明： m* A m* AB m* B
而 m* AB m* B m* AB B m* A B m* A
In,
I
n
是开区间列
因为开区间是开集,但是开集不一定是开区间,所以
l n1
In
: E In, n1
I
n
是开区间列
m Q : E Q,Q是开集
因此 inf l n1
In
: E In, n1
I
n
是开区间列
inf
m Q : E Q,Q是开集
3、设 G1, G2 是两个不相交的开集, E1 G1, E2 G2 ,
求证： m* E1 E2 m* E1 m* E2
证明：G1 ,
所以 m* E1 E2 m* E1 E2 G1 m* E1 E2 G1C
m* E1 G1 E2 G1 m* E1 G1C E2 G1C
m* E1 m* E2 6、设 m* A , m* B , 求证： m* A m* B m* AB
1 0, V x1,1 中含有 E 的无穷多个点 V x1, 也中含有 E 的无穷多个点 E V x1, E V x,
x E
E E
从而 E 为闭集 30、(i)设 A, B 是任意的两个集合,若 A B ,则 A B . 证明： x A x 为 A 的聚点
0,V x, x A