第六章自旋和角动量习题
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.7-6#5
S1 , S2 , S3 互相对易，而且
2 2 2 S1 S2 S3
3 4
因此
2 2 2 S 12 S1 S2 2S1 S2 2 S 123
3 2S1 S2 2
9 2( S1 S2 S2 S3 S3 S1 ) 4
(1, 2) (1) (2)
2
1 [ (1) (2) (1) (2)] 2
2
总自旋 S 共有两个本征值：0 和 2. S 0 的本征 (1) (2) (1) (2)] 2
2
在体系的自旋态 中测得 S 0 的概率为
2 S12 S ( S 1), S 0,1
2
2
2
2
2
2
1 1 3 2 S123 S ( S 1), S , , 2 2 2
代入 H 的表达式，就得到能级值，记为 ESS 。由于体系能量与 ( S123 ) z ，即总自旋 z 分量的 本征值 [S , S 1,
r 1 1 ] e [ S , S x ] e ( S [ x , S ] x [ S , S ]) r r r
l
和 S 对易，但 l 和 S n 并不对易，利用基本对易式 [l , x ] i x , 容易证明
[l , Sn ] [l , S
,(S )] 无关，故能级 ESS 的简并度 (2S 1) 。量子数 S , S 的可能组合以
及能级和简并度如下：
S S
1 3/2 1/2
0 1/2
ESS
简并度 (2S 1)
A B 4 2
角动量——精选推荐
⾓动量⾓动量第六⼩组：陈⼩松兰婷李强徐继张⽟（组长）outline本章知识框架及总结（张⽟）?本章经典例题讲解与剖析（徐继）?⾓动量的发展与现状（兰婷）⾓动量的知识框架⾓动量⾓动量的算符表⽰（包括分量、⾓动量的平⽅等）⾓动量的对易关系l r p =×v v v $,z x y l l i l = h ⾓动量的本征值⾓动量的矩阵元（矩阵表⽰）⾃旋⾓动量⼆、⾓动量算符１、定义：⾓动量算符分量式为??L rp =×v v v ()()()()()()x z y y x z z y x L yp zp y z i y z i z y z yL zp xp z x i z x i x z x zL xp yp x y i x y i y x y x=?=?=??=?=?=??=?=?=??h h h h h h pv２、⾓动量平⽅算符定义：利⽤直⾓坐标和球坐标变量之间的关系可得222222222()()()x y zL L L L L y z z x x y zy x z y x ==++ =??+?+? v h (,,)(,,)x y z r θ?→2222sin cos sin sin cos /cos /x r r x y z y r z r z r tan y x θ?θ?θθ?==++==== ?(sin cos )?(cos sin )?x y z L i ctg L i ctg L i ?θ?θ?θ?θ?=+?=??=??h h h x y z θ?和３、⾓动量分量算符：222222222?11?(sin )sin sin z L L ?θθθθθ??=?? ???=?+ ??? h h (17) 2222??z z L i L ?=?=h h ?z L z ⼆、⾓动量算符之间的对易关系⼒学量都是坐标和动量的函数，由基本对易关系和恒等式(19)之⼀，可以导出其它⼒学量之间的对易关系。
量子力学第三版练习题
一、基本概念1. 简述量子力学的基本假设。
2. 解释波粒二象性及其意义。
3. 什么是测不准原理？举例说明。
4. 什么是薛定谔方程？其物理意义是什么？5. 什么是量子态？如何表示？6. 什么是本征态和本征值？举例说明。
7. 什么是叠加原理？举例说明。
8. 什么是量子纠缠？举例说明。
9. 什么是量子隧穿效应？举例说明。
10. 什么是量子退相干？举例说明。
二、一维势阱1. 画出无限深势阱的势能分布图。
2. 写出无限深势阱中粒子的波函数和能级公式。
3. 计算无限深势阱中粒子在第一激发态时的能量。
4. 画出无限深势阱中粒子在第一激发态时的波函数图。
5. 证明无限深势阱中粒子的波函数满足薛定谔方程。
6. 讨论无限深势阱中粒子波函数的归一化条件。
7. 举例说明无限深势阱中粒子波函数的物理意义。
8. 讨论无限深势阱中粒子波函数的时间演化。
9. 举例说明无限深势阱中粒子波函数的空间演化。
10. 讨论无限深势阱中粒子波函数的相干性。
三、谐振子1. 画出谐振子的势能分布图。
2. 写出谐振子波函数和能级公式。
3. 计算谐振子基态能量。
4. 画出谐振子基态波函数图。
5. 证明谐振子波函数满足薛定谔方程。
6. 讨论谐振子波函数的归一化条件。
7. 举例说明谐振子波函数的物理意义。
8. 讨论谐振子波函数的时间演化。
9. 举例说明谐振子波函数的空间演化。
10. 讨论谐振子波函数的相干性。
四、量子力学中的算符1. 什么是算符？举例说明。
2. 什么是厄米算符？举例说明。
3. 什么是本征值和本征态？举例说明。
4. 什么是算符的对易关系？举例说明。
5. 什么是算符的谱分解？举例说明。
6. 什么是算符的期望值？举例说明。
7. 什么是算符的本征态展开？举例说明。
8. 什么是算符的投影算符？举例说明。
9. 什么是算符的逆算符？举例说明。
10. 什么是算符的线性组合？举例说明。
五、多粒子系统1. 什么是多粒子系统？举例说明。
2. 什么是费米子和玻色子？举例说明。
专题讲座6-角动量理论
专题讲座6-角动量与自旋在量子力学中角动量算苻(包括轨道角动量,自旋角动量)满足对易关系L L i L ⨯= 即及2[, ]=0.L L 即222[, ]0, [, ]0, [, ]0,x y z L L L L L L === 另外有2222,x y z L L L L =++下面由这些对易关系来求本征值和本征态 2L 同L 的各分量是对易的的，我们可以期望找到2L 和（比如说）z L 的共同本征态：2L f f λ= 和 .z L f f μ=引入算苻我们有()11, ()22x y L L L L L L i+-+-=+=-††, L L L L +--+== (L ±不是厄密算苻)L ±与z L 的对易关系为[, ][, ][, ]()(),z z x z y y x x y L L L L i L L i L i i L L iL ±=±=±-=±±所以[, ].z L L L ±±=±当然，也有2[, ]0.L L ±=定理: 如果f 是2L 和z L 的本征函数，那么L f ±也是： 证: 22()()()(),L L f L L f L f L f λλ±±±±===所以L f±是2L 具有相同的本征值λ的一个本征函数。
()()() =()(),z z z z L L f L L L L f L L f L f L f L f μμ±±±±±±±=-+=±+±所以L f ±是z L 的一个本征函数，但是本征值为μ± 。
我们称L +为“升阶”算符，因为它使z L 的本征值增加一个 ，L -为“降阶”算符，它使z L 的本征值减少一个 。
量子力学习题解答-第6章
第 6 章不含时微扰理论本章主要内容概要1. 非简并微扰理论：设体系的哈密顿为 0'H H H =+ ，其中 0H 的本征函数已经知道，但 是H 的严格解无法求出，若 'H 对应的能量远小于 0H 对应的能量，这时可由微扰理论近似 求解H 的能量本征值和本征函数。
一级近似下（近似到 'H 一次项），能量本征值为(0)(1)(0)(0)'(0)n n n n n nE E E E H y y =+=+ 能量本征函数为(0)'(0) (0)(1)(0)(0)(0)(0)m n n nnnmn mn m H E E y y y yyyy ¹ =+=+ - å其中 (0)n y 是 0 H 本征值为 (0) n E 的本征函数。
(0)'(0) m n H y y 是微扰哈密顿在 0H 表象中的矩阵元。
二级近似下能量本征值为2(0)'(0)(0)(1)(2)(0)(0)'(0)(0)(0)m nn n n n n n n n mn mH E E E E E H E E y y y y ¹ =++=++ - å2. 简并微扰理论：若 0H 的某个能量是k 度简并的，即有k 本征函数 , 1,2,... i i k y = 对应同 一个能量本征值E （这里略写了对应能级的指标） ，要求能量的一级修正，首先在简并子空 间， 即{ } i y 为基矢的表象求出微扰哈密顿 'H 的矩阵元 'i j Hy y ， 然后解 'H 的本征方程'''11 11121 ''' 22 (1) 21222 ''' 12... ... ............ ... k k k k k k kk c c H H H c c H H H Ec c H H H æöæöæö ç÷ç÷ç÷ ç÷ç÷ç÷ = ç÷ç÷ç÷ ç÷ç÷ç÷ ç÷ èøèø èø M M 由此可以求出k 个能量一级修正 (1)i E （可能有重根，表示简并仅部分消除） ，再把得到的每 个 (1)i E 代入本征方程，对每个 (1)i E 可以得到{ } i c ，对应的零级近似波函数为(0)1kij jj c fy = = å 之所以称 (0)i f 为零级近似波函数是由于它们是 i y的线性组合，仍然为 0H 本征值为E 的本 征函数，并且有 (1)(0)'(0) ii i E H f f = 。
原子物理学第四,五,六,七章课后习题答案
第四章 碱金属原子1. 已知Li 原子光谱主线系最长波长0A 6707=λ，辅线系系限波长A 3519=∞λ.求Li 原子第一激发电势和电离电势.解：主线系最长波长是原子从第一激发态跃迁至基态的光谱线的波长E h hc νλ∆==第一激发电势1eU E =∆34811976.626210310V 1.850V 1.602210 6.70710E hc U e e λ---∆⨯⨯⨯====⨯⨯⨯辅线系系限波长是原子从无穷处向第一激发态跃迁产生的 辅线系~~*2n R n νν∞=-,~~*n n νν∞→∞=192 5.648910J hc eU λ-∞==⨯2 3.526V U =电离电势：U =U 1+U 2=5.376V2. Na 原子的基态3S .已知其共振线波长为58930A ，漫线系第一条的波长为81930A ，基线系第一条的波长为184590A ，主线系的系限波长为24130A 。
试求3S 、3P 、3D 、4F 各谱项的项值. 解：主线系波数~p 22s p ,3,4,(3)()n R Rn n ν=-=-∆-∆~~p 2s ,(3)n Rn νν∞→∞==-∆系限波长：p λ∞=24130A =72.41310m -⨯~1613S 71m 4.144210m 2.41310T ν--∞-===⨯⨯共振线为主线系第一条线, 是原子从3P 到3S 跃迁产生的光谱线 共振线波长：λp1=58930A =75.89310m -⨯~61p13S 3P 71 1.696910m 5.89310mT T ν--=-==⨯⨯1616S 3P 3m 104473.2m 106969.1--⨯=⨯-=T T漫线系（第一辅线系）波数~d 22p d ,3,4,(3)()n R Rn n ν=-=-∆-∆漫线系第一条线是原子从3D 到3P 跃迁产生的光谱线 漫线系第一条光谱线的波长7d18.19310m λ-=⨯167D 3P 31~d m 102206.1m10193.81--⨯=⨯=-=T T ν1616P 3D 3m 102267.1m 102206.1--⨯=⨯-=T T基线系（柏格曼线系）波数,5,4,)()3(2f 2d ~f =∆--∆-=n n RR n ν 基线系第一条线是原子从4F 到3D 跃迁产生的光谱线 基线系第一条光谱线的波长6f1 1.845910m λ-=⨯156F 4D 31fm 104174.5m108459.1--⨯=⨯=-=T T ν 1515D 3F 4m 108496.6m 104174.5--⨯=⨯-=T T3. K 原子共振线波长为7665Å，主线系系限波长为2858Å. 已知K 原子的基态为4S. 试求4S 、4P 谱项的量子数修正项∆S 、∆P 值各为多少？K 原子的主线系波数,5,4,)()4(2P 2S ~p=∆--∆-=n n RR n ν 2S ~~p )4(,∆-==∞→∞Rn n νν 1617~m 104990.3m 10858.211---∞∞⨯=⨯==p λν 16~S 4m 104990.3-∞⨯==νT而 2S S 4)4(∆-=RT 所以 S4S 4T R =∆- 17m 100973731.1-∞⨯=≈R R 7709.14S =∆-2291.2S =∆K 原子共振线为主线系第一条线, 是原子从4P 到4S 跃迁产生的光谱线1p A 7665=λ167P 4S 41pm 103046.1m10665.7--⨯=⨯=-=T T ν 1616S 4P 4m 101944.2m 103046.1--⨯=⨯-=T T而 2P P 4)4(∆-=RT 所以 P4P 4T R =∆- 17m 100973731.1-∞⨯=≈R R7638.14P4P =-=∆T R第五章 多电子原子1. He 原子的两个电子处在2p3d 电子组态.问可能组成哪几种原子态?用原子态的符号表示之.已知电子间是LS 耦合.解：p 电子的轨道角动量和自旋角动量量子数分别为,11=l 211=s . d 电子的轨道角动量和自旋角动量量子数分别为,21=l 212=s . 因为是LS 耦合，所以.,,1,212121l l l l l l L -⋯-++=.1,2,3=L.0,1.2121=-+=S s s s s S 或而 .,,1,S L S L S L J -⋯-++=.1,0,1===J S L 原子态为11P . .0,1,2,1,1===J S L 原子态为30,1,2P ..2,0,2===J S L 原子态为12D ..1,2,3,1,2===J S L 原子态为31,2,3D ..3,0,3===J S L 原子态为13F . .2,3,4,1,3===J S L 原子态为32,3,4F .2. 已知He 原子的两个电子被分别激发到2p 和3d 轨道，其所构成的原子态为3D ，问这两电子的轨道角动量p l 1与p l 2之间的夹角，自旋角动量p s 1与p s 2之间的夹角分别为多少？(1). 解：已知原子态为3D ,电子组态为2p3d, 所以2,1,1,221====l l S L因此'1212221211212221222211113733212/)(cos cos 26)1(6)1(22)1(οθθθπ==---=-+==+==+==+=l l l l L l l l l L L l l p p p p P p p p p P L L P l l p hl l p 所以'0'0471061373180=-=οθL(2).1212122s s S s s p p P =======因为所以而'2212221222212221228109312/)(cos cos 2οθθθ=-=---=-+=s s s s S s s s s S p p p p P p p p p P 所以'0'0327028109180=-=οθS4. 试以两个价电子l 1=2和l 2=3为例说明,不论是LS 耦合还是jj 耦合都给出同样数目的可能状态. (1) LS 耦合.3,221==l l.,,1,212121l l l l l l L -⋯-++=.1,23,4,5=L .2121==s s .0,1=S.,,1,S L S L S L J -⋯-++=当S =0时，J =L , L 的5个取值对应5个单重态, 即1=L 时,1=J ,原子态为11P .2=L 时,2=J ,原子态为12D .3=L 时,3=J ,原子态为13F . 4=L 时,4=J ,原子态为14G .5=L 时,5=J ,原子态为15H .当S =1时，.1,,1-+=L L L J代入一个L 值便有一个三重态．５个L 值共有５乘３等于１５个原子态，分别是：1=L 时,0,1,2=J 原子态为30,1,2P2=L 时,1,2,3=J 原子态为31,2,3D3=L 时,2,3,4=J 原子态为32,3,4F 4=L 时,3,4,5=J 原子态为33,4,5G5=L 时,4,5,6=J 原子态为34,5,6H因此，LS 耦合时共有２０个可能状态． (2) jj 耦合.,...,.2527;2325;21212121j j j j j j J j j s l j s l j -++===-=+=或或或 将每个j 1、j 2 合成J 得：.1,2,3,42523.2,3,4,52723.0,1,2,3,4,52525.1,2,3,4,5,6272521212121============J j j J j j J j j J j j ，合成和，合成和，合成和，合成和4,3,2,15,4,3,25,4,3,2,1,06,5,4,3,2,1)25,23()27,23()25,25()27,25(共20个可能状态所以，无论是LS耦合还是jj耦合，都会给出20种可能状态．6.已知He原子的一个电子被激发到2p轨道，另一个电子还在1s轨道,试做出能级跃迁图来说明可能出现哪些光谱线跃迁.解：在1s2p组态的能级和1s1s基态之间存在中间激发态，电子组态为1s2s.利用LS耦合规则求出各电子组态的原子态如下:1s1s：1S01s2s：1S0、3S11s2p：1P1、3P0,1,2根据选择定则,这些原子态之间可以发生5条光谱线跃迁。
量子力学练习题量子力学中的角动量和自旋的计算
量子力学练习题量子力学中的角动量和自旋的计算量子力学练习题：角动量和自旋的计算量子力学是一门研究微观领域中粒子行为的科学，其中包含了角动量和自旋的计算。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解量子力学中角动量和自旋的计算方法。
题1：一个自由电子的自旋角动量的可能取值是什么？解析：根据量子力学的基本原理，自旋角动量具有离散化的取值，即只能取一些特定的数值。
对于一个自由电子而言，其自旋角动量的可能取值可以表示为s(s+1)ħ，其中ħ为约化普朗克常数，s为自旋量子数。
对于电子而言，自旋量子数s为1/2，代入公式可得可能取值为(1/2)*(1/2+1)*ħ=3/4ħ。
题2：一个处于自旋“向上”态的电子，经过通过磁场后，可能处于哪些自旋态？解析：对于自旋“向上”态的电子，可以表示为|↑>。
当该电子经过一个磁场作用后，会发生自旋量子数的变化。
根据量子力学的原理，自旋量子数的变化值为0或±1。
因此，经过磁场作用后，电子可能处于自旋“向上”态，自旋量子数不变，即|↑>；也有可能由于自旋量子数发生了变化，而变为自旋“向下”态，即|↓>。
题3：对于一个电子而言，如果其自旋量子数为1/2，其可能的角动量量子数是什么？解析：根据量子力学中的角动量量子化条件，电子的角动量量子数为整数倍或半整数倍的自旋量子数。
对于自旋量子数为1/2的电子，其可能的角动量量子数可以表示为j=j'+1/2，其中j为总角动量量子数，j'为轨道角动量量子数。
对于电子而言，轨道角动量量子数只能为整数或半整数。
因此，当自旋量子数为1/2时，可能的角动量量子数为1/2或3/2。
通过以上练习题，我们可以看到量子力学中角动量和自旋的计算方法。
自旋角动量具有离散的取值，其中电子的自旋量子数为1/2时，可能取值为3/4ħ。
自旋态在经过磁场作用后可能发生变化，但仍然存在着自旋“向上”态和自旋“向下”态。
而对于电子的角动量量子数，按照量子化条件，取决于自旋量子数和轨道角动量量子数的关系。
电子的运动和自旋解析
电子的运动和自旋解析1.电子的运动：–电子在原子中的运动可以分为轨道运动和扩散运动。
–轨道运动是指电子在原子核周围特定的轨道上运动，如玻尔模型中的能级。
–扩散运动是指电子在原子核附近的空间中不断变化的运动，无法预测其具体位置。
2.电子的自旋：–电子的自旋是电子的一种内禀角动量，类似于地球的自转。
–自旋量子数描述了电子自旋的状态，主要有两种取值：+1/2和-1/2。
–自旋方向与电子运动方向垂直，具有量子化的特性。
3.电子的运动和自旋的关系：–电子的运动和自旋是两个独立的量子力学变量，它们之间不存在经典物理意义上的直接关系。
–在量子力学框架下，电子的运动和自旋可以通过波函数来描述，波函数包含了电子的位置、动量、自旋等信息。
4.电子的运动和自旋的测量：–电子的运动状态可以通过电子的轨道动量来测量，如电子的动能、动量等。
–电子的自旋状态可以通过自旋角动量的测量来确定，如利用电子自旋共振（ESR）技术。
5.电子的运动和自旋在材料科学中的应用：–电子的运动和自旋是材料物理中的基本概念，对于理解材料的电子性质具有重要意义。
–自旋相关的物理现象如自旋极化、自旋传输等在磁性材料、拓扑绝缘体等领域中具有重要应用。
6.电子的运动和自旋在量子计算中的应用：–电子的自旋状态可以用于量子比特的实现，从而进行量子计算。
–电子的运动状态可以用于实现量子隐形传态、量子纠缠等量子信息处理任务。
7.电子的运动和自旋的实验研究：–电子的运动和自旋可以通过各种实验方法进行研究，如粒子加速器、电子显微镜、光谱学等。
–实验研究对于验证量子力学的正确性、探索新物理现象具有重要意义。
习题及方法：1.习题：一个电子在氢原子中绕核运动，其轨道半径为0.5埃。
求该电子的轨道速度。
解题思路：根据经典物理中的向心力公式，结合玻尔模型，求解电子的轨道速度。
解答：电子的轨道速度v = ωr，其中ω为角频率，r为轨道半径。
根据玻尔模型，电子的角频率ω = e^2/（8ε0h），其中e为电子电荷，ε0为真空电容率，h为普朗克常数。
核磁共振习题解答
16、解：
（1）Cl2CHCHCl2A2自旋系统。－CH－CH－种的两个质子为磁等价，故形成一个二质子的单峰。
6、解：由公式 可知，当 固定时， ，由书中表12-2可知19F磁矩<1H磁矩，则当电磁波频率不变，要使
共振发生，氟核比氢核需要更大的外磁场。
7、解：由式
可得 ，因此： ，
此数据说明，使用的仪器磁场强度越大，所得核磁共振谱图分得越开，分辨率就越好。
8、解：吸电子能力Cl>Br，而吸电子基通过诱导效应使相邻氢核的电子密度下降，减少电子对核的屏蔽，致使化学位移值向低场移动，所以 。
（2）Cl2CHCHO AX自旋系统。两个单质子双重峰。A质子裂分成双重峰，X质子裂分成双重峰。
（3）Cl2CHCH2Cl AX2系统。由－CH－形成一个单质子的三重峰（A质子）和－CH2形成一个双质子的二重峰（X质子）
（4）Cl2CHCHClCHO AMX自旋系统。一个单质子的双重峰（A质子），一个单质子的双重峰（X质子）和一个单质子（M质子）的四重峰（两个双重峰）。
4.1×107
4、解：自旋量子数为I的核，其相邻两能级之差为：
（1）
式中，B0是以T为单位的外加磁场强度， 称为核磁子，是一个常数， 是以核磁子单位表示的核的磁矩。
13C核处于高、低能态核数的比例服从玻尔兹曼分布：
（2）
将（2）式代入（1）式，并将已知数据代入，可得：
5、解：将已知数据代入公式 ，即可得19F，31P在5.0T中的共振频率分别为：200MHz，86MHz。
角动量习题
F cos dr Fr dr
F
dv m ds mvdv dt
Aab
vb va
a
1 1 2 2 mvdv mvb mva 2 2
26
质点由A到B这一过程中，力作总功为：
1 1 2 2 Aab mvb mva 2 2
因此力对物体做功能够改变质点的运动状态。
定轴刚体的内力做的功为零；
A内 0
1 2 定轴转动刚体转动动能： E k J 2
1 1 2 2 A外 EK J 2 J1 2 2
i 令： vi v i vc 2 vi vi vi (v i vc ) (vi vc )
1 2
mi vi
2
1 1 2 2 mi v Ek Mvc vc Mvc i Ekc Ek 2 i 2
总功 A dA Fcosds F dr
b b b a b a a
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
Fx dx Fy dy Fz dz
a
25
二、动能定理 1、质点动能定理 力的空间累积，即力对物体作功。物体的运动状 态要发生变化，它们之间的关系如何呢？ dr b 元功: dA F dr
某些物体的动能
地球公转 汽车 步枪子弹 步行的人 室温下的空气分子（平均值)
2.6×1033J 约5×105J 约4×103J 约60J 2.6×10-21J
28
例：如图，求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率。 t =0，v=0 解：受力分析
6.角动量理论
§3.1 转动及角动量的对易关系一、有限转动绕同一轴的转动是对易的，但绕不同轴的转动是不对易的：二、转动的数学描述转动前后矢量可由表征该转动的实3x3正交矩阵联系：正交矩阵：RR T=R T R=1(T表示矩阵的转置）如绕Z轴转Φ角的矩阵为：转动不改变矢量的长度：三、无穷小转动⏹由：⏹得：（忽略2阶小量，则绕不同轴的无穷小转动是对易的）⏹或：四、 量子力学中的无穷小转动1）态矢的变化：R 的维数为3，D(R)的维数依态矢空间的维数而定2）转动算符的构造⏹参照无穷小空间平移和无穷短时间演化算符的构造，考虑到角动量是转动的生成元，可得绕由单位矢量 所表征的轴转d Φ的转动算符 ： ⏹这里厄米算符J k 为角动量算符。
上式可看作量子动力学中角动量算符的定义。
该定义比经典的角动量（X x P ）定义更普适，适用于自旋等。
nˆ''()1dx iK dx ⇐Γ=-⋅五、有限转动有限大小角度的转动可由无数个无穷小转动组合而成：这里的Jz是个定义六、转动算符的性质假定 D(R)与R具有相同的群性质：七、角动量算符的对易关系⏹对应于⏹有：⏹得对易关系：⏹综合J x与J z及J y与J z的关系，可得角动量算符的基本对易关系：⏹该式归纳了三维转动的所有基本性质。
⏹由于不同J i不对易，三维的转动群为非Abel群。
§3.2 自旋1/2体系和有限转动一、自旋1/2体系的转动算符⏹能使角动量对易关系成立的最小维数是2.⏹电子的自旋算符：⏹容易验证S k满足角动量的对易关系，即S k可看作自旋1/2体系的J k，并且其对易关系为实验所证实。
二、转动对自旋角动量的影响⏹考虑绕Z转Φ，态的变化为：⏹物理量如S x的测量结果变为：⏹→需要计算⏹上式也可由Baker-Hausdorff引理算出：⏹由于该推导只利用了的对易关系，适用于角动量高于1/2的体系。
⏹即对自旋1/2体系有：⏹类似可得：⏹以上结果表明，转动算符作用于态矢确实使S的期待值绕z轴转了Φ角⏹即自旋算符期待值具有与经典矢量在转动下的相同变化行为：⏹R kl是对应于给定转动的3×3正交矩阵R的矩阵元⏹由于上述方法二适用于任何J，故该性质行为不限于也有: 自旋1/2体系。
自旋和角动量
a c
b d
a c
b d
a 0 d 0
σX 简化为：
0 b x c 0
由力学 量算符 厄密性
ˆ
x
ˆ
x
0 c
b0
0 b*
c* 0
0 c
b0
得：b = c* (或c = b*)
σx2,σy2,σZ2 的本征值都是 。
即：
2 x
2 y
2 z
1
2. 反对易关系
基于σ的对易关系，可以证明 σ各分量之间满足反对易关系:
左乘σy
ˆ xˆ y ˆ yˆ x 0
ˆ yˆ z ˆ zˆ y 0 ˆ zˆ x ˆ xˆ z 0
2×1 的列矩阵，那末，电子自旋算符的
矩阵表示应该是 2×2 矩阵。
因为Φ1/2 描写的态，SZ有确定值 /2，所以Φ1/2 是 SZ 的本征态，本征
值为 /2，即有：
Sz1 2
2
1 2
矩阵形式
2
a c
b d
1
(r 0
,
t )
2
58 58
96 90
ÅÅ
3s1/2
（三）电子自旋假设
Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根据上述现象提出了 电子自旋假设
（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上
的投影只能取两个数值：
S
Sz 2
量子力学习题
量子力学习题量子力学习题：1一.微观粒子的波粒二象性 1、在温度下T=0k附近，钠的价电子能量约为3电子伏特，求其德布罗意波长。
2、求与下列各粒子相关的德布罗意波长。
（1）能量为100电子伏特的自由电子；（2）能量为0.1电子伏特的自由中子；（3）能量为0.1电子伏特，质量为1克的自由粒子；（4）温度T=1k时，具有动能的氦原子，其中k为玻尔兹曼常数。
3、若电子和中子的德布罗意波长等于，试求它们的速度、动量和动能。
4、两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两电子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 5、设一电子为电势差U所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000（可见光）（x射线），（射线）时，加速电子所需的电势差各是多少？量子力学习题：2二.波函数与薛定谔方程 1、设粒子的归一化波函数为，求（1）在范围内找到粒子的几率；（2）在范围内找到粒子的几率；（3）在及范围内找到粒子的几率。
2、设粒子的归一化波函数为，求：（1）在球壳内找到粒子的几率；（2）在方向的立体角内找到粒子的几率； 3、下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？（1）（2）（3）4、对于一维粒子，设，求。
5、证明在定态中，几率密度和几率流密度均与时间无关。
6、由下列两个定态波函数计算几率流密度。
（1）（2）从所得结果证明：表示沿轴正方向传播的平面波。
表示沿轴反向传播的平面波。
7、由下列两个定态波函数计算几率流密度（1）；（2）从所得结果证明表示向外传播的球面波，表示向内传播的球面波（即向原点） 8、求波函数的归一化常数A。
9、一粒子在一维势场中运动，求束缚态的能级所满足的方程。
10、若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为，求：（1）距势阱内左壁宽度内发现粒子的几率；（2）取向值时，在此区域内找到粒子的几率最大？（3）当时，这个几率的极限是多少？这个结果与经典情况比较，说明了什么问题？ 11、一粒子在一维势场中运动，势能对原点对称，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
量子力学典型例题分析解答
量子力学例题之迟辟智美创作第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在分歧毛病称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当, 故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n 值,可解一个, 为分离能级.2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为那时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3 分子间的范得瓦耳斯力所发生的势能可近似地暗示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必需为零计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5)[证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：.2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: .[证].是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1. (1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数.本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写.求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值呈现的几率 , 呈现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）. 4．设氢原子处于状态求氢原子的能量,角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值呈现的几率和这些力学量的平均值.[解] 能量本征值能量本征态当n=2 时本征值为的，呈现的几率为100％可能值为呈现的几率分别为：.5 .在轨道角动量和共同的本征态下,试求下列期望值(1).; (2).[解]：三测禁绝关系1.粒子处于状态式中为常数,求粒子的动量的平均值,并计算测禁绝关系[解]先归一化(1) 动量平均值(2)(3)附:经常使用积分式：（1）（2）（3）第四章例题1．力学量的矩阵暗示由坐标算符的归一化本征矢及动量算符构造成算符和试分别：1）. 求和在态下的期望值；2）. 给出和的物理意义【解】（1）. 设态矢已归一化（粒子位置几率密度）（2）（利用化到坐标表象）又：,上式2.试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符（1）. 是厄密算符，（2）. 有，（3）.的本征值为0和1【证】（1）. 厄密算符的界说为厄密算符(2) 已归一化（3）. 由的本征值方程,又：即：（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度）基态粒子的波函数.（本题主要考查波函数在具体表象中的暗示）【解】所描述的状态，基态波函数（1）. 在x表象：（2）. 动量表象：（3）. 能量表象同样一个态在分歧表象中的暗示是分歧的，分歧的表象是从分歧正面来进行描述的.4.取和的共同表象，在角动量空间中写出,,的矩阵（本题主要考查算符矩阵的求法）【解】,的共同本征函数为在空间（1）. ,同样（2）利用:利用正交归一条件:同样（3）利用:矩阵:矩阵:5.已知体系的哈密顿量 , 试求出（1）. 体系能量本征值及相应的在所在的表象的正交归一化的本征矢组.（2）.将对角化，并给出对角化的么正变换矩阵【解】（1）. 久期方程解之,设正交归一的本征矢对应于本征矢归一化对应归一本征矢同样::即为的本征函数集（2）. 对角化后，对角元素即为能量本转换矩阵为6．证明：将算符矩阵对角化的转换矩阵的每一列对应于算符的一个本征函数矢量.【证】算符的本征矢：则 F算符在自身表象中为一对角矩阵：对另一表象力学量的本征矢的本征矢7.为厄密算符.①求算符的本征值，②在A 表象下求算符的矩阵暗示.[解]：①设的本征值为,本征函数为,则又同理算符的本征值也为.②在A表象，算符的矩阵为一对角矩阵,对角元素为本征值，即设利用B为厄密算符即又取：第五章例题重点：微扰论1．一根长为，无质量的绳子一段固定于支点，另一端系质量为的质点，在重力作用下，质点在竖直平面内摆动.i) 在小角近似下，求系统能级；ii) 求由于小角近似的误差发生的基态能量的一级修正.解：i ) 势能：系统的哈密顿量在小角近似下:ii )若不考虑小角近似又利用公式,同样2.一维谐振子的哈密顿量为，假设它处于基态，若在加上一个弹力作用，使用微扰论计算对能量的一级修正，并与严格解比力.解：i ),又ii) 严格解发生了变动3．已知体系的能量算符为, 其中,为轨道的角动量算符.（1）求体系能级的精确值.（2）视项为微扰项，求能级至二级近似值.[解]：i) 精确解令，并在平面上取方向：与z轴的夹角为，则与相互对易，它们的本征值分别为体系能级为ii)微扰法的精确解为本征函数本征能量按微扰论利用了公式能量二级修正为在二级近似下4．三维谐振子，能量算符为，试写出能级和能量本征函数.如这振子又受到微扰，的作用，求最低的两个能级的微扰修正.并和精确值比力.[解]：（1设的能量本征函数为代入方程(2).基态的微绕修正对基态波函数基态能级的零级, 无简并能量的二级修正:唯一不即是零的矩阵元为(3).第一激发态三度简并计算不为零的矩阵元为久期方程可求出能量的一级修正(4).精确解令基态第一激发态5．设粒子的势能函数是坐标的n次齐次函数，即试用变分法证明，在束缚态下，动能T及势能V的平均值满足下列关系（维里定理）[证]设粒子所用的态用归一化波函数描写则取试态波函数为由归一化条件那时，试态波函数即是粒子所处的束缚态波函数.应在时，取极值6. 氢原子处于基态，加上交变电场, 电离能,用微扰论一级近似计算氢原子每秒离几率.[解]：解这一类问题要搞清楚三个要素，初态末态是什么？微扰矩阵元?初态：氢原子基态末态: 自由状态为能量为, 在单元立体角的末态密度.微扰7．转动惯量为 I, 电偶极矩为 D的平面转子，置于均匀场强E（沿x方向）中，总能量算符成为,为旋转角(从x轴算起）如果电场很强，很小，求基态能量近似值.[解]：方法一与一位谐振子的能量本征方程比力有方法二用变分法，取归一化的试探波函数所得结果与方法二一致.8．设在表象中，的矩阵暗示为其中, 试用微扰论求能级二级修正[解]：在表象中，第六章例题1.有关泡利矩阵的一些关系的证明（注意应用一些已知结论）1).; (2).;(3).;(4).设则，.【证】（1）.(2).(3).(4).2．证明：并利用此结论求本征值【证】设的本征函数为则又, ,3．设为常数，证明【证】将展开成的幂级数，有，为偶数；为奇数上式4．求自旋角动量在任意方向（方位角为）的投影的本征值及本征矢（在表象），【解】在表象中，，在表象中的矩阵暗示为设的本征值为，相应本征矢为，本征方程为＝解久期方程，将代入本征方程由归一化条件对应的本征矢为同样：对应的本征矢为通过本题讨论我们发现，的本征值为，自旋算符在任意方向上的分量的本征值也是.也进一步推广，对任一种角动量算符，如有的本征值为，的本征值为则在任意方向上的分量的本征值的可能值也为.5．有一个定域电子（不考虑轨道运动）受均匀磁场作用，磁场指向正方向，磁作用势为，设时电子的自旋向上，即求时的平均值.[解]设自旋函数在表象中体系的哈密顿算符可暗示为则自旋态所满足的薛定谔方程为同理又，自旋再由即6．在自旋态中，求【解】同理7．已知电子的态函数为其中已归一化，求（1）.同时丈量为，为的几率.（2）.电子自旋向上的几率.（3）.和平均值.[解]首先验证态函数是否归一化[erfwfff1]①同时丈量为, 为的几率②电子自旋向上的几率：③8．考虑由两个相同粒子组成得体系.设可能的单粒子态为，试求体系的可能态数目.分三种情况讨论（1）.粒子为玻色子;（2）粒子为费米子;（3）粒子为经典粒子.[解]①玻色子构成的系统，系统态函数必需是对称的a. 如两个粒子处于同一单粒子态: 共三种对称的波函数为共三种,因而，对玻色子可能态数为六种，①费米子构成的系统，系统态函数必需是反对称的全同费米子不能处于同一态上（泡利原理）.反对称波函数的形式只能是共三种.②对经典粒子，全同粒子是可区分的，粒子体系波函数没有对称性要求，波函数形式只要求都可以）的有三种，的有六种的共九种.9．试写出自旋的两个自由电子所构成的全同体系的状态波函数.[解]自旋的两电子构成的是费米子体系，体系状态的波函数是反对称的每个电子处于自由状态，单电子的状态波函数为平面波它们所构成的对称波函数形式为它们所构成的反对称波函数形式为二电子体系的自旋部份的对称或反对称波函数为：总的波函数：10．证明：组成正交归一系.[证]①②③11．两个自旋为的粒子有磁相互作用，设它们的质量很年夜，动能可以忽略，求此系统的所有能量本征值和本征函数.[解]对两个自旋为的系统，总自旋量子数对的本征函数为本征值为能量本征值对的本征函数。
第六章 自旋和角动量
(6.2.23)
综合上述,最后得出
,,
(6.2.24)相应地
,,
(6.2.25)
表示式(6.2.24)的、、称为泡利矩阵。
应该指出，泡利矩阵只是满足算符对易关系(6.2.9)式，在表象中给出
的一种可能的矩阵。它不是唯一的。在(6.2.21)式中，泡利矩阵固定了，
这只是一种最方便的取法，而不是唯一的取法。事实上，只取定，只固
在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加的量子数引入的。
本章只是根据电子具有自旋的实验事实，在定薛谔方程中硬加入自旋。
本章的理论也只是局限在这样的框架内。以后在相对论量子力学中，将
证明，电子的自旋将自然地包含在相对论的波动方程—狄拉克方程中。
电子轨道角动量在狄拉克方程中不再守恒，只有轨道角动量与自旋角动
定了z轴，在x-y平面中没有确定,还具有相角不确定性。角度是相角不确
定性的反映。泡利矩阵选定了，是一种特定的选择。
另外，还应该指出，泡利矩阵非常有用。因为任何2×2的厄米矩阵都
可以表示为单位矩阵及、、三个矩阵的线性组合。这些矩阵在处理自旋
问题以及相对论性的狄拉克方程中特别有用。
例1试在(，)的共同表象中求算符、、对应的矩阵。
(6.2.17)
为求出 、在 表象的矩阵形式，注意 与 反对易， 与也只能是 矩
阵，令
(6.2.18)
a、b、c、是待求的矩阵元。由于厄米，因此也厄米，在(6.2.18)式中必
有,再由
==0
(6.2.19)
得
（6.2.20）
又因, 故有
(6.2.21)
即=1，,若取，则
(6.2.22)
利用(6.2.17)式、(6.2.22)及 (6.2.10)式,可求得为
原子物理复习题
第一章：1. 原子半径的数量级是（ ）A. 1010-cmB. 810-mC. 1010-mD. 1310-m2. 原子质量的数量级为（ ）A. 272610~10--千克 B. 343510~10--千克 C. 272210~10--千克 D. 272510~10--千克 3. 阿伏加德罗常数的正确值（ ）A. 236.02210⨯ 摩尔B. 236.02210⨯ /摩尔C. 236.62210⨯ 摩尔D. 236.02210-⨯ /摩尔4. 利用汤姆逊模型和卢瑟福模型分析α粒子散射实验, α粒子受原子核正电荷作用力情况的异同点是（ ）A. 原子内外相同，原子表面和中心处不同B. 原子外相同，原子表面，原子内不同C. 原子表面相同，原子内和中心处不同D. 原子外，原子表面相同，原子内和中心处不同5. 关于α粒子散射实验，以下说法正确的是（ ）A. 绝大多数散射角近180°B. α粒子只偏2°、3 °C. 以小角散射为主，也有大角散射D. 以大角散射为主，也存在小角散射6. 进行卢瑟福理论实验时，发现小角散射与理论不符，这说明（ ）A. 原子不一定存在核式结构B. 散射物太厚C. 卢瑟福理论是错误的D. 小角散射时一次散射理论不使用7. 用相同能量的α粒子束和质子束同金箔正碰。
测量金原子半径的上限，问质子束是粒子束结果的几倍？（ ）A. 1/4B. 1/2C. 1D. 28. 在同一α粒子源和散射靶的条件下，观察到α粒子被散射到90°和60°角方向上，单位立体角内几率之比为（卢瑟福散射公式：24222201sin ()()4dn Ze nNt d Mvθπε=Ω）（ ） A. 4:1B. 2C. 1:4D. 1:8第二章：1. 氢原子光谱赖曼系和巴尔末系的系限波长分别是（ ）A. R/4和R/9B. R 和R/4C. 4/R 和9/RD. 1/R 和4/R2. 氢原子所观测到的全部线光谱应理解为（ ）A. 处于某一状态的一个原子所产生的B. 处于相同状态的少数原子所产生的C. 处于不同状态的足够多的原子所产生的D. 处于不同状态的少数原子所产生的3. 氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是（ ）A. 13.6V 和10.2VB. -13.6V 和-10.2VC. 13.6V 和3.4VD. -13.6V 和-3.4V4. 根据波尔理论，若将氢原子激发到n =5的状态，则（ ）A. 可能出现10条谱线，分别属于4个线系B. 可能出现9条谱线，分别属于3个线系C. 可能出现11条谱线，分别属于5个线系D. 可能出现1条谱线，属于赖曼系5. 能量为A. 12RhcB. 13RhcC. 34RhcD. 45Rhc 的一群光子照射处于基态的氢原子，试问哪种能量的光子可被氢原子吸收？（ ）6. 若赖曼系、帕邢系、巴尔末系第一条谱线的波长分别为λ赖 ，λ帕和λ巴，则它们之间满足（ ）A. λ赖>λ帕>λ巴B. λ赖<λ帕<λ巴C. λ赖< λ巴<λ帕D.λ巴<λ赖<λ帕7. 根据波尔理论可知氦离子(He +)的第一轨道半径为（ ）A. 2a 1B. 4a 1C. a 1/2D. a 1/4（a 1为波尔半径）8. 对类氢离子当考虑核的运动时，只须将电子质量换成约化质量，对类氢离子约化质量为（ ）A. H e H M m M μ=+B. e H e H m M m M μ⨯=+C. e M m M μ=+核核D. e e m M m M μ⨯=+核核9. 某类氢离子，它的帕邢系第三条谱线和氢原子赖曼系的第一条谱线的频率几乎一样，则该离子是（ ）A. He +B. Li ++C. Be +++D.（氚原子）10. 夫兰克—赫兹实验的结果说明（ ）A. 电子自旋的存在B. 原子能量量子化C. 原子具有磁矩D. 原子角动量量子化11. 按照索末菲理论，n 能态氢原子的电子轨道共有几个？（ ）A. 1个B. 2个C. 2n 个D. n 个12. 施特恩—盖拉赫实验的结果说明（ ）A. 电子自旋的存在B. 原子能量量子化C. 原子没有磁矩D. 原子具有磁矩和角动量量子化13. 光谱项T (n )与能级E (n )的关系是：（ ） A. ()n E T n hc = B. ()n E T n Rhc =- C. ()n hc T n E =- D. ()n E T n hc=-第三章：1. 实物粒子的德布罗意波长λ在一般情况下可表示为（ ） A. 212hc mv λ= B. 2012hc m v λ= C. h h p mvλ== D. 0h h p m v λ== 2. 如果粒子以速度v 运动时的德布罗意波长为λ ，当它的速度增至2v 时，其德布罗意波长应是（ ）A. 2λB. 3λC. λ/2D. λ/33. 光子的波长与电子的波长都为5.0 ⨯10-10m ，问光子的动量与电子的动量之比是多少？（ ）A. 1B. 4.12 ⨯102C. 8.5 ⨯10-6D. 2.3 ⨯1044. 在氢原子中电子处于玻尔第二轨道的德布罗意波长是（ ）A. λ = p /hB. λ = 4π a 1C. λ = 8π a 1D. λ = 1/mv（a 1为波尔半径）5.基于德布罗意假设得出的公式λ=埃的适用条件是（ ） A. 自由电子，非相对论近似；B. 一切实物粒子，相对论近似；C. 被电场束缚的电子，相对论结果；D. 带电的任何自由粒子，非相对论近似。
《结构化学》第六章习题
《结构化学》第六章习题6001 试述正八面体场中，中心离子 d 轨道的分裂方式。
6002 试用分子轨道理论阐明 X -，NH 3 和 CN -的配体场强弱的次序。
6003 按配位场理论，在 O h 场中没有高低自旋络合物之分的组态是：---------------- ( )(A) d 3 (B) d 4 (C) d 5 (D) d 6 (E) d 76004 凡是中心离子电子组态为d 6的八面体络合物，其 LFSE 都是相等的，这一说法是否正确？6005 络合物的中心离子的 d 轨道在正方形场中，将分裂成几个能级：---------------- ( )(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 56006 Fe(CN)63-的 LFSE=________________。
6007 凡是在弱场配位体作用下，中心离子 d 电子一定取高自旋态；凡是在强场配位体作用下，中心离子 d 电子一定取低自旋态。
这一结论是否正确？6008 Fe(CN)64-中，CN -是强场配位体，Fe 2+的电子排布为6g 2t ，故 LFSE 为_____________。
6009 尖晶石的一般表示式为 AB 2O 4， 其中氧离子为密堆积，当金属离子A 占据正四面体T d 空隙时，称为正常尖晶石，而当A 占据O h 空隙时，称为反尖晶石， 试从晶体场稳定化能计算说明 NiAl 2O 4 晶体是什么型尖晶石结构( Ni 2+为d 8结构)。
6010 在 Fe(CN)64-中的 Fe 2+离子半径比 Fe(H 2O)62+中的 Fe 2+离子半径大还是小？为什么？6011 作图证明 CO 是个强配位体。
6012 CoF 63-的成对能为 21000 cm -1，分裂能为 13000 cm -1，试写出：(1) d 电子排布 (2) LFSE 值 (3) 电子自旋角动量 (4) 磁矩6013 已知 ML 6络合物中(M 3+为d 6)，f =1，g = 20000 cm -1，P = 25000 cm -1，它的LFSE 绝对值等于多少？------------------------------------ ( )(A) 0 (B) 25000 cm -1 (C) 54000 cm -1 (D) 8000 cm -16014 四角方锥可认为是正八面体从z 方向拉长，且下端没有配体 L 的情况。
自旋和角动量PPT课件
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§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
1(x,y,z,,t)
旋量波函数
或
1 (x ,y ,z ,t)(x ,y ,z , ,t)
2 (x ,y ,z ,t)(x ,y ,z , ,t)
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§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
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§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
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§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
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§6.5 两个角动量的耦合
➢角动量升降算符
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§6.5 两个角动量的耦合
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§6.5 两个角动量的耦合
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§6.5 两个角动量的耦合
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§6.5 两个角动量的耦合
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§6.5 两个角动量的耦合
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§6.5 两个角动量的耦合
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§6.5 两个角动量的耦合
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§6.5 两个角动量的耦合
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§6.7 光谱线精细结构
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§6.7 光谱线精细结构
➢L, S耦合
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§6.7 光谱线精细结构
ml, ms 不是好量子数 好量子数是(n, l, j, m)
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§6.7 光谱线精细结构
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§6.7 光谱线精细结构
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§6.7 光谱线精细结构
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§6.7 光谱线精细结构
第六章自旋和角动量
▪ 光谱线在磁场中的分裂，精细结构 ▪ 揭示一个新的自由度：自旋 ▪ 角动量的叠加，无耦合表象和耦合表象 ▪ 自旋单态和三重态
•1
§6.1 电子自旋
➢斯特恩-盖拉赫 Stern-Gerlach实验
1、磁矩在磁场中的附加能量
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S12 3( 1 r )( 2 r )/r 2 - 1 2 和 S2 及 J 对易. S 为总自旋， J 是总角动量，
第六章 自旋和角动量
一、填空 1. ______实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一 .为了解释该实验， ____和 ____提出了电子具有自旋角动量的说法. 2. 在 ( ˆ 2 , x ) 的共同表象中，算符 x、y、z 对应的矩阵分别是_____、 _____和 _____. 二、概念与名词解释 1. 电子自旋 2. 泡利矩阵 3. 无耦合表象，耦合表象 4. 塞曼效应，正常塞曼效应和反常塞曼效应 三、计算 1. 求自旋角动量算符在 (cosα, cosβ, cosγ) 方向的投影 Sn=Sxcosα+Sycosβ+Sz cosγ 的 本征值和相应的本征矢. 在其两个本征态上，求 Sz 的取值概率及平均值. 2. 求下列状态中算符 J 2 , J z ( J L S) 的本征值： (1) 1 1/2 (Sz )Y11 ( , ) (2) 2 1/ 3 2 1/2 (Sz )Y10 (, ) -1/2 (S z )Y11 ( , ) (3) 3 1/ -1/2 (S z )Y10 ( , ) 1/2 (S z )Y1 -1 ( , ) (4) 4 -1/2 (S z )Y1 -1 ( , ). 1 2 2 3. 对自旋态 1/2 (S 2 ) 0 , 求 ( Sx ) ( Sy ) . 4. 一个由两个自旋为 1/2 的非全同粒子组成的体系 . 已知粒子 1 处在 S1z =1/2 的 本征态，粒子 2 处在 S2x=1/2 的本征态，取ħ＝1，求体系总自旋 S2 的可能值及 相应的概率，并求体系处于单态的概率. 5. 考虑三个自旋为 1／2 的非全同粒子组成的体系. 体系的哈密顿量是 H AS1 S2 B( S1 S2 ) S3 , A、B 为实常数，试找出体系的守恒量，并确定体 系的能级和简并度(取ħ＝1 为单位). R 21 (r)Y 11 ( , )/2 6. 设氢原子处于状态 ( r ) - 3R (r)Y (, )/2 , 求轨道角动量 z 分量和自旋 z 21 10
(3) 令 e r 机会均等地经历各种方向，求 S12 的平均值. 4. 氘是质子和中子的束缚态， 其总角动量 J ＝1. 现已知它主要是由 S(l=0) 态组成 并且有很少的 D(l=2) 态参与进来： (1) 解释为什么 P 态不能参与？ (2) 解释为什么 G 态不能参与？ (3) 计算 n-p 体系(总角动量 J=1) 处在纯 D 态时的磁矩.假设 n 和 p 自旋耦合形成 总自旋 S ，然后总自旋在与轨道角动量 L 耦合形成总角动量 J ，用核磁子表示 你的结果. 已知质子和中子的磁矩分别示 2.79 和－1.91 核磁子. 5. 在 J J1 J 2 , m m 1 m 2 的态中 (1) 若 j1=1, j 2=1/2, j=3/2, m=1/2, 求克莱布希－戈尔登系数； (2) 考虑下列反应： (a) π+p→π+p (b) π－p→π－p (c) π－p→π0n 这些同位旋守恒的反应能在同位旋 I=3/2 的Δ共振态或在 I=1/2 的 N*共振态中 产生，试分别就对应于Δ共振和 N*共振的能量计算截面比σa、σb、σc.在一个 共振能处可忽略其他同位旋态产生的影响，π介子的同位旋是 I=1 态，核子的 同位旋是 I=1/2 态. 6. 一个π－介子(赝标粒子、自旋为零、奇宇称)最初被束缚在氘核周围，并处在最 低库仑能态上. 它被氘核(一质子和一中子处在 3 S1 态中) 俘获，并使氘核转变 为一对中子π－+d→n+n (1) 中子对的轨道角动量和总自旋角动量是多少？ (2) 发现两个中子的自旋均与氘核的自旋相反的概率是多少？ ˆ 方向， (3) 如果氘核的自旋在最初全部指向 R 发现自旋反向的中子的发射概率( 单 位立体角)的角分布是多少？ 7. 讨论一个中性粒子，它的内禀角动量是 S(S 1) , 其中 S=ħ/2 ，即它是一个自 旋为 1/2 的粒子. 假设这粒子有一磁矩 M S, γ是一个常数. 这个粒子的量
1.
ˆ 、B ˆ 是 与 泡 利 算 符 对 易 的 两 个 矢 量 算 符 ， 证 明 设 A
ˆ )( ˆ)A ˆ B ˆ i ˆ B ˆ) ˆA ˆB ˆ (A ( 2. 如果ψm 是 Lz 的本征态， 满足本征方程 Lzψm＝mħψ m， 现在将 z 轴转一个角度θ， 变成 z＇轴，求证：<Lz’>=mħcosθ. 3. 设 J J1 J 2 , 求证： (1) (2) j' m' J 1z jm j' m J 1z jm , 即 J1z 的矩阵对于量子数 m 是对角化的； j' m' J1 jm j' m 1 J 1 jm m' m 1 ;
3 2
分量的平均值，进而求出总磁矩 -eL/2c - e S/ c 的 z 分量的平均值. 7. 设总角动量算符为 ˆ J ，记算符 J2 与 Jz 的共同本征函数为|jm> ，当 j=1 时 (1) 写出 J2、Jx 的矩阵表示，并求出其共同本征矢|1m x>x ； (2) 若体系处于状态 [ 11 1 - 1 ]/ 2 , 求同时测量 J2 与 Jx 的取值概率； (3) 在|ψ> 状态上，测量 Jz 得ħ 时，体系处于什么状态上；在 |ψ>状态上，计算 Jy 的平均值. 8. 在激发的氦原子中，若两个电子分别处于 p 态和 s 态，求出其总轨道角动量 的可能取值. 9. 用柱坐标系，取磁场方向沿 z 轴方向，矢势 Aφ=Bρ/2 ，Aρ=Az =0，求均匀磁场 中带电粒子的本征能量. 10. 自旋为 1/2 的粒子，在均匀磁场中运动，磁场的绝对值不变，但各个分量随 时间变化，满足 Bx=Bsinθcosωt，By=Bsinθsinωt，Bz ＝Bcosθ. 设 t=0 时自旋在 磁场方向上的分量等于 1/2，求在时刻 t 粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量 等于-1/2 的态中的概率. 11. 带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场 U(r)=meω02r 2/2 中运动，求粒子的能 谱. 12. 自旋为ħ/2 的粒子处于线谐振子位势中，t=0 时粒子处于状态 (x, Sz ,0) 0 (x) 1/2 (Sz )/3 - 21 (x) -1/2 (Sz )/3 21 (x) 1/2 (S z )/3 . 求 t>0 时的波 函数及能量的取值概率与平均值. n (x) 为该线谐振子的第 n 个本征态. 13. 设体系由两个自旋为 ħ/2 的非全同粒子构成，若体系处于两个粒子的自旋状 态分别为|χ1 >、|χ2>的状态中，分别求出体系处于单态与三重态的概率. 1 cosexp(-i /2) 其中 1 0 ; 2 sin exp(i /2) . 14. 两个自旋为 ħ/2 的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子之间的相互作 ˆ S ˆ , 其中 c 是常数 . 设 t=0 时粒子 1 的自旋沿 z 轴正方向，粒子 2 用为 cS 1 2 的自旋沿 z 轴负方向， 求 t>0 时测量粒子 1 的自旋仍处于 z 轴正方向的概率. 四、证明
J S L，L 是体系的轨道角动量，在质心坐标系中， L 的算符形式是 L r p i r , r r1 r2 . 五、综合题 ˆ (1 ˆ z ) / 2和 ˆ ( ˆ x i ˆ y ) / 2 的矩阵形式，并证 1. 在σz 表象中，写出算符 Q ˆ Q ˆ 1; Q ˆ2 Q ˆ ;Q ˆ2 Q ˆ ;Q ˆ Q ˆ ˆ ˆ Q - Q -Q - 0; a a ˆ a a ˆ 明如下关系成立： Q b ; Q b ; 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ ˆ - 0; - Q ; - Q - ; - - - z . ˆ1 ˆ 2 的本征值. ˆ1 ˆ 2 ) 2 3 - 2( ˆ1 ˆ 2 ) , 并由此求出 2. 证明 ( 3. 对于两个自旋为 1/2 的粒子组成的体系，令 r r1 - r2 , e r r /r ( r 方向上的单位矢量 )， 取ħ＝1，定义张量算符 S12 3( 1 er )( 2 e r ) - 1 2 (1) 证明(S12) 2=4S2-2S12 ， S 是总自旋. 再进而证明 S12 的任意正整数次幂均可表示 为 S12 和 S2 的线性组合； (2) 求 S12 的本征值；
子态可用自旋空间描述. 它的基矢是 Sz 的两个本征态|+>和| －>，分别代表其 自旋方向平行和反平行于 z 轴，即有 Sz |+>= ħ/2|+> ，Sz| －>=－ħ/2|－> . 在 t=0 时，体系状态是|ψ>(t=0)= |+>. 这一粒子沿 y 轴运动，通过一沿 y 轴方向的均 匀磁场 B B 0 j . (1) 求|ψ>(t) ，用|+>和|－>来表示. (2) <Sx>、<Sy>、<Sz>作为时间函数的表达式.