2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式

（3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称

为)(t s 对t 的二阶导数，记为)('

't s 或22dt

s

d

2．高阶导数的定义

设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。记 y '', 或

)(x f '', 22dx y d , dx x f d )

(2

根据导数的定义可知：''0()()

()lim x f x x f x f x x

→+-''=

类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作

y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n )

或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , n n dx

y

d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 注：（1）如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数.

（2）二阶及二阶以上的导数y '' y '''

y (4) ⋅⋅ y (n )统称高

阶导数.

3.常见初等函数的高阶导数

例1 已知3y x = 求()n y （一级）

解: ()()4

23;6;6;0;

,0.n y x y x y y y ''''''=====

课堂练习：已知y =e x 求它的n 阶导数. 例2 已知sin y x =求它的n 阶导数. （一级） 解:)2

sin(cos π+=='x x y ,

)2

2sin()2

2

sin()2

cos(ππππ⋅+=++=+=''x x x y ,

( 2 2n

n n

α

π

π

-+⎫

+⋅⎪

⎭

⎫+⋅⎪

⎭

),2,

,20

()03,4,20k =

得

221833172020202020C v u C v u C v ++++1922

182202222x x x e C e ⋅⋅+⋅⋅

的隐函数