高中数学--离散型随机变量的均值与方差、正态分布

高中数学--离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，D (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( ) A ．n ＝4，p ＝0.6 B ．n ＝6，p ＝0.4 C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ np ＝2.4，np (1－p )＝1.44，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，p ＝0.4.【答案】 B2．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ2【解析】 根据正态分布N (μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.【答案】 A3．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b的最小值为( )A.323 B.283 C.143D.163【解析】 由已知得，3a ＋2b ＋0×c ＝2， 即3a ＋2b ＝2，其中0<a <23，0<b <1.又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝⎛⎭⎫2a ＋13b ＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋22b a ·a 2b ＝163， 当且仅当2b a ＝a 2b ，即a ＝2b 时取“等号”，又3a ＋2b ＝2，即当a ＝12，b ＝14时，2a ＋13b 的最小值为163，故选D.【答案】 D4．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝__________.【解析】 令“？”为a ，“！”为b ，则2a ＋b ＝1.又E (ξ)＝a ＋2b ＋3a ＝2(2a ＋b )＝2. 【答案】 25．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望． (注：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)【解】 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10， 所以平均数为：x ＝8＋8＋9＋104＝354；方差为：s 2＝14×[(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝1116.(2)当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14；P (Y ＝19)＝14；P (Y ＝20)＝14；P (Y ＝21)＝18.所以随机变量Y 的分布列为：EY ＝17×P (Y ＝17)＋18×P (Y ＝18)＋19×P (Y ＝19)＋20×P (Y ＝20)＋21×P (Y ＝21)＝17×18＋18×14＋19×14＋20×14＋21×18＝19.课时作业【考点排查表】1．(2010·全国新课标高考)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400【解析】 1 000粒种子每粒不发芽的概率为0.1， ∴不发芽的种子数X ～B (1 000,0.1)，∴1 000粒种子中不发芽的种子数为1 000×0.1＝100粒， 又每粒不发芽需补种2粒； ∴需补种的数X ＝2×100＝200. 【答案】 B2．(2010·广东高考)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X ＞4)＝( ) A ．0.158 8 B ．0.158 7 C ．0.158 6D ．0.158 5【解析】 由正态曲线性质知，其图象关于x ＝3对称， ∴P (x ＞4)＝0.5－12P (2≤x ≤4)＝0.5－12×0.682 6＝0.158 7.故选B.【答案】 B3．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53 B.73 C ．3D.113【解析】 由E (X )＝23x 1＋13x 2＝43得2x 1＋x 2＝4①又D (X )＝(x 1－43)2·23＋(x 2－43)2·13＝29得18x 21＋9x 22－48x 1－24x 2＋29＝0②由①②，且x 1＜x 2得x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3. 【答案】 C4．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6【解析】 若两个随机变量η，X 满足一次关系式η＝aX ＋b (a ，b 为常数)，当已知E (X )、D (X )时，则有E (η)＝aE (X )＋b ，D (η)＝a 2D (X )．由已知随机变量X ＋η＝8，所以有η＝8－X .因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4. 【答案】 B5．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ等于( )A ．1B ．4C ．2D ．不能确定【解析】 根据题意，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，根据正态密度曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.【答案】 B6．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )A.A 1 B ．A 2 C ．A 3D ．A 4【解析】 利用方案A 1、A 2、A 3、A 4盈利的期望分别是： 50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7； 70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5； (－20)×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7； 98×0.25＋82×0.30＋(－10)×0.45＝44.6. 【答案】 C 二、填空题7．已知随机变量X 的分布列为那么X 的数学期望E (X )＝______E (Y )＝________. 【解析】 由离散型随机变量的期望公式及性质可得， E (X )＝(－1)×12＋0×16＋1×13＝－16，E (Y )＝E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝2×(－16)＋1＝23.【答案】 －16 238．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．【解析】 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)，正态分布图象的对称轴为x ＝1，ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1,2)内取值的概率与ξ在(0,1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.【答案】 0.89．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E (ξ)＝__________. 【解析】 ξ的取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 312C 316＝1128；P (ξ＝1)＝C 212C 14C 316＝3370；P (ξ＝2)＝C 112C 24C 316＝970；P (ξ＝3)＝C 34C 316＝1140.∴E (ξ)＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝34.【答案】 34三、解答题10．一名学生在军训中练习射击项目，他们命中目标的概率是13，共射击6次．(1)求在第三次射击中首次命中目标的概率； (2)求他在射击过程中命中目标数ξ的期望与方差．【解】 (1)第三次射击中首次命中的意思是第一、二次都未命中而第三次命中，这是相互独立事件同时发生的概率．又∵P ＝13，P ＝23，∴P 3＝23×23×13＝427.(2)他在每次射击中是否命中目标是相互独立的，所以是进行了6次独立重复试验， 即随机变量ξ服从二项分布ξ～B (6，13)．由服从二项分布的期望与方差的计算公式知 Eξ＝np ＝6×13＝2，Dξ＝np (1－p )＝6×13×23＝43.11．(2012·北京高考)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误额概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c 其中a ＞0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．(注：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，xn 的平均数)【解】 (1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b＝c ＝0，s 2取得最大值． 因为x －＝13(a ＋b ＋c )＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80000.12．(2012·江西高考)如图，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0,1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V (如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V ＝0)．(1)求V ＝0的概率；(2)求V 的分布列及数学期望．【解】 (1)从6个点中随机地选取3个点共有C 36＝20种选法，选取的3个点与原点O 在同一个平面上的选法有C 13C 34＝12种，因此V ＝0的概率P (V ＝0)＝1220＝35(2)V 的所有可能值为0，16，13，23，43，因此V 的分布列为由V 的分布列可得：EV ＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝940.四、选做题13．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：且X 1的数学期望E (X 1)＝6，求a (2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望；(3)在(1)、(2)的条件下，若以”性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由． 注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性． 【解】 (1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2. 又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：2所以E (X 2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性．。