坡角、坡比问题

用解直角三角形解坡角问题

【知识与技能】

1.使学生掌握测量中坡角、坡度的概念；

2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题.

【过程与方法】

经历利用解直角三角形的知识解与坡度有关的实际问题的过程，进一步培养分析问题、解决问题的能力.

【情感态度】

渗透数形结合的思想方法，进一步培养学生应用数学的意识.

【教学重点】

解决有关坡度的实际问题.

【教学难点】

解决有关坡度的实际问题.

一、情境导入，初步认识

读一读

在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.

如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比），

记作i，即i=h

l

.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫

做坡角，记作α，有i=h

l

=tanα.

显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.

二、思考探究，获取新知

例1如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽.（精确到0.1米）

例2 学校校园内有一小山坡AB,经测量，坡角

∠ABC =30°,斜坡AB 长为12米，为方便学生行走，决定开

挖小山坡，使斜坡BD 的坡比是1∶3（即CD 与BC 的长度之

比）.A 、D 两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.

解：在Rt △ABC 中，∠ABC=30°,

则易求AC=6米，BC=63米.

在Rt △BDC 中，i=13

DC BC =.

易得DC=13

BC =.

∴AD=AC-DC=（）米.

三、运用新知，深化理解

1.已知一坡面的坡度i=1则坡角α为（ ）

A.15°

B.20°

C.30°

D.45°

2.彬彬沿坡度为150米，则他离地面的高度为（ ）

米 B.50米

C.25米

3.某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝底宽126米，斜坡

的坡比是1______米.

4.如图，一束光线照在坡度为1平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是

______.

5.如图，已知在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400m到点D处，测得点A的仰角为60°，求AB的高度.

【答案】1.C 2.C 3.30° 4.30°5.（+200）m

四、师生互动，课堂小结

1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题.

2.本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想.

1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.

2.完成练习册中本课时练习.

本节课以实际情境，引导学生将实际问题抽象为数学问题，构造几何模型，应用三角函数的知识解决问题.在整体设计上，由易到难，难度层层推进，尽量满足不同层次学生的学习需要.在教学过程中，让学生经历知识的形成过程，体会数形结合的数学思想，进一步培养学生应用数学的意识.