常微分方程阶段(2)复习题
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六．综合题
1.设 ，其中 为连续函数，求
2.设 具有二阶连续导ห้องสมุดไป่ตู้， ，且为一全微分方程，求 及此全微分方程的通解。
七．证明题
1.设 是方程 的n+1个线性无关解,证明微分方程的任一解恒能表为:
且
2. 阶线性齐次微分方程一定存在 个线性无关解。
3.试验证 = 是方程组x = x,x= ，在任何不包含原点的区间a 上的基解矩阵。
24.形如的方程称为欧拉方程。
25. 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个．
阶非齐次线性微分方程的任意两解必为其相应的齐次线性微分方程的解
三．求高阶微分方程的解
1.试验证 0有基本解组t， ，并求方程
t-1的通解。
yy2ex
3.
4.
5.
6.求方程 的解。
7.求微分方程 的通解。
10
9.求 满足 的特解
4.线性齐次微分方程组 的一个基本解组的个数不能多于（）
（A） （B） （C） （D）
5． 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数不能多于（）个．
（A） （B） （C） （D）
6. 设常系数线性齐次方程特征方程根 ，则此方程通解为（）
（A） ；（B） ；
（C） ；（D）
7.方程 的特解具有形式（）。
（A） ;（B） ;
（C）n个解（D）n个线性无关解
、B为 的常数矩阵，则下列式子错误的是 （）
（A） （B）
（C） （D）
二.填空题
1.以 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为。
2.若 为 阶齐线性微分方程的 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
3.形如___________________的方程称为欧拉方程。
19．设函数 , 方程 在区间［a,b］上的两个解，则其朗斯基行列式不为零，是它们在[a,b]上线性无关的().
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.
20．设函数 , 方程 在区间［a,b］上的两个解，则其朗斯基行列式区间［a,b］上某一点不为零，是它们在[a,b]上线性无关的().
（C） ＝ 其中 为非奇异常数矩阵 （D） ＝ 其中 为常数矩阵
27.若 是 的基解矩阵，则 满足 的解（）
（A） （B）
（C） （D）
28.方程组 的（）称之为 的一个基本解组。
（A）n个线性无关解（B）n个不同解
（C）n个解（D）n个线性相关解
阶齐线性微分方程的（）称方程的一个基本解组。
（A） n个线性相关解（B）n个不同解
(A)是； (B)不是；
(C)也许是； (D)也许不是.
23.两个不同的线性齐次微分方程组是否可以有相同的基本解组()
(A)不可以(B)可以
(C)也许不可以(D)也许可以
24.若 是线性齐次方程组 的一个基解矩阵，T为非奇异n×n常数矩阵，那么 T是否还是此方程的基解矩阵.()
(A)是(B)不是
(C)也许是(D)也许不是
18.若 是 的基解矩阵向量函数 = _____ 是 的满足初始条件 的解。
19．若矩阵 具有 个线性无关的特征向量 ，它们对应的特征值分别为 ，那么矩阵 = ______ 是常系数线性方程组 的一个基解矩阵。
20.若 为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。
4.设 为方程x =Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即 （0）=E），证明: (t )= (t- t )其中t 为某一值.
5.试证：如果 满足初始条件 的解，那么
6.假设 不是矩阵 的特征值，试证非齐线性方程组
有一解形如 ，其中 ， 是常数向量。
7.假设y＝ 是二阶常系数线性微分方程初值问题
（C） ; （D） 。
8.微分方程 的一个特解应具有形式（）
（A） （B）
（C） （D）
9.微分方程 的通解是（）
（A） ； （B） ；
（C） ； （C） 。
10.容易验证： 是二阶微分方程 的解，试指出下列哪个函数是方程的通解。（式中 为任意常数）（）
（A） （B）
（C） （D）
11.微分方程 的一个特解应有形式 ()
21.若 为一阶齐线性方程组的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。
22.方程组 的_________________称之为 的一个基本解组。
23.若 是常系数线性方程组 的基解矩阵，则expAt =____________。
（A） ； （B） ；
（C） ； （D）
16.方程 的通解是().
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) .
17.求方程 的特解时，应令（）
； ；
； 。
18．函数 , 在区间［a,b］上的朗斯基行列式恒为零，是它们在[a,b]上线性相关的().
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.
（A） ； （B） ； （C） ； （D）
12.微分方程 的一个特解应具有形式 ()
（A） （B）
（C） （D）
13.微分方程 的一个特解应具有形式（）
（A） （B）
（C） （D）
14.微分方程 的通解是（）
（A） ； （B） ；
（C） ； （C） 。
15.设线性无关的函数 都是二阶非齐次线性方程 = 的解， 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（）
10.若 为齐线性方程的 个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为
11.若 为齐线性方程组的 个线性无关解，则这一齐线性方程组的所有解可表为
12.若 为齐线性方程组的 个线性无关解，则这一齐线性方程组的基解矩阵为
13.若 是 的基解矩阵，则 满足 的解
14．函数组 的伏朗斯基行列式为 _______ 。
四．求解下列方程组的解
1.解方程组
2.已知 的基解矩阵为 ，求方程组 的通解
3．
4．
5．
6.若 试求方程组 的解 并求expAt
7.试求方程组 =Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中A为
五．应用题
1.试求yx的经过点M(01)且在此点与直线 相切的积分曲线4
2.求微分方程 的一条积分曲线，使其在原点处与直线 相切。
15．若 为 的一个基本解组， 为 的一个特解，则 的所有解可表为 ____________ 。
16．若 为齐线性方程的一个基本解组， 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________________ 。
17．若 是 的基解矩阵，则向量函数 = _______________是 的满足初始条件 的解；
《常微分方程》第二阶段试题
一.单选题
1.函数 （其中 为任意常数）所满足的微分方程是（）
； ；
； 。
2.二阶线性齐次微分方程的两个解 , 成为其基本解组的充要条件是（）
（A）线性无关 （B）朗斯基行列式为零 （C） （D）线性相关
3.二阶线性齐次微分方程的两个解 , 不是基本解组的充要条件是（）
（A）线性无关 （B）朗斯基行列式不为零 （C） （）线性相关
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.
21．函数 , 在区间［a,b］上的朗斯基行列式在[a,b]上某一点处不为零，是它们在[a,b]上线性无关的()
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.
22．n阶线性非齐次微分方程的所有解是否构成一个线性空间()
25.方程组 （）
(A) 个线性无关的解 称之为方程组的一个基本解组
(B) 个解 称之为方程组的一个基本解组
(C) 个线性无关的解 称之为方程组的一个基解矩阵
(D) 个线性相关的解 称之为方程组的一个基本解组
26.若 和 都是 的基解矩阵，则（）
（A） ＝ 其中 为非奇异常数矩阵 （B） ＝ 其中 常数矩阵
的解，试证 是方程
的解，这里f（x）为已知连续函数。
8.设y1(x)、y2(x)是二阶齐次线性方程yp(x)yq(x)y0的两个解令
证明W(x)满足方程Wp(x)W0
9设y1(x)、y2(x)是二阶齐次线性方程yp(x)yq(x)y0的两个解令
且W(x)满足方程Wp(x)W0
证明
4.若 和 都是 的基解矩阵，则 和 具有的关系是__________
5.以 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为。
6. 的通解是
7.若 和 都是 的基解矩阵，则 和 具有的关系是____________
8.若 是 的基解矩阵，则 满足 的解
9.设 的某一解，则它的任一解 ---------------------。
1.设 ，其中 为连续函数，求
2.设 具有二阶连续导ห้องสมุดไป่ตู้， ，且为一全微分方程，求 及此全微分方程的通解。
七．证明题
1.设 是方程 的n+1个线性无关解,证明微分方程的任一解恒能表为:
且
2. 阶线性齐次微分方程一定存在 个线性无关解。
3.试验证 = 是方程组x = x,x= ，在任何不包含原点的区间a 上的基解矩阵。
24.形如的方程称为欧拉方程。
25. 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个．
阶非齐次线性微分方程的任意两解必为其相应的齐次线性微分方程的解
三．求高阶微分方程的解
1.试验证 0有基本解组t， ，并求方程
t-1的通解。
yy2ex
3.
4.
5.
6.求方程 的解。
7.求微分方程 的通解。
10
9.求 满足 的特解
4.线性齐次微分方程组 的一个基本解组的个数不能多于（）
（A） （B） （C） （D）
5． 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数不能多于（）个．
（A） （B） （C） （D）
6. 设常系数线性齐次方程特征方程根 ，则此方程通解为（）
（A） ；（B） ；
（C） ；（D）
7.方程 的特解具有形式（）。
（A） ;（B） ;
（C）n个解（D）n个线性无关解
、B为 的常数矩阵，则下列式子错误的是 （）
（A） （B）
（C） （D）
二.填空题
1.以 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为。
2.若 为 阶齐线性微分方程的 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
3.形如___________________的方程称为欧拉方程。
19．设函数 , 方程 在区间［a,b］上的两个解，则其朗斯基行列式不为零，是它们在[a,b]上线性无关的().
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.
20．设函数 , 方程 在区间［a,b］上的两个解，则其朗斯基行列式区间［a,b］上某一点不为零，是它们在[a,b]上线性无关的().
（C） ＝ 其中 为非奇异常数矩阵 （D） ＝ 其中 为常数矩阵
27.若 是 的基解矩阵，则 满足 的解（）
（A） （B）
（C） （D）
28.方程组 的（）称之为 的一个基本解组。
（A）n个线性无关解（B）n个不同解
（C）n个解（D）n个线性相关解
阶齐线性微分方程的（）称方程的一个基本解组。
（A） n个线性相关解（B）n个不同解
(A)是； (B)不是；
(C)也许是； (D)也许不是.
23.两个不同的线性齐次微分方程组是否可以有相同的基本解组()
(A)不可以(B)可以
(C)也许不可以(D)也许可以
24.若 是线性齐次方程组 的一个基解矩阵，T为非奇异n×n常数矩阵，那么 T是否还是此方程的基解矩阵.()
(A)是(B)不是
(C)也许是(D)也许不是
18.若 是 的基解矩阵向量函数 = _____ 是 的满足初始条件 的解。
19．若矩阵 具有 个线性无关的特征向量 ，它们对应的特征值分别为 ，那么矩阵 = ______ 是常系数线性方程组 的一个基解矩阵。
20.若 为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。
4.设 为方程x =Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即 （0）=E），证明: (t )= (t- t )其中t 为某一值.
5.试证：如果 满足初始条件 的解，那么
6.假设 不是矩阵 的特征值，试证非齐线性方程组
有一解形如 ，其中 ， 是常数向量。
7.假设y＝ 是二阶常系数线性微分方程初值问题
（C） ; （D） 。
8.微分方程 的一个特解应具有形式（）
（A） （B）
（C） （D）
9.微分方程 的通解是（）
（A） ； （B） ；
（C） ； （C） 。
10.容易验证： 是二阶微分方程 的解，试指出下列哪个函数是方程的通解。（式中 为任意常数）（）
（A） （B）
（C） （D）
11.微分方程 的一个特解应有形式 ()
21.若 为一阶齐线性方程组的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。
22.方程组 的_________________称之为 的一个基本解组。
23.若 是常系数线性方程组 的基解矩阵，则expAt =____________。
（A） ； （B） ；
（C） ； （D）
16.方程 的通解是().
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) .
17.求方程 的特解时，应令（）
； ；
； 。
18．函数 , 在区间［a,b］上的朗斯基行列式恒为零，是它们在[a,b]上线性相关的().
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.
（A） ； （B） ； （C） ； （D）
12.微分方程 的一个特解应具有形式 ()
（A） （B）
（C） （D）
13.微分方程 的一个特解应具有形式（）
（A） （B）
（C） （D）
14.微分方程 的通解是（）
（A） ； （B） ；
（C） ； （C） 。
15.设线性无关的函数 都是二阶非齐次线性方程 = 的解， 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（）
10.若 为齐线性方程的 个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为
11.若 为齐线性方程组的 个线性无关解，则这一齐线性方程组的所有解可表为
12.若 为齐线性方程组的 个线性无关解，则这一齐线性方程组的基解矩阵为
13.若 是 的基解矩阵，则 满足 的解
14．函数组 的伏朗斯基行列式为 _______ 。
四．求解下列方程组的解
1.解方程组
2.已知 的基解矩阵为 ，求方程组 的通解
3．
4．
5．
6.若 试求方程组 的解 并求expAt
7.试求方程组 =Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中A为
五．应用题
1.试求yx的经过点M(01)且在此点与直线 相切的积分曲线4
2.求微分方程 的一条积分曲线，使其在原点处与直线 相切。
15．若 为 的一个基本解组， 为 的一个特解，则 的所有解可表为 ____________ 。
16．若 为齐线性方程的一个基本解组， 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________________ 。
17．若 是 的基解矩阵，则向量函数 = _______________是 的满足初始条件 的解；
《常微分方程》第二阶段试题
一.单选题
1.函数 （其中 为任意常数）所满足的微分方程是（）
； ；
； 。
2.二阶线性齐次微分方程的两个解 , 成为其基本解组的充要条件是（）
（A）线性无关 （B）朗斯基行列式为零 （C） （D）线性相关
3.二阶线性齐次微分方程的两个解 , 不是基本解组的充要条件是（）
（A）线性无关 （B）朗斯基行列式不为零 （C） （）线性相关
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.
21．函数 , 在区间［a,b］上的朗斯基行列式在[a,b]上某一点处不为零，是它们在[a,b]上线性无关的()
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.
22．n阶线性非齐次微分方程的所有解是否构成一个线性空间()
25.方程组 （）
(A) 个线性无关的解 称之为方程组的一个基本解组
(B) 个解 称之为方程组的一个基本解组
(C) 个线性无关的解 称之为方程组的一个基解矩阵
(D) 个线性相关的解 称之为方程组的一个基本解组
26.若 和 都是 的基解矩阵，则（）
（A） ＝ 其中 为非奇异常数矩阵 （B） ＝ 其中 常数矩阵
的解，试证 是方程
的解，这里f（x）为已知连续函数。
8.设y1(x)、y2(x)是二阶齐次线性方程yp(x)yq(x)y0的两个解令
证明W(x)满足方程Wp(x)W0
9设y1(x)、y2(x)是二阶齐次线性方程yp(x)yq(x)y0的两个解令
且W(x)满足方程Wp(x)W0
证明
4.若 和 都是 的基解矩阵，则 和 具有的关系是__________
5.以 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为。
6. 的通解是
7.若 和 都是 的基解矩阵，则 和 具有的关系是____________
8.若 是 的基解矩阵，则 满足 的解
9.设 的某一解，则它的任一解 ---------------------。