垂径定理学案#(精选.)

24.1.2垂径定理

1.圆是 图形,它的对称轴是 .

2.如图,MN 、AB 都是⊙O 的弦,它们相交于点C .

(1)若MN 是直径,MN ⊥AB ,

则 , , ； (2)若MN 是直径,AC =BC ,AB 不是直径,

则 , , ；

(3)若MN 是⊙O 的直径,MN ⊥AB ,当MN =10,AB =8时,求OC 长.

3.判断正误:

(1)垂直于弦的直径平分弦. ( ) (2)弦的垂线必过圆心. ( ) (3)平分弦的直径垂直于弦.

( ) (4)连接一条弦所对的两条弧中点的线段是圆的直径.

( )

4．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ）．

A ．CE=DE

B ．B

C B

D = C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD

B

A

C

E D

O

B

A

O

M

B

A

C

D

P O

(1) (2) (3)

5．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）

A ．4

B ．6

C ．7

D ．8

6．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（ ） A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACD C ．AD BD = D ．PO=PD

7、如图4，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A 、4 B 、6 C 、7 D 、8

8、 如图,在⊙O 中,弦AB 的长为8cm ,圆心O 到AB 的距离为3cm ,求O 的半径.

9、问题1：如图1，AB 是两个以O 为圆心的同心圆中大圆的直径，AB 交小圆交于C 、D 两点，求证：AC=BD

问题2：把圆中直径AB 向下平移，变成非直径的弦AB ，如图2，是否仍有AC=BD 呢？

B

A

O

M

问题3：在圆2中连结OC ，OD ，将小圆隐去，得图4，设OC=OD ，求证：AC=BD

问题4：在图2中，连结OA 、OB ，将大圆隐去，得图5，设AO=BO ，求证：AC=BD

提高或冲击中考：

10．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，过C 、D 分别作CN ⊥CD 、DM•⊥CD ，•分别交AB 于N 、M ，请问图中的AN 与BM 是否相等，说明理由．

B

A C

D

O N M

11、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm ，水深GF=2cm.若水面上升2cm （EG=2cm ）， 则此时水面宽AB 为多少？

1.如图,设⊙O 的半径OA =r ,弦AB =a ,OD ⊥AB 于C ,圆心O 到AB 的距离OC =d ,弓形ADB 的高CD=h .根据上述条

件可得两个等式:

(1)d h += ； (2)( )2+( )2=2r .

在a d r h 、、、四个量中,只要已知其中任意两个量,用上面两个关系式列出方程组可求出另外两个量,请填下表:

2．如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____

3．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．

4． “两龙”高速公路是目前我省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面AB 宽为10米，净高CD 为7米，则此隧道单心圆的半径OA 是（ ）

r a

d h 5 6

12 3

5 2

24

8

E D C

F

O B

A G

C

E D

O

F

O D

A

B

C

B

A

C

E

D O M

O P

N

B

A A

B

C

D

E O

A . 5

B .

377 C . 37

5

D . 7 5．如图⊙O 的半径OA=10cm ，弦AB=16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ． 6.如图,圆弧形桥拱的跨度AB =12米,拱高CD =4米,求拱桥的直径.

7. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥弦CD 于点E 。 ①若AB ＝10，OE ＝3，则CD ＝

②若⊙O 的半径是5，CD 的长是8，则AE 的长是 。 ③若AE ：BE ＝8：2，且CD 的长是8，则⊙O 的半径是 。

④若CD 的长是6cm ，BE 的长是1cm 则⊙O 的半径是 。

8．如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．

B

A C

E D

O

9.AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=•8，求∠DAC 的度数．

10、如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm. 求：⊙O 的半径.

11如图，MN 是O 的直径，2MN =，点A 在⊙O 上，30AMN =∠，B 为AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为（ ）Ａ．22

Ｂ．2

Ｃ．1

Ｄ．2

12．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=300m ，E 为⌒

CED 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=45m ，求这段弯路的半径．

O P

B

A