4.2 理想流体的运动微分方程

4.2 理想流体的运动微分方程

理想流体是指无粘性的且不可压缩流体，是一种假想的，不存在的流体。实际流体有粘性，粘性流体。

1. Enler 运动微分方程

H G

图 4-3 理想流体的作用力

取微六面体如图4-3所示；中心点为),,(z y x M ，M 处的压强为

),,,(t z y x p 。作用在六面体的力有质量力z y x X d d d ρ，z y x Y d d d ρ，z y x Z d d d ρ；流体运动时的惯性力z y x d d d ρa ；由压强产生的表面力，在x

向分别为z y x x p p d d )d 21(∂∂-

和z y x

x p p d d )2

d (∂∂+-。按牛顿第二定律不难列出x 向的力平衡方程如下：

z y x a z y x

x p p x x p p z y x X d d d d d )]2

d ()2d [(d d d x ρρ=∂∂+-∂∂-+

列出y 、z 向力平衡方程。整理x 、y 、z 向力平衡方程（同除m z y x d d d d =ρ）如下

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧==∂∂-==∂∂-

==∂∂-t u a z p Z t u a y p Y t u a x p X d d 1d d 1d d 1z

z

y y x x ρρρ (4.2-1a) 上式也可简记为

t

u

a x p X d d 1i i i i ==∂∂-

ρ 3,2,1=i (4.2-1b) 式(4.2-1a)也可写成矢量形式

t

p d d 1

u

a G =

=∇-

ρ

(4.2-1c) 式中 Z Y X k j i G ++=为单位质量的体积力。

式(4.2-1a)便是理想流体的运动微分方程，是Euler 1755年推导出来的，故又称Euler 运动微分方程。

4.3 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli 方程

Bernoulli 方程在工程流体力学基本理论中占有重要地位，其形式简单、意义明确，在工程中有着广泛应用。Bernoulli 方程是Euler 方程或葛罗米柯方程的积分形式。

一 运动微分方程在流线上的积分形式

在流线上取质点，不论是否定常运动，经过时间t d ，质点沿流线的微位移z y x d d d d k j i s ++=；s d 的分量,d ,d ,d z y x 可表示为

t u z t u y t u x d d ,d d ,d d z y x === （4.3-1）

对式（4.2-1a ）的三式依次乘z y x d ,d ,d ，相加则有

)d d d (1d d d z z p y y p x x p z Z y Y x X ∂∂+∂∂+∂∂-

++ρz t

u

y t u x t u d d d z y x ∂∂+∂∂+∂∂= t u t

u

t u t u t u t u d d d z z y y x x ∂∂+∂∂+∂∂=

z z y y x x d d d u u u u u u ++= （4.3-2）

引入力势函数),,,(t z y x U ，则有

t t

U

U z Z y Y x X d d d d d ∂∂-

=++ （4.3-3） 注意到

t t

p

z z p y y p x x p p d d d d d ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=

（4.3-4） 另外由标量速度关系式 2z 2

y

2x 2u u u u ++=可求 z z y y x x 2z 2

y 2x 2

d d d )2

(d )2(d u u u u u u u u u u ++=++= （4.3-4） 将以上三式代入式（4.3-2），则有

)2

(d d 1d 1d d 2

u t t p p t t U U =∂∂+-∂∂-ρρ

或者

t t f t t

p

t U u p U d )(d )1(

)2(d d 1

d 2=∂∂-∂∂=--ρρ （4.3-5） 积分上式则有

)(2

d 2

t F u p U =--⎰ρ （4.3-6）

式中 ⎰=t t f t F d )()(

如果密度ρ不是压力的函数，则有

)(2

2

t F u p U =--ρ （4.3-7）

对于定常流=)(t F const ，则有

c u p

U =--2

2

ρ (4.3-8)

如果质量力只有重力，即g Z o Y X -===,，则

⎰+-=-=1d c gz z g U

将上式代入式(4.3-8)，则有

02

2

c u p gz -=---ρ (4.3-9)

或者

02

2c g

u p

z =++γ (4.3-10) 式(4.3-10)即是Bernoulli 方程的常见形式。对于同流线上的任意两点1和2，则上式写成

g

u p z g u p z 222

2

22211

1++=++γγ (4.3-11)

对于静止流体，o u =则有

0c p

z =+

γ

(4.3-12)

γ

γ

2

21

1p z p z +

=+

(4.3-13)

上两式即是流体静力学的基本方程。

二 其他形式的Bernoulli 方程 1实际流体微小流面的Bernoulli 方程

图 4-4 实际流体微流束的Bernoulli 方程

Bernoulli 方程是在无粘性流体质点沿流线运动或微流束运动条件下

导出的。实际流体有粘性，流体内部存在摩擦力。为克服这种阻力，流