RD断点回归法

You jump, I will not jump!断点回归的连续性假设
断点回归RD是当代社会科学因果推断的最基本无害的大招之一。

比如我们要研究上一本大学是否能提高一个人的工资，如果直接对比上了一本大学和没上一本大学群体的工资，可能会因为上一本大学的天生能力更强而得出有偏误的结论，而能力等不可观测变量无法控制。

RD给我们提供了一个思想——观察一本线附近上下几分学生的工资。

比一本线低2分、1分的人工资差距不大，高2分、1分的差距也不大，但比一本线低1分的和正好达线的工资上有个跳跃，那这个跳跃就是一本大学对工资的作用。

一本线产生了一个天然的跳跃（两侧的人分别上一本和二本），如果在一本线两侧我们也看到了关注变量（工资）的跳跃，那么就识别了因果效应。

直觉上来看，RD的成立还需要一个关键假设：一本线产生了一个天然的跳跃，但一本线附近学生各特征不能有跳跃！否则就混淆了一本大学对工资的作用。

这就是连续性假设。

1、断点回归背景介绍
Thistlethwaite and Campbell(1960)使用了RD方法后的40年，RD并没有在经济学中大规模使用，一大原因就是RD太像自然科学的随机实验了，太不像经济学传统方法了（比如上周我们BLUE_OLS读Black（1999）关于择校会使房价上升的论文（”Do better schools matter? Parental valuation of elementary education”），该文利用学区边界推断因果，应该说思想跟RD 很像，但没有按照RD框架来写，可能的原因是作者写作年代RD还并不流行）。

直到Hahn, Todd, and van der Klaauw(2001)把RD纳入到了我们熟悉的“反事实因果推断”框架下，如下图（原文图2）。

我们把断点看成一种treatment，断点右侧的是处理组，断点左侧的是控制组。

可以观测到处理后的处理组，和未处理的控制组。

在离断点很近的区间里（图中是X＝2），控制组Y(0)观测不到的那段就可以作为处理组Y(1)观测到的那段的反事实，从而推断出因果效应。

从这里能很清楚地看出“连续性假设”的重要性，如果违反连续性，就不能作为另一组的反事实。

但这里还存在两个难题：1.我们都知道连续性假设很重要，但该假设在经济学语言里很不传统，有点怪怪的。

2.如果从“selection on observables”角度来看，我们通常的2个传统假设——ignorance（unconfoundedness）和overlap，在RD设计里，第一个假设天然满足，因为控制X后，断点两侧样本在是否处理上没有变差了（一侧D＝1，一侧D＝0）；但overlap 肯定不满足，没有交叠部分。

从这个角度来看，我们需要增加连续性假设，用来补偿overlap 不能满足。

RD是不是valid，就取决于这个连续性假设。

2怎样用经济学语言表述连续性假设？
先看一个RD的最简单设定形式：
这里，W不需要假定外生，只要前定于V；并且不需要附加W、U、V之间关系的假设。

下面就可以给“连续性假设”下定义了。

还是以考一本大学为例，假设大家目标都是考上一本，过一本线就行，分数再高也意义不大。

x＝0是一本线，黑色粗线代表Complete control，所有人的分数都刚好达线，完美控制，恰到好处一分不浪费。

点线代表Precise control，即所有人都能通过控制自己的行为，虽然不能确定自己具体分数，但能控制自己都考上一本，所以密度函数是截断的。

虚线代表Imprecise control，即你可以部分控制自己的分数，比如多努力一些考上一本的概率就大，自己分数的分布就可以往右边推推，但是你不能确定你到底考多少分，也不能保证一定考上一本。

RD要求我们都是Imprecise control即可！即便我们可以控制自己行为，只要在断点处是Imprecise control即可，那么断点附近的Pr(W=w,U=u|X=x)就是连续的。

这一点可以通过贝叶斯公式来看：
按照定义，如果我们是Imprecise control，那么f(x|W=w,U=u)就是连续的。

这个东西连续，根据公式（3），Pr(W=w,U=u|X=x)就是连续的，此式连续，就意味着局部随机。

即
局部随机了，RD设计在断点附近的两侧就拥有同样的分布。

这也是RD吸引人的地方：只要有Imprecise control，则在断点附近就像随机试验一样好。

也就是说，RD设计通过断点处一个天然跳跃造成关注变量的跳跃，从而识别因果。

重要前提连续性假设——因为Imprecise control，所以断点跳，(W,U)不跳。

由此，我们就可以进行因果推断了：
最后一步的公式化简靠的就是连续性假设。

3、那如何检验连续性呢？
我们无法直接检验Pr(W=w,U=u|X=x)的连续性，因为U不可观测。

退而求其次，就检验可观测前定变量W在treatment group和control group之间的平衡性，这类似于其他因果推断检验的思路。

可观测的都平衡，不可观测的可以预计也将平衡（当然，还有种补充性的检验方式。

回顾公式（3），可以直接检验X本身的密度，如果存在跳跃，那就要怀疑RD 的可信性了）。

下面这个图就可以看的很清楚了RD和随机试验的关系。

不过，RD的这个检验比随机试验的平衡性检验更重要，因为如果真的做随机试验了，那么W和U在2组之间就是平的了。

然而Imprecise control这个完全是靠我们说的，所以更要给出令人信服的检验。

上图B部分展示了断点回归的核心内容——从You jump, I jump 到You jump, I will not jump。

这也是每篇RD论文必汇报的内容，这背后，隐藏的是一个关于连续性假设的故事。

比如之前我们公众号推送的Chen Yuyu et al.(2013)PNAS上那篇很火的“淮河RD－空气污染－北方人预期寿命少5.5年”，两副令人印象深刻的You jump, I jump 和You jump, I will not jump。

4、结语
这两个最基本内容做完后，RD论文的后续标准化流程就是各种稳健性检验：换换多次项形式、调调带宽、扩大缩小一下断点附近的样本、人为设置一个断点证伪检验、看看有没有data heaping，这里不再赘述了。