双曲线ISO代码译成差分插补代码及程序的实现
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标 系中正二 次 曲线 表达式 得 到
ａ Ｘ ａ ＝ ｂ ｙ２ ｂ Ｙ ２ ＋ １ Ｘ ２ ＋ １ （） １
信息 的 ＩＯ代 码是根据不 同的插补原理 ， 过编程 翻 Ｓ 通
译成 的相应 代码． 数 控 系统来 说 ， 补 是最 重要 的 对 插 计算任务． 目前 普遍 采 用 的插补 算 法有 两 大类 ： 类 一 是脉冲增量插 补 ， 如逐点 比较法［ 、 １ 数字 积分法 、 ］ 比较 积分法［ 、 ２ 矢量判断 法等 ； ］ 另一类是 数 据采样 插补［ ． ３ ］ 本文 采用的差 分插 补原 理［ 基 于 多项式 函数 插值 拟 ４ ］ 合 的理论 ， 有很 多 的优点 ， 计算 曲线 的某点 函数 具 可 值 、 阶、 阶导数 、 一 二 曲率半 径 、 判断 曲线 的凸 凹性 ， 适 合于任意 圆锥 曲线 （ 包括直 线 ， 圆弧 ， 圆， 物线 ， 椭 抛 双
则 （ ， ） 足式 （ ） 即 一ｉ一 满 ３，
ｎ 。 。 ＋ ｂ 一 口 ｂ
—
（ ） Ｉ ＋口 Ｉ ｌ （ ｉ 当 （ ｉ ） ≤ ｚ一２ ） ， ｘ 一７ ， Ｊ ｚ ａ时 Ｇ ｙ ８ Ｊ
Ｉ Ｉ ｚ．
２ １ 顺 时针 双 曲线 相对 坐标编 程 ．
（） ３ 当 ＞ Ｏ ＆＆ ＞Ｏ时 ， 曲线 起 点 在第 三 象 限 ， 此 时双 曲线在 相对 坐标 下 曲线方程 为
在 ｙ轴按 计数方 向的投影长 度． Ｋ≤ ｌ ， 当 时 计数 方 向 ：７ ， 为 曲线在 ｘ 轴按 计数 方 向的投影 长 ８
Ｊ
度 ； ｙ表示 在 以曲线起 点为 原 点 的绝对 坐标 系 中 ， ｌ ｘ
曲线起 点 的切线 方 向所在 的象 限 号． 曲线 插 补 过 在
程中， 要始 终保 证 ｊ ｌ ｘ ￣Ｏ且 ｊ ｌ ， ｙ ＞Ｏ 以使 曲线 加工 沿 着 曲线 的走 向．
２ 愚 ＆＆ ） 一Ｏ ＞０ 即 以 ｘ 轴 为 实 轴 ， 边 的那 ， 右
条双 曲线 ， 图 ２ 示． 如 所
（） １ 当 ＜ Ｏ ＆＆ ＞Ｏ时 ， 曲线 起 点 在 第 四象 限 ， 此 时双 曲线在相 对 坐标 下 曲线方 程为
＿
Ｇ ８ ｚ 一７ ；当 ｌ ｌ ｌ ，Ｊ Ｊ 时 Ｊ ＝ｚ； ｌ Ｉ Ｉ ， Ｙ≤ Ｊ 当 １ 时 Ｙ＞ Ｊ
Ａｂｓｒ ｃ ： ｔａ ｔ Ｂａ ｅ ｎ ｔ ａ ｔｔ ａ ｈｅ ｅ ｉ ｈｏ ｔｏ ｎｕ ａ ｔ ｒｎ ｘ ｍｐｌ ｓｏ ｏ ｓ ｄ ｏ ｈｅ ｆ ｃ ｈ ｔｔ ｒ ｓ ｓ ｒ ｆｍａ ｆ ｃ ｕ ｉ ｇ ｅ ａ ｅ ｆｃ ｍｐｌｘ ｃ ｖ ｓ ｅ ｕｒ ｅ ，ｗｅ
Ｇｘ ｙ一 ７ ，Ｊ — ｌ １ ８ Ｊ ．
对式 （ ） 导数 确定计 数方 向和 计数 长度 ： ４求 （ 当ｌ （ ｉ Ｊ —ｉ ）ｌ ｉ （ ） —ｎ ＞ ＋ ） ｉ ２ ） ， ｌ （＋ ａ 时
（ 一７ ， Ｊ Ｉ Ｊ ９ Ｊ— ； （ｉ当 ｌ （ —ｉ ） ≤ ｉ （ ｉ ） Ｊ ｚ —ａ Ｉ ＋ ） ｉ ２ ）ｌ ， ｌ （＋ ａ 时
＼ ＼Ｊ ＼
／
图１ ＝Ｏ＆ ＆ ｙ ０时 双 曲线 ＜
２ 顺 时针 双 曲线 ＩＯ 代 码 转化 Ｓ
顺 时针双 曲线 Ｉ Ｏ代 码的定义 为 Ｓ
Ｇ０ Ｘ ９ Ｙ Ｉ Ｊ Ａａ Ｋｋ ｙ ｉ ｊ
２ ｙ Ｘ ＋ Ｘ ｚ（ ａ 。 ＝ ｚ一 ２ ｙ。 口）
ｄ ｆ ｅＩ Ｏ ｏ ｅ ｏ ｙ ｅ ｂ ｌ． Ｔｈ ｒ ｇ ａ ａ ｄ ｔ ｅ ｍｅｈ ｄ ｏ ｒ ｎ ｌｔ ｇ ｆｏ Ｉ Ｏ ｏ ｅ ｔ ｅｉ Ｓ ｃ ｄ ｆ ｈ ｐ ｒ ｏａ ｎ ｅ ｐ ｏ ｒ ｍ ｎ ｈ ｔ ｏ ｆｔａ ｓａｉ ｒ ｍ Ｓ ｃ ｄ ｏ ｎ ｄｆｅｅ ｃ ｎ ｅｐ ｌｔ ｎ ｃ ｄ ｒ ｉｃ ｓ ｅ ，ａ ｄ ｔ ｅｐ ｏ ｒ ｍ ｓｄ ｖ ｌｐ ｄｕ ｉｇ Ｃ＋ ＋ Ｂ ｉ ｅ ｉ ｒ ｎ ｅｉ ｔｒ ｏａ ｉ ｏ ｅｗｅ ｅｄｓ ｕ ｓ ｄ ｎ ｈ ｒ ｇ ａ ｗａ ｅ ｅｏ ｅ ｓｎ ｆ ｏ ｕｌ ｒ ｄ
Ｉｙ 一 ６＋ ｂ ｊｌ ２
１ 一 口 Ｊ。 ２
Ｉｙ —２ ２ ｊ２ ６
（） ２
１ 基 于 差 分 插 补 原 理 的 曲线 方程 坐 标 系变换及 ５ Ｂ代码 定 义
设 Ｘ 轴 始 终 水 平 向右 、 ｙ轴 始 终 垂 直 向 上 、 坐
收 稿 日期 ： ０ ９一Ｏ ２ ２０ ８— ９
Ｚ 一４ ｚ ４．
对式 （ ） ６ 求导 数确 定计 数方 向和计数 长度 ： （ 当『 （ ｉ Ｊ ｚ＋ ｉ ａ ｌ ｉ （ ） ＋ ） ＞ ＋Ｙ （ ＋ ２ ） ， ｌ ）ｉ ａ 时
Ｇ３ｙ＝ ７ ，Ｊ ｌ ； ｃ ９ Ｊ ｌ Ｙ
（ｉ当 １ （ ｉ ａ ≤ ｉ （ ｉ ＋ ＋ ） ＋ ） ｉ － ａ 时 ， ） １ （ － ２ ）Ｉ ＋
ｙ轴 为实轴 ， 曲线 的标准方 程为 双
Ｘ２ ——一 Ａ ２ Ｂ２ １ ｌ
一
对 式 （） ５ 求导 数确 定计 数方 向和计 数 长度 ：
（） ｌ ｚ＋口 Ｊ ｌ （ ｉ当 Ｙ（ ） ＞ ｚ一２ ） 时 ， ｘ 一７ ， ａ Ｉ Ｇ ｙ ９
（ ３ ）
一
一
Ｊ ＝ Ｉ Ｊ＝ ｌ ＝Ｙ ；
ｊ ｌ ｊ ｌｊ ２ｊ ２分别 叫 Ｘ 的一 阶差 分 ， 的 ｘ ，ｙ ，ｘ ，ｙ ｙ
一
阶差 分 ， 的二 阶差 分 ， 的二 阶差 分 ；Ｊ是计 数 Ｘ ｙ Ｊ
长度 ， 相对 坐标 系下 ， 曲线终 点 的导数绝 对值为 在 设
Ｋ， Ｋ＞ Ｉ时 ， 当 计数 方 向 Ｇ ｙ＝７ ， 时 为 曲线 ｘ ９此
ｊ — Ｙ （ ａ １ ，ｙｌ ｘｌ ２ ＋ ） ｊ ＝ｚ（ 一 ２ ， ａ） ｊ — ２ ｊ ２ ｘ２ ｙ ， ｙ —２ （ ＋ ２ ， ｉ ｉ ａ） Ｚ 一４ ． ３
２ （。 ２ ｉＹ 一 （ ２ ｉ Ｙ ｊ ｉ＋ ａ ） ｉ＋ ａ ）
则 差分插 补代码 为
ｊ ＝Ｊ （ ｉ ２ 一 １ ， ｘｌ ２ ＋ ａ ） ｊ ｌ 一 ｉ２ ＋ １ （＋ ２ ） ｙ ＝ （ｊ ） ｉ ａ ， ｉ ＝ 一 ２ ，ｙ 一 一 ２ （ ＋２ ）， ｘ２ ｊ ｊ２ ｉｉ ａ
作 者 简 介 ： 肖 （９ ３ ， ， 士 研 究 生 ． — ｉ ｌ ｘａ＿ｄ ｔ １ ３ Ｃｒ 刘 １８ 一） 男 硕 Ｅ ｍａｌ ｉ ｉ ｓｕ＠ ６ ．Ｏ ：ｕ ｏ ｎ
第 ２期
刘 肖 ， ： 曲 线 ＩＯ代 码 译 成 差 分 插 补 代 码 及 程 序 的实 现 等 双 Ｓ
８ ３
１ｋ ＆ ＆ ） ＝Ｏ ＜ Ｏ 即 以 Ｘ 轴 Biblioteka Baidu 实 轴 ， 边 的那 ， 左 条 双 曲线 ， 图 １所示 ． 如 （） １ 当 ＞Ｏ ＆＆ ＜Ｏ时 ， 曲线起 点在 第二 象 限 ， 此 时双 曲线 在相对 坐标 下 的方 程为
一
±
口
一
０。
：１ ： ：
（） ６
ｉ ｉ ｄｏ ｎ Ｗ ｎ ｗｓ ＸＰ ｐｅ ａ ｉ ｙ ｔ ｍ ， ｎｄ ｇ ｏｄ ｒ ｓ ｌｓ ｗｅ ｅ ｏｂ ａｎｅ ｏ ｒ ｔｎｇ ｓ ｓ ｅ ａ ｏ ｅ ｕ ｔ ｒ ｔ ｉ ｄ．
Ｋｅ ｒ ｓ ｙ ｅ ｂ ｌ ；ｃ ｄ ｆ Ｉ Ｏ ；ｄ ｆｅ ｅ ｃ ｎ ｅ ｐ ｌｔｏ ｙ ｗｏ ｄ ：ｈ ｐ ｒ ｏ ａ ｏ ｅ ｏ Ｓ ｉ ｒ ｎ ｅｉｔ ｒ ｏ ａｉｎ ｆ
中图分 类号 ： ３ １ ＴＰ １ 文献标 志码 ：Ａ
Ｐｒ ｇ ａ ａ ｆ ｅ ｅ ｃ ｎｔ ｒ ｏ ａ ｉ ｎ ｏ Ｓ ｃ ｄ ｆ ｈ ｐ ｒ ｏ ａ ｏ ｒ ｍ ｎｄ ｄｉｆ ｒ ｎ ｅ ｉ ｅ ｐ ｌ ｔｏ ｆＩ Ｏ ｏ ｅ ｏ ｙ ｅ ｂ ｌ
ＬＩ Ｘｉｏ ＨＡＯ ｎ —ｈ ，ＹＵ ａ ｇ ｗｅ，Ｚ Ｕ ａ ，Ｚ Ｑｉｇ ｚ ｉ Ｇｕ ｎ — ｉ ＨＡＮＧ ｉｎ Ｊａ
在数控机床 控制系统 的设 计 中， 输入 的包含工件
标 原点 不 定 的坐 标 系 为 绝 对 坐 标 系 ， 限 定 义 为 象 Ｌ １ Ｌ ２ Ｌ ３ Ｌ４ ． ４ 、 ４ 、 ４ 、 ４ 以加 工 曲 线起 点 为坐 标 原 点 ， 起点 的切线 方 向在 第一 象限建 立 的坐 标系 为相对坐 标 系． 将绝 对坐标 系 中 的 曲线 表 达式 转 化为 相 对坐
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ ２ １２ ．
Ｍ ａ ． ２ １０ ｒ ０
文章编 号 ： ６ ２ ６ ９ （０ ０ ０ － ０ ２ ０ １７— １７２ １） ２ ０８ — ５
双 曲线 ＩＯ 代 码译 成 差 分插 补 代码 及 程 序 的实 现 Ｓ
刘 肖 ，赵 庆 志 ，于光伟 ，张 健
（ 山东 理工 大学 机械 工程 学院 ，山东 淄博 ２ ５ ４ ） ５ ０ ９ 摘 要 ： 对 目前复 杂 曲线加工 实例缺 少 的现 状 ， 于差分插 补 原理定 义 了双 曲线 ＩＯ代 码 ， 细 针 基 Ｓ 详 论述 了将 双 曲线 的 ＩＯ 代 码翻译 成差分 插 补代码 的方法及 其 程序 的实现 ， Ｓ 并在 Ｗｉｄ ｗｓＸ ｎ ｏ Ｐ环境 下用 ｃ ＋Ｂ ｉ ｅ 开发程 序进 行 了验证 ， 得 了良好 的效果． ＋ ｕｌ ｒ ｄ 取 关键 词 ：双 曲线 ；ＩＯ 代码 ；差分插 补 Ｓ
第２卷 第 ２ ４ 期
２１ ０ ０年 ３月
山 东 理 工 大 学 学 报（ 然 科 学 版） 自
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＳ ａ ｄ ｎ ｉｅｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｏ ） ｏ ｒ ａ ｈ ｎ ｏ ｇ Ｕｎｖ ｒｉ ｏ ｃ ｎ ｌｇ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ｏ ｙ ｉ
整 理 为式 （ ） 式 的表达 式得 １形
２ 口 Ｘ ＋ Ｘ。 （＋ ） ：
一
Ｄ
（） ４
ｎ
２ （ ２ ｉＹ＋ （ ２ ｉ Ｙ。 Ｊ ｉ＋ ａ ） ｉ＋ ａ ）
整 理为式 （ ） 式 的表达式 得 １形
２ 口 Ｘ — Ｘ 一 （＋ ）
一
则 差分 插补 代码 为
一 ２ — ． ｉ
（ Ｘ－ （ － ｉ） － ａ ）２ 一
ａ ０‘ ‘
其 中 ：ｚ， 为双 曲线终点 相对起 点 的坐标 ； ，） （ ） （ 为
双 曲线 的顶点 相 对起 点 的坐 标 ； ａ为 实 半 轴 长度 Ｉ ｋ ＝０表示 双 曲线 以 Ｘ 轴 为实 轴 ， 一１ 示 双 曲线 以 ｋ 表
则 差 分插补 代码 为
ｚ１ 一 （ ａ＋ １ ，ｙｌ ２ ） ｊ —ｚ（ 一 ２ ）， ａ ｊ ２ ２ ｊ ２ ２ 一 ２ ） Ｚ 一４ ． ｘ — ｙ ， ｙ — ｚ（ ａ ，ｚ ３
（ ｃ ｏ ｌ ｆＭ ｅ ｈ ｎ ｃ ｌ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ，Ｓ ａ ｄ ｎ ｉｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ，Ｚ ｂ ５ ０ ９，Ｃｈ ｎ ） Ｓ ｈ ｏ ｃ ａ ｉａ ｏ Ｅｎ ｉ ｅ ｒｎ ｈ ｎ ｏ ｇ Ｕｎ ｖ ｒｉｙ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ ｉｏ２ ５ ４ ｉａ
则 差分插 补代 码定 义为
ｊ ，ｊ ｌ， ｘ２ ｙ ，Ｊ ｘｌ ｙ ｊ ，ｊ ２ Ｊ，Ｇｘ ｙ，ｌ ｙ ｘ
其中
ｒｘｌ 口 ＋ ａ ｊ 一 ２ ｌ
曲线等 ） 的插 补 ， 尤其是非 圆曲线 的插 补． 用差 分插 补
原理可编制通 用化模块程 序［ ， 文着 重论述 双 曲线 ５本 ］ ＩＯ代码译成 差分插补 代码的方法． Ｓ
ａ Ｘ ａ ＝ ｂ ｙ２ ｂ Ｙ ２ ＋ １ Ｘ ２ ＋ １ （） １
信息 的 ＩＯ代 码是根据不 同的插补原理 ， 过编程 翻 Ｓ 通
译成 的相应 代码． 数 控 系统来 说 ， 补 是最 重要 的 对 插 计算任务． 目前 普遍 采 用 的插补 算 法有 两 大类 ： 类 一 是脉冲增量插 补 ， 如逐点 比较法［ 、 １ 数字 积分法 、 ］ 比较 积分法［ 、 ２ 矢量判断 法等 ； ］ 另一类是 数 据采样 插补［ ． ３ ］ 本文 采用的差 分插 补原 理［ 基 于 多项式 函数 插值 拟 ４ ］ 合 的理论 ， 有很 多 的优点 ， 计算 曲线 的某点 函数 具 可 值 、 阶、 阶导数 、 一 二 曲率半 径 、 判断 曲线 的凸 凹性 ， 适 合于任意 圆锥 曲线 （ 包括直 线 ， 圆弧 ， 圆， 物线 ， 椭 抛 双
则 （ ， ） 足式 （ ） 即 一ｉ一 满 ３，
ｎ 。 。 ＋ ｂ 一 口 ｂ
—
（ ） Ｉ ＋口 Ｉ ｌ （ ｉ 当 （ ｉ ） ≤ ｚ一２ ） ， ｘ 一７ ， Ｊ ｚ ａ时 Ｇ ｙ ８ Ｊ
Ｉ Ｉ ｚ．
２ １ 顺 时针 双 曲线 相对 坐标编 程 ．
（） ３ 当 ＞ Ｏ ＆＆ ＞Ｏ时 ， 曲线 起 点 在第 三 象 限 ， 此 时双 曲线在 相对 坐标 下 曲线方程 为
在 ｙ轴按 计数方 向的投影长 度． Ｋ≤ ｌ ， 当 时 计数 方 向 ：７ ， 为 曲线在 ｘ 轴按 计数 方 向的投影 长 ８
Ｊ
度 ； ｙ表示 在 以曲线起 点为 原 点 的绝对 坐标 系 中 ， ｌ ｘ
曲线起 点 的切线 方 向所在 的象 限 号． 曲线 插 补 过 在
程中， 要始 终保 证 ｊ ｌ ｘ ￣Ｏ且 ｊ ｌ ， ｙ ＞Ｏ 以使 曲线 加工 沿 着 曲线 的走 向．
２ 愚 ＆＆ ） 一Ｏ ＞０ 即 以 ｘ 轴 为 实 轴 ， 边 的那 ， 右
条双 曲线 ， 图 ２ 示． 如 所
（） １ 当 ＜ Ｏ ＆＆ ＞Ｏ时 ， 曲线 起 点 在 第 四象 限 ， 此 时双 曲线在相 对 坐标 下 曲线方 程为
＿
Ｇ ８ ｚ 一７ ；当 ｌ ｌ ｌ ，Ｊ Ｊ 时 Ｊ ＝ｚ； ｌ Ｉ Ｉ ， Ｙ≤ Ｊ 当 １ 时 Ｙ＞ Ｊ
Ａｂｓｒ ｃ ： ｔａ ｔ Ｂａ ｅ ｎ ｔ ａ ｔｔ ａ ｈｅ ｅ ｉ ｈｏ ｔｏ ｎｕ ａ ｔ ｒｎ ｘ ｍｐｌ ｓｏ ｏ ｓ ｄ ｏ ｈｅ ｆ ｃ ｈ ｔｔ ｒ ｓ ｓ ｒ ｆｍａ ｆ ｃ ｕ ｉ ｇ ｅ ａ ｅ ｆｃ ｍｐｌｘ ｃ ｖ ｓ ｅ ｕｒ ｅ ，ｗｅ
Ｇｘ ｙ一 ７ ，Ｊ — ｌ １ ８ Ｊ ．
对式 （ ） 导数 确定计 数方 向和 计数 长度 ： ４求 （ 当ｌ （ ｉ Ｊ —ｉ ）ｌ ｉ （ ） —ｎ ＞ ＋ ） ｉ ２ ） ， ｌ （＋ ａ 时
（ 一７ ， Ｊ Ｉ Ｊ ９ Ｊ— ； （ｉ当 ｌ （ —ｉ ） ≤ ｉ （ ｉ ） Ｊ ｚ —ａ Ｉ ＋ ） ｉ ２ ）ｌ ， ｌ （＋ ａ 时
＼ ＼Ｊ ＼
／
图１ ＝Ｏ＆ ＆ ｙ ０时 双 曲线 ＜
２ 顺 时针 双 曲线 ＩＯ 代 码 转化 Ｓ
顺 时针双 曲线 Ｉ Ｏ代 码的定义 为 Ｓ
Ｇ０ Ｘ ９ Ｙ Ｉ Ｊ Ａａ Ｋｋ ｙ ｉ ｊ
２ ｙ Ｘ ＋ Ｘ ｚ（ ａ 。 ＝ ｚ一 ２ ｙ。 口）
ｄ ｆ ｅＩ Ｏ ｏ ｅ ｏ ｙ ｅ ｂ ｌ． Ｔｈ ｒ ｇ ａ ａ ｄ ｔ ｅ ｍｅｈ ｄ ｏ ｒ ｎ ｌｔ ｇ ｆｏ Ｉ Ｏ ｏ ｅ ｔ ｅｉ Ｓ ｃ ｄ ｆ ｈ ｐ ｒ ｏａ ｎ ｅ ｐ ｏ ｒ ｍ ｎ ｈ ｔ ｏ ｆｔａ ｓａｉ ｒ ｍ Ｓ ｃ ｄ ｏ ｎ ｄｆｅｅ ｃ ｎ ｅｐ ｌｔ ｎ ｃ ｄ ｒ ｉｃ ｓ ｅ ，ａ ｄ ｔ ｅｐ ｏ ｒ ｍ ｓｄ ｖ ｌｐ ｄｕ ｉｇ Ｃ＋ ＋ Ｂ ｉ ｅ ｉ ｒ ｎ ｅｉ ｔｒ ｏａ ｉ ｏ ｅｗｅ ｅｄｓ ｕ ｓ ｄ ｎ ｈ ｒ ｇ ａ ｗａ ｅ ｅｏ ｅ ｓｎ ｆ ｏ ｕｌ ｒ ｄ
Ｉｙ 一 ６＋ ｂ ｊｌ ２
１ 一 口 Ｊ。 ２
Ｉｙ —２ ２ ｊ２ ６
（） ２
１ 基 于 差 分 插 补 原 理 的 曲线 方程 坐 标 系变换及 ５ Ｂ代码 定 义
设 Ｘ 轴 始 终 水 平 向右 、 ｙ轴 始 终 垂 直 向 上 、 坐
收 稿 日期 ： ０ ９一Ｏ ２ ２０ ８— ９
Ｚ 一４ ｚ ４．
对式 （ ） ６ 求导 数确 定计 数方 向和计数 长度 ： （ 当『 （ ｉ Ｊ ｚ＋ ｉ ａ ｌ ｉ （ ） ＋ ） ＞ ＋Ｙ （ ＋ ２ ） ， ｌ ）ｉ ａ 时
Ｇ３ｙ＝ ７ ，Ｊ ｌ ； ｃ ９ Ｊ ｌ Ｙ
（ｉ当 １ （ ｉ ａ ≤ ｉ （ ｉ ＋ ＋ ） ＋ ） ｉ － ａ 时 ， ） １ （ － ２ ）Ｉ ＋
ｙ轴 为实轴 ， 曲线 的标准方 程为 双
Ｘ２ ——一 Ａ ２ Ｂ２ １ ｌ
一
对 式 （） ５ 求导 数确 定计 数方 向和计 数 长度 ：
（） ｌ ｚ＋口 Ｊ ｌ （ ｉ当 Ｙ（ ） ＞ ｚ一２ ） 时 ， ｘ 一７ ， ａ Ｉ Ｇ ｙ ９
（ ３ ）
一
一
Ｊ ＝ Ｉ Ｊ＝ ｌ ＝Ｙ ；
ｊ ｌ ｊ ｌｊ ２ｊ ２分别 叫 Ｘ 的一 阶差 分 ， 的 ｘ ，ｙ ，ｘ ，ｙ ｙ
一
阶差 分 ， 的二 阶差 分 ， 的二 阶差 分 ；Ｊ是计 数 Ｘ ｙ Ｊ
长度 ， 相对 坐标 系下 ， 曲线终 点 的导数绝 对值为 在 设
Ｋ， Ｋ＞ Ｉ时 ， 当 计数 方 向 Ｇ ｙ＝７ ， 时 为 曲线 ｘ ９此
ｊ — Ｙ （ ａ １ ，ｙｌ ｘｌ ２ ＋ ） ｊ ＝ｚ（ 一 ２ ， ａ） ｊ — ２ ｊ ２ ｘ２ ｙ ， ｙ —２ （ ＋ ２ ， ｉ ｉ ａ） Ｚ 一４ ． ３
２ （。 ２ ｉＹ 一 （ ２ ｉ Ｙ ｊ ｉ＋ ａ ） ｉ＋ ａ ）
则 差分插 补代码 为
ｊ ＝Ｊ （ ｉ ２ 一 １ ， ｘｌ ２ ＋ ａ ） ｊ ｌ 一 ｉ２ ＋ １ （＋ ２ ） ｙ ＝ （ｊ ） ｉ ａ ， ｉ ＝ 一 ２ ，ｙ 一 一 ２ （ ＋２ ）， ｘ２ ｊ ｊ２ ｉｉ ａ
作 者 简 介 ： 肖 （９ ３ ， ， 士 研 究 生 ． — ｉ ｌ ｘａ＿ｄ ｔ １ ３ Ｃｒ 刘 １８ 一） 男 硕 Ｅ ｍａｌ ｉ ｉ ｓｕ＠ ６ ．Ｏ ：ｕ ｏ ｎ
第 ２期
刘 肖 ， ： 曲 线 ＩＯ代 码 译 成 差 分 插 补 代 码 及 程 序 的实 现 等 双 Ｓ
８ ３
１ｋ ＆ ＆ ） ＝Ｏ ＜ Ｏ 即 以 Ｘ 轴 Biblioteka Baidu 实 轴 ， 边 的那 ， 左 条 双 曲线 ， 图 １所示 ． 如 （） １ 当 ＞Ｏ ＆＆ ＜Ｏ时 ， 曲线起 点在 第二 象 限 ， 此 时双 曲线 在相对 坐标 下 的方 程为
一
±
口
一
０。
：１ ： ：
（） ６
ｉ ｉ ｄｏ ｎ Ｗ ｎ ｗｓ ＸＰ ｐｅ ａ ｉ ｙ ｔ ｍ ， ｎｄ ｇ ｏｄ ｒ ｓ ｌｓ ｗｅ ｅ ｏｂ ａｎｅ ｏ ｒ ｔｎｇ ｓ ｓ ｅ ａ ｏ ｅ ｕ ｔ ｒ ｔ ｉ ｄ．
Ｋｅ ｒ ｓ ｙ ｅ ｂ ｌ ；ｃ ｄ ｆ Ｉ Ｏ ；ｄ ｆｅ ｅ ｃ ｎ ｅ ｐ ｌｔｏ ｙ ｗｏ ｄ ：ｈ ｐ ｒ ｏ ａ ｏ ｅ ｏ Ｓ ｉ ｒ ｎ ｅｉｔ ｒ ｏ ａｉｎ ｆ
中图分 类号 ： ３ １ ＴＰ １ 文献标 志码 ：Ａ
Ｐｒ ｇ ａ ａ ｆ ｅ ｅ ｃ ｎｔ ｒ ｏ ａ ｉ ｎ ｏ Ｓ ｃ ｄ ｆ ｈ ｐ ｒ ｏ ａ ｏ ｒ ｍ ｎｄ ｄｉｆ ｒ ｎ ｅ ｉ ｅ ｐ ｌ ｔｏ ｆＩ Ｏ ｏ ｅ ｏ ｙ ｅ ｂ ｌ
ＬＩ Ｘｉｏ ＨＡＯ ｎ —ｈ ，ＹＵ ａ ｇ ｗｅ，Ｚ Ｕ ａ ，Ｚ Ｑｉｇ ｚ ｉ Ｇｕ ｎ — ｉ ＨＡＮＧ ｉｎ Ｊａ
在数控机床 控制系统 的设 计 中， 输入 的包含工件
标 原点 不 定 的坐 标 系 为 绝 对 坐 标 系 ， 限 定 义 为 象 Ｌ １ Ｌ ２ Ｌ ３ Ｌ４ ． ４ 、 ４ 、 ４ 、 ４ 以加 工 曲 线起 点 为坐 标 原 点 ， 起点 的切线 方 向在 第一 象限建 立 的坐 标系 为相对坐 标 系． 将绝 对坐标 系 中 的 曲线 表 达式 转 化为 相 对坐
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ ２ １２ ．
Ｍ ａ ． ２ １０ ｒ ０
文章编 号 ： ６ ２ ６ ９ （０ ０ ０ － ０ ２ ０ １７— １７２ １） ２ ０８ — ５
双 曲线 ＩＯ 代 码译 成 差 分插 补 代码 及 程 序 的实 现 Ｓ
刘 肖 ，赵 庆 志 ，于光伟 ，张 健
（ 山东 理工 大学 机械 工程 学院 ，山东 淄博 ２ ５ ４ ） ５ ０ ９ 摘 要 ： 对 目前复 杂 曲线加工 实例缺 少 的现 状 ， 于差分插 补 原理定 义 了双 曲线 ＩＯ代 码 ， 细 针 基 Ｓ 详 论述 了将 双 曲线 的 ＩＯ 代 码翻译 成差分 插 补代码 的方法及 其 程序 的实现 ， Ｓ 并在 Ｗｉｄ ｗｓＸ ｎ ｏ Ｐ环境 下用 ｃ ＋Ｂ ｉ ｅ 开发程 序进 行 了验证 ， 得 了良好 的效果． ＋ ｕｌ ｒ ｄ 取 关键 词 ：双 曲线 ；ＩＯ 代码 ；差分插 补 Ｓ
第２卷 第 ２ ４ 期
２１ ０ ０年 ３月
山 东 理 工 大 学 学 报（ 然 科 学 版） 自
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＳ ａ ｄ ｎ ｉｅｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｏ ） ｏ ｒ ａ ｈ ｎ ｏ ｇ Ｕｎｖ ｒｉ ｏ ｃ ｎ ｌｇ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ｏ ｙ ｉ
整 理 为式 （ ） 式 的表达 式得 １形
２ 口 Ｘ ＋ Ｘ。 （＋ ） ：
一
Ｄ
（） ４
ｎ
２ （ ２ ｉＹ＋ （ ２ ｉ Ｙ。 Ｊ ｉ＋ ａ ） ｉ＋ ａ ）
整 理为式 （ ） 式 的表达式 得 １形
２ 口 Ｘ — Ｘ 一 （＋ ）
一
则 差分 插补 代码 为
一 ２ — ． ｉ
（ Ｘ－ （ － ｉ） － ａ ）２ 一
ａ ０‘ ‘
其 中 ：ｚ， 为双 曲线终点 相对起 点 的坐标 ； ，） （ ） （ 为
双 曲线 的顶点 相 对起 点 的坐 标 ； ａ为 实 半 轴 长度 Ｉ ｋ ＝０表示 双 曲线 以 Ｘ 轴 为实 轴 ， 一１ 示 双 曲线 以 ｋ 表
则 差 分插补 代码 为
ｚ１ 一 （ ａ＋ １ ，ｙｌ ２ ） ｊ —ｚ（ 一 ２ ）， ａ ｊ ２ ２ ｊ ２ ２ 一 ２ ） Ｚ 一４ ． ｘ — ｙ ， ｙ — ｚ（ ａ ，ｚ ３
（ ｃ ｏ ｌ ｆＭ ｅ ｈ ｎ ｃ ｌ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ，Ｓ ａ ｄ ｎ ｉｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ，Ｚ ｂ ５ ０ ９，Ｃｈ ｎ ） Ｓ ｈ ｏ ｃ ａ ｉａ ｏ Ｅｎ ｉ ｅ ｒｎ ｈ ｎ ｏ ｇ Ｕｎ ｖ ｒｉｙ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ ｉｏ２ ５ ４ ｉａ
则 差分插 补代 码定 义为
ｊ ，ｊ ｌ， ｘ２ ｙ ，Ｊ ｘｌ ｙ ｊ ，ｊ ２ Ｊ，Ｇｘ ｙ，ｌ ｙ ｘ
其中
ｒｘｌ 口 ＋ ａ ｊ 一 ２ ｌ
曲线等 ） 的插 补 ， 尤其是非 圆曲线 的插 补． 用差 分插 补
原理可编制通 用化模块程 序［ ， 文着 重论述 双 曲线 ５本 ］ ＩＯ代码译成 差分插补 代码的方法． Ｓ