2020年大学生最新微积分A卷试卷
(完整word版)微积分期末试卷A及答案
共 4 页，第 1 页 学生答题注意：勿超黑线两端；注意字迹工整。
共 4页，第 2 页） ()f x 在x a =处可导； (B ）()f x 在x a =处不连续； （C)。
lim ()x af x →不存在 ； (D ） ()f x 在x a =处没有定义。
、设lnsin y x =,则dy =（ ）（A) 1cos x ; （B ） 1cos dx x；（C) cot x dx -； (D) cot x dx 。
6. 若()f x 的一个原函数为2x ,则()f x dx '=⎰（ ） （A)12x C + (B ） 2x C + （C) x C + (D ） 2C +7、 1dx =⎰（ ）(A ） 2； （B ） 2π-; (C ） 0； (D ）。
8、对-p 级数∑∞=11n p n ，下列说法正确的是（ ）(A ） 收敛; （B ） 发散;（C ） 1≥p 时，级数收敛； (D) 级数的收敛与p 的取值范围有关。
9、二元函数在(,)xy f x y ye =点0(1,1)p 可微，则(,)xy f x y ye =在0p 的全微 ）00)()limx x f x x→-- .cos x ，求它的微分共 4 页，第 5 页 学生答题注意：勿超黑线两端；注意字迹工整。
共 4页，第 6 页5、（10分）求微分方程()x xe y dx xdy +=在初始条件1|0x y ==下的特解；6、（12分）判断级数211ln(1)n n ∞=+∑的敛散性。
《微积分》课程期末考试试卷参考答案及评分标准(A 卷，考试）一、单项选择（在备选答案中选出一个正确答案，并将其号码填在题目后的括号内.每题3分，共30分）1、（C ）；2、（D ）；3、(B)；4、(A ）；5、(D)；6、（B);7、（A ）；8、（D ）；9、(A); 10、（D)。
二、填空（每题4分,共20分）1、 bx n e a b )ln (；2、 同阶无穷小；3、3- ；4、0；5、2。
2020-2021大学《复变函数与积分变换》期末课程考试试卷A(含答案)
2020-2021大学《复变函数与积分变换》期末课程考试试卷A考试时间： 类型：闭卷 时间：120分钟 总分：100分 专业：信工一、填空题（3'824'⨯=）1、幂级数()1nn i ∞=+∑的敛散性是____________（绝对收敛、条件收敛、发散）。
2、i 22+的三角形式____________________。
3、z=0是f(z)=[ln(l+z)]/z 的奇点，其类型为_____4、11z -在ｚ＝０处的幂级数是_______。
5、0z=为函数()81cos zf z z -=的_____阶极点；在该点处的留数为_____6、ln(1)=_______。
7、25_____(2)zz e z ==-⎰。
8、21nn z n∞=∑的收敛半径为_______。
二、选择题 （3'515'⨯=）１、不等式4z arg 4π<<π-所表示的区域为（ ） A.角形区域 B.圆环内部 C.圆的内部 D.椭圆内部2. 复数 8i z -= 的辐角主值 =z arg ( )(A) 2π ; (B)π; (C) 0; (D) 2π3. 设v(x ，y)=e ax siny 是调和函数，则常数a 可以取下列哪个值（ ） （A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3 4. 0=z 是函数 zzz f sin )(=的 ( ) (A) 本性奇点; (B) 一级极点; (C) 零点 ; (D) 可去奇点５、下列积分值不为零的是 ( ) A 、z-1=22z+3)dz ⎰（ B 、 z z-1=2e dz ⎰C 、z =1sin z dz z ⎰D 、z =1coszdz z⎰三、解答题（共７题，共计61分）１、（８分）已知f(z)=u+iv 是解析函数，且v=2xy 、f(1)=2， 求f(z)２、（1）（8分）计算积分(1)423z =5dz(z 2)(z-2)+⎰(2)(6分)21(21)(3)z z dz z z z =++-⎰院系： 专业班级： 姓名： 学号：装 订 线 内 不 准 答 题装 订 线３、（８分）设f(z)=x 3– 3xy 2+ i (3x 2y – y 3)，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.４、(10分) （1）将函数()1(1)(2)f z z z =--在圆环2z <<+∞内展开为Laurent 级数。
2020年第十二届全国大学生数学竞赛--初赛《数学类A卷》试题(含参考答案)
(2) 求点 A1, B1,C1 三点的坐标； (3) 给定点A(1, 1, 0), B(1, 1, 0),C(1, 1, 0) ，求四面体 NA1B1C1 的体积. 【参考解答】：(1) 由直线的两点式方程，直接可得过 N, A 两点的直线方程为
(2) 直线 NA 的参数方程为
x y z 1
.
a1 a2 1
1 k
趋于
0，故
lim
n
yn
1
yn
0.
所以
bn an yn yn1 0, n
从而可知 an , bn 的极限相等，从而 yn 收敛. 最后，由 的连续性可得 xn 收
敛.
六、（20
分）对于有界区间
a,
b
的划分
P : a x0 x1 xn1 b
其范数定义为||
P
||
max xk1
1
0
2021
1
代入极限式得I
.
2021
【思路二】 由 Stolz 公式，得
lim 1 12020 22020 n2020
n n 2021
lim
n 2020
1
n n2021 (n 1)2021 2021
12020 22020 n 2020
1
故 ln
有界. 故I .
n 2021
x a1t, y a2t, z 1 t
将其代入球面方程，得
2
a1t
2
a2t
(1 t)2
1
2
解得参数值为t
a12
a22
或t 1
0.
从容可得 A1 的坐标为
A1
a12
2a1 a22
2020微积分试卷及答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
2020年全国大学高等数学考试及答案解析
2020年全国大学高等数学考试试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数1,0(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰x（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆（6）设矩阵200210100021,020,020*********A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,则（ ） ()()(),,(),,A A C B C B A C B C C A C B C D A C B C 与相似与相似与相似与不相似与不相似与相似与不相似与不相似(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知函数21()1f x x=+，则(3)(0)f =__________ (2) 微分方程'''230y y y ++=的通解为y =_________(3) 若曲线积分221L xdx aydy x y -+-⎰在区域{}22(,)|1D x y x y =+<内与路径无关，则 a =__________(4)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰(5)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （1）（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求0x dy dx=，22x d y dx=（2）（本题满分10分）求21lim ln 1nn k kk nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑（3）（本题满分10分）已知函数()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值(4)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()()（II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x =12()()()()，写出()f x 的求导公式.(5)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.(6) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.（7）（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换X QY =下的标准型221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q（8）（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为1(0)(2)2P X P X ====，Y 的概率密度为201()0,y y f y <<⎧=⎨⎩，其他()I 求()P Y EY ≤()∏求Z X Y =+的概率密度。
大学数学期末考试试卷(A卷)和参考答案
大学数学期末考试试卷（A 卷）2020学年第 2 学期 考试科目： 大学数学Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、 填空题（每小题2分，本题共12分）1．若事件B A 、相互独立，且()0.5P A =，()0.25P B =，则()P A B = ； 2则()()4,3P X P X ≤=≠=；3．设随机变量X 服从参数为λ的Poisson 分布，且已知[](1)(2)1E X X --=，则λ=；4．设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则=)(X E ；()D X = ；5．设1621,,,X X X 是来自总体),2(~2σN X 的一个样本，∑==161161i i X X ，则~84σ-X ；6．假设某种电池的工作时间服从正态分布，观察五个电池的工作时间（小时），并求得其样本均值和标准差分别为：43.4,8.08x s ==，若检验这批样本是否取自均值为50（小时）的总体，则零假设为 ，其检验统计量为 。
二、单项选择题（每小题3分，本题共18分）1．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）．A ．12513； B ．12516； C ．12518； D ．12519．2．如果随机变量X 的密度函数为,01;()2,12;0,x x f x x x ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它.，则()1.8P X ≤=（ ）．A ．0.875；B ． 1.80()f x dx ⎰； C ． 1.80x dx ⎰； D ．()1.82x dx -∞-⎰． 3．设物件的称重,05.0%95),01.0,(~过的置信区间的半长不超的为使μμN X 则至少应称多少次？（ ）． 0.0250.051.96, 1.64]u u ==[注: A ．16；B ．15；C ．4；D ．20．4．设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧∈=其他,0]1,0[,)(4x Cx x f ，则常数C=（ ）．A ．51；B ．5；C ．2；D ．12．5．在一个已通过F 检验的一元线性回归方程中，若给定α-=1,00的则y x x 的预测区间精确表示为（ ）．A．0022ˆˆ[(2),(2)]yt n y t n αα--+-； B．0022ˆˆ[(2),(2)]yt n y t n αασ--+-； C．0022ˆˆ[(2),(2)]yt n y t n αα--+-；D．0022ˆˆ[,]yy ααμμ-+．6．样本容量为n 时，样本方差2S 是总体方差2σ的无偏估计量，这是因为（ ）． A ．()22E Sσ=； B ．()22E Snσ=； C ．22S σ=； D ． 22S σ≈．三、解下列各题（6小题，共48分）1．设总体()~0,1X N ，12,,,n X X X 为简单随机样本，且32124(1)3i i ni i X nF X ===-∑∑．证明：~(3,3)F F n -． （6分）2．已知连续型随机变量X 的分布函数为 0,1;()arcsin ,11;1 1.x F x a b x x x ≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，① 试确定常数,a b ； ② 求1{1}2P X -<<； ③ 求X 的密度函数．（10分）3．若从10件正品、2件次品的一批产品中，无放回地抽取2次，每次取一个，试求第二次取出次品的概率．（6分）4．设X的密度函数为1(),(,)2xf x e x-=∈-∞+∞．①求X的数学期望EX和方差DX；②求X与X的协方差和相关系数，并讨论X与X是否相关．（8分）5．设二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，其中D 是由曲线2y x =和直线y x =所围成．试求(,)X Y 的联合分布密度及关于,X Y 的边缘分布密度)(x f X 与)(y f Y ，并判断,X Y 是否相互独立．（10分）6．设随机变量X 服从区间],[b a 上的均匀分布，试证明：c X Y +=（c 为常数）也服从均匀分布． （8分）四、应用题：以下是某农作物对三种土壤123,,A A A ，两种肥料12,B B ，每一个处理作四次重复试验后所得产量的方差分析表的部分数据，分别写出各零假设，并完成方差分析表，写出分析结果 (0.01)α=． （12分）已知参考临界值：()()()0.010.010.012,18 6.01,1,188.29,3,18 5.09,F F F ===()()()0.010.010.012,23 3.42,1,23 4.28,3,23 3.03F F F ===五. 综合实验报告（10分）试卷参考答案一、 填空题（每小题2分，本题共12分） 1． 0.625； 2． 0.87,0.7； 3．1； 4．2,nσμ； 5．)1,0(N ； 6．50:0=μH ，X t =二、单项选择题（每小题3分，本题共18分）三、解下列各题（本大题共48分）1．证明 由题设可知 ()12~0,1,1,2,,,,,,i n X N i n X X X =且相互独立...........1分所以 ()()3222214~3,~3nii i i X X n χχ==-∑∑ .......................................................3分从而()()321243~3,33i i nii X F n Xn ==∑--∑....................................................................5分所以 ()321241~3,33ii n ii X n F n X ==∑⎛⎫--⎪⎝⎭∑......................................................................6分2． 解：① 因为X 是连续型随机变量，故()F x 在(),-∞+∞内处处连续由(10)(1)(10)(1)F F F F -+=-⎧⎨-=⎩， 可得 0212a b a b ππ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩...................................................................4分 解得 11,2a b π==......................................................................................................6分 ② 111112{1}()(1)arcsin 022223P X F F π-<<=--=+-=.................................8分③ X 的密度函数 ,1()()0,x f x F x <'==⎩其它 .........................................10分3．解：令=ˆi A “第i 次取出的是次品”，2,1=i 。
南京航空航天大学·高等数学Ⅱ及微积分Ⅰ·(A卷试题)
高 等数 学 研 究
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ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ＥＳ Ｉ Ｃ０ＬＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
Ｖｏ ． ｉ Ｎｏ ３ １１ 。 ． Ｍａ ２ ８ ｙ， ００
南京航 空航天大学 ・ 高等数学Ⅱ 及微积分工（卷 题 ＊ 试） Ａ
［］ 庆 扬 ， 能 超 ， ４李 王 易大 义 ． 值 分 析 （ 二版 ） Ｍ］ 武 汉 ： 中理 工 大 学 出版 社 ，９ ６ ２ ９ ３ ８ 数 第 ［ ． 华 １ ８ ，９ — ０
（ 接４页 Ｅ 一生 上 ８ ）／ ） （
敛于 ０ ．
７ ｎ １ ｃ 一
一
二
１
∈（兀 ） ｏ ） — ， 兀 右 级 收 一 ， Ｕ（ 兀 ｏ ， 当 ｏ士 时，端 数
（４） ； ［ １分薹 发 ） （ 散
（ ） ６分 ） ２（ （ １ ｓ ， 收 敛 ， 明 是 条 件 收 敛 还 是 绝 对 收 敛 ． 一 ） ｉ ｎ 若 指
［ ａ 当 ≤０时
发散 ； Ｏ ≤１ 当 ＜口 时条 件收敛 ； 口 当 ＞１时绝对 收敛 ．
ｒ １ 一 —７ ｚ Ｏ 【 ＜ ≤
ＤＺ ｚ
ａ
歹雾一试 一 。 ，
确 定 ａ的值 ．
Ｅ ＝３或 一２ ａ
四（ ） ．Ｘ ２）＋ Ｚｚｄ其 Ｌ抛 线＝。点一， （１ 、分计 ｒ ２ｚ如 （＿ 中 是 物 ｚ （ １ １） ６ 算Ｌ － ｙ２）， （ 上 １到 ， ）
的一段 弧。 ［ 一
五 、４分） （ 判别 下列级 数 的敛 散性 ：
— —
ａｘ１在 ￣ Ｉ敛则 幂 数 ｚ号 敛 性 丝 ； ｎ－） Ｘ－收 ，该 级 在 一 的 散 为型 （ ＂
ｉ 一 如 的通解 为 ￣ｃ ２ ｒ 。 － ＝ 。
微积分试卷及规范标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A │< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
2020年大学高等数学考试试题及解析
2020年全国大学高等数学考试试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)设222z y x r ++=,则div(gradr))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有[ ] (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有[ ](A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim 2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则[ ](A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B [ ] (A) 合同且相似.(B) 合同但不相似. (C) 不合同但相似.(D) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于[ ](A)-1.(B) 0.(C)12. (D) 1.三、(本题满分6分)求dx ee xx⎰2arctan .四、（本题满分12分）将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五、(本题满分8分)设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m 表示长度单位米.）七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立;(2)01lim ()2x x θ→=.八 、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性.(2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>九、(本题满分6分)设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =的一个基础解系.已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. 十二 、（本题满分8分） 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数F(x);(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2020年全国大学高等数学考试试题与解析一、填空题(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 先求grad r.grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y zx r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=. 于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=0222111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x xO211 x【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u n X P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D)【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.[ A ]【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由 1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想. (4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当AB 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即Y aX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】 原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++. 四 、（本题满分12分）将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形.本题可先求导，再利用函数x-11的幂级数展开 +++++=-n x x x x2111即可，然后取x 为某特殊值，得所求级数的和.【详解】 因为).21,21(,4)1(2412)(202-∈--=+-='∑∞=x x x x f nn n n 又f(0)=4π, 所以 dt t dt t f f x f n n xxn n ]4)1([24)()0()(20⎰⎰∑∞=--='+=π=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n n n π因为级数∑∞=+-012)1(n nn 收敛，函数f(x)在21=x 处连续，所以].21,21(,124)1(24)(120-∈+--=+∞=∑x x n x f n n n n π令21=x ，得 ∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n nn n n n n f ππ,再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n 五、【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n nn x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ②因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑ , [1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n ∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f nππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六 、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m 表示长度单位米.）【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.【详解】 (1) 设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n . 由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以22101221a kx k kxdx W x ===⎰，).(2)(22222122221a x k x x k kxdx W x x -=-==⎰由12rW W =可得 2222ra a x =- 即 .)1(222a r x += ].)1([2)(22232223332a r x k x x k kxdx W x x +-=-==⎰ 由1223W r rW W ==可得 22223)1(a r a r x =+-，从而 a r r x 231++=，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下am r r 21++.（2） 由归纳法，设a r r r x n n 121-++++= ，则)(222111n n x x n x x k kxdx W n n-==++⎰+=].)1([22121a r r x k n n -++++- 由于1121W r W r rW W nn n n ====-+ ，故得 22121)1(a r a r r x n n n =+++--+ ,从而 .11111a rr a r r x n nn --=+++=++于是 a rx n n -=+∞→11lim 1， 即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下a r-11m. 【评注】 本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度.但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一.(2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f xθ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x x θθθ---⋅=,解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八 、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性.(2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数)(t F '的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.【详解】 (1) 因为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ttttrdrr f drr r f rdrr f d drr r f d d t F 020222002200022)()(2)(sin )()(πππθϕϕθ，202022])([)()()(2)(rdr r f drr t r r f t tf t F tt⎰⎰-='，所以在),0(+∞上0)(>'t F ，故F(t) 在),0(+∞内单调增加.（2） 因 ⎰⎰=ttdrr f rdrr f t G 0202)()()(π，要证明t>0时)(2)(t G t F π>，只需证明t>0时，0)(2)(>-t G t F π，即.0])([)()(0202222>-⎰⎰⎰tttrdr r f dr r f dr r r f令 ⎰⎰⎰-=tt trdr r f dr r f dr r r f t g 0202222])([)()()(，则 0)()()()(2022>-='⎰dr r t r f t f t g t，故g(t)在),0(+∞内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0,因此，当t>0时，).(2)(t G t F π>【评注】 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰⋅≤)()(])()([222，在上式中取f(x)为r r f )(2，g(x)为)(2r f 即可.九、【解】 由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于12,,s ααα线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-, 所以当112(1)0s s st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】 方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cbcba A ---++++=---==])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A 由于])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ， 故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中 .323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b a c a c b c b a A 于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba ca c bcb aA ---++++-== =])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++-, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 ⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二 、（本题满分8分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ(1) 求总体X 的分布函数F(x);(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性. 【分析】 求分布函数F(x)是基本题型；求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立. 【详解】 (1).,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx(2) }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ =}),,,{m in(121x X X X P n >- =},,,{121x X x X x X P n >>>- =nx F )](1[1--=.,,0,1)(2θθθ≤>⎩⎨⎧---x x e x n(3) θˆ概率密度为 .,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dxx dF x f x n因为 ⎰⎰+∞--+∞∞-==θθθθdx nxe dx x xf E x n )(2ˆ2)(ˆ=θθ≠+n21， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性. 【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点.将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.。
微积分基础2020期末考试(华农)
微积分基础2020试卷一一、单选题1.（2分）下列级数中,收敛的是( ) BA.B.C.D.2.（2分） DA. (1,2)B. (1,-2)C. (1,-1)D. (-1,-1)3.（2分） AA.B.C.D.4.（2分） AA.（0,1）B.（1,0）C.（0,0）D.（1,1）5.（2分） AA.cos x - x sin xB.cos x + x sin xC.sin x - x cos xD.6.（2分） DA.x=-1B.x=2C.x=3D.x=2,x=37.(2分)下列极限中不能用洛必达法则的是答案：B A.B.C.D.8.（2分） CA.y=C1X+C2B.y=X2+CC.y=C1X2+C2D.9.（2分）答案：BA.B.C.D.10.（2分） CA.B.C.D.11.（2分）CA.0B.πC.2πD.4π12.（2分） CA.B.C.D.13.（2分）答案是：DA.3B.2C.1D.014.（2分） DA.B.C.D.15.下列函数中在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是（）答案是：B A.B.C.D.16.（2分） AA.eB.1C.e3D.17.（2分） DA. 连续且可微B. 连续但不一定可微C. 可微但不一定连续D. 不一定连续且不一定可微18.（2分） BA.14πB.16πC.9πD.10π19.（2分） DA.B.C.D.20.（2分） DA.3B.2C.11D.221.（2分） BA.B.C.D.22.（2分） CA.B.C.D.23.（2分） BA.B.C.D.24.（2分） DA. B. C. D.25.（2分） BA.7πB.8πC.9πD.10π26.（2分）下列函数中，（ ）是xcosx ²的原函数 DA.-21cosx 2B.-21sin xC.-21sin x 2D.21sin x 2 27.（2分）设A ，B 为n 阶对称矩阵，则（）答案是：C A. AB 为对称阵 B. BA 为对称阵 C. A+B 为对称阵 D. AB T -BA T 为对称阵28.下列函数中在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是（） B A. B. C.D.29.（2分） AA.1B.2C.3D.430.（2分） DA.B.C.D.31.（2分）微分方程x+y+(y-x)y’=0的通解是（） D A.B.C.D.32.（2分） BA.B.C.D.33.（2分） AA. (2,6)B. (2,6]C. [2,6)D. [-2,6]34.（2分）微分方程的阶数为（） BA.4B.3C.2D.135.（2分）答案是：DA. 垂直B. 平行但直线不在平面上C. 不平行也不垂直D. 直线在平面上36.（2分） BA.B.C.D.37.（2分）下列曲线中经过原点的为 BA.y=x+1B.y=x2-xC.y=cos xD.x2+y2=138.（2分）设y=ln x，则y”=（） C1A.x1B.2x1C.-2x2D.-x39.（2分）下列函数中在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是（） B A.B.C.D.40.（2分）曲线y=x3-3x+2的拐点是（） AA. (0,2)B. (1,0)C. (0,0)D. (1,1)41.（2分） DA.1B.2C.D.42.（2分）下列方程为线性微分方程的是（） AA.B.C.D.43.（2分） BA.B.C.D.44.（2分）答案是CA.F(4)-F(3)B.F(5)-F(4)C.F(2)-F(1)D.F(3)-F(2)45.（2分）设y=(2x2+3)3,则y’等于（） BA.-12x(2x2+1)2B.12x(2x2+3)2C.2x(2x2+3)2D.6x(2x2+1)246.（2分）函数的间断点是（） AA.x=1,x=2B.x=3C.x=1,x=2,x=3D.无间断点47.（2分） AA. 2B. 1C. 4D. 048.（2分）两平面x-4y+z+5=0与2x-2y-z-3=0的夹角是（）答案是：CπA.6πB.3πC.4πD.249.（2分）答案是：C A.B.C.D.50.（2分）答案是：CA. 不连续B. 连续但左、右导数不存在C. 连续但不可导D. 可导微积分基础2020试卷二1.曲线y=2x3-x+1A. (0,1)B. (1,0)C. (0,0)D. (1,1)2.设D为x2+y2≤1，则A.0B. πC. 2πD. 4π3.A. eB. 1C. e3D.4.微分方程y’’+y=0的通解为（）A. y=cos x+cB. y=c1cos x+c2C. y=c1+c2sin xD. y=c 1cos x+c 2sin x5. 函数y=x 3+3x 在区间［0，2］的最大值是( )A. 0B. 14C. 4D. 126. 设⎰+=-c e dx x xf x 2)(，则f(x)=（）A. 2x xe -B. -2x xe -C. 22x e -D. -22x e -7. 函数)3)(2(1)(--+=x x x x f 的所有间断点为（） A. X=-1B. X=2C. X=3D. X=2,x=38. 设22)(x y yx x y f +=+，，则=),(y x f （） A. xx y ++1)1(22 B. xx y +-1)1(2 C. xx x -+1)1(2 D. 222)1()1(y y x ++ 9. 已知平面π：042=-+-z y x 与直线L:111231-+=+=-z y x 的位置关系是（） A. 垂直B. 平行但直线不在平面上C. 不平行也不垂直D. 直线在平面上10.A.B.C.D.11. 设函数，则f(x)在点x=1处（）A. 不连续B. 连续但左、右导数不存在C. 连续但不可导D. 可导12. 设22),(x y yx x y f +=+，则f(1,1)=（） A.3B.2C.1D.21 13. 设)(x f '为连续函数，函数⎰'xcdu u f )(为（）A. )(x f '的一个原函数B. )(x f 的一个原函数C. )(x f '的全体原函数D. )(x f 的全体原函数14. 设y=(2x 2+1)3,则y ’等于（）A.-12x(2x 2+1)2B.12x(2x 2+1)2C.2x(2x 2+1)2D.6x(2x 2+1)215. 设函数f(x)在点x 0处可导，则h x f h x f h )()3(lim000-+→等于（） A. -3)(0x f 'B. 3)(0x f 'C. -2)(0x f 'D. 2)(0x f '16. 110)1(lim +→+x x xA. eB. 1C. e3D.17. 设积分区域D:x 2+y 2≤1，同二重积分=+⎰⎰dxdy y x f D )(22A.4π⎰10)(dr r f B.2π⎰10)(dr r rf C.2π⎰102)(dr r f D.2π⎰10)(dr r f 18. =-+→→1123lim 00xy xy y x （） A. 不存在B. 3C. 6D.19. 下面各微分方程中为一阶线性方程的是（ ）A. 23=+'y y xB. x y x y sin 22=+'C. x y y 2='D. 1=-'xy y20. 已知2)()(y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则a=（）A. -1B. 0C. 2D. 121. 微分方程y y x '=''的通解是（）A. 21c x c y +=B. c x y +=2C. 221c x c y +=D. c x y +=221 22. 曲线y=x 3-8x+1的拐点是（）A. (0,1)B. (1,0)C. (0,0)D. (1,1)23. 微分方程x+y+(y-x)y ’=0的通解是（）A. C y x x y =++)ln(21arctan 22 B. C y x xy =+-)ln(arctan 22 C. C y x xy =++)ln(arctan 22 D. C y x x y =+-)ln(21arctan 2224. 下列函数中，（）是x e 221的原函数 A. x e 2B. 2221x e C. 2243x e D. x e 241 25. 曲线y=x 3-3x+1的拐点是（）A. (0,1)B. (1,0)C. (0,0)D. (1,1)26. 函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z ∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（）条件A. 必要条件B. 充分条件C. 充分必要条件D. 非充分且非必要条件27. 下列方程为线性微分方程的是（ ）A. x e y x y +=')(sinB. x e y x y +='sinC. x e x y +='sinD. 1cos +='y y x28. =+→xx x 10)91(lim （） A. eB. 1C. e 9D. ∞29. 已知函数F(x)的一个原函数，则⎰-98)7(dx x f 等于（）A. F(4)-F(3)B. F(5)-F(4)C. F(2)-F(1)D. F(3)-F(2)30. 要使函数xx x x f sin 55)(--+=在x=0处连续，应给f(0)补充定义的数值是（）A.1B.2C.5D.55 31. 设y=ln x,则y ”=（）A.x1 B. 21xC. -21xD. -x2 32. 设函数z=f(x,y)在点(x 0,y 0)的某邻域内有定义，且存在一阶偏导数，则00y y x x x z--∂∂=（）A. yy x f y y x x f y ∆-∆+∆+→∆),(),(lim 00000 B. x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000 C. y y f y y f x ∆-∆+→∆)()(lim 000D. xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000 33. 若D 是平面区域{1≤x 2+y 2≤9}，则⎰⎰Ddxdy 2=（） A.14πB.16πC.9πD.10π34. 若L 是上半椭圆⎩⎨⎧==,sin ,cos t b y t a x 取顺时针方向，则xdy ydx L -⎰的值为（）A.0B. ad 2π C. πabD. ab35. 下列曲线中经过原点的为（）A. y=x+1B. y=x 2-xC. y=cos xD. X 2+y 2=136. 设A ，B 为n 阶对称矩阵，则（）A. AB 为对称阵B. BA 为对称阵C. A+B 为对称阵D. AB T -BA T 对称阵37. 下列曲线中经过原点的为A. y=x+1B. y=x 2-xC. y=cos xD. X 2+y 2=138. 设函数z=f(x,y)在点(x 0,y 0)的某邻域内有定义，且存在一阶偏导数，则y y x x y z--∂∂=（）A. yy x f y y x x f y ∆-∆+∆+→∆),(),(lim 00000 B. yy x f x y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000 C. yy f y y f y ∆-∆+→∆)()(lim 000 D. y y x f x x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 000039. 设f(x,y)=h(x)g(y)在某邻域内有定义，且存在一阶偏导数，则f y (x 0,y 0)=A. ty x f y t x f x ),(),(lim 00000-+→ B. ty x f t y t x f x ),(),(lim 00000-++→ C. )()()(lim 0000x h ty g t y g x -+→ D. ty g t y g x )()(lim 000-+→ 40. 函数⎩⎨⎧≤<-≤<-=31,210,1)(x x x x x f 在处间断是因为（） A. 处无定义在点1)(=x x fB. )(lim 1x f x -→不存在 C. )(lim 1x f x +→不存在 D. )(lim 1x f x →不存在41. x dte e x t t x cos 1)2(lim 00--+⎰-→=（）A.0B.1C.-1D.42. 下列函数中在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是（）A. []1,2,-=x yB. []6,2,2x y =C. []1,2,32-=x yD. []6,2,31-=x y 43. 设ainx y -=3，则y ’等于（）A. x ainx cos )3(ln 3-B. -x ainx cos )3(ln 3-C. -x ainx cos 3-D. -x x sin )3(ln 3sin -44. 当x →1时，下列变量不是无穷小量的是（）A. x 2-1B. x(x-2)+1C. 3x 2-2x-1D. 4x 2-2x+145. 下列级数中,收敛的是( )A. 11)45(-∞=∑n nB. 11)54(-∞=∑n nC. 111)45()1(-∞=-∑-n n n D. 11)5445(-∞=+∑n n46. 微分方程0sin cos ='+++y e y e x x x x x 的通解是（）A. C x x ye x =+sin 2B. C x x ye x =-sinC. C x x ye x =+sin 2D. C x x ye x =+sin47. xx x 10)31(lim +→=（） A. eB. e3C. 1D.48. 设)()(00x f x x f y -∆+=∆且函数f(x)在x=x 0处可导，则必有（）A. 0lim 0=∆→∆y x B. 0=∆yC. 0=dyD. dy y =∆49. 设πσ422=⎰⎰≤+a y x d ，这里0 a ，则a=（）A.4B.2C.1D.050. 设22),(x y y x x y f -=-，则f(1,-1)=（） A.3B.2C.1D.0答案：ACABB DDDDC CDCCB ABBBC CADDA BACCD CBBCB CBBCD ABBDB DBAAD。
西安工业大学高数AII期末试题2020级
16.设 z = f (x + 2 y, x3 y) ，其中 f 具有连续的二阶偏导数，求 2z .
xy
17.设 f (x, y) 连续，且 f (x, y) = xy + f (u, v)dudv ，其中 D 是由 y = 0 ， y = x2 ， x = 1 所围区 D
域，求 f (x, y) .
18.计算 I = 2xzdydz + yzdzdx − z2dxdy ，其中 是由曲面 z = x2 + y2 与 z = 2 − x2 − y2 所围
立体 的表面外侧.
19.计算 y2dx ，其中 L 为半径为 a ，圆心为原点，方向取逆时针方向的上半圆周. L
20. 求抛物面 z = 1 (x2 + y2 ) 被柱面 x2 + y2 = 4 所割下部分的曲面面积. 2
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西安工业大学试题纸
学年学期 命题教师
2020-2021 学年第 2 学期
李蕊
审批
课程名称 考试形式
高等数学 AII（A 卷）
闭卷
考试类型
考试
使用班级 学生班级
2020 级工科本科 姓名
考试时间
2021 年 7 月 13 日 学号
考试地点 备注
注意：所有题均在答题卡指定位置作答，计算题和综合题要有必要的过程。
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命题教师：1.出题用小四号、宋体输入打印， 纸张大小为 8K. 考 生：1.不得用红色笔，铅笔答题，不得在试题纸外的其他纸张上答题，否则试卷无效。2.参加同卷考试的学生必须在“备注”栏中填写“同卷”字样。3.考试作弊者，给予留校察看处分；叫他人代考或代他人考试者，双方均给予开除学籍处理。并取消授予学士学位资 格，该科成绩以零分记。
大学微积分考试试题(A卷)
微积分考试试题一、 填空题（每题2分⨯10=20分）1、函数245)(x x f --=的定义域是 .2、 设3)(-=x x f ，则=)]1([f f .3、 =---∞→13926lim 22n n n n .4、 x xx 5sin 3sin lim 0→ .5、 =-∞→x x x )431(lim .6、 =')(arccos x .7、 函数y x =，则=dy .8、 函数x e y tan =的导数为 .9、 0sin lim x xx →= .10、 微积分的创始人是： .二 选择题（每题2分⨯5=10分）1、 x x f arcsin 1)(=是（ ）.A 偶函数B 奇函数C 单调函数D 有界函数2、 若,21)(lim 0=→x ax f x 则 ,)(lim 0=→x bx f x ( ). （ab 0≠）A a b2 B ab 21C 2abD b a23、 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00sin )(x a x xxx f ,)(x f 在x=0处连续, 则a=（ ）.A 0B 1C 2D 不存在4、设曲线)(x f y =在0x x =处切线是水平的，则当0→x 时，)()(0x f x f -较之0x x -为（ ）无穷小。
A 同阶B 等价C 低阶D 高阶5、 设函数(),()u x v x 在x 可导，则（ ）A []u v u v '''+=+B []u v u v '''-=+C []u v u v '''⨯=+D []u v u v '''÷=+三、计算题（每小题6分，共24分）1、已知x x f 2sec 8)(tan -=，求)(x f2、求极限12253lim 323+-+∞→x x x x x 3、求极限xx x x 3sin tan lim 0-→ 4、求极限x x x 1)41(lim -→ 四、计算题（每小题8分，共24分）1、求x e x y 12-=的导数2、设)(x y y =由隐函数e xy e y +=确定，求y '3、求211dx x +⎰五、应用题（每小题8分，共16分）1、 某厂生产某种产品所需要成本为()5200()C Q Q =+元，销售后得到总收入为2()100.01()R Q Q Q =-元，问该厂每批生产多少件产品才能使利润最大？2、 某工厂需要修建一个容积为4立方米的正方柱体（即池底为正方形）无盖水池，池底与池壁的材料相同，问池底边长和池高分别为多少时，用料最省？六、 证明题（6分）证明方程e x x =+2332至少有一个正根。
四川大学《微积分(I)-1》2020-2021学年第一学期期末试卷A卷及解答
四川大学期末考试试题（闭卷）（2020——2021学年第 1 学期）A卷课程号：201137050 课序号：课程名称：微积分（Ⅰ）-1 任课教师：成绩：试卷编号：(1)n+-与轴所围成区域的面积x试卷编号：20202021(I)-1-四川大学学年微积分期末试题参考答案(315)一、填空题每小题分，共分3221111.3 2.1 3.3 4.arctan ln(1)3665.131x x x x C y x y x --+++=+=-；；；；；.(832)二、计算题每小题分，共分222021(121.lim.cos x x x x x e→-+--求极限 2224422421111cos 1()1()()2!4!2!2!2x x x x x o x e x o x -=-++=-+-+解因为，，12244211(1)1()28x x x o x =+=+-+ ……………….. 3分2244211101~cos ~2812xx x x x e x -→+---所以当时，，……………….. 6分404138lim .1212x xx →==--因此，原式 ……………….. 8分23332.()(1)sin ()sin d ().x f x x e x f x x x f x ππ-=++⎰设，求33()sin d sin ]A f x x x x ππππ-=-⎰解设，两边同乘并在区间，上积分，得23363()sind (1)sin d sin d x f x x x xe x x A x x ππππππ---=++⎰⎰⎰ ……….. 4分由奇偶性得662605315sin d 4sin d 4I 4.64228A x x x x πππππ-====⋅⋅⋅⋅=⎰⎰2335()(1)sin .8x f x x e x π=++所以 …………….. 8分3.()(0)()1[()()]sin d .f x f f f x f x x x ππ''''==+⎰已知连续，且，求积分的值()sin d ()sin d ()sin d sin d ()f x x x f x x x f x x x x f x ππππ'''=+=+⎰⎰⎰⎰解由分部积分公式原式00()sin d [()sin |()cos d ]f x x x f x x f x x x πππ''=+-⎰⎰()sin d ()cos d f x x x f x x x ππ'=-⎰⎰ …………….. 4分()sin d cos d ()f x x x x f x ππ=-⎰⎰00()sin d [cos ()|()sin d ]f x x x x f x f x x x πππ=-+⎰⎰…………….. 6分2= …………….. 8分22(12)4.()cos (0).f x x x f =设，求222211()cos cos 222f x x x x x x ==+解首先， …………….. 2分 由莱布尼茨公式(12)22(12)2(12)111()(cos 2)(cos 2)222f x x x x x x =+=⋅(12)21(11)2(10)12121[(cos 2)(cos 2)2(cos 2)20]2x x C x x C x =⋅+⋅+⋅+……….. 6分 (12)2(10)1201(0)(cos 2)2|2x f C x ==⋅⋅所以10100662cos(210)|662.2x x π==⋅⋅+⋅=-⋅ …………….. 8分(1020)三、解答题每小题分，共分220()()1.()0lim1lim(0)x ax x t f x t d tf x f x x b b xxa b →→-===≠⎰设函数在处可导，且，若，求，的值.()lim1 0()~.x f x x f x x x→=→解知，当时，因此 22222220011()()()()22x x x t f x t d t f x t d x t f u du -=---=⎰⎰⎰ ……….. 4分224001110()~224x x x f u du udu x →=⎰⎰所以，当时，，从而2204()1lim4x x t f x t d tx →-=⎰14.4a b ∴==， …………….. 10分 232.()1(1)0().23nnx x x f x x n n=-+-++-=讨论方程为正整数有几个实根0()0.0x f x x ≤>>解易知当时，，无实根故就讨论即可. 212221(1) 21()10.1k k x n k f x x x xx--+'=-=-+-+-=-<+当时，()(0)1()f x f f =+∞=-∞严格单减，，，.由零点存在定理知原方程有唯一实根 …………….. 6分 22211(2) 2()10 1.1k k x n k f x x x xx x--'==-+-+=-==+当时，令，得01()0() 1()0()x f x f x x f x f x ''<<<>>当时，，严格单减；当时，，严格单增.11111(1)(11)()()02322212f k k k=-+-++-+>--而，2.n k =因此当时原方程无实根 …………….. 10分(1020)四、应用题每小题分，共分sin 1.(02).1cos x t t t x y tπ=-⎧≤≤⎨=-⎩求由曲线与轴所围成区域的面积解 区域的面积20d A y x π=⎰…………….. 2分20(1cos )d(sin )t t t π=--⎰22244200(1cos )d 4sin d 16sin d 2tt t t u u πππ=-==⎰⎰⎰ ………….. 8分31163422ππ=⋅⋅⋅= …………….. 10分2.(110)(021).(1)0(2)(3)02.A B AB z AB AB z z z ===设空间有两点，，，，，求经过且与坐标面垂直的平面方程；求经过的直线方程；将直线绕轴旋转一周，求介于面与之间的旋转体体积(1)(001).()n M x y z =解 平面的法矢量，，设所求平面上任意一点为，，，则1111101[]020.x y z AM AB n x y ---==+-=，，，即平面方程为…………….. 3分11(2).111x y zAB --==-由两点式知经过的直线方程为…………….. 6分 22222(3)11.[02]()()((1)(1))2(1).AB x z y z z z A z x y z z z πππ=-=+=+=-++=+由直线的方程知:，故在区间，上任取一点，做垂直于轴的截面，面积为222028()d 2(1)d .3V A z z z z ππ==+=⎰⎰因此旋转体的体积为…………….. 10分(162713)五、证明题第小题分，第小题分，共分120121.()[0]()d 0(1)(0)()0(2)()cos d 0(0)()()0.f x C f x x f f x x x f f πππξπξηηπηη∈=∈==∈==⎰⎰设函数，，满足，证明：存在，，使得；若同时还满足，则存在不同的，，，使得0(1)()()(0)0()0(0)xF x f t d t F F ππξ===⎰证明令，则，，由罗尔定理知，在，内至少存在，()0()0.F f ξξ'==使得，即 …………….. 3分 00(2)0()cos cos ()[cos ()]sin ()sin ()f x xd x xd F x xF x xF x d x xF x d xπππππ===+=⎰⎰⎰⎰同时(1)(0)()sin 0()0.F F ξπξξξ∈==由知存在，，使得，即12[0][](0)ξξππηη在区间，，，上分别由罗尔定理即得：在，内存在两个不同的点，， 12()()0.f f ηη==使得 …………….. 6分11112.{}1 2.lim !.(1)n n n n n n a a a a n n a n a e-→∞-==≥=+设数列满足：，，证明111211111111!(1)!(1)!(1)!(1)!(2)!(2)!n n n n n a n a n a n n a n n n a ----+==+=++------证明111+1(1)!(2)!1!n n ==+++-- …………….. 3分 111+1()(1)!(2)!1!!e e e n n n n ξ+++=-→→∞--由泰勒公式知， …………….. 5分 11lim !lim.111+1(1)!(2)!1!n n n n a en n →∞→∞∴==+++-- …………….. 7分。
安徽大学2019-2020学年第二学期微积分II考试期末试卷(A卷)
安徽大学 2019-2020 学年第二学期微积分 II 期末考试试卷 (A 卷)I 填空题(4小题×3分=12分)1.已知A (0,0,0),B (1,1,1),C (1,2,3),M (x,y,z )四点共面,则M (x,y,z )点的轨迹方程为.2.已知f (x,y )=(3+e cos x sin 2y )2sin y +(2x +1)y +1,则偏导数f ′x (0,0)为.3.数量场u =xy 2z 3在点P (0,0,0)处沿方向a =(2,1,2)的方向导数∂u ∂a P =.4.数量场u =xy 2z 3在点P (1,1,1)处的梯度grad u |P =.II 计算题(6小题×9分=54分)5.设x =e yz +z 2,求d z6.计算二重积分I = D sin x x d x d y ,其中D 是由x =π,y =x,y =0所围闭区域.7.计算三重积分I = Ω(x 2+y 2+z 2)d x d y d z ,其中Ω是由锥面z = x 2+y 2和球面x 2+y 2+z 2=R 2所围立体.8.记第二型曲线积分I = Lx d y −y d x x 2+y 2,二元函数P (x,y )=−y x 2+y 2,Q (x,y )=x x 2+y 2.(1)当(x,y )=(0,0)时,求∂P ∂y ,∂Q ∂x ;(2)若正向封闭曲线L 所围区域不包含原点,求I ;(3)若原点在正向封闭曲线L 所围闭区域内部,求I .9.计算第一型曲线积分I =L z 2d s ,其中L 为球面x 2+y 2+z 2=a 2(a >0)和平面x +y +z =0的交线.10.计算第二型曲线积分I =Lz d x +x d y +y d z ,其中曲线L 为平面x +y +z =1和三个坐标面的交线,从x 轴的正向看去定向为逆时针.III 应用题(2小题×8分=16分)11.半径为1的球置于O −xyz 坐标系的原点O 处,即该球面与原点O 相切,球心在(0,0,1).记该球面为Ω,最高点为N (0,0,2).(1)求球面Ω的方程;(2)设P 点坐标为(1,−1,0),直线NP 与球面Ω的交点为Q ,求点Q 的坐标;(3)设球面Ω上点T 的坐标为(−513.1213,1),直线NT 与xOy 的坐标面的交点为M ,求M 点的坐标.12.要设置一个容量为V 的长方体开口水箱,试问水箱的长宽高分别等于多少时所用材料最省?IV 证明题(8分)13.设空间有界闭区域Ω由曲面z =x 2+y 2与平面z =0围成,记Ω的表面的外侧为S +,Ω的体积为V ,证明:x 2yz 2d y d z −xy 2z 2d z d x +z (1+xyz )d x d y =VV 综合分析题(10分)14.记f (x )=arctan 1+x 1−x .(1)计算f (0)的值;(2)求f ′(x )在(−1,1)上的解析表示式,并将f ′(x )展开成x 的幂级数;(3)将f (x )展开成x 的幂级数;(4)该幂级数在点x =±1处是否收敛?若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?(5)写出该幂级数的收敛域.。
2020年全国大学高等数学考试及答案解析
2020年全国大学高等数学考试及答案解析2020年全国大学高等数学考试于X月X日隆重举行，考试内容涵盖了数学的各个领域，旨在考察考生对数学知识的掌握和解题能力。
以下是对该次考试的内容及答案解析。
一、选择题该部分共有30道选择题，涵盖了微积分、代数学、几何学等数学的各个分支。
以某一题为例：1. 设函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，若 g(x) = f(x + 1)，则 g(x) 的极值为（）。
A. -1B. 0C. 1D. 2解析：将 x 替换为 x + 1，得到 g(x) = (x + 1)^2 - 4(x + 1) + 3。
展开并化简，得到 g(x) = x^2 - 2x，即 g(x) 为函数 f(x) 的平移，极值与 f(x) 的极值相同，故选项 B 为正确答案。
二、计算题该部分共有10道计算题，要求考生对数学公式和方法的运用。
以某一题为例：2. 求函数 f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 4 在区间 [-2, 3] 上的最小值。
解析：为了求最小值，首先需要计算函数的导数。
对 f(x) 进行求导并令导数等于零，可得 f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 0。
解方程，得到 x = 1 或 x = 2。
对应的两个值带入原函数 f(x)，得 f(1) = -1 和 f(2) = 10。
最小值为 f(1) = -1，故最小值为 -1。
三、证明题该部分共有5道证明题，要求考生能够灵活运用数学定理和方法进行证明。
以某一题为例：3. 证明数列 {an} 是等差数列的充分必要条件是数列的前 n 项和 {Sn} 为二次函数。
解析：首先假设数列 {an} 是等差数列，即存在常数 d，使得 an =a1 + (n - 1)d。
然后求前 n 项和 Sn = a1 + a2 + ... + an。
展开并化简，得到 Sn = na1 + d(1 + 2 + ... + n) = na1 + dn(n + 1)/2。
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江西财经大学
2016－2017学年第一学期期末考试试卷A 试卷代码：ZJBK161701021A 授课课时：64 考试用时：110分钟 课程名称：微积分Ⅰ 适用对象：2016职教应用本科合作班 试卷命题人 胡 敏 试卷审核人
一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸相应位置处。
答案错选或未选者，该题不得分。
每小题3分，共21分。
）
1．设)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，则函数)]([x g f 是 ( ) ．
A. 偶函数
B. 奇函数
C. 非奇非偶函数
D.以上均不对.
2．当x →0时，与x 2等价的无穷小量是（ ）．
A.221x -
B. 2ln(1)x +
C.sin x
D.21x e - 3. 设函数1, 13, 1x x y x x -≤⎧=⎨->⎩
，则1x =是（ ）． A ．连续点 B ． 可去间断点 C ． 跳跃间断点 D ． 第二类间断点
4．已知(1)3f '=，则0(1)(1)lim 5h f h f h
→--=（ ）. A ．35- B ．15- C ．35 D ．15
5. )1(f 是函数x x x f 23)(32-=在]2,1[-上的 ( ) ．
A.最大值
B.极小值
C.极大值
D.最小值
6.设函数)(x f 可微，则=)(x f de ( ) ．
A. dx x f )('
B. dx e x f )(
C. )()(x f de x f '
D. dx e x f x f )()(' .
7．下列等式成立的是 （ ）.
A ．()()d f x dx f x =⎰
B ．()()f x dx f x '=⎰
C ．()()d f x dx f x dx =⎰
D ．()()df x f x =⎰ 二、填空题（将答案写在答题纸的相应位置，不写过程。
每空3分，共18分） 1．函数3()45f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，则该定理中ξ=___ ______.
2．已知a 为常数,1)12(lim 2=+-+∞→ax x
x x ,则=a .
3．曲线ln y x =在1x =处的切线方程为_________________.
4．函数22ln y x x =-的单调递减区间是 .
5．设()x
f x e -=，则()(0)n f = .
6．设x x f +='1)(ln ,则)(x f = .
三、计算题（要求在答题纸上写出详细计算步骤及结果，1-5题每题7分,第6题9分,共44分） 1．求极限 4lim 2n n n n →∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭
2．求极限 11lim()1ln x x x x
→--
3．由方程y e xy e +=确定了函数()y y x =，求(0)y y ''与.
4．计算2
.
5．求不定积分 dx e
x ⎰+12.
6．求函数21x x y -=
的凹向区间，拐点和渐近线.
四、经济应用题（要求在答题纸上写出详细计算步骤及结果，本题共9分）
某工厂生产一种产品的总成本函数为Q Q C 21200)(+=，需求函数为Q P 100=，其中Q
为产量，P 为价格，求
（1）生产该产品的产量Q 是多少时，利润最大？最大利润是多少？
（2）该产品在销售价格2=P 时需求对价格的弹性，并指出其经济意义.
五、证明题（要求在答题纸相应位置上写出证明过程，本题共8分） 证明不等式：0x >时，ln(1)1x x x x
<+<+.。