次数学危机的感想
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——数学文化与思维作业
学号:姓名:刘奇学院:计算机年级:2011无理数的确认──第一次数学危机
第一次数学危机表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示,反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到了挑战,古希腊的数学观点受到极大的冲击。
第一次数学危机同时反映出,直觉和经验不一定靠得住,而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发,经过演绎推理,并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命,也是第一次数学危机的自然产物。
什么是无穷──第二次数学危机
伴随着十七世纪末牛顿和莱布尼兹发现微积分而发生的激烈争论,被称为第二次数学危机。以求速度为例,瞬时速度是当趋近于零时的值。是零,是很小的量,还是什么东西?无穷小量究竟是不是零?无穷小及其分析是否合理?
应当承认,贝克莱的责难是击中要害的。“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它,只是由于它使用起来方便有效,并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现,那样鼓舞人心的例子,显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以,人们不大相信贝克莱的指责。这表明,在大多数人的脑海里,“实践是检验真理的唯一标准。”
19世纪70年代初,魏尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立
了实数理论,而且在实数理论的基础上,建立起极限论的基本定理。“ε-σ”语言给出了极限的准确描述,消除了历史上各种模糊的用语。虽然所得结论与牛顿原先的结论是一样的,但每一步都有了严格的逻辑基础。这样就使数学分析建立在了实数理论的严格基础之上。罗素悖论的责难──第三次数学危机
这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论而造成的。数学家们发现,从自然数与集合论出发似乎可建立起整个数学大厦,因而集合论成为现代数学的基石。而罗素悖论使整个数学大厦动摇了。
其实,在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。但是,由于这那些悖论都涉及集合中的许多复杂理论,所以只是在数学界揭起了一点小涟漪,未能引起大的注意。罗素悖论则不同,它非常浅显易懂,而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以,罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。
承认无穷集合,承认无穷基数,就好象一切灾难都出来了。这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在一步一步地丧失。经过“悖论”大辩论的洗礼,现代公理集合论的一大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的。所以,第三次数学危机表面上解决了,实质上更深刻地以其它形式延续着。
关于三次数学危机的感想
三次数学危机都与无穷有关,也与人们对无穷的认识有关。
第一次数学危机的要害是不认识无理数,而无理数是无限不循环小数,它可以看成是无穷个有理数组成的数列的极限。所以,第一次数学危机的彻底解决,是在危机产生二千年后的19世纪,建立了极限理论和实数理论之后。实际上,它差不多是与第二次数学危机同时,才被彻底解决的。
第二次数学危机的要害,是极限理论的逻辑基础不完善,而极限正是“有穷过渡到无穷”的重要手段。贝克莱的责难,也集中在“无穷小量”上。由于无穷与有穷有本质的区别,所以,极限的严格定义,极限的存在性,无穷级数的收敛性,这样一些理论问题就显得特别重要。
第三次数学危机的要害,是“所有不属于自身的集合”这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合,人们犯了“自我指谓”、恶性循环的错误。
以上事实告诉我们,由于人们习惯于有穷,习惯于有穷情况下的思维,所以一旦遇到无穷时,要格外地小心;而高等数学则是经常与无穷打交道的。
从另一方面,数学的历史发展有顺利也有曲折。大的挫折也可以叫做危机,危机也意味着挑战,危机的解决就意味着进步。所以,危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机,都是数学的基本部分受到质疑。实际上,也恰恰是这三次危机,引发了数学上的三次思想解放,大大推动了数学科学的发展。