#第七章 线性变换(小结)

第七章 线性变换(小结)
本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换和矩阵的一一对应关系.
线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是分析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是和之相适应的矩阵理论和方法)在分析几何、微分方程等许多其它使用学科,都有极为广泛的使用.
本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换和矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算
1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换和逆变换; 线性变换的值域和核，秩和零度; 线性变换的和和差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式.
2. 基本结论
(1) 线性变换保持零向量、线性组合和线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组
(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换.
(3) 线性变换的基本运算规律(略).
(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法和数量乘法作成一个线性空间.
(5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基
n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }.
ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}.
(c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n .
(d)A 是双射⇔A 是单射⇔ Ker(A )={0}⇔A 是满射.
(e)像空间的一组基的原像和核空间的一组基合并就是线性空间V 的一组基:
取Im A 的一组基r βββ ,,21,存在,,...,21r ααα使得A i i βα=,i=1,2,…,r. 再取ker A 的基,,...1n r αα+则,,...,21r ααα,,...1n r αα+就是V 的一组基. 二、线性变换和矩阵
1.基本概念:
(1)线性变换在基下的矩阵:
设A ∈L(V),取定n 维线性空间V 的一组基n ααα,...,,21,则A α1, A α2,… ,A αn 可由α1,α2,…,αn 线性表示, 即
(A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,
矩阵A 称为线性变换A 在此基下的矩阵.
(2) 一个线性变换在不同基下的矩阵相似:
设n ααα,...,,21,n βββ,...,,21是线性空间V 的两组基,
(n βββ,...,,21)=(n ααα,...,,21)P, (A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,
则
(A β1, A β2,… ,A β n )=(n βββ,...,,21)AP P 1-.
2.基本结论
(1) 若n ααα,,,21 是线性空间V 的一个基, V n ∈∀βββ,,,21 ,则存在唯一A )(V L ∈,使得A n i i i ,,2,1,)( ==βα.
(2) 在取定n 维线性空间V 的一个基之后,将V 的每一线性变换和它在这个基下的矩阵相对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换和可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。

(3) 同一线性变换关于不同基的矩阵是相似的;反之,若两个矩阵相似,则它们可看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.
(4) 若在线性空间V 的一个基n ααα,,,21 下,线性变换A 对应的矩阵为A ,向量α的坐标为),,,(21n x x x ,则 A 的秩=秩(A ),A (α)的坐标
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y 2121. 三、特征值和特征向量
1.基本概念 (1)特征多项式
设线性变换A 在V 的一组基n ααα,,,21 下的矩阵为A , 则
||)1()(||)(12211A a a a A E f n n nn n -+++++-=-=- λλλλ
称为A 的特征多项式.(的根就是A 的全部特征根).
设λ1,λ2,…,λn 是f (λ)的全部根, 则
)(λf n n n n n n λλλλλλλλλλλλλλ 2112121)1()()())((-+++++-=---=-.
由大多项式相等, 得
Tr(A)= n nn a a a λλλ+++=+++ 212211, n A λλλ 21||=.
(2)线性变换(或矩阵)的特征值和特征向量:
若A α=λα, α≠0, 则λ称为A 的特征根(特征值), α称为A 的属于特征值λ的特征向量.
(3)化零多项式
设g(λ)是一个多项式,使得g(A )=0(g(A )=0),则g(λ)称为A (A)的化零多项式.
(4)最小多项式---化零多项式中次数最低者.
(5)特征子空间---A 的属于某一个特征值的全部特征向量作成的集合: |{0V V ∈=αλ A }λαα=. 2.基本结论:
(1) 线性变换和相应矩阵的特征值、特征向量及特征子空间的关系(略) (2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
(3) 相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值,反之不然. (4) Cayley Hamilton -定理:设线性变换A 在某个基下的矩阵为
A ,||)(A E f -=λλ,则0)(=A f ,f (A )=0. 四、对角化问题
1. 基本概念:
(1)不变子空间---设W 是V 的子空间, A ∈L(V ), 若A W ⊆W, 则称W 是A 的不变子空间, 简称为A –子空间.
(2) Jordan 标准形---设A ∈L(V ), 则必存在V 的一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形.
2. 基本结论:
设A 是数域P 上n 维向量空间V 的一个线性变换,则
(1) A 的矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵⇔A 有n 个线性无关的特征向量.
⇔V 可以分解为n 个一维不变子空间的直和
⇔A 的所有不同的特征子空间的维数之和等于n ⇔A 的最小多项式没有重根 ⇔V 可以分解为特征子空间的直和.
因而,当A 有n 个不同特征值时, A 必在某个基下的矩阵是对角形式. (2)设A 为n 阶矩阵，则A 必和一个Jordan 标准形矩阵相似，且在不计若当块的排列次序的意义下，这个Jordan 标准形是唯一的；而A 和对角矩阵相似
⇔A 的最小多项式无重根.于是，当A 的特征多项式无重根时，A 必和一个对
角矩阵相似.
第八章 -λ矩阵(小结)
一、基本概念
1.-λ矩阵)(λA ---矩阵)(λA 的元素是λ的多项式.
2.可逆的-λ矩阵---)(λA 可逆的充要条件是|)(λA |=c ≠0(是一个非零常数).
3.秩---)(λA 的秩为r, 若)(λA 有一个r 阶子式非零, 任一个r+1阶子式均为零.
4.-λ矩阵的初等变换---j i i j i r r c cr r r )(),0(,λφ+≠↔.(列变换类似)
5.任一个-λ矩阵都可以经过初等变换化为标准形
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛00)
()(1 λλr d d , 其中.1,...,2,1),(|)(1-=+r i d d i i λλ
6.-λ矩阵)(λA 和)(λB 的等价当且仅当)(λA 经过初等变换变为)(λB .
7.)(λA 的k 阶行列式因子---)(λA 的所有k 阶子式的最大公因式.
8.)(λA 的不变因子---把)(λA 经过初等变换化为标准形后，主对角线上次数大于零的多项式为)(λA 的不变因子.
9. )(λA 的初等因子---把)(λA 的标准形的主对角线上次数大于零的多项式分解成一次因式的方幂, 这些一次因式的方次就是)(λA 的全部初等因子.
10.Jordan 块---⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=000011λλλ
J . 11.若尔当标准形---⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=s J J J J
2
1
，其中J i 均为Jordan 块. 12.伴侣阵---矩阵⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛----=--121100010
001
00a a a a B n n n 称为多项式d(λ)的伴侣阵, 其中
n n n n a a a d ++++=--λλλλ111)( .
13.矩阵A 的有理标准形---把A 的特征矩阵化为标准形
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛)()(111λλs d d ,
则A 的有理标准形为
B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛s B B B
2
1
, 其中B i 为d i (λ)的伴侣阵,i=1,2,…,s. 二、主要结论
1. 一个n n ⨯的-λ矩阵)(λA 是可逆的充要条件为行列式|)(|λA 是一个非零的数.
2. 任意一个非零的n s ⨯的-λ矩阵)(λA 都等价于其唯一的标准形矩阵：
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛00)()()
(21 λλλr d d d , 其中),,2,1)((,1r i d r i =≥λ是首项系数为1的多项式，且
)1,,2,1()(|)(1-=+r i d d i i λλ.
3. 两个-λ矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.
4. 矩阵)(λA 是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.
5. 两个n s ⨯的-λ矩阵)(λA 和)(λB 等价的充要条件为，有一个s s ⨯可逆矩阵)(λP 和一个n n ⨯可逆矩阵)(λQ ，使
)()()()(λλλλQ A P B =.
6. 设A ，B 是数域P 上两个n n ⨯矩阵. A 和B 相似的充要条件是它们的特征矩阵A E -λ和B E -λ等价.
7. 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.
8. 首先用初等变换化特征矩阵A E -λ为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是A 的全部初等因子.
9. 每个n 级的复数矩阵A 都和一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若尔当标准形.
10. 设A 是复数域上n 维线性空间V 的线性变换，在V 中必定存在一组基，使A 在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A 唯一决定的.
11. 复数矩阵A 和对角矩阵相似的充要条件是A 的初等因子全为一次的(或
A 的不变因子都没有重根).
12. 数域P 上n n ⨯方阵A 在上相似于唯一的一个有理标准形，称为A 的有理标准形.
13. 设A 是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换，则在V 中存在一组基，使A 在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A 唯一决定的，称为A 的有理标准形. 第八章主要结论:
1. A 和B 相似⇔A E -λ和B E -λ等价 ⇔它们有相同的各阶行列式因子 ⇔它们有相同的不变因子 ⇔它们有相同的初等因子.
2. A 的每一个初等因子决定一个Jordan 块, 全体初等因子决定了A 的Jordan 标
准形.
3.矩阵A 可以对角化⇔它的Jordan 块都是一阶的 ⇔它的初等因子都是一次的 ⇔它的最小多项式无重根.
⇔它的不变因子无重根.
4. 矩阵A 的最小多项式就是A 的最后一个不变因子.
第七章和第八章 主要掌握的计算
1. 求线性变换在某基下的矩阵.
(1)n 维向量空间; (2)n 维多项式空间; (3)2⨯2矩阵空间.
例1. 设V =R 3, ∀(a ,b,c)∈ R 3,求A 在基),0,0,1(1=e ),0,1,0(2=e )1,0,0(3=e 和
),1,1,1(1=α),0,1,1(2=α)0,0,1(3=α下的矩阵, 其中
A (a ,b,c)=),,2(a c b a b a ++-.
解: (A e 1, A e 2, A e 3)=(e 1, e 2, e 3)⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-101011012= (e 1, e 2, e 3)A .
.001011111,),,(),,(321321⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛==P P e e e ααα
(A 1α,A 2α,A 3α)=(A e 1, A e 2, A e 3)P =(e 1, e 2, e 3)AP = (1α,2α,3α)P -1AP . 例2. V =P [x ]n -1, D ∈L (V ), D )(')(x f x f =, 求D 在基1,x ,…,x n-1下的矩阵.
例3.22⨯=P V , A ∈L (V ),⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=4521Q ,对任意的X ∈V , A X=QX,求A 在基
22211211,,,E E E E 下的矩阵.
解: 由于A E 11=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0501=21115E E +, A E 12=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛5010=22125E E +,
A E 21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0402=211142E E +, A E 22=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛4020=221242E E +, 所以A 在基22211211,,,E E E E 下的矩阵为
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=40500405
20100201A .
2. 判断一个变换是否为线性变换.
3. 求线性变换A 的值域和核.
4. 求线性变换(矩阵)的特征值和特征向量, 判断矩阵是否可以对角化. (1) 求出A 在V 的一组基1α,2α,…,n α下的矩阵A.
(2) 求出特征多项式f (λ)=|λE-A|, 在求出其全部根即为全部的特征值s λλλ,...,,21. (3) 对每一个特征值i λ, 求解齐次线性方程组
0)(=-X A E i λ,
得到基础解系, i kn k k k r k c c c ,...,2,1),,...,,(21==η. 则i kn k k r k c c c ,...,2,1),,...,,(21=就是A 的属于特征值i λ的特征向量k ξ在基1α,2α,…,n α下的坐标, 于是特征向量为k ξ=i n kn k k r k c c c ,...,2,1,2211=+++ααα .
(4) 当A 有n 个线性无关的特征向量n ξξξ,...,,21时, A 在此基n ξξξ,...,,21下的矩阵为对角形.
此时, 设k ξ=,,...,2,1,2211n k c c c n kn k k =+++ααα 令
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=nn n n n n c c c c c c
c c c T
212221212111, 则T -1AT 为对角形, 主对角线上的元素为相应的特征值, 顺序和T 中特征向量的顺序相同.
例4. 求例3中线性变换A 及矩阵A 的特征值特征向量, 判断是否可以对角化. 并
求A (A)的最小多项式.
.)6()1(4
05
0)65(2
1002
1
01
2
)4(21
4
5
00
504
201
01
0240
50
4
0520
1
00201
)(:222
1313-+=--------=
-+--------=
↔--------=
λλλλλλλλλλλλλλλλλr r c c f 解
当λ= -1时, 求解线性方程组(-E-A)X=0,
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------0000000010100101
5050050520200202. 基础解系为η1=(-1, 0, 1, 0), η2=(0, -1, 0, 1). 当λ= 6时, 求解线性方程组(6E-A)X=0,
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00
0000
20500205205002052050
0205
. 基础解系为η3=(2, 0, 5, 0), η4=(0, 2, 0, 5).
所以属于特征值-1的特征向量为2212221111,E E A E E A +-=+-=. 属于特征值6的特征向量为221242111352,52E E A E E A +=+=.
A 在基4321,,,A A A A 下的矩阵为对角形D =diag(-1,-1,6,6).
令⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=501005012010020
1T , 则T -1
AT = D =diag(-1,-1,6,6). A 的最小多项式为m(x )=(x +1)(x -6).
一些相关题目
1. 设⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=10011011)(λλA , 则R(A(λ))= . A(λ)是否可逆, 为什么?
2. 设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=100310151)(2λλλA , 则R(A(λ))= . A(λ)是否可逆, 为什么? 3. 设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+++=100030
001)(2λλλλA , 则其不变因子是? 4.设A 的全部初等因子为32)1(,)2(,+-λλλ, (1) A 是一个几阶矩阵? (2) A 的Jordan 标准形是? (3) A 的不变因子是?
5.⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=3130313A 的初等因子是? 最小多项式是? 不变因子的?
6.判断命题是否正确, 不正确者请改正:
(1)若n 阶矩阵A 可以对角化, 则A 必有n 个互不相同的特征值. (2)若两个n 阶矩阵A 和B 的特征值相同, 则它们相似. (3)若矩阵A 和B 相似, 则它们有相同的特征向量.
(4)n 阶矩阵A 不可逆的充要条件是A 至少有一个特征值为零. (5)设A ∈L(V), V s ∈ααα,....,,21, 若A α1, A α2, …,A αs 线性无关, 则
s ααα,....,,21线性无关.
(6) 设A ∈L(V), V s ∈ααα,....,,21, 若s ααα,....,,21线性相关, 则A α1, A α2, …, A αs 线性相关.
(7) 设A ∈L(V), V s ∈ααα,....,,21, 若s ααα,....,,21线性无关, 则A α1, A α2, …, A αs 线性无关.
(8) 若B AP P T =, P 可逆, 则A 和B 相似.
(9)若对任意的(a,b,c)∈R 3, A (a,b,c) =(a 2. b+c, a+c), 则A 是R 3上的线性变换.
(10)矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2212121与相似.
(11)设A ∈L(V), dimV=n, 则A 可逆的充要条件是 (a)A 有n 个线性无关的特征向量; (b) A 有n 个互不相同的特征值;
(c) A 在V 的某一组基下的矩阵为对角形;
(d)A 的特征值均非零; (e)A V=V ;
(f) A -1(0)={0}.
(12)设A 的初等因子为λ-1和(λ-2)3, 则A 的Jordan 标准形为:
(a)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2221 (b) ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛212
211 (c) ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛212
21 (d) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛212121 (e) ⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛21
2121 (f) ⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛22121 (g) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛2121211 (h) ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛212
211 7. 填空
(1)设s ααα,....,,21线性无关, (s βββ,....,,21)=(s ααα,....,,21)A, 则s βββ,....,,21可逆的充要条件是 .
(2)设三阶矩阵A 的特征多项式是323)(23+--=λλλλf , 则|A|= . 设A 的主对角线上的元素之和=++332211a a a . (3)若A 2=E, 则A 的特征值只能是 . (4)若A 2-3A+2E=0, 则A 的特征值只能是 .
(5)设⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛-----=0167121700
140013
A , 则A 的全部特征值之和λ1+λ2+λ3+λ4= . 全部特征值之乘积λ1λ2λ3λ4= . A 可逆吗?
矩阵的三大关系
等价 相似 合同 对象 m ⨯n 矩阵 n 阶方阵 n 阶实对称矩阵 来源
A 可经初等行变换
得到B 一个线性变换在不同
基下的矩阵 二次型经非退化线性变换后，新旧矩阵之间的关系 刻划
存在P , Q 可逆，
使得B = P A Q
存在P 可逆，使得
B = P -1 A P
存在P 可逆，使得
B = P T A P
共同点 都满足反身性、对称性和传递性，都保持矩阵的秩不变
最简形式
n
m r E ⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡000 有n 个线性无关的特
征向量时相似于对角
形矩阵 ⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡--0p r p E E 性质 秩相同
有相同的特征多项
式，有相同的特征值
有相同的秩和正惯性指数
等价类
个数
r +1, r =min(m , n )
无限多个
)2)(1(2
1
++n n。