2013年广州市高三第二次模拟考试试题答案

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，
如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15
题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．
11．14π- 12 13．36；3981 14．1
4
15
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题主要考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识，考查数据处理能力，本小题满分12分） 解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为
4.42 4.62 4.82 4.9
5.1
4.78
⨯+⨯+⨯++=．
据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为4.7．……………………………3分 （2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.7、4.8，
所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有()4.34.4，
，()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，， ()4.34.8，
，()4.44.5，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.6，，()4.54.7，，()4.54.8，，
()4.64.7，
，()4.64.8，，()4.74.8，，共15种情形．……………………………………7分 其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，
()4.34.8，
，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.8，，共10种． ………10分
所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为102
=153
． ………………12分
17．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分） 解：（1）在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，
由余弦定理得222
cos 2AB AC BC BAC AB AC
+-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分
2228050701280502
+-==⨯⨯． ………………………………………3分
因为BAC ∠为△ABC 的内角，所以3
BAC π
∠=
．…………………………………4分 （2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，
所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………………………………………5分 设外接圆的半径为R ， 在△ABC 中，由正弦定理得
2sin BC
R A
=， ……………………………………………7分 因为70BC =，由（1）知3
A π
=
，所以sin A =．
所以2R =
=
R =．………8分 过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，……………9分 在△OBD
中，OB R ==
，70
3522
BC BD ===，
所以OD ==………………………………………………………11分
=
． 所以点O 到直线BC
m ．………………12分 方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离 相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……5分 连结OB ，OC ，
过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， ………6分 由（1）知3
BAC π∠=， 所以3BOC 2π∠=
． 所以3
BOD π
∠=．………………………………………………………………9分
在Rt △BOD 中，70
3522
BC BD ===，
所以35tan tan 60BD OD BOD =
==
∠11分 所以点O 到直线BC
m ．…………………………………12分 18．（本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积计算等基础知识，考查空间想象能力等，本小题满分14分）
（1）证明：因为90PAB PAC ∠=∠=，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥．……………1分
因为AB
AC A =，所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………2分
因为BC ⊂平面ABC ，所以BC PA ⊥．……………………3分
因为90ACB ∠=，所以BC CA ⊥．……………………………………………4分 因为PA
CA A =，所以BC ⊥平面PAC ．……………………………………5分
因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ．………………………6分 （2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥， 所以PA 是三棱锥P ABC -的高．………………7分 因为1PA
=，=2AB ，设BC x =()02x <<，…8分
P
A
B
所以AC===．…9分
因为
1
3
P ABC ABC
V S PA
-
=⨯
△
1
6
=………………………………………………10分
=
()
22
4
1
62
x x
+-
≤⨯………………………………………………11分
1
3
=．……………………………………………………………12分
当且仅当22
4
x x
=-，即x=时等号成立．………………………13分
所以当三棱锥P ABC
-的体积最大时，2
=
BC．…………………………14分方法2：由已知及（1）所证可知，PA⊥平面ABC，
所以PA是三棱锥P ABC
-的高．…………………………………7分
因为90
ACB
∠=，设ABCθ
∠=0
2
π
θ
⎛⎫
<<
⎪
⎝⎭
，……………………8分
则cos2cos
BC ABθθ
==，sin2sin
AC ABθθ
==．………………9分
所以
11
2cos2sin sin2
22
ABC
S BC ACθθθ
=⨯⨯=⨯⨯=
△
．………………10分所以
1
3
P ABC ABC
V S PA
-
=⨯
△
1
sin2
3
θ
=．…………………………………11分
因为0
2
π
θ
<<，
所以当
4
π
θ=，
P ABC
V
-
有最大值
1
3
．……………………………12分
此时2cos
4
BC
π
==．……………………………………………13分
所以当三棱锥P ABC
-的体积最大时，2
=
BC．…………………………14分
19．（本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）
解：（1）设等差数列{}n a的公差为d，
因为1235,7.
a a a +=⎧⎨
=⎩即1125,
27.a d a d +=⎧⎨+=⎩……………………………………2分 解得11,
3.
a d =⎧⎨
=⎩ ………………………………………………………3分
所以()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-．
所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-*
()n ∈N ． ………………………4分
（2）因为
()()111111323133231n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪-+-+⎝⎭
， ……………………5分 所以数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和
122334
11
11111
n n n
n n S a a a a a a a a a a -+=
++++
+ 1111111111111113434737103353233231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11133131
n
n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭．……………………………………………7分 假设存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列， 则21m n S S S =．………………………………………………………8分
即2
131431m n m
n ⎛⎫
=⨯ ⎪
++⎝⎭
．………………………………………………9分 所以22
4361
m n m m =-++． 因为0n >，所以23610m m -++>． 即23610m m --<． 因为1m >，所以113m <<<． 因为*m ∈N ，所以2m =．……………………………………12分
此时2
2416361
m n m m ==-++．………………………………………………………13分
所以存在满足题意的正整数m 、n ，且只有一组解，即2m =，16n =． ……14分
20．（本小题主要考查函数的单调性和最值等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力等，本小题满分14分）
解：（1）因为函数2
()2ln f x x a x =-，
所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．……………………………………1分 且2()2a
f x x x
'=-
．………………………………………………………2分 若()f x 在定义域上是增函数， 则2()20a
f x x x
'=-
≥在(0,)+∞上恒成立．…………………………………3分 即2a x ≤在(0,)+∞上恒成立，所以0a ≤． ………………………4分 由已知0a ≠，
所以实数a 的取值范围为(),0-∞．…………………………………………5分 （2）①若0a <，由（1）知，函数2
()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数．
所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =．……………………………6分
②若0a >，由于
222()x a f x x -'==
所以函数(
)f x 在区间
(上为减函数，在区间)
+∞上为增函数．…………
7分
1≤，即01
a <≤时，)
[1,2]⊂
+∞，
函数2
()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数，
所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(1)1f =．…………………………
9分 （ⅱ）若12<
≤，即14a <≤时，
函数2
()2ln f x x
a x =-在区间(
为减函数，在
)
2上为增函数，
所以函数()f x 在区间[1,2]
上的最小值为ln f a a a =-．……………11分
2>，即4a >
时，([1,2]⊂，
函数()f x 在区间[1,2]上为减函数，
所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(2)42ln 2f a =-． ………………………13分 综上所述，当1a ≤且0a ≠时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =． 当14a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]
的最小值为ln f
a a a =-．
当4a >时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(2)42ln 2f a =-．……14分
21．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）
解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y
1分
整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为2
4x y =．…………………………2分
方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等， 根据………………1分
且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．
所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为2
4x y =．………2分 （2）由（1）得2
4x y =，即214y x =
，则1
2
y x '=． 设点2001,
4D x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由导数的几何意义知，直线的斜率为
01
2
BC k x =
．…………………………3分 由题意知点2001,
4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 则22
12
120121114442
BC
x x x x k x x x -+===-，
A
B C
D
O
x
y
l
E
即1202x x x +=．…………………………4分
因为2210101011444AC
x x x x k x x --==+，2220
202011444
AB x x x x k x x --==+．……………5分
由于()120
102020444
AC AB x x x x x x x k k +---+=
+==，即AC AB k k =-．……6分 所以BAD CAD ∠=∠．……………………………………………………7分 （3）方法1：由点D 到AB
BAD ∠45=．……………8分 不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，直线AB 的方程为：()2
0014
y x x x -
=-+． 由()20021,44.y x x x x y ⎧
-=-+⎪⎨⎪=⎩
解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
．……………………………10分
)(
)042x ---=-．
由（2）知CAD BAD ∠=∠45=
，同理可得2AC =+．…………11分 所以△ABC
的面积201
22244202
S x =
⨯-⨯+=-=， 解得03x =±．………………………………………………………………12分 当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
，32BC k =， 直线BC 的方程为()13
142
y x -
=+，即6470x y -+=．…………………………13分 当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
，32BC k =-， 直线BC 的方程为()493
742
y x -
=-+，即6470x y +-=． …………………14分 方法2：由点D 到AB
BAD ∠45=．……………8分
由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，所以CAB ∠90=，即AC AB ⊥． 由（2）知104AC x x k -=，20
4AB x x k -=． 所以1020144
AC AB
x x x x
k k --=⨯=-．
即()()102016x x x x --=-． ① 由（2）知1202x x x +=． ②
不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，由①、②解得102
04,
4.x x x x =+⎧⎨=-⎩………10分
2=-
，
同理2AC =+． …………………………………………………11分 以下同方法1．。