织构可调塑性本构模型标定及其应用
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关键词 本构模型 , 织构 , 有限元
0 引言
在进行涉及大应变的金属材料有限元模拟分析 时 ,必须引入能描述材料塑性各向异性 (初始的及塑 性变形诱导的) 的且具有相当精度的本构模型 ,文献 中有几种不同的方法可以导出这类本构模型. 通常 的做法是用在应力空间描述的现象学屈服准则来描 述材料的各向异性 ,而描述这一准则的各向异性系 数则由相应的力学实验确定[1210 ] . 以上模型仅在三 维应力子空间有效并且要进行相关力学试验确定模 型参数. 为改进有限元模拟分析中的本构模型而采 取的第二种方法是在分析模块中直接使用多晶体塑 性模型[11 ,12 ] . 其主要优点在于他能直接考虑金属产 生各向异性的主要原因即晶体学织构 ,及其在成形 过程中的不断演化. 多晶集合体用每个积分点上几 百个晶粒来进行模拟 ,可以在程序中对每个多晶集 合体施加相应边界条件. 若使用 Taylor 模型即假定 每一集合体中应变率的均匀分布 ,则可以计算出应 力 、应变率在每一点上的变化及晶体学织构的演化. 为了改进计算精度 ,已提出了多种不同的多晶体本 构模型 ,但其中的计算量都相当大. 因此必须尽可能 作一些简化 ,如每个积分点上晶粒的个数 (即晶粒方 位) 要取得适度 ,但这又会影响到织构演化的正确描
对于任一多晶体模型 ,可以比构造屈服准则更 容易地构造出其对偶势 (或称应变率势) [15] ,并且在
3 教育部留学回国人员科研启动基金及华中科技大学材料成形与模具技术国家重点实验室基金资助. 2005212226 收到第 1 稿 ,2007204203 收到修改稿.
33 通讯作者. Tel :027287540634 , E2mail :ypchen88 @mail . hust . edu. cn.
‖D ‖= Dij D ij
(17)
可用单位张量 a 描述应变率空间的方位
aij = Dij / ‖D ‖
(18)
选角变量βr ( r = 1 , 4) 描述 a. 前三个为欧拉角用来
确定应变率张量主方向相对物理空间的取向. 设参
考系[ x P ]同应变率张量主方向重和 , 则 a 在其中可
表示为如下对角矩阵
述. 同时 ,一般在计算中使用简单的多晶体模型 ,如 Taylor 类模型和松驰约束 ( RC) 模型 ,研究表明这些 模型都不同程度过高地估计了板材的塑性各向异 性[5] . 对多晶体塑性模型的客观评价应该是 ,除了它 在直接描述各种材料参数和晶体学织构演化方面的 明显优点外 ,巨大的计算量要求在很大程度上限制 了其在实际工程中的广泛运用 ,目前大多都是进行 理论上的研究和探讨.
第 28 卷 第 3 期 2007 年 9 月
固体力学学报 AC TA M EC HAN ICA SOL IDA SIN ICA
Vol. 28 No . 3 September 2007
织构可调塑性本构模型标定及其应用 3
陈贻平1 ,2 ,3 33 李荣彬3 杜 雪3
(1华中科技大学土木工程与力学学院 ,武汉 ,430074) (2华中科技大学材料成形与模具技术国家重点实验室 ,武汉 ,430074)
考虑到上述现象学模型及晶体塑性模型的各自 不同特点 ,人们自然会考虑到将这两种方法进行某 种形式的结合 ,来发展一种新的本构模型 ,使其一方 面能用简单的方程描述材料的各向异性行为 ,从而 尽可能缩短计算时间 ;另一方面使其也能直接考虑 材料的晶体学织构 ,实现在 5 维空间中对塑性各向 异性进行更精确描述的目的. 这一想法促使几位研 究者不约而同的提出了利用晶体塑性模型计算出的 晶体学屈服面来对现象学屈服准则进行拟合调整的 方法[5 ,6 ,9 ,10 ,13 ,14 ] . Chung & Sha n (1992) 利用这种近 似方法进行了有限元分析 , 他们使用了 Barlat & Lian[9 ,10 ] 提出的相对简单的各向异性屈服准则 ,其 形状是用 Taylor 模型进行的晶体学计算结果来进 行调整.
拉角空间的积分后则仅决定于给定的宏观应变率.
在 Taylor 模型及各向同性应变硬化假设下 , 这些同
第 3 期 陈贻平等 : 织构可调塑性本构模型标定及其应用
·243 ·
应变率相关的函数都可针对不同的 D 事先计算出
并存入文件. (11) 式或 (12) 式即为晶体学应变率势 ,
1 基本原理
利用一解析表达式去拟合用晶体学方法计算出
的多晶体屈服面 , 这一拟合不是针对常规的屈服面
而是针对相关联的功函数进行. 假定多晶体中所有
的晶粒都产生塑性变形 , 因此这里的描述对于卸载
及第一阶段的加载不适用. 这里仅考虑应变率的永
久变形部分 ,它可以从永久变形位移速度得到 ,而这
一位移是当目前宏观应力全部卸载后所得到的位
co s (β4 - π/ 3)
0
பைடு நூலகம்
0
[ aiPj ] =
0
co s (β4 +π/ 3)
0
0
0
- co sβ4
通过如下变换 ,可将[ aiPj ]变换到试样坐标系
aij
=
t ki
t
lj
a
P kl
(19) (20)
co sβ1 co sβ3 - sinβ1 sinβ3 co sβ2
sinβ1 co sβ3 + co sβ1 sinβ3 co sβ2 sinβ3 sinβ2
∑{ Ci C j M i ( D) M j ( D) - αkψk ( D) } 2 = min. (15)
D
系数βikj 独立于材料的织构 , 而是同选取的本 构模型表达式 (13) 有关. 一旦由 ( 15) 式求出βikj 后 , 即可算出本构系数αk
19 19
∑∑ αk =
Ci
β C ij jk
中的矢量. 因此 ,看其分量是一个或两个下标即可区
分. 矢量 D 在 5 维空间中的范数可定义为
Dn = ‖D ‖= Di D i
(7)
这样 , M g 对应于一单位矢量 D g 及用τc 规范化后的
应力矢量间的塑性功率. 多晶体的平均塑性功率可
由下式结出
∫ ·
W ( D) = W g ( Dg ) f ( g) d g g
塑性各向异性而基函数定义塑性ψk ( D) 应变势的形
状. 利用下节合理选取的覆盖 5 维 (考虑塑性变形体
积不可压缩性) 塑性应变率空间的取样点和最小二
乘法可由下式计算出系数αk
∑{ψc ( D) m - ψ( D) m } 2 = min
(14)
D
这里将函数ψ提高到 m 次幂是为了得出一组关于
系数αk 的线性方程组 . 当取 m = 2 时 ,有下式
此函数可写为
lmax M ( l) N ( l)
∴
∑∑∑ f ( g) =
Cμlν Tμlν ( g)
(9)
l = 0 μ= 1 ν
∴
其中函数 Tμlν 为考虑宏观及晶粒对称性的球谐函数
基函数 ,可以利用织构系数 Cμlν 同它的线性组合来
描述材料的织构. 这里的描述假定了晶体的立方对
称性及试样变形过程的正交对称性. 这样导出的模
记为 Ψc ( D) ,其中 Ci 描述材料织构而给定的应变率 D 只影响 Mμlν ( D) . 现以下面具有一般形式的解析
表达式对 (11) 式进行拟合以得出本构模型系数.
N
∑ Ψ( D) =
αkψk ( D) 1/ m
(13)
k =1
其中ψk ( D) 对于一正的乘子 m 阶齐次 ,系数αk 描述
(8)
在应力场和应变场具有宏观均匀性条件下 , (8) 式中
乘积 Sg : Dg 的平均值等于平均 S : D 的乘积. 因此 ,
(8) 式是独立于 Taylor 假设的宏观塑性功率. 方程
中 f ( g) 为取向分布函数 ,它描述了材料的晶体学织
构 ,积分区域为整个方位空间 , 使用级数展开法[2] ,
τc 规范化 , Dg 也可用下面介绍的范数 D n 进行相应
的规范化 ,经过这一处理后 ,塑性功率可写为
·
W g ( Dg)
=
D nτc
S
g ij
D
g ij
τc D n
= Dnτc M g
Dg Dn
(3)
其中 M g ( Dg / Dn) 是 Taylo r 因子. 为了定义 Dn ,这里
使用由 Cano va 等[16] 引入的 5 维记法将偏应力及应
(3香港理工大学工业及系统工程学系 ,红墈 ,香港)
摘 要 提出了利用率相关晶体塑性模型标定织相可调本构模型的求解步骤 ,得出了一组依赖于晶粒间相互 作用假设而独立于具体板材织构的本构相关系数. 以此为基础再结合板材织构系数所得出的本构模型系数可避免 出现屈服面非外凸的情形. 利用所提求解步骤对在不同热处理条件下产生不同织构的 AL5052 铝合金板的深拉成 形过程进行了有限元模拟. 结果再现了典型织构在板材成形过程中所出现的塑性各向异性 ,从而表明求解步骤的 可行性.
行为描述并知道了其应变率后 ,则可计算每个晶粒的
塑性功率
·
W g ( Dg)
(为了简便起见 , 字母
g 既表示某
个晶粒 ,同时又表示其所在方位) 如下
·
W g ( Dg)
=
S
g ij
D
g ij
= Sg :Dg
(2)
这里 Sg 是用同 Schmid 定律相关联的最大功率原理
确定的晶粒中的偏应力张量 , 这一偏应力张量可用
·242 ·
固体力学学报 2007 年第 28 卷
描述材料的塑性各向异性行为时 ,可以更方便地使 用对偶势而放弃经典屈服准则的使用. 同时 ,用此表 达 式 去 拟 合 晶 体 学 应 变 率 势 是 一 简 单 的 过 程. Ar minjo n 等[5 ,6] 已经提出了在解析应变率势和晶体 学应变率势间进行拟合的方法. 下面先简述晶体学 途径的基本原理 ,然后给出根据率相关晶体塑性模 型计算塑性功率的具体步骤 ,最后描述利用所得模 型实施有限元模拟分析的结果.
i=1 j =1
(16)
2 计算 Mμlν( D)
为完成上述的拟合计算 ,首先应得出 Mμlν( D) 的 样本值. 从 (12) 式可以看出 , Mμlν ( D) 是 Taylo r 因子 M g ( D , g) 和广义球谐函数两项乘积在方位空间的 积分 ,后者为给定的数学函数[2 ] , 而 M g ( D , g) 是晶 粒取向及给定塑性应变率的函数. 为此 ,定义塑性应 变率“长度”为[17 ]
移 ,因此晶粒 Dg 中的“塑性应变”包含有残余弹性
应变率. 如果我们用 D 表 示宏 观塑性 应变 率 , 则
Taylor 的均匀应变率假设可写为
Dg = D
(1)
这里 Dg 表示晶粒 g 中的应变率张量. 进一步假定仅
由晶体学滑移来实现塑性变形并且这种滑移模式符
合 Schmid 定律. 临界分解剪应力τc 对所有晶粒的所 有滑移系中的值是相同的. 在进行了单个晶粒的微观
型描述板料的轧制过程是合适的.
因为函 数
·
W
关
于
一
正
乘
子
是
一
阶
齐
次
的
( W·(λD) =λW·( D) , 对于λ≥0) ,因此在计算中仅用
单位矢量 D 或 D g 及规范化后的应力 S/τc 即可 , 同
时用平均 Taylor 因 子 M ( D) 取 代 平 均 塑 性 功 率
·
W(
D)
而
M
(
D)
变率张量化为矢量形式
S=
S11
2
S22
,
3 2
S33
,
S23 ,
S13 ,
S12
(4)
D = { D11 - D22 , D33 , 2 D23 , 2 D13 , 2 D12 } (5)
这样定义的矢量形式保持了同张量表示的功共轭
·
W g ( Dg)
=
D
g ij
S
g ij
=
S
g i
D
g j
(6)
这里同样的符号被用来表示偏张量及相应 5 维空间
可按
·
W(
D)
同样的方式计算出为
∫ M ( D) = M g ( Dg ) f ( g) d g g
(10)
将式 (9) 及 (10) 合并即可得出计算 M ( D) 的表示式
∑∑∑ ∫ lmax M( l) N ( l)
∴
M ( D) =
Cμlν M g ( Dg ) Tμlν ( g) d g (11)
l μν
g
或用单指标 i 代表 ( lμν) 的组合 ,则 (11) 式可表示为
imax
∑ ∑ M ( D) =
CμlνMμlν ( D) =
Ci M i ( D) (12)
μl ν
i =1
当 lmax 取值为 22 时 , 这是织构分析中通常的做法 ,
imax = 125 , Ci 描述材料的织构 , Mi ( D) 在完成对殴
0 引言
在进行涉及大应变的金属材料有限元模拟分析 时 ,必须引入能描述材料塑性各向异性 (初始的及塑 性变形诱导的) 的且具有相当精度的本构模型 ,文献 中有几种不同的方法可以导出这类本构模型. 通常 的做法是用在应力空间描述的现象学屈服准则来描 述材料的各向异性 ,而描述这一准则的各向异性系 数则由相应的力学实验确定[1210 ] . 以上模型仅在三 维应力子空间有效并且要进行相关力学试验确定模 型参数. 为改进有限元模拟分析中的本构模型而采 取的第二种方法是在分析模块中直接使用多晶体塑 性模型[11 ,12 ] . 其主要优点在于他能直接考虑金属产 生各向异性的主要原因即晶体学织构 ,及其在成形 过程中的不断演化. 多晶集合体用每个积分点上几 百个晶粒来进行模拟 ,可以在程序中对每个多晶集 合体施加相应边界条件. 若使用 Taylor 模型即假定 每一集合体中应变率的均匀分布 ,则可以计算出应 力 、应变率在每一点上的变化及晶体学织构的演化. 为了改进计算精度 ,已提出了多种不同的多晶体本 构模型 ,但其中的计算量都相当大. 因此必须尽可能 作一些简化 ,如每个积分点上晶粒的个数 (即晶粒方 位) 要取得适度 ,但这又会影响到织构演化的正确描
对于任一多晶体模型 ,可以比构造屈服准则更 容易地构造出其对偶势 (或称应变率势) [15] ,并且在
3 教育部留学回国人员科研启动基金及华中科技大学材料成形与模具技术国家重点实验室基金资助. 2005212226 收到第 1 稿 ,2007204203 收到修改稿.
33 通讯作者. Tel :027287540634 , E2mail :ypchen88 @mail . hust . edu. cn.
‖D ‖= Dij D ij
(17)
可用单位张量 a 描述应变率空间的方位
aij = Dij / ‖D ‖
(18)
选角变量βr ( r = 1 , 4) 描述 a. 前三个为欧拉角用来
确定应变率张量主方向相对物理空间的取向. 设参
考系[ x P ]同应变率张量主方向重和 , 则 a 在其中可
表示为如下对角矩阵
述. 同时 ,一般在计算中使用简单的多晶体模型 ,如 Taylor 类模型和松驰约束 ( RC) 模型 ,研究表明这些 模型都不同程度过高地估计了板材的塑性各向异 性[5] . 对多晶体塑性模型的客观评价应该是 ,除了它 在直接描述各种材料参数和晶体学织构演化方面的 明显优点外 ,巨大的计算量要求在很大程度上限制 了其在实际工程中的广泛运用 ,目前大多都是进行 理论上的研究和探讨.
第 28 卷 第 3 期 2007 年 9 月
固体力学学报 AC TA M EC HAN ICA SOL IDA SIN ICA
Vol. 28 No . 3 September 2007
织构可调塑性本构模型标定及其应用 3
陈贻平1 ,2 ,3 33 李荣彬3 杜 雪3
(1华中科技大学土木工程与力学学院 ,武汉 ,430074) (2华中科技大学材料成形与模具技术国家重点实验室 ,武汉 ,430074)
考虑到上述现象学模型及晶体塑性模型的各自 不同特点 ,人们自然会考虑到将这两种方法进行某 种形式的结合 ,来发展一种新的本构模型 ,使其一方 面能用简单的方程描述材料的各向异性行为 ,从而 尽可能缩短计算时间 ;另一方面使其也能直接考虑 材料的晶体学织构 ,实现在 5 维空间中对塑性各向 异性进行更精确描述的目的. 这一想法促使几位研 究者不约而同的提出了利用晶体塑性模型计算出的 晶体学屈服面来对现象学屈服准则进行拟合调整的 方法[5 ,6 ,9 ,10 ,13 ,14 ] . Chung & Sha n (1992) 利用这种近 似方法进行了有限元分析 , 他们使用了 Barlat & Lian[9 ,10 ] 提出的相对简单的各向异性屈服准则 ,其 形状是用 Taylor 模型进行的晶体学计算结果来进 行调整.
拉角空间的积分后则仅决定于给定的宏观应变率.
在 Taylor 模型及各向同性应变硬化假设下 , 这些同
第 3 期 陈贻平等 : 织构可调塑性本构模型标定及其应用
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应变率相关的函数都可针对不同的 D 事先计算出
并存入文件. (11) 式或 (12) 式即为晶体学应变率势 ,
1 基本原理
利用一解析表达式去拟合用晶体学方法计算出
的多晶体屈服面 , 这一拟合不是针对常规的屈服面
而是针对相关联的功函数进行. 假定多晶体中所有
的晶粒都产生塑性变形 , 因此这里的描述对于卸载
及第一阶段的加载不适用. 这里仅考虑应变率的永
久变形部分 ,它可以从永久变形位移速度得到 ,而这
一位移是当目前宏观应力全部卸载后所得到的位
co s (β4 - π/ 3)
0
பைடு நூலகம்
0
[ aiPj ] =
0
co s (β4 +π/ 3)
0
0
0
- co sβ4
通过如下变换 ,可将[ aiPj ]变换到试样坐标系
aij
=
t ki
t
lj
a
P kl
(19) (20)
co sβ1 co sβ3 - sinβ1 sinβ3 co sβ2
sinβ1 co sβ3 + co sβ1 sinβ3 co sβ2 sinβ3 sinβ2
∑{ Ci C j M i ( D) M j ( D) - αkψk ( D) } 2 = min. (15)
D
系数βikj 独立于材料的织构 , 而是同选取的本 构模型表达式 (13) 有关. 一旦由 ( 15) 式求出βikj 后 , 即可算出本构系数αk
19 19
∑∑ αk =
Ci
β C ij jk
中的矢量. 因此 ,看其分量是一个或两个下标即可区
分. 矢量 D 在 5 维空间中的范数可定义为
Dn = ‖D ‖= Di D i
(7)
这样 , M g 对应于一单位矢量 D g 及用τc 规范化后的
应力矢量间的塑性功率. 多晶体的平均塑性功率可
由下式结出
∫ ·
W ( D) = W g ( Dg ) f ( g) d g g
塑性各向异性而基函数定义塑性ψk ( D) 应变势的形
状. 利用下节合理选取的覆盖 5 维 (考虑塑性变形体
积不可压缩性) 塑性应变率空间的取样点和最小二
乘法可由下式计算出系数αk
∑{ψc ( D) m - ψ( D) m } 2 = min
(14)
D
这里将函数ψ提高到 m 次幂是为了得出一组关于
系数αk 的线性方程组 . 当取 m = 2 时 ,有下式
此函数可写为
lmax M ( l) N ( l)
∴
∑∑∑ f ( g) =
Cμlν Tμlν ( g)
(9)
l = 0 μ= 1 ν
∴
其中函数 Tμlν 为考虑宏观及晶粒对称性的球谐函数
基函数 ,可以利用织构系数 Cμlν 同它的线性组合来
描述材料的织构. 这里的描述假定了晶体的立方对
称性及试样变形过程的正交对称性. 这样导出的模
记为 Ψc ( D) ,其中 Ci 描述材料织构而给定的应变率 D 只影响 Mμlν ( D) . 现以下面具有一般形式的解析
表达式对 (11) 式进行拟合以得出本构模型系数.
N
∑ Ψ( D) =
αkψk ( D) 1/ m
(13)
k =1
其中ψk ( D) 对于一正的乘子 m 阶齐次 ,系数αk 描述
(8)
在应力场和应变场具有宏观均匀性条件下 , (8) 式中
乘积 Sg : Dg 的平均值等于平均 S : D 的乘积. 因此 ,
(8) 式是独立于 Taylor 假设的宏观塑性功率. 方程
中 f ( g) 为取向分布函数 ,它描述了材料的晶体学织
构 ,积分区域为整个方位空间 , 使用级数展开法[2] ,
τc 规范化 , Dg 也可用下面介绍的范数 D n 进行相应
的规范化 ,经过这一处理后 ,塑性功率可写为
·
W g ( Dg)
=
D nτc
S
g ij
D
g ij
τc D n
= Dnτc M g
Dg Dn
(3)
其中 M g ( Dg / Dn) 是 Taylo r 因子. 为了定义 Dn ,这里
使用由 Cano va 等[16] 引入的 5 维记法将偏应力及应
(3香港理工大学工业及系统工程学系 ,红墈 ,香港)
摘 要 提出了利用率相关晶体塑性模型标定织相可调本构模型的求解步骤 ,得出了一组依赖于晶粒间相互 作用假设而独立于具体板材织构的本构相关系数. 以此为基础再结合板材织构系数所得出的本构模型系数可避免 出现屈服面非外凸的情形. 利用所提求解步骤对在不同热处理条件下产生不同织构的 AL5052 铝合金板的深拉成 形过程进行了有限元模拟. 结果再现了典型织构在板材成形过程中所出现的塑性各向异性 ,从而表明求解步骤的 可行性.
行为描述并知道了其应变率后 ,则可计算每个晶粒的
塑性功率
·
W g ( Dg)
(为了简便起见 , 字母
g 既表示某
个晶粒 ,同时又表示其所在方位) 如下
·
W g ( Dg)
=
S
g ij
D
g ij
= Sg :Dg
(2)
这里 Sg 是用同 Schmid 定律相关联的最大功率原理
确定的晶粒中的偏应力张量 , 这一偏应力张量可用
·242 ·
固体力学学报 2007 年第 28 卷
描述材料的塑性各向异性行为时 ,可以更方便地使 用对偶势而放弃经典屈服准则的使用. 同时 ,用此表 达 式 去 拟 合 晶 体 学 应 变 率 势 是 一 简 单 的 过 程. Ar minjo n 等[5 ,6] 已经提出了在解析应变率势和晶体 学应变率势间进行拟合的方法. 下面先简述晶体学 途径的基本原理 ,然后给出根据率相关晶体塑性模 型计算塑性功率的具体步骤 ,最后描述利用所得模 型实施有限元模拟分析的结果.
i=1 j =1
(16)
2 计算 Mμlν( D)
为完成上述的拟合计算 ,首先应得出 Mμlν( D) 的 样本值. 从 (12) 式可以看出 , Mμlν ( D) 是 Taylo r 因子 M g ( D , g) 和广义球谐函数两项乘积在方位空间的 积分 ,后者为给定的数学函数[2 ] , 而 M g ( D , g) 是晶 粒取向及给定塑性应变率的函数. 为此 ,定义塑性应 变率“长度”为[17 ]
移 ,因此晶粒 Dg 中的“塑性应变”包含有残余弹性
应变率. 如果我们用 D 表 示宏 观塑性 应变 率 , 则
Taylor 的均匀应变率假设可写为
Dg = D
(1)
这里 Dg 表示晶粒 g 中的应变率张量. 进一步假定仅
由晶体学滑移来实现塑性变形并且这种滑移模式符
合 Schmid 定律. 临界分解剪应力τc 对所有晶粒的所 有滑移系中的值是相同的. 在进行了单个晶粒的微观
型描述板料的轧制过程是合适的.
因为函 数
·
W
关
于
一
正
乘
子
是
一
阶
齐
次
的
( W·(λD) =λW·( D) , 对于λ≥0) ,因此在计算中仅用
单位矢量 D 或 D g 及规范化后的应力 S/τc 即可 , 同
时用平均 Taylor 因 子 M ( D) 取 代 平 均 塑 性 功 率
·
W(
D)
而
M
(
D)
变率张量化为矢量形式
S=
S11
2
S22
,
3 2
S33
,
S23 ,
S13 ,
S12
(4)
D = { D11 - D22 , D33 , 2 D23 , 2 D13 , 2 D12 } (5)
这样定义的矢量形式保持了同张量表示的功共轭
·
W g ( Dg)
=
D
g ij
S
g ij
=
S
g i
D
g j
(6)
这里同样的符号被用来表示偏张量及相应 5 维空间
可按
·
W(
D)
同样的方式计算出为
∫ M ( D) = M g ( Dg ) f ( g) d g g
(10)
将式 (9) 及 (10) 合并即可得出计算 M ( D) 的表示式
∑∑∑ ∫ lmax M( l) N ( l)
∴
M ( D) =
Cμlν M g ( Dg ) Tμlν ( g) d g (11)
l μν
g
或用单指标 i 代表 ( lμν) 的组合 ,则 (11) 式可表示为
imax
∑ ∑ M ( D) =
CμlνMμlν ( D) =
Ci M i ( D) (12)
μl ν
i =1
当 lmax 取值为 22 时 , 这是织构分析中通常的做法 ,
imax = 125 , Ci 描述材料的织构 , Mi ( D) 在完成对殴