真值表等值式.ppt
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第二课合式公式真值表等价置换定理
• 界限 (4) 当且仅当能够有限次应用(1) 、 (2) 、 (3)所得到的包 含命题变元、联结词和括号的符号串是合式公式。 例1. 合式公式((P (Q R))∧((P Q) ∧(P R)))的生成 过程： P Q R (Q R) (P Q) (P R) (P (Q R) ) ((P Q) ∧(P R))
2、符号化下列命题
例1、除非你努力，否则你将失败。 解：设P:你努力 Q:你失败 则符号化为 P Q 或 Q P 例2、仅当你走我将留下。 解：设P:你走 Q:我留下 则符号化为 Q P 例3、(1)只要充分考虑一切论证，就能得到可靠见解。 (2)只有充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。 解：设P:我们充分考虑一切论证 Q:我们得到可靠见解 则符号化为 (1) P Q (2) Q P
定义：命题演算的合式公式 • 基础 (1) 单个命题变元本身ห้องสมุดไป่ตู้个合式公式；
约定 (1) • 归纳 (2) 如果 A最外层的括号可以省去 是一个合式公式，那么 A也是一个合式公式； (2) 运算符优先次序： ， ∧， ∨， B) ， (3) 如果 A、 B是合式公式，那么（ A∧ B)、（ A∨ 、 （A B)、 （A ⇄ B)都是合式公式；
对应于所有可能的真值指派，A、B的真值都相同。又称 为两命题公式逻辑相等。记为：A B 思考： （（P Q） （ P ∨ Q））在真值表中值有何特征?
例2 ：永真式和永假式 P T T F F 定义3 Q T F T F PP T T T T Q∧Q F F F F
永真式（重言式）
翻译总结
（1）首先找出原子命题 （2）根据命题含义翻译，不可拘泥于句子形式 一些固定搭配：
•不可兼或：
2、符号化下列命题
例1、除非你努力，否则你将失败。 解：设P:你努力 Q:你失败 则符号化为 P Q 或 Q P 例2、仅当你走我将留下。 解：设P:你走 Q:我留下 则符号化为 Q P 例3、(1)只要充分考虑一切论证，就能得到可靠见解。 (2)只有充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。 解：设P:我们充分考虑一切论证 Q:我们得到可靠见解 则符号化为 (1) P Q (2) Q P
定义：命题演算的合式公式 • 基础 (1) 单个命题变元本身ห้องสมุดไป่ตู้个合式公式；
约定 (1) • 归纳 (2) 如果 A最外层的括号可以省去 是一个合式公式，那么 A也是一个合式公式； (2) 运算符优先次序： ， ∧， ∨， B) ， (3) 如果 A、 B是合式公式，那么（ A∧ B)、（ A∨ 、 （A B)、 （A ⇄ B)都是合式公式；
对应于所有可能的真值指派，A、B的真值都相同。又称 为两命题公式逻辑相等。记为：A B 思考： （（P Q） （ P ∨ Q））在真值表中值有何特征?
例2 ：永真式和永假式 P T T F F 定义3 Q T F T F PP T T T T Q∧Q F F F F
永真式（重言式）
翻译总结
（1）首先找出原子命题 （2）根据命题含义翻译，不可拘泥于句子形式 一些固定搭配：
•不可兼或：
1-3、4翻译、真值表PPT课件
④ 需要的括号不能省略，而可以省略的括号， 在需要提高公式可读性时亦可不省略。
⑤ 要注意语句的形式化未必是唯一的。
2021/4/8
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例题
例题1 试以符号形式写出命题：我们要做到身体好、 学习好、工作好，为祖国四化建设而奋斗。
解 : 找出各原子命题，并用命题符号表示： A：我们要做到身体好。 B：我们要做到学习好。 C：我们要做到工作好。 P：我们要为祖国四化建设而奋斗。
命题符号化步骤： (1)分成原子命题 (2)用大写字母代替命题 (3)按题意用联结词
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自然语言的语句用Wff 形式化
主要是以下几个方面：
① 要准确确定原子命题，并将其形式化。
② 要选用恰当的联结词，尤其要善于识别自然语 言中的联结词（有时它们被省略），否定词的位置要 放准确。
③ 必要时可以进行改述，即改变原来的叙述方式， 但要保证表达意思一致。
解 (1)设 P：天下雨。 Q：我有时间。 R：我上街。 则命题符号化为： R →（ ┐ P∧Q）
(2)设 P：人不犯我。 Q：我不犯人。 则命题符号化为： ( P → Q ) ∧(┐ P → ┐ Q)
(3)设 P：天下雨。 Q：我在家。 R：我上街。 则命题符号化为： ( P → Q ) ∧(┐ P → R)
翻译 把自然语言中的有些语句，翻译成数理逻辑中的符 号形式。
优先次序 规定联结词运算的优先次序为：
┐、∧、∨、→、
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第一章 命题逻辑
§1—4真值表与等价公式
要求：理解两个合式公式等价的定义，熟 悉命题定律，会证明等价公式。
重点：两个合式公式等价的定义，10个命题 定律。
难点：推证等价公式。
⑤ 要注意语句的形式化未必是唯一的。
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例题
例题1 试以符号形式写出命题：我们要做到身体好、 学习好、工作好，为祖国四化建设而奋斗。
解 : 找出各原子命题，并用命题符号表示： A：我们要做到身体好。 B：我们要做到学习好。 C：我们要做到工作好。 P：我们要为祖国四化建设而奋斗。
命题符号化步骤： (1)分成原子命题 (2)用大写字母代替命题 (3)按题意用联结词
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自然语言的语句用Wff 形式化
主要是以下几个方面：
① 要准确确定原子命题，并将其形式化。
② 要选用恰当的联结词，尤其要善于识别自然语 言中的联结词（有时它们被省略），否定词的位置要 放准确。
③ 必要时可以进行改述，即改变原来的叙述方式， 但要保证表达意思一致。
解 (1)设 P：天下雨。 Q：我有时间。 R：我上街。 则命题符号化为： R →（ ┐ P∧Q）
(2)设 P：人不犯我。 Q：我不犯人。 则命题符号化为： ( P → Q ) ∧(┐ P → ┐ Q)
(3)设 P：天下雨。 Q：我在家。 R：我上街。 则命题符号化为： ( P → Q ) ∧(┐ P → R)
翻译 把自然语言中的有些语句，翻译成数理逻辑中的符 号形式。
优先次序 规定联结词运算的优先次序为：
┐、∧、∨、→、
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第一章 命题逻辑
§1—4真值表与等价公式
要求：理解两个合式公式等价的定义，熟 悉命题定律，会证明等价公式。
重点：两个合式公式等价的定义，10个命题 定律。
难点：推证等价公式。
真值表与等价公式
(4)当且仅当有限次地应用（1）、(2)、（3）所得 到的符号串是命题公式。
思考：命题公式是命题吗？为 什么？
解答：命题公式不一定是命题。
因为命题公式没有确定的真值。
把符号命题翻译成自然语言命题： 这种翻译比较简单，只要求用词准确，力求保
持原命题的意思。 例 设 A: 今天下雨。
B: 今天下雪。 C: 今天天晴。试把下列命题翻译成自然语言: 1) ┐(A∧B) 2) C↔ (┐A∧┐B) 3) A∨B→┐C 解 :1) 说今天下雨且下雪是不对的。 2) 今天天晴当且仅当今天既不下雨又不下雪。 3) 如果今天下雨或者下雪, 今天就不是晴天。
¬(p→q)∧ q
0
0
0
0
( p→q)∧¬r 1 0 1 0 0 0 1 0
公式的分类 设A为一个命题公式，则：
1 若A在它的所有解释下都为真， 则 称A为 永 真 式(也 称 为 重 言 式)
2 若A在它的所有解释下都为假， 则 称A为 永 假 式(也 称 为 矛 盾 式)
3 若A在 它 的 至 少 一 个 解 释为下真 ， 则 称A为 可 满 足 式(也 称 偶 然 式)
定义1-12 如果X是命题公式A的一部分，且X本身 是一个合式公式，则称X为公式A的子公式。
定理1-3 设X是命题公式A的子公式，若X⇔Y，如 果将A中的X用Y置换，所得的公式B与命题公式 A等价。
证明：
因为在相应分量的任一种真值指派下，X和Y的 真值都相同，用Y置换X后，公式B与A在相应分 量的真值指派下，其真值仍相同，所以A⇔B 。
一、命题公式
回顾
命题公式也称命题演算的合式公式(Well form formula,简写为wff)。
定义1-6 命题公式的递归定义如下：
思考：命题公式是命题吗？为 什么？
解答：命题公式不一定是命题。
因为命题公式没有确定的真值。
把符号命题翻译成自然语言命题： 这种翻译比较简单，只要求用词准确，力求保
持原命题的意思。 例 设 A: 今天下雨。
B: 今天下雪。 C: 今天天晴。试把下列命题翻译成自然语言: 1) ┐(A∧B) 2) C↔ (┐A∧┐B) 3) A∨B→┐C 解 :1) 说今天下雨且下雪是不对的。 2) 今天天晴当且仅当今天既不下雨又不下雪。 3) 如果今天下雨或者下雪, 今天就不是晴天。
¬(p→q)∧ q
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( p→q)∧¬r 1 0 1 0 0 0 1 0
公式的分类 设A为一个命题公式，则：
1 若A在它的所有解释下都为真， 则 称A为 永 真 式(也 称 为 重 言 式)
2 若A在它的所有解释下都为假， 则 称A为 永 假 式(也 称 为 矛 盾 式)
3 若A在 它 的 至 少 一 个 解 释为下真 ， 则 称A为 可 满 足 式(也 称 偶 然 式)
定义1-12 如果X是命题公式A的一部分，且X本身 是一个合式公式，则称X为公式A的子公式。
定理1-3 设X是命题公式A的子公式，若X⇔Y，如 果将A中的X用Y置换，所得的公式B与命题公式 A等价。
证明：
因为在相应分量的任一种真值指派下，X和Y的 真值都相同，用Y置换X后，公式B与A在相应分 量的真值指派下，其真值仍相同，所以A⇔B 。
一、命题公式
回顾
命题公式也称命题演算的合式公式(Well form formula,简写为wff)。
定义1-6 命题公式的递归定义如下：
合式公式真值表等价置换定理 第二课
• 界限 （4）. 当且仅当能够有限次应用（1）、（2）、（3）所 得到的包含命题变元、联结词和括号的符号串是合式公式。 例1. 合式公式((P →(Q → R))∧((P → Q) ∧(P → R)))的生成 过程： P (Q → R) Q R (P → Q) (P → R) (P →(Q → R) ) ((P → Q) ∧(P → R))
例4：将下列命题符号化 ： 1、只有你主修计算机科学或者不是新生，才能从校园 内访问因特网。 解：设P：你能从校园内访问因特网；Q：你是新生； R：你主修计算机科学。则原题译为：
P →(R ∨ Q)
2、除非你已满16周岁，否则只要你身 高不足4英尺就不能乘公园滑行铁道。 解：设P：你已满16周岁； Q：你身高不足4英尺； R：你能乘公园滑行铁道。 则原题译为：
第3节 命题公式与翻译
由第2节的内容，我们知道，若P、Q是任意两个命题，则 P， P ∨ Q，(P ∨ Q) →(P Q)等等都是复合命题。
1. 命题公式 命题公式：当P、Q是命题变元时，则上述各式为命题公式。 注意： 注意： • • 命题公式没有真假值； 并不是所有的由命题变元、联结词、和一些括号组成的字符 串都能成为命题公式。 例如： 例如：→ P ∨ （P → Q）不是合法的命题公式 ） 仅有举例说明是不够的，需要给出命题公式的规格化定义
翻译
例1、除非你努力，否则你将失败。 除非你努力，否则你将失败。 P:你努力 Q:你失败 解：设P:你努力 Q:你失败 则符号化为 ¬P → Q 或 ¬Q → P 例2、仅当你走我将留下。 仅当你走我将留下。 P:你走 Q:我留下 解：设P:你走 Q:我留下 则符号化为 Q → P 例3、（1）只要充分考虑一切论证，就能得到可靠见解。 、（1 只要充分考虑一切论证，就能得到可靠见解。 充分考虑一切论证 得到可靠见解 只有充分考虑一切论证 才能得到可靠见解 充分考虑一切论证， 得到可靠见解。 （2）只有充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。 解：设P:我们充分考虑一切论证 P:我们充分考虑一切论证 Q:我们得到可靠见解 Q:我们得到可靠见解 则符号化为 （1）P → Q （2） Q → P
1-4真值表与等价公式
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
10
2、等价公式－证明(真值表法)
例题 5 证明 PQ(PQ)(QP)
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
11
2、等价公式－汇总
下面的命题定理（表1-4.8）都可以用真值表 予以验证:
对合律 等幂律 结合律 交换律 分配律 吸收律 德·摩根律 同一律 零律 否定律
从真值表可见，上述两个命题公式在分量的不同 指派下，其对应的真值与另一命题公式完全相同。
同理如： (PQ)(PQ)与PQ。
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
9
2、等价公式－概念
定义：1-4.2 给定两个命题公式A和B，设P1， P2，…，Pn为所有出现于A和B中的原子变元， 若给P1，P2，…，Pn任一组真值指派， A和B的 真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等。 记作AB。
PQ F F F T
(PQ) (PQ) T F F T
6
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
1、真值表
例题4 给出(PQ)(PQ)的真值表 公式不论命题变元做何种指派，其真值永为真， 我们把这类公式记为T。
P Q PQ (PQ) P Q PQ T T T F F T F F T F F F F T T T F F T T F T F T F T T T (PQ)( PQ) T T T T
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
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第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
16
小结
真值表
完整性
等价公式
等价公式表1-4.8 等价置换
命题公式（合式公式）证明方法
列真值表法 利用等价公式
真值表
联言判断
包含两个联言支的联言判断，其逻辑形式可表示为：p并且q，合取式为：p∧q
联言判断的真假（真值表）
选言判断
1、相容选言判断
逻辑形式：p或者q，p∨q
真假表表明：p∨q假，当且仅当p和q同假。
2、不相容选言判断
逻辑形式：要么p，要么q, p∨q
真值表表明：p∨q假，当且仅当p和q同真或同假。
假言判断
充分条件假言判断
1、充分条件假言判断：
真假表表明：p →q为假，当且仅当p真而q假。
2、必要条件假言判断：
真值表表明：p ←q为假，当且仅当p假而q真
3、充分必要条件假言判断
真值表表明：p q 真，当且仅当p 和q 同真或同假。
p q p q
T T T
T F F
F T F
F F T
负判断
逻辑形式：并非p ，逻辑符号表示：“
”或者“ ”
T F
F T
•
p p p。
离散数学-1-4 真值表与等价公式
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二、命题公式分量指派
不难看出，含n(n≥1)个命题变元的公式共 有2n个不同的指派（赋值）。 下面的问题是，指定P，Q，R的真值为何值 时，(P∨Q)→R的真值为1；指定P，Q，R的 真值为何值时，(P∨Q)→R的真值为0。 为看清命题公式在各种指派下的取值情况， 通常构造下面的“真值表”。
6
三、真值表
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六、等值演算
例2.4 证明：(P→Q)→R P→(Q→R) 证 方法一：真值表法，可自己证明。 方法二 ：设A=(P→Q)→R,B=P→(Q→R)
先将A,B通过等值演算化成容易观察真值的情况，再进行判断。
A=(P→Q)→R (┐P∨Q)→R （蕴涵等值式） ┐(┐P∨Q)∨R （蕴涵等值式） (P∧┐Q)∨R （德摩根律） B=P→(Q→R) ┐P∨(┐Q∨R) （蕴涵等值式） ┐P∨┐Q∨R （结合律） 容易观察到，000，010是A的成假赋值，而它们是 B的成真赋值
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六、等值演算
虽然用真值法可以判断任何两个命题公式 是否等值，但当命题变元较多时，工作量 是很大的。可以先用真值表验证一组基本 的又是重要的等价公式，以它们为基础进 行公式之间的演算，来判断公式之间的是 否等值。下面给出 15 组（共 24 个）重要的 等值式，希望同学们牢牢记住它们。在下 面公式中出现的P,Q,R仍然是元语言符号， 它们代表任意的命题公式。P15 表1-4.8
7
三、真值表
(2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次。 (3) 对应各个赋值计算出各层次的真值，直到最后计 算出公式的真值。 例 求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋 值。 (1)(┐P∧Q)→┐R (2)(P∧┐P)(Q∧┐Q)
(3) ┐(P→Q)∧Q∧R
第六节真值表及其作用 PPT
不能断定小金就是否当选班长
例2:甲、乙、丙三人争夺象棋比赛得前 三名。小林预测,“只有甲第一,丙才第 二”。小刘预测,“丙不就是第二”。
事实证明两人中只有一人得预测为 真,请回答甲、乙、丙三人得名次。
解:①令p表示“甲第一”,q表示“丙第二” ②小林得预测: (p←q) 小刘得预测: ┓q ③列真值表如下:
言前提进行二难推理,则推出得结论可以就是
( )、( )。
答案:9、矛盾。10、您不让步她也签字。
11、q或s,非p或非r。
二、下列判断就是何种判断？写出它们得结构式。 1、在掌握好专业知识得同时,还必须学好逻辑。
联言判断;p∧q 2、只要改正了错误,就表明已经认识了错误。
充分条件假言判断;p→q
3、并非旅游团明天去纽约,或者去旧金山。
C、有些教师真得不懂心理学。
D、心理学知识有助于提高教学效果。
答案:B
4、在下列判断中与“非p或者非q”等值得判断
就是
A、并非(非p并且非q) B、并非(p并且q)
C、如果p,那么非q
D、如果非q,那么p
E、如果非p,那么q
答案:B C
5、“不就是在保守中落后,就就是在改革中进 步”与“不就是在保守中落后,而就是在改革 中进步”这两个判断 A、都就是选言判断 B、前者为选言判断,后者为联言判断 C、都就是联言判断 D、前者为联言判断,后者为选言判断 答案:B 6、“只有触犯刑律,才能构成犯罪”作为假言 前提进行假言推理,另一前提可以就是 A、触犯刑律 B、没有构成犯罪 C、构成了 犯罪 D、没有触犯刑律 E、未构成犯罪 答案:C D
逻辑”为假,则下列为真得就是
A、某甲掌握了两门外语并且精通逻辑
B、某甲掌握了两门外语但不精通逻辑
例2:甲、乙、丙三人争夺象棋比赛得前 三名。小林预测,“只有甲第一,丙才第 二”。小刘预测,“丙不就是第二”。
事实证明两人中只有一人得预测为 真,请回答甲、乙、丙三人得名次。
解:①令p表示“甲第一”,q表示“丙第二” ②小林得预测: (p←q) 小刘得预测: ┓q ③列真值表如下:
言前提进行二难推理,则推出得结论可以就是
( )、( )。
答案:9、矛盾。10、您不让步她也签字。
11、q或s,非p或非r。
二、下列判断就是何种判断？写出它们得结构式。 1、在掌握好专业知识得同时,还必须学好逻辑。
联言判断;p∧q 2、只要改正了错误,就表明已经认识了错误。
充分条件假言判断;p→q
3、并非旅游团明天去纽约,或者去旧金山。
C、有些教师真得不懂心理学。
D、心理学知识有助于提高教学效果。
答案:B
4、在下列判断中与“非p或者非q”等值得判断
就是
A、并非(非p并且非q) B、并非(p并且q)
C、如果p,那么非q
D、如果非q,那么p
E、如果非p,那么q
答案:B C
5、“不就是在保守中落后,就就是在改革中进 步”与“不就是在保守中落后,而就是在改革 中进步”这两个判断 A、都就是选言判断 B、前者为选言判断,后者为联言判断 C、都就是联言判断 D、前者为联言判断,后者为选言判断 答案:B 6、“只有触犯刑律,才能构成犯罪”作为假言 前提进行假言推理,另一前提可以就是 A、触犯刑律 B、没有构成犯罪 C、构成了 犯罪 D、没有触犯刑律 E、未构成犯罪 答案:C D
逻辑”为假,则下列为真得就是
A、某甲掌握了两门外语并且精通逻辑
B、某甲掌握了两门外语但不精通逻辑
第一章 3 真值表与等价公式
例如，P(PQ) 为Q (P(PQ))的子公式。
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1.4 真值表与等价公式
定理1-4.1(置换定理Axiom of replacement) 设X 是wff A的子wff，若XY，则若将A中的X用Y来 置换，所得公式B与A等价，即AB。 证：因为对变元的任一指派，X与Y真值相同，所 以Y取代X后，公式B与公式A对变元的任一指派真 值也相同，所以AB。□
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1.5 重言式与蕴含式
例1 证明 ¬Q （P→Q） ¬P
证法1：真值表法(略) 证法2：若 ¬Q(P→Q)为真，则 ¬Q，P→Q为真， 所以Q为假，P为假， 所以¬P为真。 证法3：若¬P为假，则P为真，再分二种情况： ①若Q为真，则¬Q为假，从而¬Q(P→Q)为假； ②若Q为假，则P→Q为假，从而¬Q(P→Q)为假， 根据① ②，有 ¬Q(P→Q)¬P。
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由真值表可知，两个公式为等价式。
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1.4 真值表与等价公式
2、等值演算法(Equivalent Caculation) 命题定律即常见的等价式：
命题定律
表达式
序号
对合律
P P
1
幂等律
PPP ，PPP
2
结合律
P Q R P Q R P Q R P Q R
P Q PQ ¬P ¬Q
00 1
1
1
01 0
1
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10 0
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1.4 真值表与等价公式
定理1-4.1(置换定理Axiom of replacement) 设X 是wff A的子wff，若XY，则若将A中的X用Y来 置换，所得公式B与A等价，即AB。 证：因为对变元的任一指派，X与Y真值相同，所 以Y取代X后，公式B与公式A对变元的任一指派真 值也相同，所以AB。□
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1.5 重言式与蕴含式
例1 证明 ¬Q （P→Q） ¬P
证法1：真值表法(略) 证法2：若 ¬Q(P→Q)为真，则 ¬Q，P→Q为真， 所以Q为假，P为假， 所以¬P为真。 证法3：若¬P为假，则P为真，再分二种情况： ①若Q为真，则¬Q为假，从而¬Q(P→Q)为假； ②若Q为假，则P→Q为假，从而¬Q(P→Q)为假， 根据① ②，有 ¬Q(P→Q)¬P。
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由真值表可知，两个公式为等价式。
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1.4 真值表与等价公式
2、等值演算法(Equivalent Caculation) 命题定律即常见的等价式：
命题定律
表达式
序号
对合律
P P
1
幂等律
PPP ，PPP
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结合律
P Q R P Q R P Q R P Q R
P Q PQ ¬P ¬Q
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【推选】命题逻辑的等值推演PPT资料
总体是析取式，每对括号内是合取式
A=(pq)(pr) 析取范式
总体是合取式，每对括号内是析取式 (3)否定到底
A, (A B), (A B)
(p q) p p 与 对偶
可以先得到一个公式的主析取或主合取范式，然后判断公式的类型。
A=(pq)(pr) 合取范式 2 析取范式与合取范式
p q仅在p与q均为1时结果才有1，其他为0。
pq pq
pq (pq)(qp) (pq)(pq)
pp
(pq) pp 德摩律
(pq) pp 与对偶
ppp pp
p(qr) (pq)(pr) 分配律
p(qr)(pq)(pr) 对偶式
p(pq) p
吸收律(多吃少)
p(pq) p
pp 1，pp 0
(pq) (pq) 双条件相同为真
(pq)(pq) p 归谬律
(pq)p (pq)p 部分等值置换后公式仍等值！可用于等值演算
因为pq pq 故 (pq)p (pq)p
部分等值置换后公式仍等值！可用于等值演算
(pq)r (pq)r (因(pq) (pq)) (pq)r (因(pq) r (pq)r ) (pq)r (德摩律) (pq)r (双重否定律) (pr) (qr) (双重否定律)
甲:pq 乙： p q 丙： q r
王说的话译成公式为，据此判断p,q,r的值。
一、复习
pq仅在p与q均为0时结果才为0，其他为1。 pq仅在p与q均为1时结果才有1，其他为0。 pq仅在p为1、q为0才为0，其他为1。 pq仅在p与q等值时才1，其他为1。 用真值表证明了
pq与pq的真值表完全一样，即这两者等 值，根据双条件的定义， (pq) (pq)为永 真或重言式。
2.2.2逻辑函数与真值表 共10页PPT资料
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0
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0 11
1
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1
1、逻辑函数的概念及特点； 2、用真值表表示逻辑函数。
谢谢！
10
AB
00 00 01 01 10 10
11
11
C BC ABC
00
0
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00
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1
001Biblioteka 101001
11
1
练习：列出逻辑函数的 F A B A C 真值表
观察练习中的真值表和例题中的真值 表，你有哪些发现？这说明什么？
A B C ABC AB AC
（2）逻辑因变量和逻辑自变量之间的关 系是由“与”、“或”、“非”三种基本运 算决定的。
BC
A
0
01
0
1
1
0
0
1
0
n个逻辑自
变量的时候呢？
1
1
0
1
2 22 222 2 n
如果逻辑函数含有个逻辑自变量，会出现 2 n 种情况，那它的真值表共有 2 n 行。
例：列出逻辑函数 FABC的真值表
1．00 ，01 ，10 ，11 。 2．00 ，01 ，10 ，11 。 3．0 ，1 。
1、函数
在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y， 如果给定一个 x 值，就相应地确定了唯一的 y 值，那么我们就称 y 是 x 的函数，其中x是自变 量，y 是因变量．
例如： y3x5，y x2 3 ，y3x35x26 这些都是初等代数中的函数。
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AB (A∨B)∧(A∨B)
AB (A∧B)∨(A∧B )
(14)假言易位
ABBA
(15)等价否定等值式 AB A B
(16)归谬论
(A B) ∧(A B) A
特别提示：牢记这16组等值式是继续学习的基础
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四、公式等值演算与置换规则
1. 等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式 的过程
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真值表2
(2) B＝(qp)qp
pq
qp
00
1
01
0
10
1
11
1
(qp)q
0 0 0 1
(qp)qp
1 1 1 1
成真赋值:00,01,10,11; 无成假赋值
4
真值表3
(3) C＝ (pq)q的真值表
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
注意：重言式是可满足式，但反之不真.
7
二、重言式与矛盾式
定理1 任意两个重言式的合取（或析取）仍然是重 言式。 定理2 一个重言式，对同一个命题变元均用任何公 式置换，其结果仍然是重言式。
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三、等值式及其基本等值式
定义1 若等价式AB是重言式，则称A与B等值（逻 辑相等），记作AB，并称AB是等值式。 定理２.1 AB为重言式，当且仅当A、B具有相同 的真值表。
0
（零律）
矛盾式(pq)(qp) （蕴涵等值式） (pq)(pq) （交换律）
1 重言式
(3) ((pq)(pq))r)
(p(qq))r （分配律）
p1r
（排中律）
pr
（同一律）
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
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真值表的作用: 求出公式的全部成真赋值与成假赋值, 区别不同
公式间的关联，判断公式的类型。
6
二、重言式与矛盾式
定义1 设A为任一命题公式， (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或 永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或 永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
方法二 观察法. 观察到000, 010是左边的成真 赋值，是右边的成假赋值
方法三 先用等值演算化简公式，然后再观察 p(qr) pqr (pq)r (pq)r(pq)r
更容易看出前面的两个赋值分别是左边的成真 赋值和右边的成假赋值
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等值演算的应用举例
（二）判断公式类型: A为矛盾式当且仅当A 0 A为重言式当且仅当A 1
p(qr) （蕴涵等值式，置换规则） (pq)r （结合律，置换规则） (pq)r （德摩根律，置换规则） (pq)r （蕴涵等值式，置换规则） 今后在注明中省去置换规则 注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值
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等值演算的应用举例
证明两个公式不等值
例3 证明 p(qr) 与 (pq)r 不等值 证 方法一 真值表法, 见例1(2)
(A∧B)A∨B
(7) 吸收律 A∨(A∧B)A A∧(A∨B)A
(8) 零律 A∨11
A∧00
(9) 同一律 A∧1A
A∨0A
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基本等值式
(10)排中律 A∨A1 (11)矛盾律 A∧A0
互补律
(12)蕴含等值式 ABA∨B
(13)等价等值式 AB (AB)∧(BA)
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等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值:
(1) p(qr) 与 (pq) r
等值
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
(2) p(qr) 与 (pq) r
(1) (pq) r (2) (qp) qp (3) (pq) q
2
真值表1
(1) A = (pq) r
pqr
pq
r (pq)r
000
0
1
1
001
0
0
1
010
1
1
1
011
1
0
0
100
1
1
1
101
1
0
0
110
1
1
1
111
1
0
0
成真赋值:000,001,010,100,110; 成假赋值:011,101,111
不等值
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基本等值式
⑴ 双重否定律 AA ⑵ 幂等律 A∧AA A∨AA ⑶ 交换律 A∧BB∧A A∨BB∨A ⑷ 结合律 A∨(B∨C)(A∨B)∨C
A∧(B∧C)(A∧B)∧C
⑸分配律 A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C)
A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C)
(6)德摩根律 (A∨B)A∧B
可满足式，101和111是成真赋值，000和010等是成假赋值.
等值演算在计算机硬件设计，开关理论和电子元
器件中都占据重要地位。
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五、 ，与 ，间的区别
， 是联结词 ， 是逻辑符号，表明公式的取值情况。
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第二讲 真值表、等值演算
主要内容 一、真值表及其作用 二、重言式与矛盾式的定义和相关结论 三、等值式的概念及其常用等值式 四、公式等值演算与置换规则 五、 ，与 ， 间的区别
1
一、真值表及其作用
定义1 将命题公式A在所有赋值下取值的情况列成 表, 称作A的真值表. 例 写出下列公式的真值表, 并求它们的成真赋值和 成假赋值:
例4 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) (2) (pq)(qp) (3) ((pq)(pq))r)
解 (1) q(pq)
q(pq) （蕴涵等值式）
q(pq) （德摩根律）
p(qq) （交换律，结合律）
p0
（矛盾律）
2. 等值演算的基础： (1) 等值关系的性质：自反性、对称性、传递性 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则
3. 置换规则 设 (A) 是含公式 A 的命题公式，(B) 是用公式
B 置换(A) 中所有的 A 后得到的命题公式 若 BA，则 (B)(A)
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等值演算的应用举例
（一）证明两个公式等值 例2 证明 p(qr) (pq)r 证 p(qr)