山西省高一下学期期中数学试卷(II)卷(考试)
山西省大同一中2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年山西省大同一中高一（下）期中数学试卷一、选择题1．下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．﹣30°C．630°D．﹣630°2．已知=（﹣2，2），=（x，﹣3），若⊥，则x的值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣33．已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣4．若0＜α＜2π，则使sinα＜和cosα＞同时成立的α的取值范围是（）A．（﹣，）B．（0，）C．（，2π）D．（0，）∪（，2π）5．已知向量=（3，4），则与方向相同的单位向量是（）A．（，）B．（，）C．（﹣﹣，）D．（4，3）6．在△ABC中，若sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C），则△ABC必是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形7．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+8．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变9．函数y=2sin2x是（）A．以2π为周期的偶函数B．以π为周期的偶函数C．以2π为周期的奇函数D．以π为周期的奇函数10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=0，且在[3，4]上是增函数，A、B 是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinA）＜f（cosB）B．f（sinA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f （cosA）＞f（cosB）二、填空题11．cos=．12．求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．13．在△ABC中，||=5，||=4，||=3，则•=．14．在平行四边形ABCD中，=，=，=3，M为BC的中点，则=（，表示）15．设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．三、解答题16．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1．（1）求•；（2）|﹣2|17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．18．已知是一个三角形的内角，且sinα+cosα=（1）求tanα的值；（2）用tanα表示并求其值．19．已知=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），函数f（x）=•．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）若对任意实数x∈[，]，不等式f（x）﹣m＜2恒成立，求实数m的取值范围．20．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．2017-2018学年山西省大同一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．﹣30°C．630°D．﹣630°【考点】终边相同的角．【专题】计算题．【分析】直接利用终边相同的角判断即可．【解答】解：因为330°的终边与﹣30°的终边相同，所以B满足题意．故选B．【点评】本题考查终边相同的角的表示方法，考查基本知识的熟练程度．2．已知=（﹣2，2），=（x，﹣3），若⊥，则x的值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由⊥得到•=﹣2x+2×（﹣3）=0，解得即可．【解答】解：∵=（﹣2，2），=（x，﹣3），⊥，∴•=﹣2x+2×（﹣3）=0，解得x=﹣3，故选：D．【点评】本题考查了向量垂直与数量积之间的关系，考查了计算能力，属于基础题．3．已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出tanα的值．【解答】解：∵向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，∴3cosα﹣4sinα=0，∴=；即tanα=．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算以及同角的三角函数的运算问题，是基础题目．4．若0＜α＜2π，则使sinα＜和cosα＞同时成立的α的取值范围是（）A．（﹣，）B．（0，）C．（，2π）D．（0，）∪（，2π）【考点】三角函数线．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据正弦函数和余弦函数的单调性分别求得在0＜α＜2π，满足已知条件α的范围，最后去交集即可．【解答】解：∵0＜α＜2π，sinα＜，∴0＜α＜或＜α＜2π，①∵0＜α＜2π，cosα＞，∴0＜α＜，或＜α＜2π，②①②取交集得0＜α＜或＜α＜2π，故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数的单调性．解题可结合正弦函数和余弦函数的图象，可能更直观．5．已知向量=（3，4），则与方向相同的单位向量是（）A．（，）B．（，）C．（﹣﹣，）D．（4，3）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；规律型；平面向量及应用．【分析】求出向量的模，然后求解单位向量．【解答】解：=（3，4），∴||==5，∴与方向相同的单位向量的坐标为：（，）．故选：B．【点评】本题考查单位向量的求法向量的模的求法，考查计算能力．6．在△ABC中，若sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C），则△ABC必是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】结合三角形的内角和公式可得A+B=π﹣C，A+C=π﹣B，代入已知sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C）化简可得，sin2C=sin2B，由于0＜2B＜π，0＜2C＜π从而可得2B=2C或2B+2C=π，从而可求【解答】解：C∵A+B=π﹣C，A+C=π﹣B，∴sin（A+B﹣C）=sin（π﹣2C）=sin2Csin（A﹣B+C）=sin（π﹣2B）=sin2B，则sin2B=sin2C，B=C或2B=π﹣2C，即．所以△ABC为等腰或直角三角形．故选C【点评】本题主要考查了三角形的内角和公式，三角函数的诱导公式，由三角函数值寻求角的关系，依据主要是利用三角函数的图象．7．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】直接利用向量的基本定理判断选项即可．【解答】解：如图：连结CD，OD，∵已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，∴AODC是平行四边形，∴=．故选：D．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，是基础题．8．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】规律型．【分析】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标变为原来的一半【解答】解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到故选B．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，解题的关键是掌握住图象变换的规则，属于基本题型．9．函数y=2sin2x是（）A．以2π为周期的偶函数B．以π为周期的偶函数C．以2π为周期的奇函数D．以π为周期的奇函数【考点】余弦函数的图象；二倍角的余弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角的余弦公公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性和奇偶性，得出结论．【解答】解：∵函数y=2sin2x=2•=1﹣cos2x，∴它是以π为周期的偶函数，故选：B．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公公式，余弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=0，且在[3，4]上是增函数，A、B 是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinA）＜f（cosB）B．f（sinA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f （cosA）＞f（cosB）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（x+1）+f（x）=0得f（x+2）=f（x）得函数的周期为2，然后利用函数的周期和奇偶性进行判断．【解答】解：由f（x+1）+f（x）=0得f（x+1）=﹣f（x）即f（x+2）=f（x），所以函数的周期为2，因为f（x）在[3，4]上是增函数，所以f（x）在[﹣1，0]上为增函数，因为f（x）为偶函数，所以f（x）在[0，1]上为单调减函数．因为在锐角三角形中，π﹣A﹣B＜，所以A+B＞，所以＞A＞﹣B＞0，所以sinA＞sin（﹣B）=cosB，因为f（x）在[0，1]上为单调减函数．所以f（sinA）＜f（cosB），故选：A．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多．二、填空题11．cos=．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值．【分析】根据题意，由=﹣，结合余弦的差角公式可得cos=cos（﹣）=coscos+sin cos，代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，由=﹣，则cos=cos（﹣）=cos cos+sin cos=×+×=，故答案为：．【点评】本题考查余弦的差角公式，关键是将用特殊角的差的形式表示出来．12．求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用60°=20°+40°，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值．【解答】解：tan60°=tan（20°+40°）==tan20°+tan40°+tan20°tan40故答案为：【点评】本题考查两角和的正切函数公式的应用，考查计算化简能力，观察能力，是基础题．13．在△ABC中，||=5，||=4，||=3，则•=﹣9．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；平面向量及应用．【分析】边长满足勾股定理，从而确定△ABC为直角三角形，即可求出B的余弦值，根据向量数量积的定义即可求出．【解答】解：∵||=5，||=4，||=3，∴||2=||2+||2，∴△ABC为直角三角形，且∠C为直角，∴cosB=，∴•=||•||cos（﹣B）=5×3×（﹣）=﹣9，故答案为：﹣9．【点评】本题考查平面向量数量积的定义，同时注意挖掘题目中的条件，考查计算能力．14．在平行四边形ABCD中，=，=，=3，M为BC的中点，则=（，表示）【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理即可得出．【解答】解：∵=3，M为BC的中点，则=====．故答案为：．【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理，属于基础题．15．设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【专题】压轴题；三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．三、解答题16．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1．（1）求•；（2）|﹣2|【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）根据向量的数量积定义计算；（2）计算（）2再开方即可．【解答】解：（1）=||||cos60°=2×=1．（2）∵（）2=﹣4+4=4﹣4+4=4，∴|﹣2|=2．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）通过函数的图象求出A和T，然后求出ω，通过函数经过的特殊点求出φ，即可得到函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求利用x在区间，求出相位的范围，然后结合函数的值域求出函数的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由图象知，A=2，故ω=2，将点代入f（x）的解析式，得，又，所以，故…（Ⅱ）由，得即所以f（x）的最大值为2，最小值为﹣1．…【点评】本题主要考察函数f（x）=Asin（ωx+φ）的性质以及对三角函数知识的综合运用能力，简单题．18．已知是一个三角形的内角，且sinα+cosα=（1）求tanα的值；（2）用tanα表示并求其值．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；规律型；转化思想；三角函数的求值．【分析】（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理后判断出sinα与cosα的正负，利用同角三角函数间基本关系得到sin2α+cos2α=1，联立求出sinα与cosα的值，即可确定出tanα的值．（2）利用同角三角函数基本关系式化简求解即可．【解答】解：（1）将sinα+cosα=，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，∴sinαcosα=﹣＜0，即sinα＞0，cosα＜0，与sin2α+cos2α=1，联立得：，∴，则tanα=﹣．（2）====．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．19．已知=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），函数f（x）=•．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）若对任意实数x∈[，]，不等式f（x）﹣m＜2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，通过正弦函数的对称轴直接求f（x）的对称轴方程；（2）利用（1）的函数的解析式，对任意实数x∈[，]，不等式f（x）﹣m＜2恒成立，求出f（x）﹣2在已知范围难度最大值，即可求实数m的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（1）由f（x）=•及=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），可得f（x）=sin2x+sinxcosx …=…=…令，k∈Z，解得x=，k∈Z．…所以，f（x）的对称轴方程为x=，k∈Z．…（2）∵x∈[，]，∴．…又∵y=sinx在上是增函数，∴sin．…又∵sin=sin（）=sin cos﹣cos sin==，…∴f（x）在x∈[，]，时的最大值是f max（x）==．…∵不等式f（x）﹣m＜2恒成立，即f（x）﹣2＜m恒成立，…∴，即m，所以，实数m的取值范围是．…【点评】本题考查向量的数量积的计算．两角和与差的三角函数正弦函数的对称轴方程以及单调性的应用，考查计算能力．20．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】（1）设，由||=2，且∥，知，由此能求出的坐标．（2）由，知，整理得，故，由此能求出与的夹角θ．【解答】解：（1）设，∵||=2，且∥，∴，…解得或，…故或．…（2）∵，∴，即，…∴，整理得，…∴，…又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…【点评】本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．。
北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题(含答案)
2024北京四中高一（上）期中数 学试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，满分150分，考试时间120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知集合，，则集合A. B. C. D.2. 函数的定义域是A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，4. 如果，那么下列不等式中正确的是A ． BC ． D．5. 下列函数中，在区间上为减函数的是A ． B. C. D. 6. 函数的图像关于A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．点对称 7. 已知，则“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数在区间内的零点个数是A ．0 B ．1 C ．2 D ．39. 下列函数中，满足的是A ．B ．C ．D ．10. 两个不同的函数，满足，，则可能的情况是{0,1,2,3}A ={1,3,5,7}B =A B ={1,2,3}{3}{1,3}{0,1,2,3,5,7}()f x =[2,1]-(,2][1,)-∞-+∞ (,2)(1,)-∞-+∞ [2,)-+∞R x ∀∈3210x x -+≤R x ∃∉3210x x -+>R x ∃∈3210x x -+>R x ∃∈3210x x -+≥R x ∀∈3210x x -+>0b a >>2ab b -<<22a b <11a b <()0,+∞22y x x =-y =31x y x +=+21y x =+()|1||1|f x x x =+--(1,0)0a b >>0c >a b a c b c >++31()2f x x x=--(0,)+∞(2)2()f x f x =2()(2)f x x =+()1f x x =+4()f x x=()f x x x =-()f x ()g x R x ∀∈()()0f x g x ⋅>A ．是一次函数，是二次函数B ．在上递增，在上递减C ．，都是奇函数D ．是奇函数，是偶函数二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．若，则实数x 的值为 .12. 不等式的解集为，则 ， .13. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ．14. 函数，则的减区间为 ，的值域是 .15. 已知函数.①当时，在定义域内单调递减；②当时，一定有；③若存在实数，使得函数没有零点，则一定有；④若存在实数，使得函数恰有三个零点，则一定有；以上结论中，所有正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共3小题，共35分16. （12分）设集合，，. （I ）求；（II ）求；（III ）若，求实数k 的取值范围.17. （11分）某学校课外活动小组根据预报的当地某天（0 ~ 24时）空气质量指数数据绘制成散点图，并选择函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律（如下图所示）：（I ）求的值；（II ）当空气质量指数大于150时，有关部门建议市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止特殊行业施工.请结合上面选择的函数模型，回答以下问题，并说明理由：()f x ()g x ()f x R ()g x R ()f x ()g x ()f x ()g x {21,3,5}x x ∈-210ax bx +-≥1(,1][,)4-∞-+∞U a =b =()f x R 0x >2()3f x x x =-((1))f f =231, 02()2, 20x x f x x x x +≤≤⎧=⎨+-≤<⎩()f x ()f x 2()(,4)2R x a f x a a x +=∈≠--1a =()f x 4a <-(3)(4)(1)f f f <<k ()y f x x k =-+4a <-k 2()1y f x kx =-+4a >-{||1|2}A x x =->4{|0}23x B x x +=≤-{|2121}C x k x k =-<<+()U A B ðA B C A B ⊆ 2118,08264,824at t y t t b t +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩y t ,a b①某同学该天7:00出发上学，是否应戴防雾霾口罩？②当天特殊行业可以连续施工的最长时间为多少小时？18. （12分）已知函数.（I ）判断在上的单调性，并用定义证明；（II ）若是偶函数，求的值.卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1. 已知集合，，，则A ．B ．C ．D ．2. 当时，恒成立，则的最大值为 A ．6 B ．10C ．12D ．133. 设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为A ．14 B ．15 C ．16 D ．18二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分4. ________.5. 若二次函数的图像关于对称，且，则实数的取值范围是 .6. 设函数. 当时，的最小值是________；若是的最小值，则a 的取值范围是________.三、解答题：本大题共2小题，共20分7. （10分）已知函数.（I ）求方程组的解集；（II ）在答题纸的坐标系中，画出函数的图像；（III ）若在上具有单调性，求实数a 的取值范围.1()(2)f x x x =-)(x f (1,2)()()g x f x a =+a {1,1}A =-{|,,}B z z x y x A y A ==+∈∈{|,,}C z z x y x A y A ==-∈∈B C =B CÞB C =∅I B C A =U 2x >142x a x +≥-a A M m A A X M m =-01A 2A 3A n A *N 123120nA A A A X X X X ++++= n 13213410.125()25627--+---=()f x 2x =()()()01f a f f <<a 2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩12a =()f x (0)f ()f x ()(2)1f x x x =-+()20y f x x y =⎧⎨-=⎩()f x ()f x (,1)a a +8. （10分）如果正整数集的子集满足：①；②，，使得，则称为集.（I ）分别判断与是否为集（直接写出结论）；（II ）当时，对于集，设，求证：；（III ）当时，若，求集中所有元素的和的最小值.{}*12,,,(,2)N n A a a a n n =∈≥ 121n a a a =<<< ()2k a A k n ∀∈≤≤(),1i j a a A i j n ∃∈≤≤≤k i j a a a =+A ψ{}1,3,5A ={}1,2,3,6B =ψ5n =ψ{}12345,,,,A a a a a a =15S a a =++ 521a S +≤7n ≥36n a =ψA参考答案I 卷一、单项选择题（每题4分，共40分）题号12345678910答案C B B D C A A B DB 二、填空题（每题5分，共25分）11. 1或5 12. 4，3 13. 214. ， 15. ②③注：12、14题第一空3分，第二空2分；15题少选3分，错选漏选0分.三、解答题（共35分）16. 由题意，，，(I) ；(II) ；(III) 显然，，解得，因此的取值范围是.17. (I) ，解得(II) ①是. .②时，，解得；时，，解得；,所以可以连续施工的最长时间为12小时.18. (I)在上单调递减.124⎛⎫-- ⎪⎝⎭，178⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()13A =-∞-+∞ ，，A R ð[]1,3=34,2B ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭31,2A B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭R ð()3,3,2A B ⎛⎫=-∞+∞ ⎪⎝⎭ 2121,k k C -<+≠∅3212132k k +≤-≥或124k k ≤≥或k [)124⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ，，8118206264648206a b +=⎧⎨⨯-⨯+=⎩11590a b =⎧⎨=⎩711118195150⨯+=>08t ≤≤11118150t +≤32011t ≤≤824t ≤≤2264590150t t -+≤1022t ≤≤3222101211-=>)(x f ()1,2定义域为，任取且，所以在上单调递减.(II)，是偶函数，则定义域关于原点对称，，则，此时，定义域，，符合题意，所以.II 卷一、单项选择题（每题5分，共15分）1. A2. C3. C二、填空题（每题5分，共15分）4. 5. 6. ，注：6题第一空3分，第二空2分.三、解答题（共20分）7. ，(I) ，()()()00,22-∞+∞ ，，()12,1,2x x ∈12x x <()()()()1211221122f x f x x x x x -=---()()()22221112122222x x x x x x x x ---=--()()()()211212122220x x x x x x x x -+-=-->)(x f ()1,2()()1(2)g x x a x a =++-()g x ()(2)0a a -+-=1a =()()11(1)g x x x =+-()()()11,11-∞--+∞ ，，()()()()111(1)1(1)g x g x x x x x -===-+--+-1a =15-()(),04,-∞+∞ 14⎡⎣()()()()()21,121,1x x x f x x x x -+≥-⎧⎪=⎨---<-⎪⎩()2()0202y f x x f x x y y x =-=⎧⎧⇔⎨⎨-==⎩⎩当，，，解得或当， ，即，解得或（舍）；综上，方程组的解集是.(II)（作图过程略）(III) 在递增，在递减，所以或或，因此实数a 的取值范围是.8. (I) 注意到：，因此数集不是集.注意到：，因此数集是集.(II) 由于集合是集，即对任意的，存在，使得成立。
湖南省永州市蓝山县第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含解析)
2024年下期蓝山一中高一期中考试试卷（数学）全卷满分150分 考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题只有一个正确答案。
）1.已知集合，（ ）.2.是（ ）.3..4.下列结论正确的是（ ）.5.函数（ ）.6..7.图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）8.{}4,3,2,1,0=A }{=<<-∈=B A x N x B ，则41{}321:，，A {}3,2,1,0:B {}4,3,2:C {}2,1,0:D ””是““0112=-=x x 充分不必要条件:A 必要不充分条件:B 充要条件:C 既不充分也不必要条件:D ）有实根”的否定是（，使，命题“存在设0102=-+≥∈mx x m R m 无实根，使010:2=-+≥∀mx x m A 有实根，使010:2=-+<∀mx x m B 无实根，使010:2=-+≥∃mx x m C 有实根，使010:2=-+<∃mx x m D 2222::11:.:b a b a D b a bc ac C ba b a B bc ac b a A >>>><><>，则若，则若，则若，则若定义域是11)(2++-=x xx x f []11:，-A [)(]1001:，， -B (]11:，-C ()(]1001:，， -D ）的最小值是（则设21)(,2-+=>x x x f x 2:A 3:B 4:C 5:D 1C 2C 3C 1y x =α2y x =α3y x α=1α2α3α3,21,1:3,1,21:21,3,1:1,3,21:----D C B A .)(5)(2)(3）（，则，且已知函数=-=++=m f m f x ax x f二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.下列函数中，即是偶函数，又在（0，）上单调递增的函数有（ ） 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12. 则实数的取值范围是 .14. .四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)（1）求的值. （2）5:-A 3:-B 1:-C 3:D ∞+(]时，，当，，的奇函数，且对任意）是定义域为已知函数21210(.10x x x x R x f ≠∞-∈21:A 43:B 94:C 23:D {})()(,7,411max )(,,,,,max .112的函数值可以取则，设中最大值为定义x g x x x x g c b a c b a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=3:A 4:B 5:C 6:D (){}{}1031->=≥+=-=x x B A a x x B A ，若，，已知集合a (]的取值范围是上是单调递增，则，在区间）函数m x m x x f 43)1(2(2∞-+-+-=[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=.3,1,22,1,1,1)(2x x x x x f 设函数)0(f 值。
山西省太原市2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学含答案
2024~2025学年第一学期高一年级期中学业诊断数学试卷（答案在最后）（考试时间：上午7:30－9:00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.题号一二三四总分得分一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}0,1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = A.{}2,3 B.{}0,1,2,3,4 C.[]2,3 D.[]0,42.已知a b >，则下列结论正确的是A.ac bc > B.22a b> C.1a b >- D.11b a>3.函数()ln f x x =的定义域是A.()0,+∞ B.(]0,2 C.()()0,22,+∞ D.[)2,+∞4.“0xy =”是“0x =”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数()11x f x a -=-（0a >，且1)a ≠的图象必经过的定点是A.()1,0 B.()1,1- C.()1,0- D.()1,1--5.已知不等式2220kx kx +-<对于一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是A.()2,0- B.(]2,0- C.()0,2 D.[)0,26.已知函数()()1,bf x ax a b x=++∈R ，且()10f -=，则()1f =A.－1B.1C.－2D.27.已知0,0x y >>，且满足2x y xy +=，若228x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是A.()1,9- B.()9,1- C.()(),19,-∞-+∞ D.()(),91,-∞-+∞ 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知幂函数()f x 的图象经过点(，则下列结论正确的是A.()2f -= B.()f x 是增函数C.()f x 是偶函数D.不等式()1f x <的解集为{}01x x <<10.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()22f x x x =-，则下列结论正确的是A.()00f = B.()1f -是函数()f x 的最大值C.当0x <时，()22f x x x=-+ D.不等式()0f x >的解集是()()2,02,-+∞ 11.已知函数()f x 对于一切实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=，当0x >时，()01f x <<，()113f =，则下列结论正确的是A.()01f = B.若()9f m =，则2m =C.()f x 是增函数D.()0f x >三、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分）12.命题“x ∃∈R ，20x x ->”的否定是________13.已知函数()2,0,1,0x a x f x ax x ⎧-=⎨-<⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围________.14.对实数a 和b ，定义运算“◎”：,1,,1,a ab a b b a b -⎧=⎨->⎩◎，设函数()()222f x x x =+◎，x ∈R .若函数()y f x m =-的图象与x 轴恰有2个公共点，则实数m 的取值范围是________.四、解答题（本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.计算下列各式的值（每小题4分，共8分）（1）12023489-⎛⎫--⎪⎝⎭；（2）21151133662262a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.16.（本小题满分8分）已知全集U =R ，{}260A x x x =+-<，1282xB x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}212C x m x m =+<<-.（1）求()U A B ð；（2）若()A B C ⊆ ，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分10分）已知函数()21xf x x =+.（1）判断并证明()f x 的奇偶性；（2）根据定义证明：()f x 在()1,1-上单调递增.18.（本小题满分10分）实行垃圾分类，保护生态环境，促进资源再利用。
下学期高一期中考试数学试卷1
临澧一中2011年下学期高一期中考试数学试题卷时间：120分钟 满分：150分 命题人：朱传秀一、 选择题（本大题每小题5分，共40分．） 1．如果集合{}1->=x x P ，那么（ ）A.P ⊆0B. {}P ∈0C. P ∈∅D. {}P ⊆0 2．满足{}1234,,,M a a a a ⊆，且{}{}12312,,,Ma a a a a =的集合M 的个数为（ ）A.1B.2C.3D.43. 函数)1ln()(-=x x f 的零点所在大致区间为 ( ) A.（-1,1） B.（0,2） C.（1,3） D.（2,4） 4．函数2()lg(31)f x x =++的定义域是 ( )A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3-∞- 5．下列大小关系正确的是 （ ）A. 30.440.43log 0.3<<B. 30.440.4log 0.33<<C. 30.44log 0.30.43<<D. 0.434log 0.330.4<< 6．设定义在R 上的函数f （x ）＝3x x +，则f （x ） （ ） A ．既是奇函数，又是增函数 B ．既是偶函数，又是增函数 C ．既是奇函数，又是减函数D ．既是偶函数，又是减函数7．若奇函数()x f 在[]3,1上为增函数，且有最小值0，则它在[]1,3--上（ ） A .是减函数，有最小值0 B .是增函数，有最小值0 C .是减函数，有最大值0 D .是增函数，有最大值08．已知a ＞0，且a ≠1，函数xy a =与y =log a (－x )的图象只能是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．y二、填空题（本大题每小题5分，共35分．）9．求值：=-43)1681( ；732log (42)⨯= .10．函数x x x f -=2)(的单调递减区间是____________________.11.已知62()log f x x = ，则(8)f = .12.已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，f （－2）＝10，则f （2）= ．13.设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为 .14.已知函数()f x 是偶函数，当0x ≥时，()10x f x =，则当0x <时()f x 的解析式为 .15.如果集合A B 中有且只有一个元素，则称集合A B 、具有特洛伊性质，{}2(,)|1M x y y x mx ==-+-，{}(,)|3,03N x y y x x ==-≤≤，若集合M 、N 具有特洛伊性质，则m 的取值范围是 .三、解答题（共12+12+12+13+13+13=75分）16．已知集合{}2|2A x x a x =+=-,{}2|B x x x ==.（1） A 仅有一个元素，请用列举法表示a 的值组成的集合； （2） A A B ⊆,求实数a 的取值范围.17.（1）解方程：lg(x+1)+lg(x-2)=lg4 ； （2）解不等式:12124x ->.18．已知0≤x ≤2，求函数()f x＝4x－6⨯2x＋7的最大值和最小值．19．已知()1 21 xf x a=-+，其中a为常数．（1）()f x是奇函数，求a的值；（2）判定该函数的单调性，并用定义证明．０.20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。
山西省运城市康杰中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含解析)
运城市康杰中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．复数，则复数z 的虚部是( )A.-2B.2C.-1D.12．已知向量，，若与( )3．已知向量，，，则( )A.1B.2C.6D.1或者24．如图所示的矩形中，E ，F 满足，，G 为EF 的中点，若，则的值为( )D.25．在中,若,且,那么一定是( )A. 等腰直角三角形 B.直角三角形C. 等腰三角形D.等边三角形6．桂林日月塔又称金塔银塔､情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O 的同一水平面上的A ，B 两点处进行测量，如图2已知在A 处测得塔顶P 的仰角为，在B 处测得塔顶P 的仰角为，米，，则该塔的高度( )22i i z =-+a b 2a b b -= ()2,a x =()1,3b =()a ab ⊥-x =ABCD BE EC = 2CF FD =AG AB AD λμ=+λμABC △sin cos a B A =sin 2sin cos C A B =ABC △60︒45︒25AB =30AOB ∠= OP =A.7．如图,A 、B 、C 三点在半径为1 圆O 上运动,且, M 是圆O 外一点,,则A.5 B.8 C.10 D.128．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”.也就是说，在中，a ，b，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，那么的面积若面积S 的最大值为( )A.二、多项选择题9．已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有( )A.B.在方向上的投影向量为C.若，则D.若，则的AC BC ⊥2OM =2MA MB ++ABC △ABC △S =b =tan C =ABC a bθ()()a b a b +⊥- a b ()a b b ⋅ ||1a b += 60θ=()()a b a a b a +⋅=-⋅ //a b10．在中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则下列说法中正确的是( )A.若,则B.若,则是锐角三角形C.若,,,则符合条件的有两个D.对任意,都有11．对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量．则关于该变换，下列说法正确的是( )A.若，则B.若，则C.存在，，使得D.设，，，…，，则12．已知三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且．则下列结论正确( )A.的最大值为C.，，若与的夹角为锐角,则AC 的最大值为__________.16．在的角平分线，若四、解答题ABC △sin sin A B >A B>tan tan tan 0A B C ++>ABC △10a =8b =60A =︒ABC △ABC △cos cos 0A B +>(),a x y = ()(),F a x y x y =+-//a b ()()//F a F ba b ⊥ ()()F a F b⊥ a b ()1cos ,()cos ,2F a F b a b 〈〉=〈〉+()05,2a =- ()10a F a = ()21a F a = ()20232022a F a = 1011020232a a ⋅=ABC △C ∠=2=ABC △AC AB ⋅2+cos cos b A a B +=)-∞+∞21|z z -=-()2,6b =- a a b λ+ 90ABD =︒ABC △BAC BAC ∠=17．已知向量,,（1）若向量与垂直,求与夹角的余弦值;,且与共线,求k 的值．18．已知复数．（1）求m 的值；（2）若是关于x 的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．19．已知的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若.（1）求角A ;（2）若,求的面积．20．如图，中，，，D 是AC的中点，，AB 与DE 交于点M．（1）用，，表示﹔（2）设，求的值；21．在①，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．已知a ，b ，c 是的三个内角A ，B ，C 的对边，且______．（1）求B ；（2）若，求的周长的取值范围．22．在边长为2的等边中，D 为BC 边上一点，且．()2,1a = ()1,b y =- ()3,4c =a b b c3b -= a kc + 2b a - ()(22i z m m m =++-∈R 6z z +=3i z -20x ax b ++=ABC △sin cos a C A =a =2=ABC △ABC △CA a = CB b = 2CB BE =a b DEBM BA λ=λ()()22sin sin sin sin sin A C A B A B -+=-1cos cos212B B B -=cos sin bC a B =-ABC △2b =ABC △ABC △2BD DC =（1）若P 为内一点（不包含边界），且，求的取值范围；（2）若AD 上一点K 满足，过K 作直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设，，的面积为，四边形BCNM 的面积为，且，求实数k的最大值．ABC △1PB =PB PC ⋅2DK KA =AM xAB = AN y AC =AMN △1S 2S 21S kS =参考答案1．答案：A解析：由题意可得：，所以复数z 的虚部是-2.故选：A.2．答案：B.故选：B 3．答案：D解析：由已知，又，所以，解得1或者2故选：D.4．答案：A解析：因为，，G 为EF 的中点，所以，所以故选：A.22i i 2i 112i z =-+=--=--2b -==== ()1,3a b x -=-()a ab ⊥- ()()230a a b x x ⋅-=+-=x =BE EC = 2CF FD =()()11112222AG AE AF AB BE AD DF=+=+++ 1111111122232223AB BC AD DC AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2334AB AD =+λ==2334=⨯=5．答案：D解析：,则,因为A ,,所以又因为,,则,则,即,即,又因为A ,,则,所以即一定是等边三角形,故D 正确.故选：D.6．答案：B解析：由题意可知，，，设米，则在中，米，在中，米.由余弦定理可得，即，解得.因为米，所以sin cos a B A =sin sin cos A B B A =()0,πB ∈tan A =A =sin 2sin cos C A B =πA B C ++=()sin 2sin cos A B A B +=sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=sin cos cos sin 0A B A B -=()sin 0A B -=()0,πB ∈ππA B -<-<A B ==A B C ===ABC △60OAP ∠= 45OBP ∠= OP h =Rt AOP △tan OP OA OAP ===∠Rt BOP △tan 1OP hOB h OBP ===∠2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅∠2222211233AB h h h =+-=h =25AB =h =故选：B.7．答案：C解析：连接,如下图所示：因为,则为圆O 的一条直径,故O 为的中点,所以,所以 .当且仅当M 、O 、C 共线且、 同向时,等号成立,故选：C.8．答案：B 解析：因为所以，由正弦定理得，又所以当即故选：B.9．答案：AB解析：因为，，AB AC BC ⊥AB AB ()()2MA MB MO OA MO OB MO +=+++= |2||22()|MA MB MC MO MO OC ++=++ |42|4||2||MO OC MO OC =+≤+ 422110=⨯+⨯=MO OC2MB ++ tan C ==()sin cos sin C C B C B C B A ==+=c =b =====212a =a =ABC =a b 1所以，即，故A 正确；在，故B 正确；若，则，即因为，所以，故C 错误；若，则，所以，即，故D 错误.故选：AB 10．答案：ABD解析：对于A 选项,由外接圆半径）,即则,故A 正确;对于B,所以,所以,所以,,三个数有0个或2个为负数,又因A ,B ,C 最多一个钝角,所以,,,即A ,B ,C 都是锐角,所以一定为锐角三角形,故B 正确;,又,则,知满足条件的三角形只有一个,故C 错误;对于D,因为,所以,又函数在上单调递减,所以,所以,故D 正确;故选：ABD.11．答案：ABD解析：A 选项，，设，，，()()220a b a b a b +⋅-=-= ()()a b a b +⊥-a b()s b a b b a a b b b a b bθ⋅=⋅⋅=⋅ ||1a b += 2221a ab b +⋅+= a b ⋅= θ=0180θ︒︒≤≤120θ︒=()()a b a a b a +⋅=-⋅ 22a a b a a b +⋅=-⋅ 0a b ⋅= a b ⊥ sin sin A B >>ABC a b >A B >()()tan tan πtan C A B A B ⎡⎤=-+=-+=⎣⎦()tan tan tan tan tan 1A B C A B +=-()tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan 0A B C C A B C A B C ++=-+=>tan A tan B tan C tan 0A >tan 0B >tan 0C >ABC △=sin 1b A B a ===<b a <60B A <=︒πA B +<0ππA B <<-<cos y x =()0,π()cos cos πcos A B B >-=-cos cos 0A B +>(),a x y =(),b m n = ()(),F a x y x y =+- ()(),F b m n m n =+-若，则有，所以，则，故A 选项正确；B 选项，若，则有，故，则，故B 选项正确；C 选项，，故C 选项错误；D 选项，当时，，，，，，，，D 选项正确．故选：ABD ．12．答案：AB解析：由余弦定理得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，所以，故，A 正确；，//a b nx my =()()()()220x y m n x y m n nx my +---+=-+=()()//F a F ba b⊥ 0a b mx ny ⋅=+= ()()()()()()220F a F b x y m n x y m n mx ny ⋅=+++--=+=()()F a F b ⊥()()cos (),()()()F a F b F a F b F a F b ⋅〈〉=⋅==cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅cos (),()cos ,F a F b a b 〈〉=〈〉(),n a x y =()()1,n n a a F x y x y +==+- ()()212,2n n a F a x y ++==22n n a a += ()05,2a =- ()10111011101120220252,22a a ==-⨯⨯ ()()101110112023202232,72a F a ==-⨯-⨯()()101110111011020235322722a a ⋅=-⨯-⨯+⨯-⨯=224cos 2a b C ab +-==224b ab +=+2242a b ab ab +=+≥a b =4ab ≤1sin 2ABC S ab C =≤△222224cos 22b c a b a AC AB AC AB A bc bc +-+-⋅=⋅=⋅=，所以，因，所以，故的最大值为B 正确；，故C错误；因为，所以，，D 错误.故选：AB或解析：设复数，a ，，由，得，整理得，于是，，即，，，由，得复平面内表示复数的对应点在以表示复数的对应点为圆心，1为半径的圆上，为2πsin sin 3b B ===()22222216162πsin sin sin sin 333b a B A B B ⎡⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4π1cos 2161cos 2π323226B B B ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥-⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=- ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ7π2,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭22π26b a B ⎛-=- ⎝222224cos 22b c a b a AC AB AC AB A bc bc +-+-⋅=⋅=⋅= 2)()cos cos sin cos sin cos 2b A a B B A A B A B C +=+=+===πcos cos 3tan cos cos A B A A A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===-2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(()tan ,0,A ∈-∞+∞ ()11,2,22A ⎛⎫-∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭1+1+1i z a b =+b ∈R 1123i z z +=-2(i i)3i a b a b +-+=-3i=3i a b --33a =1b -=-1a =1b =11i z =+21||1z z -=2z 1z (1,1)的距离，.14．答案：解析：因为，，所以，因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线，由，得，则由与共线，得，则，此时与同向共线，故；综上，.故答案为：15．答案：4,且,,在,即,可得,在,2z -2)11=+1+λ<0≠()1,2a =- ()2,6b =- ()()()1,22,612,26a b λλλλ+=-+-=--+ a a b λ+ ()0a a b λ⋅+> a a b λ+ ()0a a b λ⋅+> ()()122260λλ-+-⨯+>-λ<a a b λ+ ()()212260λλ-⨯---+=0λ=a a b λ+ 0λ≠λ<0≠λ<0≠34(0)m m >DBC θ∠=π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭△2cos 88cos BC CD BCD BCD ⋅∠=-∠2288cos(π2)88cos 288(2cos 1)16cos θθθθ=--=+=+-=221616cos m θ=cos m θ=ABC △2π2cos 94232sin 2AB BC m m θθ⎛⎫⋅+=++⨯⨯ ⎪⎝⎭当,所以AC 的最大值为4.故答案为:4.16．答案：解析：是的角平分线，即，故答案为：（2）解析：（1）,,,,2917159cos 412sin cos cos 26sin 2sin(2)222θθθθθθϕ++=++=+2θϕ+=)θϕ+=166+AD BAC ∠12BAD CAD BAC ∴∠=∠=∠=sin BAD AC ∠=+sin π6b =+11b c ∴+=()1124222666c b b c b c b c b c ⎛⎫∴+=++⨯=++≥+=+ ⎪⎝⎭=2==+6+619-a b ⊥ 0a b ∴⋅= 20y ∴-+=2y =()1,2b ∴=- cos ,b c b c b c⋅∴===（2）,,,又,与共线,,18．答案：（1）；（2），，解得：（2）由（1）可知，，将，代入方程可得：，即：，得：，解得：，，代入一元二次方程中得：，解得：，，即方程另外一个复数根为19．答案：（1）解析：（1）因为,由正弦定理,又,,即,得（2）由余弦定理知,即,则,解得（负值舍去）,()3,1a b y -=- 3a b -== 1y =∴()1,1b ∴=- ()24,1b a ∴-=- ()23,14a kc k k +=++ a kc + 2b a - ()41423k k ∴-+=+k ∴=1m =34i +()22i m m =++-()22i m m =+--()()22i 22i 246m m m m ++-++--=+=1m =3i z =-3i 34i z -=-()()234i 34i 0a b -+-+=()()73424i 0a b a -++-+=7304240a b a -++=⎧⎨+=⎩6a =-25b =26250x x -+=134i x ==+234i x ==-34i+π3A =sin cos a C A =sin sin cos A C C A =sin 0C ≠sin A A ∴=tan A =(0,π)A ∈A =2222cos a b c bc A =+-2742b b =+-2230b b --=3b =11πsin 32sin 223ABC S bc A ∴==⨯⨯⨯=；.解析：（1）依题意，.（2）依题意，，而E，M，D三点共线，则，所以21．答案：（1）（2）解析：（1）选①，由，可得，因为，及正弦定理，可得，所以，整理得，则，所以，即，因为，可得，所以选③，由，由正弦定理得，即，即，整理得，12a-31312222DE CE CDCB CA b a=-=-=-()(1)CM CB BM CB BA CB CA CB CA CBλλλλ=+=+=+-=+-2(1)23CD CEλλ-=+()21213λλ-+=λ=B=(]4,6()()22sin sin sin sin sinA C AB A B-+=-()()()()sin sin sin sin sin sin sinA C AB A B A B-+=-+πA B C++=()()()sin sin sina c C ab A B-=-+()()()a c c ab a b-=-+222a cb ac+-=222cos2a c bBac+-==πB<<B=1cos cos22B B B-=cos22B B-=πsin216B⎛⎫-=⎪⎝⎭0πB<<ππ112π666B-<-<π26B-==cos sinb C a B=sin cos sin sinB C A C B=()sin cos sin sinB C B C C B=+sin cos sin cos cos sin sinB C B C B C C B=+-sin cos0C B B⎛⎫=⎪⎪⎝⎭因，，可得，即，因为，所以（2）由，所以周长，又由，可得，又因为，所以，所以的周长的取值范围为.22．答案：（1）；解析：（1）取BC 的中点E ，所以，因为E 为BC 的中点，所以，所以，又因为，故，故的取值范围.（2）因为，所以，因为，，，所以，也即，为0πC <<sin 0C >cos 0B B =tan B =0πB <<B =B =2=2R ==)2sin sin ABC l a b c A C =++=+△πA B C ++=2π3A C +=)2π2sin sin 2sin sin 3ABC l A C A A ⎤⎛⎫=++=++- ⎪⎥⎝⎭⎦△ππ224sin 66A A ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0A <<π6A <+<πsin 16A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭π424sin 66A ⎛⎫<++≤ ⎪⎝⎭ABC △(4,6](1,0)-()()PB PC PE EB PE EC ⋅=+⋅+ =EB EC - 222()()=1PB PC PE EC PE EC PE EC PE ⋅=-⋅+=-- PB =(0,1)21(1,0)PE -∈- PB PC ⋅ (1,0)-2BD DC = 1233AD AB AC =+ AM xAB = AN y AC = 2DK KA = 1121333AK AM AN x y =⋅+⋅ 1299AK AM AN x y=+①因为，所以，所以，又因为，所以，所以②，所以当2=19y +1sin 2AMN S AM AN BAC =∠ △AMN ABC S xyS =△△111==ABC AMN S S S xy xy △△12ABC S S S =+△211(1)S S xy =-211(1)S k S xy==-9=22291912()4y y y =-+-=--+94y =。
四川省2024-2025学年高一上学期期中调研测试数学试卷(含解析)
四川省2024-2025学年上学期期中调研测试高一数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.考查范围：必修第一册第一章至第三章第二节.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题，则命题的否定为A. B. C. D.2.已知集合，若，则的取值范围为A. B. C. D.3.二次函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为A. B.，或 C. D.4.若，则的最大值是A.-2B.0C.1D.25.已知函数，则A. B. C.D.:2p x ∀>>p 2x ∀>2x ∀>…2x ∃>2x ∃…{}260A xx ax =++<∣1A ∉a [7,)-+∞(7,)-+∞(,7]-∞-(,7)-∞-()y f x =-()0f x <{23}x x <<∣{2x x <∣3}x >{2}x x <∣{3}x x >∣0x >2(1)8y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭23(32)x f x x+-=2621()2(3)x x f x x ++=-2621()2(3)x x f x x -+=-2621()3x x f x x ++=-2621()3x x f x x-+=-6.若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是A. B. C. D.7.若函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则实数的取值范围是A.（ B. C. D.[4，14]8.定义，则称与经过变换生成函数.已知，设与经过变换生成函数，若，则在区间[2，9]上的最小值为A.B.4C.D.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下面四个命题中错误的是A. B.C.集合 D.10.已知，则下列结论中正确的有A.若，则B.若，则()f x ()f x |1|()||x f x x -=()|||1|x f x x =-|||1|()x f x x-=|||1|()x f x x+=a y x x =+(0,2)21312y x a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭(2,)+∞a ,14]-∞[4,)+∞(4,14)1122()()()()(,)()af x f x f x f x a b bf x ==∈R e 1()f x 2()f x e ()f x 212()100,()g x x g x =-=+1()g x 2()g x e ()g x 99(1)2g =()g x 17819848(2-2,210x x x ∀∈-+>R 30,0x x ∃<>∃,,,A B A B A A B A ⋂=⋃=22,21x x ∀-……,,a b c ∈R 0<<11a b<66ac bc >a b>C.若，则D.11.已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则A. B.当时，C.在[a ，0]上单调递增D.的值域为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知全集，集合，则___________.13.已知若，则__________.14.设，用[x ]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如：[3.9]=，若函数，则的定义域是__________，值域是__________.（第一空2分，第二空3分）四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数.（1）求的值;（2）计算和，猜想的值并加以证明.16.（15分）设.（1）若，求同时满足条件p ，q 的实数构成的集合；（2）若是的充分条件，求的取值范围.17.（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求a ，b ，c 的值（2）g （x ）=，若，求实数的取值范围.1a b >>11a b a b+>+226(3)a b a b ++-…()f x [,4]a a +[0,4]x a ∈+()f x x =-2a =-[,0]x a ∈()f x x=+()f x ()f x -{}280U x x x =∈-Z ∣…{1,2,3,4,5},{2,5,8}A B ==()U A B ⋃=ð20,()2,0,x f x x x x =->⎪⎩…()3f x =x =x ∈R x []y x =3,[0.9]1-=-()2[]xf x x =()f x 1()2x f x x +=-((3))f f (0)(4)f f +(2)(6)f f -+()(4)(2)f a f a a +-≠2:3180,:80()p x x q ax a --<-<∈R 4a =x p q a 2()4bx cf x ax +=+[2,2]-(1)()f x f x +-=()22244164(1)4x x ax a x --+⎡⎤+++⎣⎦34k kx --()()1212[2,2],[2,0],x x f x g x ∀∈-∀∈-…k18.（17分）已知是定义在上的函数，且.（1）证明：是偶函数；（2）若，都有.（i ）证明:在上单调递增；（ii ）求不等式的解集.19.（17分）对给定的非空集合，定义集合，，当时，称具有姊妹性质.（1）当时，判断集合是否具有姊妹性质，并说明理由；（2）探讨集合具有姊妹性质时与之间的关系；（3）探究的子集的个数.()f x (,0)(0,)-∞⋃+∞1()x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 1x ∀>()0f x >()f x (0,)+∞11(4)25f x f f ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…*{1,2,,},A n n =∈N {}*,,A xx a n a A n +''==+∈∈N ∣{}*,,A x x a n a A n -''==-∈∈N ∣A A +-⋂≠∅A 1,1n n '==A A n n ',A A A A +-+-⋂⋃四川省2024—2025学年上学期期中调研测试高一数学参考答案及评分细则1.【答案】C【解析】命题为全称量词命题，则该命题的否定为:.故选C.2.【答案】A【解析】由，可得，解得，即实数的取值范围为.故选A.3.【答案】B【解析】等价于，根据函数的图象可得的解集为，或.故选B.4.【答案】D【解析】，当且仅当，即时等号成立，故的最大值是2.故选D.5.【答案】B【解析】令，则，可得，所以.故选B.6.【答案】C【解析】根据函数图象的对称性可知为奇函数，对于A 项，不是奇函数，故排除；对于B 项，可取0，故排除；对于D 项，，故排除.故选C.7.【答案】D【解析】当时，函数在区间上单调递增，不符合题意，舍去；当时，函数在区间上单调递减，在区间，解得；二次函数:2p x ∀>>2x ∃>1A ∉21160a +⋅+…7a -…a [7,)-+∞()0f x <()0f x ->()0f x ->{2x x <∣3}x >22(1)8108102y x x x x ⎛⎫=--=---= ⎪⎝⎭…28x x =12x =y =2(1)8x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭32t x =-32t x -=22336212()32(3)2t t t f t t t -⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭==--2621()2(3)x x f x x -+=-()f x |1|()||x f x x -=x ||1|1|(1)201f +==≠0a …ay x x=+(0,2)0a >ay x x=+)+∞24a …开口向上，对称轴为，要想函数在区间上单调递增，则需，解得.综上，实数的取值范围是[4，14].故选D.8.【答案】C【解析】由题意可知，又，解得，所以，因为在时单调递减且为正值，在时单调递减且为正值，所以[2，9]上单调递减，所以当时函数有最小值.故选C.9.【答案】AB （每选对1个得3分）【解析】当时，，故A 错误;，故B 错误;当时，，故C正确；在区间上单调递减，所以，即，故D 正确.故选AB.10.【答案】BCD（每选对1个得2分）【解析】因为，所以，所以，故A 错误;因为，所以，所以，故B 正确；令，则在上单调递增，因为，所以，即，故C 正确：等价于，成立，故D 正确.故选BCD.11.【答案】ACD （每选对1个得2分）【解析】对于A 项，因为是定义在上的偶函数，所以，解得，故A 正确；对于B 项，当时，，则，21312y x a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭1322a x -=-(2,)+∞13222a--…14a …a 212()()()mg x g x ng x ==29999(1)22m g n ===1mn=()g x =y =[2,9]x ∈2100y x =-[2,9]x ∈()g x =9x =(9)g =198=1x =2210x x -+=30,0x x ∀<<A B =,A B A A B A ⋂=⋃=2()1f x x =-[2,)+∞22,()(2)21x f x f x ∀==- (221)x -…0<<0a b <<11a b>66ac bc >60c >a b >1()f x x x=+()f x [1,)+∞1a b >>()()f a f b >11a b a b+>+226(3)a b a b ++-…22(3)(3)0a b -+-…()f x [,4]a a +40a a ++=2a =-[2,0]x ∈-[0,2]x -∈()()f x f x =-=()x x --=+故B 错误；对于C 项，因为与都在上单调递增，所以在上单调递增，故C 正确；对于D 项，因为在[-2，0]上单调递增，且，，所以当时，，由偶函数的对称性可知，的值域为，故D 正确.故选ACD.12.【答案】【解析】由题意知，所以.13.【答案】或3【解析】当，得;当时，由，得（舍去）或.综上，或.14.【答案】（第一空2分，第二空3分）【解析】令，得的定义域是；当时，；当时，当时，；当时，，当时，，当时，当时，.综上，的值域是.15.解:（1）因为，（2分）y =y x =[2,0]-()f x x =+[2,0]-()f x x =+(2)(2)2f -=+-=-(0)f =[2,0]x ∈-()f x ∈-()f x -{0,6,7}{08}{0,1,2,3,4,5,6,7,8},{1,2,3,4,5,8}U x x A B =∈=⋃=Z ∣……Uð(){0,6,7}A B ⋃=13-0x …3=13x =-0x >223x x -=1x =-3x =13x =-3x =(,0)[1,)(0,1)-∞⋃+∞[]0x ≠()2[]xf x x =(,0)[1,)-∞⋃+∞[1,2)x ∈11(),12[]22x f x x x ⎡⎫==∈⎪⎢⎣⎭[2,3)x ∈13(),2[]424x x f x x ⎡⎫==∈⎪⎢⎣⎭ [,1)x n n ∈+11(),2[]222x x n f x x n n +⎡⎫==∈⎪⎢⎣⎭x ∈[1,0)-11()0,2[]22x f x x x ⎛⎤==-∈ ⎥⎝⎦[2,1)x ∈--11(),2[]442x x f x x ⎛⎤==∈ ⎥-⎝⎦x ∈[3,2)--11(),2[]632x x f x x ⎛⎤==∈ ⎥-⎝⎦[(1),)x n n ∈-+-()2[]2(1)x x f x x n ==-∈+1,2(1)2n n ⎛⎤⎥+⎝⎦()f x (0,1)31(3)432f +==-所以.（4分）（2）因为，所以，（6分），（8分）猜想分）证明:.（13分）【评分细则】1.第（2）问没有计算过程不扣分;2.第（2）问证明没有计算过程酌情扣分.16.解:（1）由，解得，所以;（2分）当时，，解得，所以，（4分）所以同时满足条件p ，q 的实数构成的集合即为公共部分的实数构成的集合，即为.（6分）（2）因为是的充分条件，且，若，由，得，则，易知，所以，解得，故;（9分）若，由，得，则，易知，所以，解得，故；（12分）若即为恒成立，则，符合题意.（14分）415((3))(4)422f f f +===-1()2x f x x +=-15(0)(4)222f f +=-+=216117(2)(6)2226244f f -++-+=+=+=---()(4)2(2),(10f a f a a +-=≠14115151524()(4)2242222222a a a a a a a a a f a f a a a a a a a a a +-++-+-++--+-=+=+=+===---------(0)(4)2,(2)(6)2f f f f +=-+=()(4)2f a f a +-=13-23180x x --<36x -<<:36p x -<<4a =480x -<2x <:2q x <x x {32}x x -<<∣p q :36p x -<<0a >80ax -<8x a <8:q x a<8{36}{|}xx x x a-<<⊆<∣86a ...43a (4)03a <…0a <80ax -<8x a >8:q x a>8{36}|{}xx x x a-<<⊆>∣83a -...83a - (8)03a -<…0,80a ax =-<80-<:q x ∈R综上，实数的取值范围是.（15分）【评分细则】1.第（1）问结果没有写成集合形式扣1分；2.第（2）问结果写成集合或不等式形式不扣分.17.解:（1）由题意：，得，所以，得.（2分）又，（4分）比较系数，得解得（5分）（2）由（1）可知.（6分）设，则，因为，所以，所以，所以.所以函数在上单调递增.（9分）又，所以函数在上的值域为.（10分）“若”转化为“当时，恒成立”.若，则在上单调递减，由，解得;（12分）若，则，此时不成立;（13分）若，则在上单调递增，由，解得，舍去.（14a 84,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()f x f x -=-()()0f x f x -+=22044bx c bx cax ax -+++=++0c =()()22222222(1)44416(1)()(1)444(1)44(1)4b x bx abx abx b x x f x f x a x ax ax a x ax a x +--+--++-=-==+++⎡⎤⎡⎤++++++⎣⎦⎣⎦4,416,ab b -=-⎧⎨=⎩1,4.a b =⎧⎨=⎩24()4xf x x =+1222x x -<……()()()()()()2212211212222212124444444444x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()122122124444x x x x xx --=++1222x x -<……124x x <()()2212211240,0,440x x x x x x-<->++>()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<()f x [2,2]-(2)1,(2)1f f -=-=()f x [2,2]-[1,1]-()()1212[2,2],[2,0],x x f x g x ∀∈-∀∈-...20x -......()341g x k kx =--...0k >()g x [2,0]-min ()(0)341g x g k ==- (5)3k …0k =()4g x =-()1g x …0k <()g x [2,0]-min ()(2)34(2)1g x g k k =-=---…1k …分）综上，，即实数的取值范围是.（15分）【评分细则】1.第（2）问结果写成集合或不等式形式不扣分；2.第（2）问若求出的最大值，不求值域不扣分.18.（1）证明:令，得，故分）令，得，故.（2分）因为是定义在上的函数，令，故，所以是偶函数.（4分）（2）（i ）证明:由，得，，若，则，得，此时，即，得分）由于都可取任意正数，即对任意的正数，若，都有，所以在上单调递增.（11分）（ii ）解：因为在上单调递增，且为偶函数，故在上单调递减，（12分）由于，则，（14分）故，且，解得且，53k …k 5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭()f x 1x y ==(1)(1)(1)f f f =+(1)0,(1f =1x y ==-(1)(1)(1)0f f f =-+-=(1)0f -=()f x (,0)(0,)-∞⋃+∞1y =-()()(1)()f x f x f f x -=+-=()f x 1()x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1()x f f f x y y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1x ∀>0y ∀>110x x y y y --=>1x y y>()0f x >10x f f y y ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,(8x f f y y ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,0,,x x y y y∀>∀>1,x y y 1x y y>1x f f y y ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x (0,)+∞()f x (0,)+∞()f x ()f x (,0)-∞14(4)55f f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1425f x f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…414525x -+......102x +≠1331010x - (12)x ≠-故不等式的解集为.（17分）【评分细则】1.第（2）问第（i ）小问若未说明都可取任意正数，扣1分;2.第（2）问第（ii ）小问结果写成集合形式不扣分.3.解：（1）当时，，所以不具有姊妹性质.（4分）（2）由题意，，（7分）若要使集合具有姊妹性质，则需满足，则，所以.（9分）（3）由（2）可知，当时，，集合含有0个元素，此时分别含有个元素，所以含有个元素，的子集的个数为的子集的个数为；（13分）当时，，集合含有个元素，此时分别含有个元素，所以含有个元素，的子集的个数为的子集的个数为.（17分）【评分细则】第（3）问将“”写成“”扣1分，将“”写成“”，再单独讨论“”不扣分.11(4)25f x f f ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…13113,,102210⎡⎫⎛⎤--⋃-⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦1,x y y1,1n n '=={1},{2},{0},A A A A A +-+-===⋂=∅A {}**{1,2,,},,1,2,,,,A n n A n n n n n n +''''=∈=+++∈N N {}*1,2,,,,A n n n n n n -''''=---∈N A A A +-⋂≠∅1n n n ''-+…21n n '-…21n n '-<A A +-⋂=∅A A +-⋂,A A +-n A A +-⋃02n n n +-=A A +-⋂1,A A +-⋃22n 21n n '-…A A +-⋂≠∅A A +-⋂2n n '-,A A +-n A A +-⋃()22n n n n n n ''+--=+A A +-⋂22,n n A A '-+-⋃22n n '+21n n '-<21n n '-…21n n '-…21n n '->21n n '-=。
山西省朔州市应县四中2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 (无答案)
应县四中高一第一学期期中数学考试试卷考试时长：120分钟，满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（ ）A. B. C. D.2.命题“，”的否定是（ ）A.，B.，C.，D.，3.下列图形中，可以表示函数图象的是（ ）A. B.C. D.4.定义在上的偶函数在上单调递增，则下列不等式成立的是（ ）A. B.C. D.5.已知是定义域为的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.6.若，，且，则的最小值是（ ）A.8B.9C.10D.117.已知函数则（ ）A.5B.0C.-3D.-4{}1,2,3,4,5U ={}1,3,5M ={}1,3,4N ={}5{}1,2,5{}1,2,3,5U2x ∀≥240x -<2x ∃≥240x -≥2x ∃<240x -≥2x ∀≥240x -≥2x ∀<240x -<R ()f x [)0,+∞()()()312f f f -<<()()()123f f f <<-()()()321f f f -<<()()()132f f f <-<()f x R 0x >()2253f x x x =--()0f x <()()311,3-- ()(),30,3-∞- ()()3,03,-+∞ ()()3,00,3- 0x >0y >2x y xy +=2x y +()()21,2,23,2,f x x f x x x x ⎧->-=⎨+-≤-⎩()()1f f =8.已知幂函数的图象经过点.则函数在区间上的最大值是（ ）A.2 B.1 C. D.0二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各组函数中，与是同一函数的有（ ）A.，B.，C.，D.，10.设，，则（ ）A. B. C. D.11.历史上第一个给出函数的一般定义的是十九世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet ），在1837年他提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数。
高一下学期期中数学试卷-(解析版)
高一下学期期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．2021°角是第象限角．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为．3．已知tanθ＝2，则＝．4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为．5．S n为数列{a n}的前n项的和，，则a n＝．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝．7．已知，若，则sinα＝．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是米．（精确到0.1米）9．已知数列{a n}与{b n}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{a n+b n}的前25项和等于．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为．11．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是．12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝．二.选择题13．“tan x＝1”是“”成立的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移π个长度单位B．向左平移π个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（）A．B．C．D．16．函数f（x）＝sin x在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11三.解答题17．已知，，，求：（1）tanα和tanβ的值；（2）tan（α﹣2β）的值．18．已知函数f（x）＝sin n x+cos x（x∈R）．（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．19．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．20．在等差数列{a n}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最小值；（3）设，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．21．已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l，x∈R．（1）把f（x）表示为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{a sin x，a cos x}．x ∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一.填空题1．2021°角是第三象限角．解：2021°＝360°×5+221°，是第三象限角．故答案为：三．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为2．解：设扇形的半径为r，则×2×r8＝2，∴扇形的弧长＝2×＝4．故答案为：2．3．已知tanθ＝2，则＝．解：∵tanθ＝2，∴＝＝．故答案为：．4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为[0，1] ．解：设t＝2x﹣1，∵反正弦函数y＝arcsin t的定义域为[﹣1，1]，所以函数的定义域为：[0，7]．故答案为：[0，1]．5．S n为数列{a n}的前n项的和，，则a n＝．解：因为，所以a3＝S1＝2﹣3+1＝0，当n≥7时a n＝S n﹣S n﹣1＝（2n6﹣3n+1）﹣[2（n﹣1）2﹣3（n﹣5）+1]＝4n﹣5，∴a n＝．故答案为：．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝．解：由题意可得cosα＝，则sin（）＝cosα＝．故答案为：﹣7．已知，若，则sinα＝．解：，所以α+∈（，），又，所以sin（α+）＝＝；＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝．故答案为：．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是236.6 米．（精确到0.1米）解：设电视塔的高度为x，则在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，则，解得．由于，整理得，解得x≈236.5．故答案为：236.69．已知数列{a n}与{b n}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{a n+b n}的前25项和等于1925 ．解：∵等差数列{a n}、{b n}满足a1＝1，b6＝4，a25+b25＝149，∴数列{a n+b n}的前25项和＝+＝+（a25+b25）＝+×149＝1925．故答案为：1925．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134 ．解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余7的数，故a n＝15n﹣14．得n≤135，故此数列的项数为135﹣1＝134．故答案为：13411．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是[﹣3，﹣2] ．解：设x＝cosθ，．则f（x）＝4x4﹣3x﹣2＝4cos6θ﹣3cosθ﹣2＝cos3θ﹣2．∴cos3θ﹣5．∈[﹣3，﹣2]故答案为：[﹣3，﹣2]12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝．解：根据题意作出图象如下，设f（x）＝sin（ωx）的最小正周期为，所以，即，解得；若A1A4A5A7为菱形，则若A1A k﹣1A k A m为菱形，则，解得，故答案为：．二.选择题13．“tan x＝1”是“”成立的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要解：tan x＝1⇔x＝kπ+，k∈Z．∴“tan x＝1”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移π个长度单位B．向左平移π个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位解：只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象向左平移个长度单位，可得函数y＝3sin[2（x+）﹣]＝2sin（2x+）的图象，故选：D．15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（）A．B．C．D．解：∵等差数列前n项和S n＝•n2+（a1﹣）n，由S15＝15a8＞0，S16＝16×＜0可得：故Sn最大值为S8．故S n最大且a n取最小正值时，有最大值，故选：D．16．函数f（x）＝sin x在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11解：设＝＝…＝＝k，则条件等价为f（x）＝kx，的根的个数，由图象可知y＝kx与函数f（x）最多有10个交点，故选：C．三.解答题17．已知，，，求：（1）tanα和tanβ的值；（2）tan（α﹣2β）的值．解：（1）∵，，∴cosα＝﹣＝﹣，∵，∴．∴tan（α﹣2β）＝＝＝．18．已知函数f（x）＝sin n x+cos x（x∈R）．（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．解：（1）当n＝1时，f（x）＝sin x+cos x＝（sin x+cos x）＝cos（x）．∴f（x）≠f（﹣x）≠﹣f（﹣x），∴f（x）为非奇非偶函数；当时，，此时x的取值集合是；当cos x＝﹣1时，f（x）min＝﹣1，此时x的取值集合是{x|x＝2kπ+π，k∈Z}．19．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．解：（1）由4sin B•sin2（+）+cos2B＝1+，得：2sin B•[7﹣cos（+B）]+1﹣2sin2B＝1+，可得sin B＝，∴B＝，或B＝；∴ac sin B＝×4×c×＝5，解之得c＝6，∴当B＝时，b＝＝；即边b的值等于或．20．在等差数列{a n}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最小值；（3）设，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．∴2a1+5d＝﹣2，2a1+10d＝8，∴a n＝﹣6+2（n﹣1）＝2n﹣8．∴当n＝2或4时，S n取得最小值，（3），∴数列{b n}的前10项和＝﹣2﹣1﹣1+8+0+0+0+1+2+8＝2．21．已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l，x∈R．（1）把f（x）表示为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{a sin x，a cos x}．x ∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l＝cos2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+6，x∈R；∴f（x）的最小正周期为T＝＝π，值域为[﹣1，3]；解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，（3）若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x2）＝f（x2）恒成立，由g（x）的值域为[﹣a，a]，f（x）的值域为[﹣1，8]，解得0＜a≤；所以实数a的取值范围是（0，]．。
山西省太原市2023-2024学年高一下学期期中学业诊断考试数学试卷
山西省太原市2023-2024学年高一下学期期中学业诊断考试数学试卷一、单选题1．在复平面内，复数1i z =-对应的点的坐标是（ ） A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--2．已知(2,1),(,2)a b x =-=r r ，且a r ∥b r，则实数x =（ ）A ．1-B ．1C ．4-D ．43．下列结论不正确的是（ ） A ．三棱锥是四面体 B ．长方体是平行六面体C ．正方体是直四棱柱D ．四棱柱是平行六面体4．在ABC V 中，60,45a A B ︒︒==，则b =（ ）AB ．2CD ．5．已知正方形ABCD 的边长为2，则正方形ABCD 用斜二测画法画出的直观图的面积为（ ）A ．B C ．D 6．在ABC V 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，则AD =u u u r（ ）A ．1233AB AC +u u u r u u u r B ．2133AB AC +u u ur u u u r C ．3144AB AC +u u ur u u u r D ．1344AB AC +u u ur u u u r7）A B C ．4π3D ．4π8．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知2AB =，点P 在弧AC 上，且30PBC ︒∠=，则PA PC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．6-B ．4C ．D ．6二、多选题9．已知非零复数z ，其共轭复数为z ，则下列结论正确的是（ ） A ．22||z z =B ．2||z z z ⋅=C ．若0z z +=，则z 是纯虚数D ．若0z z -=，则z 是纯虚数10．已知单位向量,,a b c r r r，下列结论正确的是（ ）A ．a b b a ⋅=⋅r r r rB ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r rC ．若a b a c ⋅=⋅r r r r，则()a cb ⊥-r r rD ．若0a b c ++=r r r r ，则12a b ⋅=-r r11．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2b =，则下列结论正确的是（ ）A ．若1,c ABC =△是直角三角形，则a =B ．若1,c ABC =△是锐角三角形，则a 的取值范围是 C ．若60,2C c ︒=>，则ABC V 有一解D ．若60,C ABC ︒=V 有两解，则a 的取值范围是(0,2)12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，113,2,,AA AB BC AB BC AC ===⊥与1AC 相交于点O ，点E 是侧棱1BB 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．直三棱柱111ABC ABC -的体积是6 B ．三棱锥1O AA E -的体积为定值C ．AE +EC 1D ．直三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积是17π三、填空题13．复数1i z =+，则||z =．14．已知三棱台111ABC A B C -的高为3,△ABC 和111A B C △分别是边长为2和4的等边三角形，则该棱台的体积为．15．已知向量()2,1a =r ，b r 是单位向量，且()()3a b a b +⊥-r r r r ，则向量b r 在a r上的投影向量的坐标为．16．已知,,,a b c d r r r u r满足8,||4,||)()0,||a b a b c a c b d c ⋅===-⋅-=-=r r r r r r r r u r r 则d u r 的最大值为．四、解答题17．已知复数z 满足(i)i 2i -=+z ． (1)求z 的共轭复数z ；(2)若z 是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，求实数p ，q 的值．18．已知四边形ABCD 中，(0,0),(1,0),(A B D BC AD λ-=u u u r u u u r．(1)若AC BD ⊥u u u r u u u r，求λ的值；(2)若||1BC =u u u r，求λ的值．19．已知单位向量21,e e u r u u r 的夹角是1212122,2,3,433OA e e OB e e OC e e π=-=+=+u u ur u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u r ． (1)证明：点A ，B ，C 共线；(2)求OA u u u r 与OB u u ur 夹角的余弦值．20．如图，某人开车在山脚下水平公路上自A 向B 行驶，在A 处测得山顶P 处的仰角30PAO ︒∠=，该车以60km /h 的速度匀速行驶3分钟后，到达B 处，此时测得仰角45PBO ︒∠=，且cos AOB ∠=(1)求此山的高OP 的值；(2)求该车从A 到B 行驶过程中观测P 点的仰角正切值的最大值． 21．如图，在ABC V 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，(sin sin ,sin ),(,)m A B C n b a b c =+=-+u r r，且m n ⊥u r r ．(1)求A 的大小；(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，若1AD =，求ABC V 周长的最小值．。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学(含答案)
山东省实验中学2024~2025学年第一学期期中高一数学试题2024.11（必修第一册阶段检测）说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷为第1页至第2页，第II 卷为第2页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟第I 卷（选择题58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 2. 命题，，则命题的否定形式是（）A. ， B. ，C. ， D. ，3. 若，函数最小值为（）A.B. 2C. D. 44. 若幂函数的图象关于轴对称，则（）A. 或4B.C. 4D. 25. “”的一个必要不充分条件为（）A. B. C. D. {2,1,0,1,2}A =--1|22x B x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭A B = {}1-{2,1}--{1}{1,0,1}-:2p x ∀>210x ->p 2x ∀>210x -≤2x ∀≤210x ->2x ∃>210x -≤2x ∃≤210x -≤0x >13y x x=+()()219mf x m m x =+-y m =5-5-3a ≥1a ≥1a <3a ≥3a >6. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 的解集为7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 8. 在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A ，B 均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B. C. D. 10. 若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B.C. D. 11. 已知函数的定义域为R ，且，的图象关于对称.当时，，若，则（）20ax bx c ++<{|1x x <-3}x >0a >0c <0a b c ++<20cx bx a -+<113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭()()2314,16,1a x a x f x x ax x ⎧-+<=⎨-+≥⎩12,x x ∈R 12x x ≠()()1212f x f x x x ->-a [)2,+∞1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦[]1,2M a b M ∈[2,3]ab∉M {}1,4,6,7{}1,2,,A B n = n (0,)x ∈+∞()f x =()||f x x =2()||f x x x =+()22x xf x -=-a 0b ≠a bc c>a b >11a b<a b>a c b c>()f x ()(2)f x f x =-(2)y f x =+(0,0)[0,1]x ∈()2x f x a b =⋅+(3)1f =-A. 的周期为4B. 图象关于对称C.D. 当时，第II 卷（非选择题 92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若函数定义域为，则的定义域为______.13. 若正实数x ，y 满足，则的最小值为_________.14. 已知函数，若关于方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15设集合，.（1）当时，求与；（2）当时，求实数的取值范围.16. 已知定义域为上的奇函数满足当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的最大值和最小值及对应的值.17已知二次函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）当，时，求的最大值.18. 已知函数.（1）判断并证明的奇偶性；（2）判断并证明在上的单调性；（3）若关于的不等式f (ax 2+3ax )+f (1―ax )>0对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.的的的()f x ()y f x =(4,0)(2025)1f =[4,5]x ∈()21x f x =-(31)f x +[1,2]-()f x 32x y +=31x y+22,0()112,0x x x f x x x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩x ()2f x kx k =-k {}23100A x x x =--≤{}121B x m x m =-<<+4m =()A B ⋂R ðA B A B A = m R ()f x ],(0x ∈-∞2()4f x x x =+()f x ()f x [1,3]-x 2()33f x x mx x m =+--m ∈R x ()0f x ≤2m =[],1x t t ∈+()f x ()g t 3()2||1xf x x x =++()f x ()f x [0,)+∞x x a19. 已知函数，.（1）求函数的值域；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值.1()21x f x =+x ∈R ()f x ()y f x =1[1,]x n ∈2[1,2]x ∈m ()()11231f mx f x x -+=n山东省实验中学2024~2025学年第一学期期中高一数学试题2024.11（必修第一册阶段检测）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BC10.【答案】ACD11.【答案】ABC第II 卷（非选择题 92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】13. 【答案】814.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求集合A ，再应用集合的交并补运算求集合；（2）根据题意有，讨论集合B ，列对应不等式求参数范围.【小问1详解】由，，所以或，则，.【小问2详解】由题意，若，则，可得，若，则且，可得，综上，实数的取值范围是.16. 【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.（2）对进行分类讨论，根据二次函数的单调性求得最值.【小问1详解】∵函数是定义在上的奇函数，[]2,7-2[,2)(2,)5-+∞ B A ⊆{}23100{|25}A x x x x x =--≤=-≤≤{}39B x x =<<R {|2A x x =<-ð5}x >(){|59}A B x x ⋂=<<R ð{|29}A B x x =-≤< B A ⊆B =∅121m m -≥+2m ≤-B ≠∅2m >-12215m m -≥-⎧⎨+≤⎩12m -≤≤m (,2][1,2]-∞-- ()f x x ()f x R则，∴，设，则，∴，所以【小问2详解】当时，由二次函数的性质得在上单调递增，在上单调递减，所以，可得此时；当时，由二次函数的性质得在上单调递增，所以，可得此时，综上，当时，；当时，.17. 【解析】【分析】（1）先因式分解，然后对进行分类讨论，从而求得正确答案.（2）对进行分类讨论，根据二次函数的性质求得正确答案.【小问1详解】，①当时，不等式的解集为；②当时，不等式的解集为；③当时，不等式的解集为.【小问2详解】当，对称轴为，区间中点为，比较与的关系，()()f x f x -=-()()f x f x =--0x >0x -<()()()()2244f x f x x x x x =--=---=-+()224,04,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩0x >()f x (0,2)(2,3](2)4,(0)0(3)3f f f ==<=()(0,4]f x ∈0x ≤()f x [1,0]-(1)3,(0)0f f -=-=()[3,0]f x ∈-2x =max ()4f x =1x =-min ()3f x =-m t 233(3)()0x mx x m x x m +--=-+≤3m >-{}3xm x -≤≤∣3m =-{3}3m <-{}3xx m ≤≤-∣22,()6m f x x x ==--12x =[,1]t t +212t +212t +12①当，即时，；②当，即时，；综上可得.18. 【解析】【分析】（1）利用奇偶性定义证明；（2）利用单调性定义证明；（3）根据（1）（2），将不等式化为在上恒成立，分类讨论并结合二次函数性质求参数范围.【小问1详解】为奇函数，证明如下：由解析式知，函数定义域为R ，且，所以为奇函数；小问2详解】在上的单调递增，证明如下：令，则，，而，，所以，即在上的单调递增.【小问3详解】由（1）（2）知：在R 上单调递增，且，所以，故，即在上恒成立，当时，有，满足题设；【21122t +≤0t ≤2()()6g t f t t t ==--21122t +>0t >2()(1)6g t f t t t =+=+-226,0()6,0t t t g t t t t ⎧--≤=⎨+->⎩2210ax ax ++>R x ∈()f x 33()22()||1||1x xf x x x f x x x --=-+=--=--++()f x ()f x [0,)+∞120x x >≥12121212121212333()()()222()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x x x x x --=+--=-+++++12123()[2(1)(1)x x x x =-+++120x x ->12320(1)(1)x x +>++12()()f x f x >()f x [0,)+∞()f x ()()f x f x -=-()()()()2231031f ax ax f ax f ax ax f ax ++->⇒+>-231ax ax ax +>-2210ax ax ++>R x ∈0a =22110ax ax ++=>当时，则，综上，.19. 【解析】【分析】（1）利用复合函数的单调性及指数函数值域求的值域；（2）只需证明，即可证结论；（3）根据（2）结论有，令得，结合题设条件有，即可求参数范围.【小问1详解】由复合函数的单调性，易知在R 上单调递减，由指数函数性质知，，即，故；【小问2详解】由，即，故关于中心对称，得证；【小问3详解】由（2）及，知，对于，以为主元且，则在上递减，所以，问题化为任意，都有，只需，则，则，又，所以，即参数n 的最大值为.0a ≠201Δ440a a a a >⎧⇒<<⎨=-<⎩01a ≤<()f x ()()1f x f x -+=1123mx x x -=112y mx x x =-11[(2),(1)]y m x m x ∈--(2)31n m m -≤≤-()f x 2(0,)x ∈+∞21(1,)x +∈+∞()(0,1)f x ∈12()2112xx xf x --==++()()1f x f x -+=()y f x =1(0,)2()()11231f mx f x x -+=11230mx x x -+=⇒1123mx x x -=112y mx x x =-2x 1[1,]x n ∈y 2[1,2]x ∈11[(2),(1)]y m x m x ∈--1[1,]x n ∈3∈11[(2),(1)]m x m x --(2)31n m m -≤≤-432m n m ≥⎧⎪⎨≤⎪-⎩33(0,]22m ∈-1n ≥312n ≤≤32。
山西省沁县中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷(解析版)
沁县中学2017-2018学年度第二学期期中考试高一数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用两角差的正弦公式计算即可.【详解】由两角差的正弦公式可得故选A.【点睛】本题考查两角差的正弦公式的应用，属基础题.2.下列函数中，以为周期且在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A选项周期为，不满足条件；B选项周期为；C选项周期为，且在区间为减函数，不满足条件；D选项周期为，且在区间为增函数；故选D．考点：（1）正弦函数的单调性（2）函数的周期性3.已知向量.若为实数，，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以，又因为，所以，故选B．考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质．视频4.给出下面四个命题：①；②；③；④.其中正确的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】①；②；③；④,所以正确的为①②，选B.5.已知，，与的夹角为，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件及投影的计算公式便可得出向量在方向上的投影为，从而得出该投影的值．【详解】根据条件，在方向上的投影为：故选C.【点睛】本题考查一个向量在另一个向量方向上的投影的定义及计算公式，向量夹角的概念．6.已知函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象求出A，ω和φ的值即可．【详解】由函数的图象得即则，则，则则则∵，∴当k=0时，则函数．故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．7.将函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的一个值是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据左加右减，写出三角函数平移后的解析式，根据平移后图象的对称轴，把对称轴代入使得函数式的值等于±1，写出自变量的值，根据求最小值得到结果．【详解】∵把函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，∴平移后函数的解析式是，∵所得图象关于直线对称，∴由正弦函数的图象和性质可得：解得：∴当时，的最小值是．故选：A．【点睛】本题考查由三角函数图象的平移求函数的解析式，本题解题的关键是先表示出函数的解析式，再根据题意来写出结果，属于基础题．8.在中，，，则（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量数量积的定义进行运算即可【详解】故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，属基础题.9.若是锐角，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是锐角，且，所以也为锐角，所以..故选B.点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可，再利用公式求解前，需将每一个三角函数值确定下来，尤其是要利用角的终边确定好正负.10.中，，， 分别是的中点，则 （ ）A. 4B. -4C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的加法表示，再利用平面向量数量积的运算法则计算即可.【详解】由题中，，， 分别是的中点，则，则故选B.【点睛】本题考查面向量的加法法则及平面向量数量积的运算，属基础题.11.在△ABC 中,设=2,那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的( )A. 垂心B. 内心C. 外心D. 重心【答案】C【解析】【分析】假设BC 的中点是O,先化简已知得2=2,即()·=0, 所以, 所以动点M 的轨迹必通过△ABC 的外心.【详解】假设BC 的中点是O,则=()·()=2=2,即()·=0,所以,所以动点M 在线段BC 的中垂线上,所以动点M 的轨迹必通过△ABC 的外心.故答案为：C 【点睛】（1）本题主要考查平面向量的数量积运算和向量的减法法则，考查向量垂直的表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是在于熟练掌握向量的运算法则.12.函数（）的图象经过、两点，则（ ）A. 最小值为B. 最大值为C. 最小值为D. 最大值为【答案】B【解析】【分析】当A 、B 为函数的图象的相邻的两个顶点时，函数的周期最小，最大，此时，由 ，求得的值【详解】由题意可得A 、B 为函数的图象的顶点，故当A 、B 为函数的图象的相邻的两个顶点时，周期最小，最大，此时，， ，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数 的图象和性质，属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若扇形的弧长为，圆心角为弧度，则扇形的面积为_________ 。
山西省太原市2020-2021学年高一下学期期中数学试题及答案
2020-2021学年第二学期高一年级期中质量监测数学试卷（考试时间：上午8：00-9：30）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1．若复数23z i =-，则z 的共轭复数为（） A ．32i +B ．23i -+C ．23i +D ．23i -- 2．下列结论正确的是（） ①正棱柱的侧面均为全等的矩形； ②棱台侧棱所在的直线必交于一点； ③矩形旋转一周一定形成一个圆柱； ④用平面截圆锥，截面图形均为等腰三角形． A ．①②B ．①④C ．③④D ．①②③3．AC AB AD =+是四边形ABCD 为矩形的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下面是关于复数1z i =-的三个命题：2123 :||2;:2;:p z p z i p z ==-的虚部为1-，其中的真命题为（）A ．123, , p p pB ．12, p pC ．13, p pD ．23, p p 5．已知四边形ABCD 为平行四边形，点A ，B ，D 的坐标分别是（1，2），（3，5），（0，4），则点C 的坐标是（）A ．(1,9)-B ．(3,8)C ．(2,7)D ．(2,1)-6．已知||1a =，与非零向量b 同向的单位向量为e ，且2,3a b π〈〉=，则向量a 在b 上的投影向量为（） A ．12b B ．12e - C ．12e D ．12b - 7．若复数z 满足1||2z <，则在复平面内，z 所对应的点组成图形的面积为（） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 8．下列命题正确的是（）A ．若a 与b 是两条相交直线，且a 与平面α平行，则b 与平面α相交B ．若直线a 不平行于平面α，且a α⊂/，则平面α内不存在与a 平行的直线C ．若a ，b 是两条直线，,αβ是两个平面，且,a b αβ⊂⊂，则a ，b 是异面直线D ．若a ，b 分别是长方体的两个相邻平面的对角线所在的直线，则a ，b 是异面直线9．一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离为2cm ，则该球的体积为（） A ．3256cm 3π B ．364cm π C ．364 c m 3πD ．316cm 3π 10．若非零向量,AB AC 满足()0AB AC BC +⋅=，且12||||AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为（） A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形 C ．底边与腰不相等的等腰三角形D ．等边三角形11．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2,2cos cos cos ,sin 2sin c a C b C c B B A ==+=，则ABC 的面积为（）A ．3 B C ．43D12．已知||2||23,3a b a b ==⋅=-，若||1c a b --=，则||c 的取值范围是（）A ．(2,4)B ．[2,4]C ．1]D ．1,1]二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）13．已知i 为虚数单位，则132ii+=+_________。
高一上学期期中数学试卷(新题型：19题)(提高篇)(原卷版)
2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（提高篇）【人教A版（2019）】（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效；4.测试范围：必修第一册第一章、第二章、第三章；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（23-24高一上·江苏徐州·期中）设全集UU=R，集合AA={xx|4<xx−2<8}，BB={xx|2+aa<xx< 1+2aa}，若AA∪BB=AA，则aa的取值范围是（）A．(−∞,1]B．�−∞,92�C．�4,92�D．(−∞,1]∪�4,92�2．（5分）（23-24高一上·重庆·期中）下面命题正确的是（）A．已知xx∈R，则“xx>1”是“1xx<1”的充要条件B．命题“若∃xx0≥1，使得xx02<2”的否定是“∀xx<1,xx2≥2”C．已知xx,yy∈R，则“|xx|+|yy|>0”是“xx>0”的既不充分也不必要条件D．已知aa,bb∈R，则“aa−3bb=0”是“aa bb=3”的必要不充分条件3．（5分）（23-24高一上·吉林四平·期中）已知2≤2xx+3yy≤6，−3≤5xx−6yy≤9，则zz=11xx+3yy的取值范围是（）A．�zz|53≤zz≤893�B．�zz|53≤zz≤27�C．�zz|3≤zz≤893�D．{zz|3≤zz≤27}4．（5分）（23-24高一上·浙江温州·期中）若幂函数ff(xx)的图象经过点�√2,12�，则下列判断正确的是（）A．ff(xx)在(0,+∞)上为增函数B．方程ff(xx)=4的实根为±2C．ff(xx)的值域为(0,1)D．ff(xx)为偶函数5．（5分）（23-24高二下·浙江·期中）关于xx的不等式(aa−1)xx2−aaxx+aa+1≥0的解集为RR，则实数aa的取值范围是（）A．aa>1B．aa≥2√33C．−2√33≤aa≤2√33D．aa≤−2√33或aa≥2√336．（5分）（23-24高一上·江苏苏州·期中）给定函数ff(xx)=xx2−2,gg(xx)=−12xx+1，用MM(xx)表示函数ff(xx),gg(xx)中的较大者，即MM(xx)=max{ff(xx),gg(xx)}，则MM(xx)的最小值为（）A．0 B．7−√178C．14D．27．（5分）（23-24高一上·河北邯郸·期中）若aa>bb，且aabb=2，则(aa−1)2+(bb+1)2aa−bb的最小值为（）A．2√5−2B．2√6−4C．2√5−4D．2√6−28．（5分）（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数ff(xx)的定义域为R，对任意实数xx，yy满足ff(xx+yy)= ff(xx)+ff(yy)+12，且ff(12)=0，当xx>12时，ff(xx)>0．给出以下结论：①ff(0)=−12；②ff(−1)=32；③ff(xx)为R上的减函数；④ff(xx)+12为奇函数. 其中正确结论的序号是（）A．①②④B．①②C．①③D．①④二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
山西省忻州市2013-2014学年高一下学期期中联考数学试卷(带解析)
山西省忻州市2013-2014学年高一下学期期中联考数学试卷（带解析）1．设集合{}4,3,2,1,0=M ，{}5,3,1=N ，若N M P =, 则集合P 的子集的个数为（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B 【解析】 试题分析：{}1,3P MN ==，集合P 的子集有：{}{}{},1,3,1,3∅共4个。
故B 正确。
考点：1集合的运算，2集合的子集。
2．在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点)3-,(a a P ，且55cos =α，则=a （ ） A ．1 B ．29 C ．1或29D ．1或3 【答案】A 【解析】试题分析：r OP ==，cos 5x r α===，解得1a =或3a =-，因为cos 0α>，则0a >，即1a =。
故A 正确。
考点：任意角三角函数的定义。
3．函数)12(log )(21-=x x f 的定义域为（ ）A ．]1,-(∞B ．),1[+∞C ．]121，（D ．），（∞+21 【答案】C【解析】试题分析：()12log 2101021112210x x x x ⎧-≥⎪⇒<-≤⇒<≤⎨⎪->⎩，则此函数定义域为1,12⎛⎤⎥⎝⎦。
故C 正确。
考点：1函数的定义域；2对数函数的单调性。
4．若向量、满足1=，2=，且)(+⊥，则与的夹角为（ ）A ．2πB ．32πC ．43πD ．65π【答案】C【解析】试题分析：设a 与b 的夹角为θ。
因为()a a b ⊥+，所以()0a a b ⋅+=r r r。
因为()22cos 10a a b a a b a a b θθ⋅+=+⋅=+==r r r r r r r r r ，所以c o s2θ=-。
因为0θπ≤<，所以34πθ=。
故C 正确。
考点：1两向量夹角的范围；2向量的数量积公式。
5．(),,log ,2log 3.021312131===c b a 则（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a c b << D ．c a b <<【答案】B 【解析】试题分析：1133log 2log 10a =<=，112211log log 132b =>=，0.3110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即01c <<。
2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题(苏教版2019,必修第一册第1-5章)含解析
2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷（苏教版2019）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏教版2019必修第一册第1章~第5章。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}()14,2,5A x x B =-<<=，则()R B A = ð（）A ．(]1,2-B ．()1,2-C ．()[),45,-∞⋃+∞D ．()[),15,-∞-+∞ 【答案】A【解析】()2,5B =,则R (,2][5,)B =-∞+∞ ð，则()(]R 1,2B A =- ð.故选：A.2．已知集合{}{}2,,42,A xx k k B x x k k ==∈==+∈Z Z ∣∣．设:,:p x A q x B ∈∈，下列说法正确的是（）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由(){}221,B xx k k ==+∈Z ∣，{}2,A x x k k ==∈Z ∣，故B 为A 的真子集，又:,:p x A q x B ∈∈，故p 是q 的必要不充分条件.故选：B.3．,,,a b c b c ∈>R ，下列不等式恒成立的是（）A ．22a b a c +>+B ．22a b a c +>+C ．22ab ac >D ．22a b a c>【答案】B【解析】对于A ，若0c b <<，则22b c <，选项不成立，故A 错误；对于B ，因为b c >，故22a b a c +>+，故B 成立，对于C 、D ，若0a =，则选项不成立，故C 、D 错误；故选：B.4．已知实数a 满足14a a -+=，则22a a -+的值为（）A ．14B ．16C ．12D ．18【答案】A【解析】因为()212212a a a a a a ---=+++⋅，所以()22211216214a a a a a a ---+=+-⋅=-=.故选：A.5．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若221a b +=，则()()2121a b++的最大值为（）A ．916B ．2516C ．94D ．254【答案】C【解析】因为()()212122221a b a b a b++=⋅+++，又221a b +=，所以()()22292121222(224a b aba b+++=⋅+≤+=，当且仅当1222ab==，即1a b ==-时取等号，故选：C6．已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A ．(]0,3B ．[)2,+∞C ．()0,∞+D ．[]2,3【答案】D【解析】因为函数()f x 满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x -<-成立，不妨假设12x x <，则210x x ->，可得()()210f x f x -<，即()()12f x f x >，可知函数()f x 在R 上递减，则1206a a a a ⎧≥⎪⎪>⎨⎪-+≥⎪⎩，解得23a ≤≤，所以a 的取值范围是[]2,3.故选：D.7．已知函数()221x f x x x =-+，且()()1220f x f x ++<，则（）A ．120x x +<B ．120x x +>C ．1210x x -+>D ．1220x x ++<【答案】A【解析】由函数单调性性质得：y x x =，21x y =+在R 上单调递增，所以()221x f x x x =-+在R 上单调递增，令函数222121()||1||||21212121x x x x x x g x x x x x x x +-=-+=-+=+++++，则2112()||||()2121x xxx g x x x x x g x -----=-+=-+=-++，所以()()0g x g x +-=，则函数()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，故()()()()12121212200f x f x g x g x x x x x ++<⇔<-⇔<-⇔+<.故选：A ．8．已知关于x 的不等式20(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为(4,1)-，则29c a b++的取值范围为（）A ．[)6,-+∞B ．(,6)-∞C ．(6,)-+∞D ．(],6∞--【答案】D【解析】由不等式20(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为(4,1)-，可知1和4-是方程20ax bx c ++=的两个实数根，且0a <，由韦达定理可得4141b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，即可得3,4b a c a ==-，所以()222499169994463444a c a a a a b a a a a a -+++⎛⎫===+=--+≤-=- ⎪++-⎝⎭.当且仅当944a a -=-时，即34a =-时等号成立，即可得(]29,6c a b∞+∈--+.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若集合{1,1,3,5}M =-，集合{3,1,5}N =-，则正确的结论是（）A ．,x N x M ∀∈∈B ．,x N x M ∃∈∈C ．{1,5}M N ⋂=D ．{1,5}M N = 【答案】BC【解析】对于A ，3N -∈，但是3M -∉，A 错误，对于B ，1N ∈，1M ∈，B 正确，对于CD ，{1,1,3,5}{3,1,5}{1,5}M N =--= ，{1,1,3,5}{3,1,5}{3,1,1,3,5}M N =--=-- ，C 正确，D 错误．故选：BC ．10．已知0a >，0b >，且2a b +=，则（）A ．222a b +≥B ．22log log 0a b +≤C ．1244a b -<<D ．20a b ->【答案】ABC【解析】对于A ，有()()()()2222222222111122222222a b a ab b a ab b a b a b a b ⎡⎤+=+++-+=++-≥+=⋅=⎣⎦，当且仅当a b =时取等号，故A 正确；对于B ，0a >，0b >，有()22112144ab a b ≤+=⋅=，当且仅当a b =时取等号，故1ab ≤，从而()2222log log log log 10a b ab +=≤=，故B 正确；对于C ，由,0a b >，知0ab >，所以()()()()()()222222222042224ab a ab b a ab b a b a b a b a b <=++--+=+--=--=--，故()24a b -<，从而22a b -<-<，所以22122244a b --=<<=，故C 正确；对于D ，由于当1a b ==时，有,0a b >，2a b +=，但2110a b -=-=，故D 错误.故选：ABC.11．对于任意的表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（）A ．函数[]()y x x =∈R 为奇函数B ．函数[]y x =的值域为ZC ．对于任意的,x y +∈R ，不等式[][][]x y x y +≤+恒成立D ．不等式[]2[]430x x -+<的解集为{}23x x ≤<【答案】BCD【解析】对于A ，当01x ≤<时，[]0y x ==，当10x -<<，[]1y x ==-，所以[]()y x x =∈R 不是奇函数，所以A 错误，对于B ，因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以当x ∈R 时，[]Z x ∈，所以函数[]y x =的值域为Z ，所以B 正确，对于C ，因为,x y +∈R 时，[][],x x y y ≤≤，所以[][][][][]x y x y x y x y ⎡⎤+=+≤+≤+⎣⎦，所以C 正确，对于D ，由[]2[]430x x -+<，得[]13x <<，因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以23x ≤<，所以D 正确.故选：BCD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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山西省高一下学期期中数学试卷（II）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2018高二上·黑龙江月考) 圆：和：，M，N分别是圆，上的点，P是直线上的点，则的最小值是
A .
B .
C .
D .
2. （2分）用辗转相除法求459和357的最大公约数，需要做除法的次数是（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
3. （2分）(2018·大新模拟) 若，则等于（）
A .
B .
C . 2
D .
4. （2分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则直线AB的方程是（）
A . x+3y=0
B . 3x+y=0
C . 3x﹣y=0
D . 3y﹣5x=0
5. （2分） (2016高一下·邵东期末) 下列各数中最小的是（）
A . 85
B . 210（6）
C . 1000（7）
D . 101011（2）
6. （2分）(2017·莱芜模拟) 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）
A . 101
B . 808
C . 1212
D . 2012
7. （2分）下列给出的赋值语句中正确的是（）
A . 5=M
B . x=﹣x
C . B=A=3
D . x+y=0
8. （2分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）
A . 15
B . 29
C . 31
D . 63
9. （2分）已知2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的方差是3，则x1 ， x2 ， x3 ，…，xn的标准差为（）
A .
B .
C . 3
D .
10. （2分）(2018·商丘模拟) 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为91，39，则输出的（）
A . 11
B . 12
C . 13
D . 14
11. （2分）点（a，a﹣1）在圆x2+y2﹣2y﹣9=0的内部，则a的取值范围是（）
A . ﹣1＜a＜3
B . 1＜a＜3
C . ＜a＜1
D . ﹣＜a＜1
12. （2分） (2018高二上·河北月考) 利用秦九韶算法求当时的值为（）
A . 121
B . 321
C . 283
D . 239
二、填空题： (共4题；共4分)
13. （1分）设α∈（0，π），若cos（π﹣α）= ，则tan（α+π）=________．
14. （1分） (2017高二下·友谊开学考) 有一组数据：
x81213a18
y108674
已知y对x呈线性相关关系为：，则a的值为________．
15. （1分） (2016高二上·金华期中) 已知圆C：x2+y2=4，直线l：y=x+b，若圆C上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，则b的取值范围是________．
16. （1分） (2017高二下·盘山开学考) 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率为________．
三、解答题： (共6题；共70分)
17. （10分） (2017高一下·东丰期末) 已知圆经过两点，并且圆心在直线上。
（1）求圆的方程；
（2）求圆上的点到直线的最小距离。
18. （10分） (2016高二上·浦城期中) 已知某算法的程序框图如图所示，若将输出（x，y）的值依次记（x1 ，y1），（x2 ， y2），…（xn ， yn），
（1）若程序运行中输出的一个数组是（9，t），求t的值；
（2）程序结束时，共输出（x，y）的组数位多少．
19. （15分）(2012·北京) 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱
厨余垃圾400100100
可回收物3024030
其他垃圾202060
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a ＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．
（求：S2= [ + +…+ ]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）
20. （10分）解答题
（1）已知 =5，求sin2α﹣sinαcosα的值．
（2）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．
21. （15分） (2018高二上·宾阳月考) 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)
频数62638228
（1）作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
22. （10分） (2019高二上·内蒙古月考) 已知圆的圆心在直线上，并且经过点 ,与直线相切.
（1）试求圆的方程；
（2）若圆与直线相交于两点．求证：为定值.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题： (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题： (共6题；共70分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
19-3、
20-1、
20-2、
21-1、
21-2、
21-3、
22-1、
22-2、
第11 页共11 页。