第六章自旋和角动量习题

3 2
Hale Waihona Puke Baidu
分量的平均值，进而求出总磁矩 -eL/2c - e S/ c 的 z 分量的平均值. 7. 设总角动量算符为 ˆ J ，记算符 J2 与 Jz 的共同本征函数为|jm> ，当 j=1 时 (1) 写出 J2、Jx 的矩阵表示，并求出其共同本征矢|1m x>x ； (2) 若体系处于状态 [ 11 1 - 1 ]/ 2 , 求同时测量 J2 与 Jx 的取值概率； (3) 在|ψ> 状态上，测量 Jz 得ħ 时，体系处于什么状态上；在 |ψ>状态上，计算 Jy 的平均值. 8. 在激发的氦原子中，若两个电子分别处于 p 态和 s 态，求出其总轨道角动量 的可能取值. 9. 用柱坐标系，取磁场方向沿 z 轴方向，矢势 Aφ=Bρ/2 ，Aρ=Az =0，求均匀磁场 中带电粒子的本征能量. 10. 自旋为 1/2 的粒子，在均匀磁场中运动，磁场的绝对值不变，但各个分量随 时间变化，满足 Bx=Bsinθcosωt，By=Bsinθsinωt，Bz ＝Bcosθ. 设 t=0 时自旋在 磁场方向上的分量等于 1/2，求在时刻 t 粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量 等于-1/2 的态中的概率. 11. 带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场 U(r)=meω02r 2/2 中运动，求粒子的能 谱. 12. 自旋为ħ/2 的粒子处于线谐振子位势中，t=0 时粒子处于状态 (x, Sz ,0) 0 (x) 1/2 (Sz )/3 - 21 (x) -1/2 (Sz )/3 21 (x) 1/2 (S z )/3 . 求 t>0 时的波 函数及能量的取值概率与平均值. n (x) 为该线谐振子的第 n 个本征态. 13. 设体系由两个自旋为 ħ/2 的非全同粒子构成，若体系处于两个粒子的自旋状 态分别为|χ1 >、|χ2>的状态中，分别求出体系处于单态与三重态的概率. 1 cosexp(-i /2) 其中 1 0 ; 2 sin exp(i /2) . 14. 两个自旋为 ħ/2 的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子之间的相互作 ˆ S ˆ , 其中 c 是常数 . 设 t=0 时粒子 1 的自旋沿 z 轴正方向，粒子 2 用为 cS 1 2 的自旋沿 z 轴负方向， 求 t>0 时测量粒子 1 的自旋仍处于 z 轴正方向的概率. 四、证明
1.
ˆ 、B ˆ 是 与 泡 利 算 符 对 易 的 两 个 矢 量 算 符 ， 证 明 设 A
ˆ )( ˆ)A ˆ B ˆ i ˆ B ˆ) ˆA ˆB ˆ (A ( 2. 如果ψm 是 Lz 的本征态， 满足本征方程 Lzψm＝mħψ m， 现在将 z 轴转一个角度θ， 变成 z＇轴，求证：<Lz’>=mħcosθ. 3. 设 J J1 J 2 , 求证： (1) (2) j' m' J 1z jm j' m J 1z jm , 即 J1z 的矩阵对于量子数 m 是对角化的； j' m' J1 jm j' m 1 J 1 jm m' m 1 ;
(3) 令 e r 机会均等地经历各种方向，求 S12 的平均值. 4. 氘是质子和中子的束缚态， 其总角动量 J ＝1. 现已知它主要是由 S(l=0) 态组成 并且有很少的 D(l=2) 态参与进来： (1) 解释为什么 P 态不能参与？ (2) 解释为什么 G 态不能参与？ (3) 计算 n-p 体系(总角动量 J=1) 处在纯 D 态时的磁矩.假设 n 和 p 自旋耦合形成 总自旋 S ，然后总自旋在与轨道角动量 L 耦合形成总角动量 J ，用核磁子表示 你的结果. 已知质子和中子的磁矩分别示 2.79 和－1.91 核磁子. 5. 在 J J1 J 2 , m m 1 m 2 的态中 (1) 若 j1=1, j 2=1/2, j=3/2, m=1/2, 求克莱布希－戈尔登系数； (2) 考虑下列反应： (a) π+p→π+p (b) π－p→π－p (c) π－p→π0n 这些同位旋守恒的反应能在同位旋 I=3/2 的Δ共振态或在 I=1/2 的 N*共振态中 产生，试分别就对应于Δ共振和 N*共振的能量计算截面比σa、σb、σc.在一个 共振能处可忽略其他同位旋态产生的影响，π介子的同位旋是 I=1 态，核子的 同位旋是 I=1/2 态. 6. 一个π－介子(赝标粒子、自旋为零、奇宇称)最初被束缚在氘核周围，并处在最 低库仑能态上. 它被氘核(一质子和一中子处在 3 S1 态中) 俘获，并使氘核转变 为一对中子π－+d→n+n (1) 中子对的轨道角动量和总自旋角动量是多少？ (2) 发现两个中子的自旋均与氘核的自旋相反的概率是多少？ ˆ 方向， (3) 如果氘核的自旋在最初全部指向 R 发现自旋反向的中子的发射概率( 单 位立体角)的角分布是多少？ 7. 讨论一个中性粒子，它的内禀角动量是 S(S 1) , 其中 S=ħ/2 ，即它是一个自 旋为 1/2 的粒子. 假设这粒子有一磁矩 M S, γ是一个常数. 这个粒子的量
(3) 当 j'-j 1 时， j' m' J1 jm 0 . 4. 对于两个自旋 1/2 的粒子组成的体系，证明张量算符
S12 3( 1 r )( 2 r )/r 2 - 1 2 和 S2 及 J 对易. S 为总自旋， J 是总角动量，
第六章 自旋和角动量
一、填空 1. ______实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一 .为了解释该实验， ____和 ____提出了电子具有自旋角动量的说法. 2. 在 ( ˆ 2 , x ) 的共同表象中，算符 x、y、z 对应的矩阵分别是_____、 _____和 _____. 二、概念与名词解释 1. 电子自旋 2. 泡利矩阵 3. 无耦合表象，耦合表象 4. 塞曼效应，正常塞曼效应和反常塞曼效应 三、计算 1. 求自旋角动量算符在 (cosα, cosβ, cosγ) 方向的投影 Sn=Sxcosα+Sycosβ+Sz cosγ 的 本征值和相应的本征矢. 在其两个本征态上，求 Sz 的取值概率及平均值. 2. 求下列状态中算符 J 2 , J z ( J L S) 的本征值： (1) 1 1/2 (Sz )Y11 ( , ) (2) 2 1/ 3 2 1/2 (Sz )Y10 (, ) -1/2 (S z )Y11 ( , ) (3) 3 1/ -1/2 (S z )Y10 ( , ) 1/2 (S z )Y1 -1 ( , ) (4) 4 -1/2 (S z )Y1 -1 ( , ). 1 2 2 3. 对自旋态 1/2 (S 2 ) 0 , 求 ( Sx ) ( Sy ) . 4. 一个由两个自旋为 1/2 的非全同粒子组成的体系 . 已知粒子 1 处在 S1z =1/2 的 本征态，粒子 2 处在 S2x=1/2 的本征态，取ħ＝1，求体系总自旋 S2 的可能值及 相应的概率，并求体系处于单态的概率. 5. 考虑三个自旋为 1／2 的非全同粒子组成的体系. 体系的哈密顿量是 H AS1 S2 B( S1 S2 ) S3 , A、B 为实常数，试找出体系的守恒量，并确定体 系的能级和简并度(取ħ＝1 为单位). R 21 (r)Y 11 ( , )/2 6. 设氢原子处于状态 ( r ) - 3R (r)Y (, )/2 , 求轨道角动量 z 分量和自旋 z 21 10
子态可用自旋空间描述. 它的基矢是 Sz 的两个本征态|+>和| －>，分别代表其 自旋方向平行和反平行于 z 轴，即有 Sz |+>= ħ/2|+> ，Sz| －>=－ħ/2|－> . 在 t=0 时，体系状态是|ψ>(t=0)= |+>. 这一粒子沿 y 轴运动，通过一沿 y 轴方向的均 匀磁场 B B 0 j . (1) 求|ψ>(t) ，用|+>和|－>来表示. (2) <Sx>、<Sy>、<Sz>作为时间函数的表达式.
J S L，L 是体系的轨道角动量，在质心坐标系中， L 的算符形式是 L r p i r , r r1 r2 . 五、综合题 ˆ (1 ˆ z ) / 2和 ˆ ( ˆ x i ˆ y ) / 2 的矩阵形式，并证 1. 在σz 表象中，写出算符 Q ˆ Q ˆ 1; Q ˆ2 Q ˆ ;Q ˆ2 Q ˆ ;Q ˆ Q ˆ ˆ ˆ Q - Q -Q - 0; a a ˆ a a ˆ 明如下关系成立： Q b ; Q b ; 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ ˆ - 0; - Q ; - Q - ; - - - z . ˆ1 ˆ 2 的本征值. ˆ1 ˆ 2 ) 2 3 - 2( ˆ1 ˆ 2 ) , 并由此求出 2. 证明 ( 3. 对于两个自旋为 1/2 的粒子组成的体系，令 r r1 - r2 , e r r /r ( r 方向上的单位矢量 )， 取ħ＝1，定义张量算符 S12 3( 1 er )( 2 e r ) - 1 2 (1) 证明(S12) 2=4S2-2S12 ， S 是总自旋. 再进而证明 S12 的任意正整数次幂均可表示 为 S12 和 S2 的线性组合； (2) 求 S12 的本征值；