直线与椭圆的位置关系导学案

直线与椭圆的位置关系导学案

The guiding plan of the position relation betw een straight line and ellipse

直线与椭圆的位置关系导学案

前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是高中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。

（1）会判断直线与椭圆的位置关系,理解直线与椭圆相交所得的弦长公式;

（2）通过求弦长具体实例，发现求弦长的一般规律，体验从特殊到一般的认识规律；

（3）通过几何关系与代数运算的不断转化，感悟解析几何基本思想，培养学生逻辑推理能力和运算能力.

教学重点：直线与椭圆的弦长公式探究

教学难点：从特殊到一般规律的发现，“数”和“形”之间的相互转化.

教学过程：

教师：直线与圆有哪些位置关系？如何判断？

学生：直线与圆的位置关系及其判定：

几何方法：相离、相切、相交.

代数方法：方程组无解相离、有唯一解相切、有两组解相交.

教师：由于圆的特殊性，几何方法显得简单，而代数方法具有一般性.自然引出下面问题.类比直线和圆，直线与椭圆有哪些

位置关系？

（板书：：，e: ）

学生：直线与椭圆有三种位置关系：相离、相切、相交.或

直线与椭圆的公共点个数可能是零个、一个、两个.

教师：当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆相离；当有一个公共点时，称直线与椭圆相切，这条直线叫椭圆的一条切线；当直线与椭圆有两个公共点时，称直线与椭圆相交.（板书：相离、相切、相交）

板书课题：直线椭圆位置关系

教师：请大家研究下面问题如何解决

判断出直线与椭圆e：的位置关系是_______

学生1：画图，直线与y的交点（0, 1）在椭圆内部，所以

直线与椭圆相交.

学生2：由（板书），得 ,

，直线与椭圆相交.

教师：（学生思考解答时，教师画出椭圆）学生1的方法简捷明了，使得我们对问题有了直观的认识，为什么多数同学没有

这样解答呢？从“数形结合”是思考问题的首选。

但我们的认识不能停留在此，要进一步深入；如果将直线改为，在化草图的情况下方法1就不适合了，而方法2具有一般性.

（板书

消去y得， .

时相离、时相切、时相交。

教师：上述问题中，设直线与椭圆交于a,b两点，你如何求线段ab的长|ab|呢？

（学生独立解答教师巡视）运算过程中想一想能否优化运算过程，简化运算。

教师提示.

发现下面三种运算，请该生板书

学生1：，；

a（，），b（，）.

|ab|=

.

学生2：，；

a（，），b（，）.

|ab|=

= .

学生3：，；

=

|ab|=

= .

教师：运算是一件既容易又困难的工作，容易是指谁都会算，

困难是指算得既简洁又准确。学生2注意到提取公因数，比学生1的算法要简单；学生3（如果没有学生这样做，老师从学生2中引导出来）注意到与之间关系，使得要研究4个未知量的问题转化为两个未知量的问题。同过大家的实践，可以发现对于直线上两点，结论。这是由于直线上点的横纵坐标是线性变化的。

大家再仔细观察解题过程，还能发现那些结论？

学生：在|ab|= 中，；（）

教师：上述结论是偶然还是必然？能否推广到一般情况使得我们连两个未知数都可以不求了？

学生：当直线与椭圆相交时|ab|= 成立。

教师：小结一下我们上面的探究，

（1）计算不是一味地算，要观察数式之间的联系，比如提取公因式、配方等如学生2；（2）在解析几何中利用数式的几何意义如学生3；（3）从具体过程中发现一般规律，如弦长公式。

教师：解析几何思想方法告诉我们，代数结论要翻译成几何结论，那么|ab|= 在图形中的有怎样几何的意义呢？

教师：（如果前面没有得到）

|ac|=| |,|bc|= ，由勾股定理

可得|ab|= ，比较|ab|= ，

得到。

（如果前面得到了）由，可求得，那么。

教师：这说明弦长公式我们可以从代数和几何两个角度去理

解。

练习：已知直线直线与椭圆e：交于a,b两点，求aob的面积。

小结：请同学总结回顾本节课你学到了什么知识？有什么体会？

直线与椭圆的位置关系及判定方法、弦长公式|ab|= ；弦在x轴上的投影| | ，或，以及用代数法解决几何问题的方法.

解题要反思，从解题过程和结论中能否发现规律；做解析几何题目不是程序化操作，要思考运算背后的几何意义.

1.直线被椭圆截得的弦长为_______________.；

2.直线y=k（x+1）与椭圆的位置关系为______________;

3.直线被椭圆截得的弦长为___________;

4.已知直线直线与椭圆e：交于a,b两点，若三角形aob 的面

积1，求直线的斜率的值.

5.已知直线直线与被椭圆e：截得弦长为 ,求直线的方

程.

.

6.判断直线y=kx+b与椭圆位置关系时，若我们消去的是x，得到的是关于y的二元一次方程：（a ），弦长公式有变化吗？