第四节：离散系统的零状态响应

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第四节 离散系统的零状态响应
X
第
一.离散系统的零状态响应
零状态响应是离散系统在初始状态为零时系统的响 应。与连续系统求解问题的思路类似。 求解yzs(k)的思路: 经典法求解yp(k)遇到困难; 求解在δ(k)下的响应h(k), 根据LTI性质,求任何复杂激励下的yzs(k) 求解h(k)是重点(经典法或Z变换法)
X
第
4.6 k 10 y (k ) a
4 k i ik 6
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a
k
ik 6
4
a
4
i

a
k 4
a 1 a
7
5.k 6 4即 : k 10 y(k) 0
5 页
X
求解单位响应的方法:
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y (k ) a1 y (k 1) an 1 y (k n 1) any (k n)
设激励为δ(k) →h(k),系统差分方程为:
b0 x(k ) b1 x(k 1) bm 1 x(k m 1) bmx(k m) h(k ) a1h(k 1) an 1h(k n 1) anh(k n) b0 (k ) b1 (k 1) bm 1 (k m 1) bm (k m)
hk 4hk 1 3hk 2 (k )
1）先求δ(k)作用下的初值
第
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hk (k ) 4hk 1 3hk 2
由h(1) h(2) 0, 代入上式得 (k )引起的系统初值 h(0) 1 h(1) 4
(k ) (k j ) (k ) (k 1) (k j )

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由于 (k ) h(k )根据LTI性质
g ( k ) h( k j )
j 0 i
j 0
i
(i)
k
h(i)
第
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4)与单位序列的卷积和 (重现性) f (k ) (k ) f (k ) f (k ) (k k1 ) f (k k1 )
f (k k1 ) (k k 2 ) f (k k1 k 2 ) (k k1 ) (k k 2 ) (k k1 k 2 )
单位序列响应的初值h1 (0),1h1 (1), h(2)可由下式递推得到
h1 (k ) (k ) a1h1 (k 1) an 1h1 (k n 1) anh1 (k n)
h(k ) b0 h1 (k ) b1h1 (k－1) bm 1h (k m 1) bmh1 (k m)

i
x k k i

x(k ) (k )
所以：y (k )
对比：y(t )

i
xi hk i xk hk
f ( )h(t )d f t ht


若x(k )因果，系统因果则： y (k )
X
x(i)
h(i)
第
y (k )
0 1234 h(k-i)
1) k 0
i
x(i)h(k i)
k i a

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0 123456

2) 0 k 4 y (k )
3.4 k 6 y (k ) a k i
4.6 k 10 y (k ) a k i
X
说明:
h(k ) a1h(k 1) an 1h(k n 1) anh(k n) b0 (k ) b1 (k 1) bm 1 (k m 1) bm (k m)
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1)h(k)在k＞0时满足齐次差分方程,其形式与yzi(k),yh(k) 一样,但确定待定系数方法不同; 2) h(k)表示的是系统固有特性,与系统初始状态和外加 激励无关.其待定系数是由h(0),h(1) …决定(由系统在 δ(k)作用下的非齐次差分方程递推得到). 归纳求解复杂系统h(k)思路： 步骤一：差分方程中f(k) →δ(k),y(k)→h(k) 步骤二：先求h1(k)（用0＋值确定待定系数）
设系统激励仅在是δ(k) →h1(k),此时系统差分方程变为:
h1 (k ) a1h1 (k 1) an 1h1 (k n 1) anh1 (k n) (k )
在k 0满足h1 (k ) a1h1 (k 1) an 1h1 (k n 1) anh1 (k n) 0
h2 ( 2) 4h1 3h0 13 h3 (3) 4h2 3h1 40
(k )
方法二：经典法(通解特解法) 由于激励单位序列 ( k ),只在k=0时对零状态下的系统 有作用，而k>0时 ( k )全为零，即对系统没有作用，因 此可以理解为激励 ( k )的作用相当于在k=0时使系统产 生一个初值后激励为零，系统的响应由该初值引起。 求系统的单位响应变为求系统在 ( k ) 作用下的初值即 h(0)， h(1)及在此初值下，k>0时的通解。 X
kLeabharlann Baidu
对比 : g (t ) h( )d

t
2. 已知g (k )求h(k ) :
(k ) (k ) (k 1) h(k ) g (k ) g (k 1)
X
例题（书P127例5－9）(自学，不要求)
求离散系统 y k 4 y k 1 3 y k 2 2 k y 1 1, y( 2) 1 的单位响应 (其中k 0)
平 移k位
（4 ）相乘 求出全部的x1(i ) x 2(k i ) （ 5 ）求和 并将相乘结果进行求和
X
第
例
1 x ( n) 0
0n4 otherwise
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n h( n) 0
x(k )
1
1,0 n 6 otherwise
h(k)
k
0
4
0
1 2 3 4 5 6
2）求通解得出单位响应
k 1时，系统方程为 hk 4hk 1 3hk 2 0 h0 1, h(1) 4 (其中k 0)
该方程的通解为：
hk A1 A2 3
k
X
第
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代入初始条件， 1 3 解得 : A 1 - ，A 2 2 2 故得系统响应为 ：
X
第
由h( 1) h( 2) 0, 且 ( k )只有在k 0时取值为1, k 0时全为零。
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hk (k ) 4hk 1 3hk 2 代入上式逐次迭代得 h0 (0) 1 h1 (1) 4h0 4
思考：下题与上题所代表的系统相同吗？ 求系统y (k ) 7 y (k 1) 12 y (k 2) (k 1) (k 2) 的单位响应和单位阶跃响应
同学练习： 5 1 2.求系统y (k 2) y (k 1) y (k ) f (k 2) f (k ) 6 6 的单位响应 .
ik 6 4
k i 0
i
k-6
k 0
y (k ) 0
k i a
3.k 4
k-6 k
k 6 0
k
4.k 6 0 k 6 4
4
i0
k-6
5.k 6 4即 : k 10
k-6
k
y(k) 0
X
1.k 0, y (k ) 0
2.0 k 4 y (k ) a
X
第
2.卷积和计算法:
1）图解法
y (k ) x1(k ) * x 2(k )

1 2
移动序列
i
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x (i) x (k i)
由卷积和定义式可得其 计算过程： （ 1 ）换元 k i （2 ）反折变换 即：x 2(i ) x 2(i )
反转
（ 3 ）移序 x 2(i ) x 2(k i )
1 3 k hk 3 ( k 0) 2 2 容易验证，结果与迭代 法的结果相同
X
第
四.零状态响应的卷积和求解法
序列的卷积和相当于连续信号的卷积积分

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y (t ) x1(t ) * x 2(t )

x ( ) x (t )d
1 2
y (k ) x1(k ) * x 2(k )
第
如果 (k ) h(k )
根据系统的线性时不变 性： x(0) (k ) x(0)h(k ) x(1) (k 1) x(1)h(k 1) x(1) (k 1) x(1)h(k 1) x(i ) (k i ) x(i )h(k i ) y i (k )
步骤三：根据系统LTI性质求得h(k)
离散系统思路： 连续系统思路：
ˆ ( k ) h( k ) f ( k ) h( k ) (k ) h (t ) h １(t ) h(t ) f (t ) h(t )X
三单位阶跃响应g(k)
1. 已知h(k )求g (k )
i
x (i) x (k i)
1 2

X
1.卷积和的性质:
1)交换律： f1 (k ) f 2 (k ) f 2 (k ) f1 (k ) 2)分配律： f1 (k ) [ f 2 (k ) ＋f 3 (k )] f1 (k ) f 2 (k ) f1 (k ) f 3 (k ) 3)结合律： f1 (k ) [ f 2 (k ) f 3 (k )] [ f1 (k ) f 2 (k )] f 3 (k )
x(k )
n
2 页
xn n k

x(k ) (k )
将激励信号分解成最简单信号δ(k)的线性组合形式
y zs (k ) xk hk
例题
X
证明：任一离散信号可表示为一系列单位序列 : 3 页 xk x 1 k 1 x0 k x1 k 1 x2 k 2
xi hk i
i 0
k
X
二.单位响应h(k)
h(k)是激励为单位序列 (k)时系统的零状态响应。
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f (k ) (k ) y ( k ) h( k )
系统初始状态为零
(k)
X
第
例题:
1.求系统y (k ) 7 y (k 1) 12 y (k 2) f (k 1) f (k 2) 的单位响应和单位阶跃 响应.
i0 k k i k
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a a
i0
k
i
a
k
1 a
k 1
( k 1) 1
1 a
1- a 1 a
3.4 k 6 y (k ) a
i0 4 k i 4 i
a a
i0
k
a
5 1 a k
1 a 1
a k 4 a k 1 1 a
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解：
方法一：迭代法 根据单位响应的定义，激励为单位序列，初始状态为 零的系统差分方程为
hk 4hk 1 3hk 2 (k ) h(1) 0 h(2) 0 (其中k 0)
整理得：hk (k ) 4hk 1 3hk 2