(1)弹性波的基本理论

例如，柱体原长为L ,长度的变化量位 △L, 则应变等于△L/L
3. 应力与应变的关系
应力与应变成正比关系的物体叫完全 弹性体，虎克定律表示了应力与应变 之间的线性关系。
对于一维弹性体，虎克定律为F=kx
对于三维弹性体，用广义虎克定律表示 应力与应变之间的关系。
（二）弹性模量（弹性参数）
1. 杨氏弹性模量（E）
2
t 2
2
2
divF
(11 8)
同样，若对(1.1.7)式两边取旋度，即只
对介质施加旋转力，可得横波满足的 方
程
2
t 2
2
rotF
(11 9)
令
vs 2
1
2 2
vp
（1-1-10）
2
t 2
v2s2
rotF
(11 9' )
rotF代表旋转力，该式描述了在只有旋转力 作用时，弹性介质只产生与形变有关的扰动， (1-1-9)式为用位移表示的横波波动方程，式 中vs为横波传播速度。
非均匀介质中，介质的性质表现出成 层性，称这种介质为层状介质；其中每 一层是均匀介质；不同介质层的分界处 称界面（平面或曲面）；两个界面之间 的间隔称为该层的厚度。
h厚度
界面 界面
将速度v是空间连续变化函数的介质 定义为连续介质。连续介质是层状介质的 一种极限情况。即当层状介质的层数无限 增加，每层的厚度h无限减小，层状介质 就过渡为连续介质，如
Pn=f/s （1.1—1）
若外力f非均匀分布，则可以取一小面元△S,
作用于小面元上的外力为△f，则应力定义
为
Pn
lin
f s
df ds
因此应力的数学定义为：单位横截面上 所产生的内聚力称为应力。
根据力的分解定理，可以将力分解成 垂直于单元面积的应力—法向应力; 相切于单元面积的应力—切向应力（剪 切应力）。
E表示膨胀或压缩情况下应力与应变的 关系，所以又叫压缩模量。
数学定义：物体受胀缩力时应力与应变 之比。 设沿x方向受应力为 f/s ,产生的应变为 △L/L, 则杨氏弹性模量
E f /s L / L
物理定义：杨氏弹性模量表示固体对所受 作用力的阻力的度量。
固Βιβλιοθήκη Baidu介质对拉伸力的阻力越大， 则杨氏弹性模量越大，物体越不易 变形；反过来说，坚硬的不易变形 的物体，杨氏弹性模量大。
正应力 x ，y，z 使介质产生纵 波;切应力xy,xz, yz; ij 使介质产生横波,下脚标 i表示 应力方向，j表示应力作用于垂直
于j轴的平面。
物理定义：弹性体受应力作用，产生的 体积和形状的变化称为应变。只发生体积 变化而形状不变的应变称正应变；反之， 只发生形状变化的应变称为切应变。 数学定义：弹性理论中，将单位长度所 产生的形变称应变。
不同的规律，各种不同的传播规律需用 不同的传播方程描述。
均匀、各向同性、理想弹性介质是 一种最简单的介质模型。
根据固体弹性动力学理论，地震波 在均匀、各向同性、理想弹性介质 中传播满足以下偏微分方程
2U ( )grad F 2U
t 2
(11 7)
该式称为矢量弹性波方程。
式中矢量U表示介质质点受外力(F)作用后的 位移，称为位移矢量：
而对于软的未胶结的土或流体， 泊松比可高达0.45-0.5。
一般岩石的泊松比为0.25左右。
设一物体，受到静水柱压力p 的作用，产 生体积形变，△v/v, 其中v是物体的原体 积， △v 是体积变化量。但形状未发生变 化。则这种情况下的应力与应变的比称为 体变模量。
K p v / v
指物体受剪切应力作用，并发生形状 变化时，应力与应变之比。 如图所示，受剪切力为xy , 切变角为 ，则剪切模量为
第一节 弹性介质与地震波 一、弹性介质 地震勘探的地球物理前提是地层间的弹
性差异,地震勘探中将地层叫做介质;因此 需要研究地层介质的弹性性质。
。
岩层受外力产生形变，将岩层随外力 消失而恢复原形的形变称为弹性形变，
产生弹性形变的介质叫弹性介质。 在弹性介质内传播的地震波称地震弹性波。 研究地震弹性波可用弹性波理论，如虎克
在拉伸变形中，物体的伸长总是伴 随着垂直方向的收缩，所以把介质横 向应变与纵向应变之比称泊松比，
d / d
L / L
式中加负号表示纵向拉长总是伴随 着横向缩短，为使泊松比为正，要加 负号。
显然泊松比是表示物体变形性质的 一个参数，如果介质坚硬，在同样作 用力下，横向应变小，泊松比就小， 可小到0.05 。
U=U（u,v,w）
u,v,w分别为三个坐标轴的位移分量。
矢量F表示对介质的外力，称为力矢量，
在弹性波方程中，外力F（爆炸力或 锤击）既包含胀缩力(正压力)，也包 含旋转力(剪切力)，位移U也包含体 变和形变两部分。
对(1-1-7)式两边取散度(div)，即对介质 只施加胀缩力，可得纵波满足的方程
v=v0(1+z)
叫线性连续介质。V0是表层介质的速度， z是深度，是速度随深度的变化率。
（一）应力与应变 应力：弹性体受力后产生的恢复原来
形状的内力称内应力，简称为应力。应 力和外力相抗衡，阻止弹性体的形变。
对于一个均匀各向同性的弹性圆柱体，设作
用于s面上的法向应力为N，若力f在s面上
均匀分布，则应力pn定义为
= xy /
弹性模量是阻止剪切应变的度量。 液体的=0，因此没有抗剪切能力。 液体内也不会产生横波。
弹性模量之间的关系式
E 9k ; K E
;
3k
3(1 2)
E ; 3K 2 ;
2(1 )
6K 2
三、波动方程
• 是地震波传播规律的方程。 • 在不同的介质模型中，地震波传播有
为使纵、横波方程简单化，在场 满足一定的物理条件下，可进一 步用标量位函数表达纵、横波方 程。
位函数表示的纵、横波波动方程
2
t 2
v2 p2
2
t 2
v2s2
(1 1 12)
(1113)
式(1-1-12)、(1-1-13)是标量位函数表示的 三分量标量波动方程，(1-1-12)式是纵波标 量波动方程，
定律等。 可以对介质进行分类如下：
• （一）各向同性介质和各向异性介质
• 对某一特定岩层，如果沿不同方向测 定的物理性质均相同，称各向同性介质， 否则是各向异性介质。
（二）均匀介质、层状介质
• 若介质的弹性性质不仅与测定方向无 关，而且与坐标位置无关，就称为均匀 各向同性介质；如速度v=c（常数）。