安徽六校教育研究会2020届高三第一次素质测试数学(理)试题含答案
2020年1月安徽省黄山市普通高中2020届高三毕业班第一次教学质量检测(一模)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前安徽省黄山市普通高中2020届高三毕业班第一次教学质量检测(一模)数学(理)试题(解析版)2020年1月本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区．．．．．域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.4．参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.）1.已知复数z 满足(1)3i z i +⋅=-,则z =（ ）A. 5B. 3 【答案】C【解析】【分析】 由题意可知，3121i z i i -==-+，再求解||z 即可. 【详解】(1)3i z i +⋅=-∴223(3)(1)3324121(1)(1)12i i i i i i i z i i i i i -----+-=====-++--，则||z == 故选：C【点睛】本题考查复数的运算,属于容易题.2.设U ＝R ,{}{}2|40,|1A x x x B x x =-<=≤,则U ()A B ⋂=（ ）A. {}|04x x <≤B. {}|14x x ≤<C. {}|04x x <<D. {}|14x x << 【答案】D【解析】【分析】解不等式240x x -<得04x <<,再与U {|1}B x x =>求交集,即可.【详解】由题意可知{}2|40{|04}A x x x x x =-<=<<,{}U |1B x x =>则U (){|14}A B x x ⋂=<<故选：D【点睛】本题考查集合的运算,属于容易题.3.已知0.32=a ,20.3b =,0.3log 2c =,则（ ）A. b c a <<B. b a c <<C. c a b <<D. c b a <<。
合肥市高三第一次教学质量检测理数试题—附答案
合肥市高三第一次教学质量检测理数试题—附答案合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科) (考试时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷 (60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则( ). A. B. C. D.2.设复数满足(为虚数单位)，在复平面内对应的点为(，)，则( ). A. B. C. D. 3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自xx年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是xx-xx年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( ).A.这五年，xx年出口额最少B.这五年，出口总额比进口总额多C.这五年，出口增速前四年逐年下降D.这五年，xx年进口增速最快4.下列不等关系，正确的是( ). A. B. C. D. 5.已知等差数列的前项和为，，，则的值等于( ). A.21 B.1 C.-42 D.0 6.若执行右图的程序框图，则输出的值等于( ). A.2 B.3 C.4 D.5 7.函数的图象大致为( ). 8.若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是( ). A.的图象关于对称 B.在上有2个零点 C.在区间上单调递减 D.在上的值域为 9.已知双曲线()的左右焦点分别为，圆与双曲线的渐近线相切，是圆与双曲线的一个交点.若，则双曲线的离心率等于( ). A. B.2 C. D. 10.射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241()低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( ). (注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001) A. B. C. D. 11.已知正方体，过对角线作平面交棱于点E，交棱于点F，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；③平面与平面不可能垂直；④四边形的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为( ). A.①④B.②③C. ①②④D. ①②③④ 12.已知函数，则函数的零点个数为( ) (是自然对数的底数). A.6 B.5 C.4 D.3 第Ⅱ卷 (90分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.已知向量(1，1)，，且∥，则的值等于 . 14.直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，弦的长为16，则直线的倾斜角等于 . 15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传 ___新时代 ___社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有种. 16.已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切(，且)，则球的体积等于，球的表面积等于 . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分) 在中，内角所对的边分别为，若，. (1)求；(2)若边的中线长为，求的面积. 18.(本小题满分12分) “大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数 40 40 20 该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)：(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X 的分布列与数学期望. 19.(本小题满分12分) 如图，已知三棱柱中，平面平面，，. (1)证明：；(2)设，，求二面角的余弦值. 20.(本小题满分12分) 设椭圆()的左右顶点为，上下顶点为，菱形的内切圆的半径为，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点满足，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论. 21.(本小题满分12分) 已知函数(为自然对数的底数). (1)求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；(2)设方程()有两个实数根，，求证：. 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为. (1)求曲线的直角坐标方程；(2)设曲线与直线交于点，点的坐标为(3，1)，求. 23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()，不等式的解集为. (1)求的值；(2)若，，，且，求的最大值. 合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.-2 14.或 15.72 16.，(第一空2分，第二空3分) 三、解答题：大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分12分) 解：(1)在中，，且，∴，∴，又∵，∴. ∵是三角形的内角，∴. ………………………………5分 (2)在中，，由余弦定理得，∴，∵，∴. 在中，，，，∴的面积. ………………………………12分 18.(本小题满分12分) (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：. ………………………………5分 (2)可能取值为0，1，2，3. 则，，，，∴的分布列为 0 1 2 3 ∴. ……………………………12分或解：∵随机变量服从，∴. ……………………………12分19.(本小题满分12分) (1)连结. ∵，四边形为菱形，∴. ∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面. 又∵，∴平面，∴. ∵，∴平面，而平面，∴. …………………………5分 (2)取的中点为，连结. ∵，四边形为菱形，，∴，. 又∵，以为原点，为正方向建立空间直角坐标系，如图. 设，，，，∴(0，0，0)，(1，0，)，(2，0，0)，(0，1，0)，(-1，1，). 由(1)知，平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，则，∴. ∵，，∴. 令，得，即 . ∴，∴二面角的余弦值为. ……………………………12分 20.(本小题满分12分) (1)设椭圆的半焦距为.由椭圆的离心率为知，. 设圆的半径为，则，∴，解得，∴，∴椭圆的方程为. ……………………………5分 (2)∵关于原点对称，，∴. 设，. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由直线和椭圆方程联立得，即，∴. ∵，，∴，∴，，∴圆的圆心O到直线的距离为，∴直线与圆相切. 当直线的斜率不存在时，依题意得，. 由得，∴，结合得，∴直线到原点O的距离都是，∴直线与圆也相切. 同理可得，直线与圆也相切. ∴直线、与圆相切. …………………………12分 21.(本小题满分12分) (1)由，得，∴函数的零点. ，，. 曲线在处的切线方程为. ，，∴曲线在处的切线方程为.………………………5分 (2). 当时，；当时，. ∴的单调递增区间为，单调递减区间为. 由(1)知，当或时，；当时，. 下面证明：当时，. 当时， . 易知，在上单调递增，而，∴对恒成立，∴当时，. 由得.记. 不妨设，则，∴. 要证，只要证，即证. 又∵，∴只要证，即. ∵，即证. 令. 当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数. ∴，∴，∴. (12)分 22.(本小题满分10分) (1)曲线的方程，∴，∴，即曲线的直角坐标方程为：. …………………………5分 (2)把直线代入曲线得，得，. ∵，设为方程的两个实数根，则，，∴为异号，又∵点(3，1)在直线上，∴. …………………………10分 23.(本小题满分10分) 解：(1)∵，∴的解集为，∴，解得，即. …………………………5分 (2)∵，∴. 又∵，，，∴，当且仅当，结合解得，，时，等号成立，∴的最大值为32. …………………………10分模板,内容仅供参考。
安徽六校教育研究会2020 届高三第一次素质测试理科数学试卷含解析答案
数学答案（理科）
命题单位：安徽师范大学附属中学
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．设全集U R ，M {x | 1 x 4} ，N x | log2(x 2) 1 ，则 M CU N ( )
A．0
B．2
C．6
D．10
【详解】函数
f
(x)
4
cos
2
x
与
g(x)
x
1的所有交点从左往右依次记为
A1 、A2 、A3 、
A4 和 A5 ，且 A1 和 A5 ， A2 和 A4 ，都关于点 A3 对称，
如图所示；则 PA1 PA2 ... PA5 5PA3 5(1, 3)=（5，-5 3) ，
A． B．{x | 4 x 2}
C．{x | 4<x<3} D．{x | 1 x 2}
【详解】由 log2 ( x 2) 1 得 x 2 0 且 x 2 2 ，所以 2 x 4 ，
所以 CU N x x 2或x 4 ，则 M CU N {x | 1 x 2} ，故选： D ．
【详解】
，
x
2
,
2
，
f
x
e
x
sin
x
cos
x
a
，
由于函数
f
x
2020年安徽合肥市高三理科数学上册一模理数试题卷及答案
又∵sin B 0 ，∴cos B 2. 2源自∵B是三角形的内角，
∴B
3 4
.
………………………………5 分
(2) 在ABM 中， BM 1, AM
5,
B
3 4
,
AB
c
，
由余弦定理得 AM 2 c2 BM 2 2c BM cos B ，∴c2 2c 4 0
P
C32
2 5
2
1 5
C32
1 5
2
2 5
18 125
.
……………………………5 分
(2) X 可能取值为 0，1，2，3.
则PX
0
C30
3 3 5
27 125
，PX
1
C31
2 3 2 5 5
6 5
.
……………………………12 分
或解：
数学试题(理科) 第 1 页（共 4 页）
∵随机变量 X 服从 X ∼
B
3 ，52
，
∴ EX
np
3
2 5
6 5
.
……………………………12 分
19.(本小题满分 12 分)
(1)连结 AC1 .
∵ AA1 AC ，四边形 AA1C1C 为菱形，∴ A1C AC1 .
设平面 ABB1 的法向量为n x
，y
，z
，则n AB，n
高考数学《立体几何》练习题及答案
立体几何1．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．2B ．1C ．D ．【答案】B2．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】D 【解析】3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积 A ．与,x y 都有关 B ．与,x y 都无关 C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关【答案】B4．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]5．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 一个圆锥SC的高和底面直径相等，且这个圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为A．322B．23C．35D．45【答案】C6．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]【答案】D【解析】7．[广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题] 在如图直二面角ABDC中，△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE 沿BE 翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是A．BC与平面A1BE内某直线平行B．CD∥平面A1BEC．BC与平面A1BE内某直线垂直D．BC⊥A1B【答案】D8．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】D【解析】9．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题] 圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则该圆锥的体积为________. 【答案】33πR 10．[辽宁省本溪高级中学2020届高三一模考试数学（理）试卷]【答案】4π11．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P ∥平面1A BM ，则1C P 的最小值是________．【答案】305【解析】 【分析】由面面平行找到点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段DN ，再找出点P 的位置，使1C P 取得最小值，即1C P 垂直DN 于点O ，最后利用勾股定理求出最小值. 【详解】取BC 中点N ，连接11,,B D B N DN ，作CO DN ⊥，连接1C O ，因为平面1B DN ∥平面1A BM ，所以动点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段DN ，当点P 与点O 重合时，1C P 取得最小值，因为11152225DN CO DC NC CO ⋅=⋅⇒==，所以221min 11130()155C P C O CO CC ==+=+=. 故1C P 的最小值是305. 【点睛】本题考查面面平行及最值问题，求解的关键在于确定点P 的位置，再通过解三角形的知识求最值.12．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为________．21【答案】【解析】【分析】根据三视图还原几何体，设球心为O，根据外接球的性质可知，O与PAB△和正方形ABCD中心的连线分别与两个平面垂直，从而可得到四边形OGEQ 为矩形，求得OQ和PQ后，利用勾股定理可求得外接球半径.【详解】由三视图还原几何体如下图所示：设PAB△的中心为Q，正方形ABCD的中心为G，外接球球心为O，则OQ⊥平面PAB，OG⊥平面ABCD，E为AB中点，∴四边形OGEQ为矩形，112OQ GE BC ∴===，2233PQ PE ==， ∴外接球的半径：22213R GE PQ =+=. 故答案为21. 【点睛】本题考查多面体外接球半径的求解，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而根据长度关系利用勾股定理求得结果. 13．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】【解析】14．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]【答案】1 315．[江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题]如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是平行四边形，平面ABP⊥平面BCP，90APB=，M为CP的中点．求证：∠=︒，BP BC（1）AP//平面BDM；（2）BM ACP⊥平面．【解析】（1）设AC 与BD 交于点O ，连接OM ， 因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点， 因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ， 又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， 所以AP ∥平面BDM ．（2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ， 因为90APB ∠=︒，故AP BP ⊥，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ， 因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． 因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥． 因为AP CP P =I ，AP CP ⊂，平面ACP ， 所以BM ⊥平面ACP .16．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）] 如图，在四棱锥ABCDV -中，二面角D BC V --为︒60，E 为BC 的中点. （1）证明：VE BC =；（2）已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为︒60，求.VA VFABCDPMABCDPMO【解析】17．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q．（1）已知平面PAB∩平面PCD=l，求证：AB∥l．（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值． 【解析】 【分析】（1）证明AB ∥平面PCD ，然后利用直线与平面平行的性质定理证明AB ∥l ； （2）以点A 为原点，直线AE 、AD 、AP 分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的法向量和直线AQ 的方向向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值即可．【详解】（1）证明：∵AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ． ∴AB ∥平面PCD ，∵AB ⊂平面PAB ，平面PAB ∩平面PCD =l ， ∴AB ∥l ；（2）∵底面是菱形，E 为BC 的中点，且AB =2， ∴13BE AE AE BC ==⊥,,， ∴AE ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，则以点A 为原点，直线AE 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()020,002,30,300D P C E,,,,,,,,，∴()0,1,1F ，()()()()3000,11310022AE AF DC DP ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r,,,,,,,,,,，设平面PCD 的法向量为(),,x y z =n ，有0PD ⋅=u u u r n ，0CD ⋅=u u u rn ，得()133=，，n ，设()1AQ AC AP λλ=+-u u u r u u u r u u u r，则()()321AQ λλλ=-u u u r ,,，再设(3,,)AQ mAE n m n n AF =+=u u u r u u u r u u u r，则()3321m n nλλλ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩，解之得23m n λ===，∴2223333AQ ⎛⎫=⎪⎝⎭u u u r ,,， 设直线AQ 与平面PCD 所成角为α，则3105sin cos ,AQ AQ AQα⋅>=<==u u u r u u u r u u u r n n n ，∴直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3105． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的向量求法，合理构建空间直角坐标系是解决本题的关键，属中档题.18．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 已知三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，D 是BC 的中点，160B BA ∠=︒，1B D AB ⊥.（1）求证：ABC △为直角三角形；（2）求二面角1C AD B --的余弦值． 【解析】（1）取AB 中点O ，连接OD ，1B O ，易知1ABB △为等边三角形，从而得到1B O AB ⊥，结合1B D AB ⊥，可根据线面垂直判定定理得到AB ⊥平面1B OD ，由线面垂直的性质知AB OD ⊥，由平行关系可知AB AC ⊥，从而证得结论；（2）以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据空间向量法可求得平面1ADC 和平面ADB 的法向量的夹角的余弦值，根据所求二面角为钝二面角可得到最终结果. 【详解】（1）取AB 中点O ，连接OD ，1B O ，在1ABB △中，1AB B B =，160B BA ∠=︒，1ABB ∴△是等边三角形， 又O 为AB 中点，1B O AB ∴⊥，又1B D AB ⊥，111B O B D B =I ，11,B O B D ⊂平面1B OD ，AB ∴⊥平面1B OD ，OD ⊂Q 平面1B OD ，AB OD ∴⊥， 又OD AC ∥，AB AC ∴⊥， ∴ABC △为直角三角形.（2）以O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：令12AB AC AA ===，则()1,2,0C -，()1,0,0A -，()0,1,0D ，()1,0,0B ，()10,0,3B ，()11,0,3BB ∴=-u u u v ，()0,2,0AC =u u u v ，()1,1,0AD =u u u v，()1111,2,3AC AC CC AC BB =+=+=-u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v，设平面1ADC 的法向量为(),,x y z =m ，10230AD x y AC x y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=++=⎪⎩u u u v u u u u v m m ，令1x =，则1y =-，3z =，()1,1,3∴=-m ， 又平面ADB 的一个法向量为()0,0,1=n ，315cos ,5113∴<>==++m n ， Q 二面角1C AD B --为钝二面角，∴二面角1C AD B --的余弦值为15-.【点睛】本题考查立体几何中垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到线面垂直判定定理和性质定理的应用；证明立体几何中线线垂直关系的常用方法是通过证明线面垂直得到线线垂直的关系.19．[江西省宜春市上高二中2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题]20．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]21．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]【解析】22．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD,2AB=,1BC=，2PC PD==，E为PB中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求二面角E AC D--的余弦值；（3）在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求PMPD的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）设BD交AC于点F，连接EF. 因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点 . 又因为E为PB中点，所以EF∥PD.因为PD ⊄平面,ACE EF ⊂平面ACE ，所以PD ∥平面ACE.（2）取CD 的中点O ，连接PO ，FO .因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥.因为PC PD =，O CD 为中点，所以,PO CD OF ⊥∥BC ，所以OF CD ⊥. 又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面,PCD 平面PCD ∩平面ABCD =CD . 所以PO ⊥平面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系O xyz -， 则111(1,1,0)(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1),(,,)222A C B P E -，,， 设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =m ，131(1,2,0),(,,)222AC AE =-=-u u u r u u u r ， 所以20,2,0,131.00222x y x y AC z y x y z AE -+=⎧⎧=⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--++=⋅=⎩⎩⎪⎩u u u v u u u v m m 令1y =，则2,1x z ==-，所以2,11=-（，）m .平面ACD 的法向量为(0,0,1)OP =u u u r ，则6cos ,OP OP OP⋅<>==-⋅u u u r u u u r u u u r m m |m |. 如图可知二面角E AC D --为钝角，所以二面角E AC D --的余弦值为66-. （3）在棱PD 上存在点M ，使AM BD ⊥.设([0,1]),(,,)PM M x y z PD=∈λλ，则,01,0PM PD D =-u u u u r u u u r λ（，）.因为(,,1)(0,1,1)x y z -=--λ，所以(0,,1)M --λλ. (1,1,1),(1,2,0)AM BD =---=--u u u u r u u u r λλ.因为AM BD ⊥，所以0AM BD ⋅=u u u u r u u u r .所以12(1)0λ--=，解得1=[0,1]2∈λ. 所以在棱PD 上存在点M ，使AM BD ⊥，且12PM PD =。
_数学丨安徽省六校教育研究会2023届高三年级入学素质测试数学试卷及答案
安徽省六校教育研究会2023年高三年级入学素质测试数学试题卷注意事项：1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1．设复数ππcos isin 33z =+，则在复平面内1z z +对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合(){},1A x y xy ==，(){},Z,Z B x y x y =∈∈，则A B ⋂有（）个真子集.A ．3B ．16C ．15D ．43．已知0a >且1a ≠，“函数()xf x a =为增函数”是“函数()1a g x x-=在()0,∞+上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）．2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动，同时将近火点高度调整至约265km ．若此时远火点距离约为11945km ，火星半径约为3395km ，则调整后天问一号的运行轨迹（环火轨道曲线）的焦距约为（）A ．11680km B ．5840km C ．19000km D ．9500km5．如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面1111D C B A ）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为24cm ，29cm ，且1111A A B B C C D D ===，若该容器模型的体积为319cm 3，则该容器模型的表面积为（）A．()29cm +B ．219cm C．()29cmD．()29cm6．在ABC ∆中，3AB =，2AC =，1324AD AB AC =+，则直线AD 通过ABC ∆的（）A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心7．已知向量,a b的夹角为60°的单位向量，若对任意的1x 、2x (,)m ∈+∞，且12x x <，12211211x nx x nx a b x x ->--，则m 的取值范围是（）A ．)2e ,⎡+∞⎣B ．[)e,+∞C ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知直线l 与曲线x e y =相切，切点为P ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点．若OAB ∆的面积为e1，则点P 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.请把正确答案涂在答题卡上）9．以下四个命题中，真命题的有（）A ．在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好；B ．回归模型中残差是实际值i y 与估计值ˆy的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；C ．对分类变量x 与y 的统计量2χ来说，2χ值越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大.D ．已知随机变量X 服从二项分布1B ,3n ⎛⎫⎪⎝⎭，若()316E X +=，则6n =.10．2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数)sin()(ϕω+=x A x f)3,,(πϕω<∈*N A 的图像，而破碎的涌潮的图像近似()f x '（()f x '是函数()f x 的导函数）的图像．已知当2πx =时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）A ．2ω=B．π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫'+ ⎪⎝⎭的图像关于原点对称D ．()f x '在区间π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为,AB BC 的中点，则（）A ．异面直线1DD 与1B FB ．点P 为正方形1111DC B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP的最小值为2C ．过点1,,DEF 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为+D ．当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为6π12．对于正整数n ，)(n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数)(n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为ϕ函数，例如(10)4ϕ=，（10与1，3，7，9均互质）则（）A ．(12)(29)32ϕϕ+=B ．数列{}(2)n ϕ不是单调递增数列C ．若p 为质数，则数列{}()np ϕ为等比数列D ．数列(3)n n ϕ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前4项和等于5827第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在nx ⎛ ⎝的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含3x 项的系数为______．14．曲线()()ln f x x m x m =+∈R 在点()()1,1f 处的切线平分圆22(2)(1)5x y -+-=，则函数()y f x =的零点为____.15．已知函数π()3sin (04,0π)6f x x ωϕωϕ⎛⎫=-+<<<< ⎪⎝⎭，若π32f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()f x f x =，则π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________.16．设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l 与x 轴的交点为N ，过抛物线上一点P 作l 的垂线，垂足为Q ，若()3,0M ，PF 与MQ 相交于点T ，且TN TP MT +=，则点T 的纵坐标为______．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）等差数列{}n a (n ∈N*)中，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数都不在下表的同一列.（1）请选择一个可能的{1a ，2a ，3a }组合，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记（1）中您选择的{}n a 的前n 项和为n S ，判断是否存在正整数k ，使得1a ，k a ，2+k S 成等比数列．若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．18．（本题满分12分）某游乐园内有一个池塘，其形状为直角ABC ∆，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669备养一批观赏鱼供游客观赏．（1）若在ABC ∆内部取一点P ，建造APC 连廊供游客观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC +的长；（2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造DEF ∆连廊供游客观赏，如图②，使得DEF ∆为正三角形，求DEF ∆连廊长的最小值．19．（本题满分12分）2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为2%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.（1）假设该疾病患病的概率是0.3%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为98%，设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；（2）根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11人；试分析哪一个方案的工作量更少？（参考数据：50.980.904=，110.980.801=）20．（本题满分12分）图1是直角梯形ABCD ，CD AB //，∠D ＝90°，四边形ABCE 是边长为2的菱形，并且∠BCE ＝60°，以BE 为折痕将△BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且61=AC ．（1）求证：平面1BC E ⊥平面ABED ．（2）在棱1DC 上是否存在点P ，使得点P 到平面1ABC 的距离为5？若存在，求出直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分12分）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为)F ，渐近线与抛物线22:2(0)C y px p =>交于点1,2⎛ ⎝⎭.（1）求12,C C 的方程；（2）设A 是1C 与2C 在第一象限的公共点，作直线l 与1C 的两支分别交于点,M N ，便得AM AN ⊥.（i ）求证：直线MN 过定点；（ii ）过A 作AD MN ⊥于D .是否存在定点P ，使得DP 为定值？如果有，请求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由.22．（本题满分12分）已知函数()21x f ax x e -=-．（1）当12a =时，证明：()f x 在R 上为减函数．（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos f x a x ≤，求实数a 的取值范围．安徽省六校教育研究会2023年高三年级入学素质测试数学参考答案1．【答案】D【解析】12z =，1i11322111i 222222z z z -+=+=++-⎝⎭⎝⎭，则其在复平面对应的点为3,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，即在第四象限，故选：D 2．【答案】A 【解析】(){},1A x y xy ==，(){},Z,Z B x y x y =∈∈，则()(){}1,1,1,1A B =-- ，真子集个数为2213-=，故选：A 3．【答案】C 【解析】函数()xf x a =为增函数,则1a >,此时10a ->,故函数()1ag x x -=在()0,∞+上单调递增;当()1a g x x -=在()0,∞+上单调递增时,,10a ->,所以1a >,故()x f x a =为增函数，故选:C4．【答案】A【解析】设椭圆的方程为22221x y a b+=（0>>b a ），由椭圆的性质可知椭圆上的点到焦点距离的最小值为a c -，最大值为a c +，根据题意可得近火点满足33952653660a c -=+=①，远火点满足33951194515340a c +=+=②，由②-①得211680c =，故选：A 5．【答案】C 【解析】由题意得该容器模型为正四棱台，上、下底面的边长分别为2cm ，3cm.设该棱台的高为h，则由棱台体积公式(13V h S S =+下上，得：191(496)33h =⨯⨯++得1cm h =，所以侧面等腰梯形的高)cm h '=，所以()()2232499cm 2表+=⨯+=S 故选：C 6．【答案】D【解析】因为3,2AB AB AC AC ==== ,∴133242AB AC ==，设0013,24AB AB AC AC ==,则00AB AC = ，又001324AD AB AC AB AC =+=+ ，∴AD 在BAC ∠的角平分线上，由于三角形中AB AC ≠,故三角形的BC 边上的中线，高线，中垂线都不与BAC ∠的角平分线重合，故AD 经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心，故选D.7．【答案】A 【解析】已知向量,a b 的夹角为60°的单位向量，则11cos 601122a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯⨯=所以1a b -= 所以对任意的1x 、2x (,)m ∈+∞，且12x x <，1221121n 1n 1x x x x x x ->-，则1221121n 1n x x x x x x -<-所以2121211n 1n 11x x x x x x -<-，即21211n 1ln 1x x x x --<，设()ln 1x f x x-=，即()f x 在(),m +∞上单调递减又()0,x ∈+∞时，()22ln 0xf x x'-==，解得2e x =，所以()20,e x ∈，0)(>'x f ，()f x 在()20,e x ∈上单调递增；()2e ,x ∞∈+，()0f x '<，()f x 在()2e ,x ∞∈+上单调递减，所以2e m ≥，故选：A.8．【答案】C 【解析】设直线l 与曲线x e y =相切于00(,)P x y ，又e x y '=，所以直线l 的斜率为0e x k =，方程为000e e ()x x y x x -=-，令0x =，00(1)e x y x =-；令0y =，01x x =-,即0(1,0)A x -，00(0,(1)e )x B x -.所以0020001111(1)e (1)e 222x x OAB S OA OB x x x =⨯⨯=⨯-⨯-=-△.设21()(1)e 2x f x x =-，则[]211()2(1)(1)e (1)(1)e 22xx f x x x x x '⎡⎤=--+-=+-⎣⎦.由()0f x '>，解得1x <-或1x >；由()0f x '<，解得11x -<<.所以()f x 在()1-∞-，，()1+∞，上单调递增，在()11-，上单调递减.21(1)e e f -=>，43252511(4)2e 2e e e f -==⨯<，(1)0f =，2e 1(2)2ef =>，且恒有()0f x ≥成立，如图，函数()f x 与直线1ey =有3个交点.所以点P 的个数为3，故选：C.9．【答案】AB 【解析】对于A ，由相关指数的定义知：2R 越大，模型的拟合效果越好，A 正确；对于B ，残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，B 正确；对于C ，由独立性检验的思想知：2χ值越大，“x 与y 有关系”的把握程度越大，C 错误.对于D ，()()31316E X E X +=+= ，()53E X ∴=，又1B ,3X n ⎛⎫⎪⎝⎭，()533n E X ∴==，解得：5n =，D 错误.故选：AB.10．【答案】BC 【解析】()()sin f x A x =+ωϕ，则()()cos f x A x ωωϕ'=+，由题意得()(2ππ)2f f '=，即sin cos A A ϕωϕ=，故tan ϕω=，因为π3ϕ<，所以tan ϕω=<*N ω∈则，1=ω，4πϕ=，故选项A 错误；因为破碎的涌潮的波谷为4-，所以()f x '的最小值为4-，即4A ω-=-，得4A =，所以()π4sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则πππππππ14sin 4sin cos cos sin 433434342222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项B 正确；因为()π4sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π4cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，所以π4sin 4f x x ⎛⎫'+=- ⎪⎝⎭为奇函数，则选项C 正确；()π4cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，由π03x -<<，得πππ1244x -<+<，因为函数4cos y x =在π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x '在区间π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则选项D 错误，故选：BC11．【答案】BCD 【解析】对于A 项，∵11//DD BB ∴在Rt △BB 1F 中∠BB 1F 即为异面直线DD 1与B 1F 所成的角，∴111cos 5BB BB F B F ∠===，∴异面直线DD 1与B 1F所成的角的余弦值为5.故A 项错误；对于B 项，取A 1D 1的中点M ，D 1C 1的中点N ，连接MN ，DM ，DN ，则DM ∥B 1F ，DN ∥B 1E ，又∵DM ⊄面B1EF ，1B F ⊂面B1EF ，DN ⊄面B 1EF ，1B E ⊂面B 1EF ，∴DM ∥面B 1EF ，DN ∥面B 1EF ，又∵DM DN D = ，DM DN ⊂、面DMN ，∴面DMN ∥面B 1EF ，又∵DP ∥面B 1EF ，P ∈面A 1B 1C 1D 1∴P 轨迹为线段MN ，∴在△DMN 中，过D 作DP ⊥MN ，此时DP 取得最小值，在Rt △DD 1M 中，D 1M=1，D 1D=2，∴DM =在Rt △DD 1N 中，D 1N=1，D 1D=2，∴DN =在Rt △MD 1N 中，D 1N=1，D 1M=1，∴MN =∴如图，在Rt △DPN中，2DP ===.故B 项正确；对于C 项，过点D 1、E 、F 的平面截正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1所得的截面图形为五边形D 1MEFN则D 1M ∥NF ，D 1N ∥ME ，如图，以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D—xyz ，设AM=m ，CN=n ，则(2,0,)M m ，(0,2,)N n ，(2,1,0)E ，(1,2,0)F ，1(0,0,2)D ，∴11(0,1,),(0,2,2),(2,0,2),(1,0,)ME m D N n D M m NF n =-=-=-=-，∵D 1M ∥NF ，D 1N ∥ME ，∴22232223m m n n m n ⎧=⎪-=-⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎪⎩∴22,33AM CN ==∴1144,33A M C N ==∴在Rt △D 1A 1M 中，D 1A 1=2，143A M =，∴1D M =1D N =，在Rt △MAE 中，23AM =，AE=1，∴3ME =，同理：3FN =在Rt △EBF 中，BE=BF=1，∴EF =，∴1122233D M D N ME FN EF ++++=⨯+⨯+即：过点D 1、E 、F 的平面截正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1所得的截面周长为故C 项正确；对于D 项，如图所示，取EF 的中点O 1，则O 1E=O 1F=O 1B ，过O 1作OO 1∥BB 1，且使得11112OO BB ==，则O 为三棱锥B 1—BEF 的外接球的球心，所以OE 为外接球的半径，∵在Rt △EBF中，EF =∴2222213(122EF R OE OO ==+=+=∴246O S R ππ==球.故D 项正确，故选：BCD.12．【答案】ABC 【解析】根据题意可知，12与1，5，7，11互质，29与12328⋅⋅⋅⋅⋅⋅、、、共28个数都互质，即(12)(29)42832ϕϕ+=+=，所以A 正确；由题意知(2)1,(4)2,(6)2ϕϕϕ===，可知数列{}(2)n ϕ不是单调递增的，B 正确；若p 为质数，则小于等于n p 的正整数中与n p 互质的数为1,,1,1,,21,,21,1np p p p p ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-，即每p 个数当中就有一个与np 不互质，所以互质的数的数目为1nnn n p p p pp --=-个，故1()(1)nn p p pϕ-=-，所以112()(1)()(1)n n n n p p p p p p pϕϕ----==-为常数，即数列{}()n p ϕ为等比数列，故C 正确；根据选项C 即可知1(3)23n n ϕ-= ，数列(3)nn ϕ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前4项和为12345826185454+++=，故D 错误，故选：ABC 13．【答案】15【解析】由题知6n =，则()36621661rrr rrr r T C x C x--+⎛=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎝，令3632r-=，得2r =，所以展开式中3x 的系数为226(1)15C -=.故答案为：15.14．【答案】1【解析】因为()()()ln f x x m x m =+∈R ，所以()()1ln ln 1mf x x x m x x x'=++=++，曲线在点()()1,1f 处的切线斜率()1ln111k f m m ==++=+'，又()()11ln10f m =+=，则切线方程为：()()11y m x =+-，即()110m x y m +---=，若该切线平分圆22(2)(1)5x y -+-=，则切线过圆心()2,1，则()21110m m +---=，解得0m =，所以()ln f x x x =，()0,x ∈+∞，即ln 0x =，所以1x =，则()y f x =有一个零点1x =，故答案为：115．【答案】32【解析】因为()()f x f x =，所以()f x 为偶函数，所以πππ+,Z 62k k ϕ-+=∈，所以2ππ+,Z 3k k ϕ=∈，又因为0πϕ<<，所以2π0,3k ϕ==，所以π2π()3sin 3cos 63f x x x ωω⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，又因为π32f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以π3cos 32ω=-，所以π(21)π,Z 2k k ω=+∈，所以2(21)42,Z k k k ω=+=+∈，又因为04ω<<，所以0,2k ω==，所以()3cos 2f x x =，所以ππ33cos 632f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为：3216．【解析】作图如下，由TN TP MT += 得，0,TN TP MT +-= 即TM TN TP +=- ，又因为(1,0)F 为()3,0M ，()1,0N -的中点，所以2TM TN TF += ,所以2TF TP =-，所以T 为PF 的三等分点，且2TP TF =，又因为//PQ MF ，所以TMF TQP △△，且12MF TF QP TP ==,所以24QP MF ==，不妨设),(00y x P ，且在第一象限，00142pQP x x =+=+=，所以03x =，因为点),(00y x P 在抛物线上，所以0y =，所以根据相似关系可得013T y y ==17．【答案】（1）n a ＝4n ＋4或n a ＝2n ；（2）见解析．【解析】（1）由题意可知，有两种组合满足条件：①81=a ，122=a ，163=a ，此时等差数列{}n a 中，81=a ，d ＝4，所以其通项公式为n a ＝8＋(n －1)×4＝4n ＋4；②21=a ，42=a ，63=a ，此时等差数列{}n a 中，21=a ，d＝2，所以其通项公式为n a ＝2n .…………………………………5分（2）若选择①，n n n n S n 622)448(2+=++=，则20142)2(6)2(2222++=+++=+k k k k S k .若1a ，k a ，2+k S 成等比数列，则212+⋅=k k S a a ，即()20142(8)44(22++=+k k k ，整理得5k ＝－9，此方程无正整数解，故不存在正整数k ，使1a ，k a ，2+k S 成等比数列．若选择②，n n n n S n +=+=22)22(，则65)2()2(222++=+++=+k k k k S k ，若1a ，k a ，2+k S 成等比数列，则212+⋅=k k S a a ，即)65(2)2(22++=k k k ，整理得0652=--k k －5k －6＝0，因为k 为正整数，所以k ＝6.故存在正整数k ＝6，使1a ，k a ，2+k S 成等比数列．…………………………………10分18．【答案】（13百米；（2）7百米．【解析】（1）因为P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，又1BC =，所以π6PCB ∠=，PC =π2ACB ∠=，所以π3ACP ∠=，则在三角形PAC 中，由余弦定理可得：222π72cos33AP AC PC AC PC =+-⋅=，解得3AP =，所以连廊3AP PC +=百米；……………………………………5分（2）设正三角形DEF 的边长为a ，()0πCEF αα∠=<<，则sin CF a α=，sin AF a α=-，且EDB α∠=，所以2π3ADF α∠=-，在三角形ADF 中，由正弦定理可得：sin sin DF AF A ADF=∠∠，即πsin sin 63a α=- ⎪⎝⎭…………………………………8分即sin 12πsin 23a a αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简可得2π2sin sin 3a αα⎡⎤⎛⎫-+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以7a =≥（其中θ为锐角，且tan 2θ=），即边长的最小值为7百米，所以三角形DEF连廊长的最小值为7百米．……………………………………12分19．【答案】（1）14.7%（2）见解析【解析】（1）设事件A 为“核酸检测呈阳性”，事件B 为“患疾病”由题意可得()0.02,()0.003P A P B ==，()0.98P A B =由条件概率公式()(|)()P AB P A B P B =得：()0.980.003P AB =⨯即()0.980.003(|)0.147()0.02P AB P B A P A ⨯===故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为14.7%…………………………………6分（2）设方案一中每组的检测次数为X ，则X 的取值为1,655(1)(10.02)0.980.904P X ==-==，5(6)10.980.096P X ==-=所以X 的分布列为X16P0.9040.096所以()10.90460.096 1.48E X =⨯+⨯=即方案一检测的总次数的期望为11 1.4816.28⨯=设方案二中每组的检测次数为Y ，则Y 的取值为1,1211(1)(10.2)0.801P Y ==-=；()1210.8010.199P Y ==-=所以Y 的分布列为Y112P0.8010.199所以()10.801120.199 3.189E Y =⨯+⨯=即方案二检测的总次数的期望为3.189515.945⨯=由16.2815.945>，则方案二的工作量更少……………………………………12分20．【答案】(1)证明见解析(2)存在，5【解析】（1）如图所示：在图1中，连接AC ，交BE 于O ，因为四边形ABCE 是边长为2的菱形，并且60BCE ∠=︒，所以AC BE ⊥，且OA OC ==在图2中，相交直线OA ，1OC 均与BE 垂直，所以1AOC ∠是二面角1A BE C --的平面角，因为1AC =所以21212AC OC OA =+，1OA OC ⊥，所以平面1BG E ⊥平面ABED ；…………………………………5分（2）由（1）知，分别以OA ，OB ，1OC 为x ，y ，z 轴建立如图2所示的空间直角坐标系，则3,02D ⎫-⎪⎪⎝⎭，(1C，)A，()0,1,0B ，()0,1,0E -，132DC ⎛= ⎝，3,02AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()AB =，(1AC =，()1,0AE =- ，设1DP DC λ=，[]0,1λ∈，则133,22AP AD DP AD DC λλλ⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪=⎝⎭ .………………………………8分设平面1ABC 的法向量为(),,n x y z = ，则10AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取()n =r ，因为点P 到平面1ABC的距离为AP n d n⋅==解得12λ=，则34AP ⎛=- ⎝⎭ ，所以14EP AP AE =-=⎝⎭，设直线EP 与平面1ABC 所成的角为θ，所以直线EP 与平面1ABC所成角的正弦值为sin cos ,EP n EP n EP nθ⋅===⋅……………………………………12分21．【答案】(1)221:12x C y -=，221:2C y x =；(2)（i ）答案见解析；（ii ）答案见解析.【解析】（1）因为)F，渐近线经过点⎛ ⎝⎭，所以2222c b a c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：1c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩221:12x C y -=抛物线22:2C y px =经过点⎛ ⎝⎭，所以21222p ⎛== ⎝⎭，所以221:2C y x =……………………………4分（2）（i ）因为,M N 在不同支,所以直线MN 的斜率存在,设方程为y kx m =+.令()()1122,,M x y N x y ,联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，()222124220k x kmx m ----=，则2121222422,1212km m x x x x k k --+==--.联立12,C C 可得2221212y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：()2,1A ，因为0AM AN ⋅= ,所以1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，代入直线方程及韦达结构整理可得：22128230k km m m +++-=，整理化简得：(63)(21)0k m k m +++-=.因为()2,1A 不在直线MN 上,所以210,630k m k m +-≠++=.直线MN 的方程为()6363y kx k k x =--=--,过定点()6,3B -.………………………8分（ⅱ）因为,A B 为定点,且ADB ∠为直角，所以D 在以AB 为直径的圆上,AB 的中点()4,1P -即为圆心,半径DP 为定值.故存在点()4,1P -,使得DP 为定值.……………………………………12分22．【答案】（1）证明见解析；（2）12214,ee ππ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）当12a =时，()2112x f x x e -=-，则()1x f x x e -'=-，令()1x g x x e-=-，则()11x g x e -'=-，当(),1x ∈-∞时，0)(>'x g ，()g x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，0)(<'x g ，()g x 单调递减，∴()()10g x g ≤=，当1x =时()01f '=，当1x ≠时0)(<'x f ，∴()f x 是R 上的减函数．·……………………………………4分（2）由题意，()12cos x a x x e-≥-对于0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．设()2cos h x x x =-，则()2sin h x x x '=+，易知()h x '在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上为增函数，∴()()00h x h ''≥=，故()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上为增函数，又()010h =-<，2024h ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，∴存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =：当[)00,x x ∈时，()2cos 0h x x x =-<，此时，由()12cos x a x xe -≥-得12cos x a x x e -≥-，令()12cos x x x exϕ-=-，则()()()1222cos 2sin 0cos x x x x x x e xx ϕ----'=-，∴()ϕx 在[)00,x 上为减函数，则()()max 10x eϕϕ==-，故1a e ≥-．………………………………7分当0x x =时，()2000cos 0h x x x =-=，对于a ∀∈R ，()12cos x a x x e -≥-恒成立．当0,2x x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()2cos 0h x x x =->，由()12cos x a x x e -≥-得12cos x a x xe -≤-，由上知()()()1222cos 2sin cos x x x x x xx e x ϕ----'=-，…………………………………9分令()2cos 2sin m x x x x x =---，则()2sin 2cos m x x x x '=+--，易知()m x '在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，∵()00002sin 2cos m x x x x '=+--，而()2000cos 0h x x x =-=，00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()()2200000002sin 21sin 11sin 0m x x x x x x x '=+--=-+--<-+<，又102m ππ⎛⎫'=->⎪⎝⎭，∴存在唯一10,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10m x '=：当()01,x x x ∈时，()0m x '<，()m x 递减；当1,2x x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0m x '>，()m x 递增；∵()20000000cos 2sin 2sin 0m x x x x x x x =---=--<，21024m πππ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，∴()0m x <，即()0ϕ'<x ，∴()ϕx 在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦为减函数，()122min 42e x ππϕϕπ-⎛⎫== ⎪⎝⎭，故1224e a ππ-≤．综上可知，实数a 的取值范围为12214,ee ππ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦．……………………………………12分。
安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学(理)试题
12．如图，已知四面体 为正四面体， ， ， 分别是 ， 中点．若用一个与直线 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面 去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）
A． B． C． D．1
第II卷（非选择题)
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评卷人
得分
二、填空题
要使得被加工为罐头的新芒果最多，则尽量使用新芒果，即当 时 ，当 时 ，因为 ，所以选A.
【点睛】
本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.
7．C
【解析】
【分析】
将题意转化为 对任意的 恒成立，然后利用参变量分离法得出
，利用辅助角公式计算出函数 在 上的最大值，即可得出实数 的取值范围。
本题考查对数不等式的解法以及集合的基本运算，属于简单题。
2．D
【解析】
【分析】
把已知等式变形再由复数代数形式的乘除来自算化简得答案．【详解】
由 ，
得 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3．C
【解析】
【分析】
由 成等比数列．可得 ，利用等差数列的通项公式可得（ ，解出 ．即可．
绝密★启用前
安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
安徽六校教育研究会2024届高三年级入学素质测试数学试题及参考答案
安徽六校教育研究会2024届高三年级入学素质测试数学试题2023.8注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24M x Z x =∈≤，201x N x x −=≥ +，则M N = （ ）A.{}2,1,0,1−−B.{}2,2−C.{}2−D.22.复数z 在复平面内对应的点为)1−，则1iiz −=+（ ） A.13i 55− B.33i 55− C.11i 55− D.11i 55−− 3.已知()1cos 3αβ+=，1tan tan 3αβ=，则()cos αβ−=（ ） A.16−B.16C.23− D.234.已知向量m ，n ，且1m n == ，32m n −=，则向量m 在向量n 方向上的投影向量为（ ）A.0B.12m C.12nD.12n −5.已知()1,0A −，()2,0B ，若动点M 满足2MB MA =，直线:20l x y +−=与x 轴、y 轴分别交于两点，则MPQ △的面积的最小值为（ ）A.4+B.4C.D.4−6.设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*n N ∈，2n n a a +<”是“{}n a 为递减数列”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.若14m <<，椭圆22:1x C y m +=与双曲线22:14x y D m m−=−的离心率分别为1e ，2e ，则（ ） A.12e e 的最小值为12 B.12e eC.12e e 的最大值为12D.12e e8.已知函数())2ln 1x f x x e =+−+，则不等式()()212f x f x +−>−的解集是（ ） A.1,3 +∞B.()1,+∞C.1,3 −∞D.(),1−∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.为了解中学生参与课外阅读的情况，某校一兴趣小组持续跟踪调查了该校某班全体同学10周课外阅读的时长，经过整理得到男生、女生这10周课外阅读的平均时长（单位：h ）的数据如下表： 女生 7.0 7.3 7.5 7.8 8.4 8.6 8.9 9.0 9.2 9.3 男生6.16.56.97.57.78.08.18.28.69.4以下判断中正确的是（ ）A.该班男生每周课外阅读的平均时长的平均值为7.85B.该班女生每周课外阅读的平均时长的80%分位数是9.0C.该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小D.8h 的概率为0.510.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为81ppm ，继续排气4分钟后又测得浓度为27ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度()ppm y 与排气时间t （分钟）之间存在函数关系()y f t =，其中()()f t R f t ′=（R 为常数）.（注：()()()ln f x f x f x ′′=）若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm 为正常，人就可以安全进入车库了.则（ ） A.ln 34R =−B.13eR −=C.排气20分钟后，人可以安全进入车库D.排气24分钟后，人可以安全进入车库11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x R ∈，用[]x 表示不超过x的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[]3.54−=−，[]2.12=.已知函数()[]2f x x x =+−，下列说法中正确的是（ ）A.()f x 是周期函数B.()f x 的值域是(]1,2C.()f x 在()0,1上是增函数D.若方程()()11f x k x =++有3个不同实根，则1132k <≤ 12.如图所示，有一个棱长为4的正四面体P ABC −容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.直线AE 与PB 所成的角为2πB.ABE △的周长最小值为4C.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入）D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.第六届进博会招募志愿者，某校高一年级有3位同学报名，高二年级有5位同学报名，现要从报名的学生中选取4人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种数为______.（结果用数值表示） 14.18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体Ω的统一体积公式()146V h L M N =++（其中L ，N ，M ，h 分别为Ω的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为R ，可得该球的体积为()2314204063V R R R ππ=×+×+=；已知正四棱锥的底面边长为a ，高为h ，可得该正四棱锥的体积为2221104623a V h a a h =×+×+= .类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球O 的表面积为216cm π，若用距离球心O 都为1cm 的两个平行平面去截球O ，则夹在这两个平行平面之间的几何体Π的体积为______3cm .15.已知M 、N 为双曲线()222210,0x y a b a b−=>>上关于原点对称的两点，点M 在第一象限且与点Q 关于x轴对称，43ME MQ =，直线NE 交双曲线的右支于点P ，若PM MN ⊥，则双曲线的离心率e 为______.16.已知函数()2cos sin 2f x x x =−给出下列结论： ①()y f x =的图象关于点,02π对称； ②()y f x =的图象关于直线x π=对称； ③()f x 是周期函数；④()f x 其中正确结论有______.（请填写序号）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos a cb C B−=. （1）求角B 的大小；（2）若BC 的中点为D 且AD =2a c +的最大值.18.（本小题12分）如图，圆台12O O 的轴截面为等腰梯形11A ACC ，111224AC AA AC ===，B 为下底面圆周上异于A ，C 的点.（1）点P 为线段BC 的中点，证明直线1PC ∥面1AA B ；（2）若四棱锥11B A ACC −的体积为AB 与平面1C CB 夹角的正弦值.19.（本小题12分）已知函数()xf x ae x =−（e 是自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()()()1ln xg x ae x x f x =−−+有两个零点，求实数a 的取值范围.20.（本小题12分）为纪念中国共产党成立102周年，学校某班组织开展了“学党史，忆初心”党史知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题.规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有一道是送分题（即每位同学至少答对1题）.若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题.假设每位同学每次答题之间相互独立.求： （1）若第一次由甲、乙组答题是等可能的，求第2次由乙组答题的概率； （2）若第一次由甲组答题，记第n 次由甲组答题的概率为n P ，求n P .21.（本小题12分）设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，*q ∈N .令2log n q nn nb a +=，记n T 为数列{}n a 的前n 项积，n S 为数列{}n b 的前n 项和.（1）若2134a a a =，2367S T +=，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列，且99299log 99S T −=，求q . 22.（本小题12分）已知抛物线2:2E x py =（p 为常数，0p >）.点()00,M x y 是抛物线E 上不同于原点的任意一点.（1）若直线00:2x l yx y =−与E 只有一个公共点，求p ； （2）设P 为E 的准线上一点，过P 作E 的两条切线，切点为A ，B ，且直线PA ，PB 与x 轴分别交于C ，D 两点.①证明：PA PB ⊥. ②试问PC ABPB CD⋅⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.安徽六校教育研究会2024届高三年级入学素质测试数学试题参考答案1. 【答案】B 【解析】方法一：因为{}{}2|42,1,0,1,2M x Z x =∈≤=−−，{}201,21x N xx x x x ⎧⎫−=≥=<−≥⎨⎬+⎩⎭或，所以MN ={}2,2−．故选：B ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =−−，将2,1,0,1,2−−代入不等式201x x −≥+，则有2−，2使不等式成立，所以MN ={}2,2−．故选：B ． 32|7m n −=，得222232|(32)9||4||127m n m n m n m n −=−=+−⋅=， |||1m n ==，94127m n ∴+−⋅=，整理得：12m n ⋅=， 因为[],0,m n π∈，所以,m n 的夹角为π3，向量m 在向量n 方向上的投影向量为12n . 故选C . 【答案】D21 . 2ex>，由所以()f x的定义域为11. 【答案】AB【解析】由题意，列出部分定义域0,211,10[2]2,013,12x x x x x −<−⎧⎪−<⎪+=⎨<⎪⎪<⎩，所以部分定义域的,211,10()[2]2,013,12x x x x f x x x x x x x −−<−⎧⎪−−<⎪=+−=⎨−<⎪⎪−<⎩，可得到函数()f x 是周期为1的函数，且值域为(1,2],在(0,1)上单调递减， 故选项A 、B 正确，C 错误；对于选项D ，结合图象知，若()y f x =的图象与直线(1)1y k x =++有3个交点，则1111[,),]4532k ∈−−(，所以选项D 错误， 故选：.AB12. 【答案】ACD 【解析】解：A 选项，由于D 为PB 的中点， 所以,PB CD PB AD ⊥⊥，又,,CD AD D AD CD ⋂=⊂平面ACD ，所以直线PB ⊥平面ACD ，又AE ⊂平面ACD ， 所以PB AE ⊥，故选项A 正确；，ACD故选.13. 【答案】65【解析】要求高一年级和高二年级的同学都有，球由43ME MQ =，则E 从而有11,MN PN y k k x =kP 平面2为原点，2221,,O B O C O O 方向为()()()(110,1,3,2,2,0,0,1,3,2,2,0AA AB CC BC ===−=−设a AB =，平面1C CB 的法向量为(),,b x y z =，，则(3,3,1b =232,440a ba b a b +⋅>==++⨯与平面1C CB 夹角的正弦值为时,()f x 在R 上递减;②当0fx ，()f x 在时，()0f x '<，0fx ，此时函数()ln x x x e −+=()10x t x e '=+>）{}n b 为等差数列，112log 1q a =+q =或1a =的判别式220p x =−在抛物线由0=，即16可得2k km −−所以12k k =−PA PB ⊥；Rt PBA ∽Rt PCD ，||||||PB AB PC CD =，即有||||PC PB ⋅。
安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学(文)试题
安徽六校教育研究会 2020 届高三第一次素质测试文科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数(1)(3)z i i =+-（i 为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ）A 、2B 、 2iC 、4D 、 4i2．设集合M ＝{ x ｜｜x －1｜≥1}， N ＝{ x ｜x ＜1}，则M ∩N =( )A 、{x ｜x <1}B 、{x ｜x <1或x ≥ 2}C 、{x ｜0≤x ＜1 }D 、{x ｜x ≤ 0}3.已知函数 f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当x ∈ (－∞ ，0)时，32()2f x x x =-，则(3)f ＝A 、9B 、-9C 、45D 、-454. 若a >1，0 <c <b <1，则下列不等式不正确的是（ ）A ．log 2019 a ＞log 2019 bB 、log log c b a a >C ． (c -b )a c >(c -b )a b D 、(a -c )a c >(a -c )a b 5. 已知函数21()44f x x x=-，则 f (x ) 的大致图象是( )6.甲、乙两名同学在 6 次数学考试中，所得成绩用茎叶图表示如下，若甲、乙两人这 6 次考试的平均成绩分别用x 甲、x 乙 表示，则下列结论正确的是（ ）A 、x 甲＞x 乙 ，且甲成绩比乙成绩稳定B 、x 甲＞x 乙 ，且乙成绩比甲成绩稳定C 、x 甲＜x 乙 ，且甲成绩比乙成绩稳定D 、x 甲＜x 乙 ，且乙成绩比甲成绩稳定7.如图程序框图是为了求出满足32n n -＞2020 的最小偶数 n ，那么在两个空白框中，可以分别填入（ ）A 、 A > 2020和 n = n + 1B 、 A > 2020和 n ＝n + 2C 、 A ≤ 2020 和 n = n + 1D 、 A ≤ 2020 和 n ＝n + 28.函数()sin()f x A x ωϕ=+（ 其中A ＞0，||2πϕ< ）的图象如图所示，则 f (π) ＝( )A 、 1B 、12C 、 22D 、 32 9.如图，在平行四边形 ABCD 中， M 、 N 分别为 AB 、 AD 上的点，且45AM AB =u u u u r u u u r ，连接 AC 、 MN 交于 P 点，若411AP AC =u u u r u u u r ，则点 N 在 AD 上的位置为（ ）A 、 AD 中点B 、 AD 上靠近点 D 的三等分点C 、 AD 上靠近点 D 的四等分点 D 、 AD 上靠近点 D 的五等分点10．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为 F ，短轴的一个端点为 P ，直线l : 4 x －3 y ＝0 与椭圆相交于 A 、 B 两点.若｜A F ｜＋｜BF ｜＝6 ，点 P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A ． (0，95] B ．(0，32] C ． (0，53] D 、 ( 13，32] 11．某罐头加工厂库存芒果 m ( kg )，今年又购进 n ( kg )新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。
2020年安徽省六校高三模拟联考数学(理)试题(合肥一中、安庆一中等)(解析版)
安徽六校教育研究会2020届高三第一次联考数学（理科）一、选择题.1.设全集U =R ，集合{|14}M x x =-<<，{}2|log (2)1N x x =-<，则()U M C N ⋂=（ ） A. φ B. {|42}x x -<≤ C. { |4<<3}x x - D. {|12}x x -<≤【答案】D 【解析】 【分析】解对数不等式求出集合N 的取值范围，然后由集合的基本运算得到答案。
【详解】由2log (2)1x -<得20x ->且22x -<，所以24x <<， 所以{}24U C N x x x =≤≥或，则()U M C N ⋂={|12}x x -<≤ 【点睛】本题考查对数不等式的解法以及集合的基本运算，属于简单题。
2.已知复数z 满足()234i z i -=+,则z =（ ） A. 2i -- B. 2i - C. 2i -+ D. 2i +【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由(2)z |34|5i i -=+=， 得55(2)z 22(2)(2)i i i i i +===+--+． 故选：D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 3.已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差d 不等于零，若236,,a a a 成等比数列，则 A. 130,0a d dS >> B. 130,0a d dS >< C. 130,0a d dSD. 130,0a d dS <<【答案】C 【解析】 【分析】由236,,a a a 成等比数列．可得2326a a a =，利用等差数列的通项公式可得（211125a d a d a d +=++）（）（） ，解出11020a d a d ＜，+= ．即可． 【详解】由236,,a a a 成等比数列．可得2326a a a =，可得（211125a d a d a d +=++）（）（），即2120a d d +=，∵公差d 不等于零，11020a d a d ∴+=＜，．23133302dS d a d d ∴=+=（）＞． 故选：C ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、考查了计算能力，属于基础题．4.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为( )1C.2【答案】A 【解析】 【分析】根据12PF PF ⊥及椭圆的定义可得12PF a c =-，利用勾股定理可构造出关于,a c 的齐次方程，得到关于e 的方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：12PF PF ⊥，且2PF c =，又122PF PF a += 12PF a c ∴=-由勾股定理得：()222224220a c c c e e -+=⇒+-=，解得：1e =-本题正确选项：A【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够结合椭圆定义和勾股定理建立起关于,a c 的齐次方程. 5.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P（1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长20x ay ++=被圆截得的弦长为故选：B ．6.某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。
2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案
5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程． （2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ． （1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ； （2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立， 求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用
2020届安徽六校高三数学(文科)试题及答案解析
10．已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b，短轴的一个端点为 P ，直线 l : 4x 3y
0
与椭圆相交于 A 、 B 两点.若| AF | | BF | 6 ，点 P 到直线 l 的距离不小于 6 ，则椭圆离心率 5
的取值范围为（ ）
A． (0, 9] 5
B． (0, 3 ] 2
A. A 2020 和 n n 1 B. A 2020 和 n n 2 C. A 2020 和 n n 1
D. A 2020 和 n n 2
8.函数 f x Asin x （其中 A 0, ）的图象如图所示，
2
则 f ( )
A. 1
B. 1
2
C. 2 2
D. 3 2
试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知复数 z (1 i)(3 i) （ i 为虚数单位），则 z 的虚部为（
A.2
B. 2i
C.4
2．设集合 M x x 1 1 ， N x x 1 ，则 M N =( )
C． y 3x
D． y 2x
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.若函数 f (x) ln x 2ax 的图象存在与直线 2x y 0 垂直的切线，则实数 a 的取值范围
是
．
14.设 等 差 数 列 an 的 公 差 d 不 为 0 ， a1 16d ， 若 ak 是 a1 与 a2k 的 等 比 中 项 ， 则 k 等
故选
C.
1
7.如图程序框图是为了求出满足 3n 2n 2020 的最小偶数 n，那么在
2020届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =--<，{}210B x x =->，则AB =（ ）A ．()1，-+∞ B ．1 12⎛⎫⎪⎝⎭， C ．1 22⎛⎫⎪⎝⎭， D ．1 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 【答案】A【解析】确定出集合,A B 中的元素后，由并集定义计算． 【详解】由题意{|12}a x x =-<<，1{|}2B x x =>，∴{|1}A B x x =>-．故选：A. 【点睛】本题考查集合的并集运算，确定集合中的元素是解题关键．2．设复数z 满足1i z z -=-（i 为虚数单位），z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则（ ） A ．y x =- B ．y x =C ．()()22111x y -+-=D ．()()22111x y +++=【答案】B【解析】设(,)z x yi x y R =+∈，代入已知等式化简即可． 【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，∵1i z z -=-，∴1x yi x yi i +-=+-， 即2222(1)(1)x y x y -+=+-，化简得y x =．故选：B. 【点睛】本题考查复数模的运算，直接代入复数的代数形式由模的定义化简即得．也可由模的几何意义求解．3．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.下图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图.下列描述错误的是（）A．这五年，2013年出口额最少B．这五年，出口总额比进口总额多C．这五年，出口增速前四年逐年下降D．这五年，2017年进口增速最快【答案】C【解析】对于选项A：观察五个灰色的条形图的高低即可判断;对于选项B:观察五组条形图,对比每组灰色条形图与黑色条形图的高低及高低悬殊程度即可判断;对于选项C：从图中知,红色的折线图是先上升后下降即可判断;对于选项D：观察这五年所对的蓝色折线图的高低即可判断;【详解】对于选项A：观察五个灰色的条形图,可得2013年所对的灰色条形图高度最低,所以这五年，2013年出口额最少.故选项A正确;对于选项B:观察五组条形图可得,2013年出口额比进口额稍低,但2014年—2017年都是出口额高于进口额,并且2015年和2016年都是出口额明显高于进口额，故这五年，出口总额比进口总额多.故选项B正确;对于选项C：从图中可知,红色的折线图是先上升后下降,即2013年到2014年出口增速是上升的.故选项C错误;对于选项D：从图中可知,蓝色的折线图2017年是最高的,即2017年进口增速最快.故选项D正确;故选: C【点睛】本题主要考查统计条形图和折线图的应用;解题的关键是从条形图看出口金额和进口金额,从折线图看出口增速和进口增速;属于基础题. 4．下列不等关系，正确的是（ ） A ．234log 3log 4log 5<< B ．243log 3log 5log 4>> C ．243log 3log 5log 4<< D ．234log 3log 4log 5>>【答案】D【解析】比较log (1)n n +与(1)log (2)n n ++的大小，2,n n ≥∈N ， 【详解】 设2,n n ≥∈N ，log (1)n n +(1)log (2)n n +-+2lg(1)lg(2)lg (1)lg lg(2)lg lg(1)lg lg(1)n n n n n n n n n +++-+=-=++，因为222222lg ln(2)11lg lg(2)()lg (2)lg (21)lg (1)244n n n n n n n n n +++<=+<++=+，所以log (1)n n +(1)log (2)n n +-+0>，即log (1)n n +(1)log (2)n n +>+（2,n n ≥∈N ）． 所以234log 3log 4log 5>>． 故选：D ． 【点睛】本题考查比较对数的大小，本题通过证明数列{log (1)}n n +是递减数列得出结论． 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =-，47329a a +=，则7S 的值等于（ ） A ．21 B ．1C ．-42D ．0【答案】D【解析】用等差数列的基本量法计算． 【详解】设数列公差为d ，则47111232(3)3(6)5249a a a d a d a d +=+++=+=，因为13a =-，所以1d =，717677(3)21102S a d ⨯=+=⨯-+⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，解题方法是基本量法，即求出首项1a 和公差d ，然后直接计算．6．若执行下图的程序框图，则输出i 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】依次写出每次循环得到的,,x y i 的值,当3,64,86i x y ===时,不满足条件x y >,退出循环，输出i 的值为即可.【详解】第一次循环:8,2x y ==，满足x y >，继续循环; 第二次循环:1,16,6i x y ===，满足x y >，继续循环; 第三次循环:2,32,22,i x y ===满足x y >，继续循环;第四次循环:3,64,86i x y ===，不满足x y >，跳出循环，输出3i =. 故选: B 【点睛】本题主要考查程序框图中当型循环,循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累乘等,在循环结构框图中要特别注意条件的应用；属于基础题. 7．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】本题采用排除法: 由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭排除选项D ； 根据特殊值502f π⎛⎫>⎪⎝⎭排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】对于选项D:由题意可得, 令函数()f x = 22cos x xy x x--=-,则5522522522f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭,5522522522f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭;即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选项D 排除; 对于选项C ：因为55225220522f ππππ--⎛⎫=> ⎪⎝⎭,故选项C 排除;对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除;故选项:A 【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题. 8．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移116π个单位得到的图象对应的函数为()g x ，则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 的图象关于12x π=-对称B ．()g x 在[]0π，上有2个零点C ．()g x 在区间5 36ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 D ．()g x 在 02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域为 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】求出()g x 的解析式，并整理后，根据正弦函数性质判断． 【详解】由题意1111()sin 2()sin(2)sin(2)633g x x x x πππ=-=-=+， 1()sin()12632g πππ-=-+=不是函数的最值，12x π=-不是对称轴，A 错；由()sin(2)03g x x π=+=，2()3x k k Z ππ+=∈，26k x ππ=-，其中5,36ππ是[0,]π上的零点，B 正确； 由3222232k x k πππππ+≤+≤+得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，因此()g x 在7(,)312ππ是递减，在75(,)126ππ上递增，C 错；[,0]2x π∈-时，22[,]333x πππ+∈-，()[g x ∈-，D 错． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查三角函数的性质．掌握正弦函数性质是解题关键．9．已知双曲线C ：22221x y a b-=（00a b >>，）的左右焦点分别为12F F ，，圆2F 与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆2F 与双曲线C 的一个交点.若12=0F M F M ⋅，则双曲线C 的离心率等于（ ） A．B ．2CD【答案】A【解析】求出焦点到渐近线的距离，2MF ，由双曲线定义得1MF ，再由12=0F M F M ⋅可建立,,a b c 的关系，从而求得离心率． 【详解】由题意2(,0)F c ，一条渐近线为by x a =，即0bx ay -=，所以2MF r b ===， M 在双曲线右支上，则1222MF MF a b a =+=+，又12=0F M F M ⋅，则12MF MF ⊥，所以222(2)4b b a c ++=，2222444b ab a c ++=，又222b c a =-，所以242ab b =，2a b =，22224a b c a ==-，225c a =，ce a== 故选：D ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等式．本题利用相切，利用双曲线定义，表示出焦半径，由数量积得垂直从而建立,,a b c 的等式．解法易得，属于中档题．10．射线测厚技术原理公式为0tI I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110 B ．0.112C ．0.114D ．0.116【答案】C【解析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C 【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题. 11．已知正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等； ②四边形1BFD E 一定是平行四边形； ③平面α与平面1DBB 不可能垂直； ④四边形1BFD E 的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为（ ） A ．①④ B ．②③C ．①②④D ．①②③④【答案】C【解析】根据正方体的性质对每个命题进行判断．结合排除法可选正确结论． 【详解】截面上方几何体分割成四棱锥四棱锥111D A EFC -，四棱锥11B A EFC -，三棱锥111B A BC -，截面下方几何体对称的也是三个棱锥，对应体积相等（特殊位置截面更容易得此结论），①正确，排除B ；由正方体相对两个面平行，根据面面平行的性质定理知四边形1BFD E 的两组对边平行，从而是平行四边形，②正确，排除A ；当E 是1AA 中点，F 是1CC 中点，这时可证EF ⊥平面11BB D D （先证//EF AC ），从而平面α与平面1DBB 垂直，③错误，排除D ， 只有C 可选了．事实上，四边形1BFD E 即有最大值也有最小值．E 与A （或1A ）重合时面积最大，E是1AA 中点时，面积最小．设AE x =，正方体棱长为1，01x ≤≤，21BE x =+，2211(1)22D E x x x =+-=-+，13BD =，在1BED ∆中，2222111221cos 2122D E BE BD x xBED D E BE x x x +--∠==⋅+⋅-+，所以2222112222()222sin 1cos 1(1)(22)(1)(22)x x x x BED BED x x x x x x --+∠=-∠=-=+-++-+，所以1211sin 222BED F S BE D E BED x x =⋅∠=-+2132()22x =-+，所以0x =或1时，1BED F S 取得最大值2．④正确． 故选：C ．【点睛】本题考查正方体的截面的性质．解题关键是由截面表示出相应的量与相应的关系．如果空间想象能力丰富，结论易得，由正方体对称性，①正确，从运动角度考虑，当E 从A 运动到1A 时，截面面积发生变化，这是一个有限的连续过程，其中必有最大值和最小值．④正确，②③易于从面线面关系说明．12．已知函数() 01ln 0x x e x f x xe x x x -⎧-≤=⎨--->⎩，，，则函数()()()()F x f f x ef x =-的零点个数为（ ）（e 是自然对数的底数） A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】B【解析】利用导数研究函数()f x 的性质，如单调性，函数值的变化趋势和，函数的极值．再研究方程()0f t et -=的解的个数，即直线y et =与函数()y f t =的公共点的的取值，从而利用函数()f x 的性质求得()F x 零点个数． 【详解】0x ≤时，()x f x e -=-是增函数，(0)1f =-，0x >时，()1ln x f x xe x x =---，11()(1)1(1)()x x f x x e x e x x'=+--=+-，显然10x +>，由1xe x=，作出xy e =和1(0)y x x=>的图象，如图，x y e =是增函数，1y x =在0x >是减函数它们有一个交点，设交点横坐标为0x ，易得0011x e x =>，001x <<， 在00x x <<时，1xe x <，()0f x '<，0x x >时，1xe x>，()0f x '>， 所以()f x 在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，0()f x 是()f x 的极小值，也是在0x >时的最小值．001x e x =，001x x e =，0001ln ln x x x ==-，即00ln 0x x +=，00000()1ln 0x f x x e x x =---=，0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞．作出()f x 的大致图象，作直线y ex =，如图，0x >时y ex =与()f x 的图象有两个交点，即()0f x ex -=有两个解12,t t ，120,0t t >>．0x <时，()x f x e -=-，()x f x e '-=，由11()xf x e e -'==得1x =-，而1x =-时，(1)y e e =⨯-=-，(1)f e -=-，所以直线y ex =与()x f x e -=-在(1,)e --处相切．即0x ≤时方程()0f x ex -=有一个解e -．()(())()0F x f f x ef x =-=，令()t f x =，则()()0F x f t et =-=，由上讨论知方程()0f t et -=有三个解：12,,e t t -(120,0t t >>)而()f x e =-有一个解，1()f x t =和2()f x t =都有两个解，所以()0F x =有5个解， 即函数()F x 有5个零点． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的零点个数问题，通过换元法问题转化为()0f t et -=的解及()f x t =的解，为此利用导数研究函数()f x 的性质，研究直线y ex =与函数()y f x =的公共点问题．研究()f x 的图象与直线y t =的公共点个数．本题考查了学生的转化与化归思想．运算求解能力．二、填空题13．已知向量a =（1，1），() 2b m =-，，且a ∥()2a b +，则m 的值等于__________.【解析】计算2a b +，由向量共线的坐标运算可者m ． 【详解】由题意2(12,3)a b m +=+-，因为a ∥()2a b +，所以123m +=-，解得2m =-． 故答案为：2-． 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题．14．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于__________. 【答案】3π或23π【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，利用焦点弦长公式12AB x x p =++可求得参数k ．【详解】 由题意6p，抛物线的焦点为(3,0)F ， 16AB =，则AB 的斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=，所以21226(2)k x x k ++=，所以12616AB x x =++=，21226(2)10k x x k++==，k = 所以直线AB 的倾斜角为3π或23π． 故答案为：3π或23π． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求思想方法，解题关键是掌握焦点弦长公式． 【答案】72 【解析】【详解】由题意224372A A =．故答案为：72．本题考查排列的综合应用．解题时确定分步完成本事件．插入法是解本题的关键． 16．已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________.164n π- 【解析】由正四面体的内切球的半径是高的14可求得1O 的半径，得其体积，把底面向上平移，平移到与内切球相切，这个平面以上的部分仍然是正四面体，而第二个球就是这个正四面体的内切球，此球半径是第一个球半径的一半，依次类推可得第n 个球． 【详解】如图，AO 是三棱锥A BCD -的高，O 是BCD ∆的外心，设BC a =，则OB =，3AO a ==， 1O 是三棱锥A BCD -的外接球和内切球的球心，1O 在AO 上，设外接球半径为R ，内切球半径为1r ，则由22211O B OO BO =+得222))R a R =+-，R R =，所以11r AO AO AO R =-=-==， 114r AO =，1333144()3312216O V r a a πππ====，过AO 中点作与底面BCD 平行的平面与三条棱,,AB AC AD 交于点111,,B C D ，则平面111B C D 与球1O 相切，由题意球2O 是三棱锥111A B C D -的内切球，注意到三棱锥111A B C D -的棱长是三棱锥A BCD -棱长的12，所以有其内切球半径2112r r =，同理球n O 的半径为n r ，则{}n r 是仅比为12的等比数列，所以111()2n n r r -=⨯，即1616()1222n n n r a -=⨯=， 2216644(24n n nn S r πππ-==⨯=． 6π；164n π-． 【点睛】本题考查三四面体的内切球问题，掌握正四面体的性质是解题关键．实质上正四面体的高是h ，其外接㼀半径是34h ，内切球半径是14h ．三、解答题17．在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2a =，cos cos 2cos 0a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若BC 边的中线AM 5ABC ∆的面积. 【答案】（1）34B π=（2）1 【解析】（1）由正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式可求得cos B ，得B 角；（2）在ABM ∆中应用余弦定理求得AB c =，再用三角形面积公式求得面积． 【详解】解：（1）在ABC ∆中，sin sin sin a b cA B C==，且cos cos cos 0a C c A B +=， ∴sin cos sin cos cos 0A C C A B B +=，∴()sin()cos sin cos sin 10A C B B B B B B B +==⋅=，又∵sin 0B ≠，∴cos B =∵B 是三角形的内角，∴34B π=.（2）在ABM ∆中，314BM AM B AB c π====，，， 由余弦定理得()2222cos AM c BM c BM B =+-⋅⋅，∴2512(2c c =+-⨯-．即240c -=，(0c c -+=,∵0c >，∴c =在ABC ∆中，2a =，c =34B π=，∴ABC ∆的面积113sin 21224S ac B π==⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式．解三角形是时，要注意已知条件，根据条件确定选用正弦定理还是余弦定理是解题关键．18．“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）：（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；（2）设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望.【答案】（1）18125 （2）分布列见解析，65EX = 【解析】（1）统计数据说明学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15，它们相互独立，两种类型都有学校选择则分为两类：两所学校选“科技体验游”，一所学校选“自然风光游”或者一所学校选“科技体验游”，两所学校选“自然风光游”，由此可计算概率；（2）X 可能取值为0，1，2，3.，依次计算出概率可得概率分布列，由期望公式可计算期望． 【详解】（1）依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15， ∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：2222332112185555125P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）X 可能取值为0，1，2，3.则()30332705125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3332835125P XC ⎛⎫===⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为∴2754368601231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查用样本估计总体，考查相互独立事件同时发生的概率，考查随机变量的概率分布列与期望．掌握相互独立事件同时发生的概率是解题关键．19．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面ABC ，1AA AC =，AC BC ⊥.（1）证明：1A C ⊥1AB ；（2）设2AC CB =，160A AC ∠=，求二面角11C AB B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）34-【解析】（1）连结1AC .由菱形得对角线垂直，再由已知及面面垂直的性质定理得线面垂直BC ⊥平面11AAC C ，11B C ⊥平面11AAC C ，从而111B C AC ⊥，于是证得线面垂直后再得线线垂直；（2）取11A C 的中点为M ，连结CM ，证得CM 与,CA CB 都垂直后，以C 为原点，CA CB CM ，，为正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，则法向量夹角得二面角，注意要判断二面角是锐角还是钝角． 【详解】 （1）连结1AC .∵1AA AC =，四边形11AAC C 为菱形，∴11A C AC ⊥. ∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面11AAC C . 又∵11//BC B C ，∴11B C ⊥平面11AAC C ，∴111B C AC ⊥. ∵1111AC B C C ⋂=，∴1A C ⊥平面11AB C ，而1AB ⊂平面11AB C ， ∴1A C ⊥1AB（2）取11A C 的中点为M ，连结CM .∵1AA AC =，四边形11AAC C 为菱形，160A AC ∠=，∴11CM AC ⊥，CM AC ⊥. 又由（1）知CM BC ⊥，以C 为原点，CACB CM ，，为正方向建立空间直角坐标系，如图.设1CB =，22AC CB ==，1AA AC =，160A AC ∠=，∴C （0，0，0），1A （1，0），A （2，0，0），B （0，1，0），1B （-1，1. 由（1）知，平面11C AB的一个法向量为(110CA =，. 设平面1ABB 的法向量为()n x y z =，，，则1 n AB n AB ⊥⊥，，∴10n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩. ∵()2 1 0AB =-，，，(13 1AB =-，，∴2030x y x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩.令1x =，得23y z ==，，即12n ⎛= ⎝，. ∴1112cos 2CA n CA n CA n⋅<>===⋅⨯，∴二面角11C AB B --的余弦值为-【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角．立体几何中证明垂直时，线线垂直，线面垂直，面面垂直常常是相互转化，判定定理与性质定理要灵活应用．在有垂直的情况下常常建立空间直角坐标系，用向量法求空间角．20．设椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的左右顶点为12A A ，，上下顶点为12B B ，，菱形1122A B A B 的内切圆C '，椭圆的离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）设M N ，是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P 满足PM PN =，试判断直线PM PN ，与圆C '的位置关系，并证明你的结论.【答案】（1）22163x y += （2）直线PM 、PN 与圆C '相切，证明见解析 【解析】（1）由离心率得a =，用两种方法表示出菱形1122A B A B 的面积可求得,b a ，得椭圆方程；（2）设()11M x y ，，()22P x y ，.当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，用韦达定理得1212,x x x x +，利用OP OM ⊥，即12120x x y y +=得,k m 的关系，求出圆心C '到直线PM 的距离可得直线与圆的位置关系．直线PM 的斜率不存在时，直接计算可得，由对称性PN 的结论也可得． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c .知，b c a =，. 设圆C '的半径为r，则r ab ，2=，解得b =∴a =∴椭圆C 的方程为22163x y +=（2）∵M N ，关于原点对称，PM PN =，∴OP MN ⊥. 设()11M x y ，，()22P x y ，.当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+.由直线和椭圆方程联立得()2226x kx m ++=，即()222124260k x kmx m +++-=，∴12221224212621km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. ∵()11OM x y =，，()22OP x y =，，∴()()12121212OM OP x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()()22222121222264112121m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()222322021m k k --==+， ∴22220m k --=，2222m k =+， ∴圆C '的圆心O 到直线PM 的距离为221m r k ==+，∴直线PM 与圆C '相切.当直线PM 的斜率不存在时，依题意得()11,N x y --，()11,P x y -. 由PM PN=得1122x y =，∴2211x y =，结合2211163x y +=得212x =，∴直线PM 到原点O 的距离都是2， ∴直线PM 与圆C '也相切. 同理可得，直线PN 与圆C '也相切. ∴直线PM 、PN 与圆C '相切【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题，考查直线与圆的位置关系．直线与椭圆相交，一般采取设而不求思想，即设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，设直线方程y kx m =+，由直线方程与椭圆方程联立，消元后用韦达定理得1212,x x x x +，把这个结论代入其他条件求解．21．已知函数()21x x f x e-=（e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的零点0x ，以及曲线()y f x =在0x x =处的切线方程；（2）设方程()f x m =（0m >）有两个实数根1x ，2x ，求证：121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）01x =±，()21y x e=-- （2）证明见解析 【解析】（1）由()0f x =求得函数零点，由导数的几何意义可求得切线方程； （2）根据导函数研究出函数的单调性，只有在11x -<<时，()0f x >，因此12,(1,1)x x ∈-，考查（1）中切线，先证明()2(1)f x e x <+（11x -<<），只要构造函数()112x x g x e +-=+在[]1 1x ∈-，上单调递增，易得证，方程2(1)m e x =+的解为112m x e'=-，11x x '<（不妨设12x x <，则12111x x -<<<），要证不等式变形为证明2112122m x m e e ⎛⎫⎛⎫--≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证21x m ≤-，由2221x x m e -=，222211x x x e -≤-，构造函数，结合导数知识可证．【详解】（1）由()210x x f x e-==，得1x =±，∴函数的零点是±1. ()221x x x f x e --'=，()12f e '-=，()10f -=.曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()21y e x =+.()21f e '=-，()10f =，∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()21y x e =-- （2）()221xx x f x e --'=.当(() 112 x ∈-∞++∞，，时，()0f x '>；当(1x ∈时，()0f x '<.∴()f x 的单调递增区间为(() 1 1-∞+∞，，，单调递减区间为(1. 由（1）知，当1x <-或1x >时，()0f x <；当11x -<<时，()0f x >.下面证明：当()1 1x ∈-，时，()()21e x f x +>. 当()1 1x ∈-，时， ()()()21112121002x x x x e x f x e x e e+--+>⇔++>⇔+>. 易知，()112x x g x e +-=+在[]1 1x ∈-，上单调递增， 而()10g -=， ∴()()10g x g >-=对()1 1x ∀∈-，恒成立， ∴当()1 1x ∈-，时，()()21e x f x +>. 由()21y e x y m ⎧=+⎨=⎩得12m x e =-.记112m x e'=-.不妨设12x x <，则12111x x -<<<， ∴121221212m x x x x x x x e ⎛⎫''-<-=-=-- ⎪⎝⎭. 要证121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭，只要证2112122m x m e e ⎛⎫⎛⎫--≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证21x m ≤-. 又∵2221x x m e -=，∴只要证222211x x x e -≤-，即()()()222110x x e x -⋅-+≤.∵()21x ∈，即证()2210x e x -+≥. 令()()()11x x x e x x e ϕϕ'=-+=-，.当()1 0x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ为单调递减函数；当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ为单调递增函数.∴()()00x ϕϕ≥=，∴()2210x e x -+≥， ∴121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的零点，考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式．本题中不等式的证明中对根12,x x 的处理采取了两种不同的方法，设12x x <，由函数知识得12111x x -<<<<，1x 利用y m =与切线2(1)y e x =+的交点横坐标1x '＝12m e -放缩为证明21(1)2122m x m e e ⎛⎫--<-+ ⎪⎝⎭，2x 直接用y m =与()f x m =的解来表示，再结合函数知识获得证明，转化与化归思想在这里得到进一步的体现．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为31x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为4cos 6sin ρθθ=+. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于点M N ，，点A 的坐标为（3，1），求AM AN +.【答案】（1）()()222313x y -+-=（2）【解析】()1利用极坐标与直角坐标的互化公式:222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===即可求解;()2联立直线l 的方程和曲线C 的方程,整理化简得到关于t 的一元二次方程,由题知点A 在直线l 上,利用参数方程中参数的几何意义及一元二次方程中的韦达定理即可求出AM AN +的值.【详解】()1因为曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+，∴24cos 6sin ρρθρθ=+，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==∴2246x y x y +=+，化简得,曲线C 的直角坐标方程为：()()222313x y -+-=. （2）把直线3:1x l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C得22121322t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，280t --=.∵(2320∆=-+>，所以方程280t --=有两个不等实根，设12t t ，为方程的两个实数根，由韦达定理可得,12t t +=128t t =-，∴12t t ，为异号，又∵点A （3，1）在直线l 上，由参数方程中参数的几何意义可得,1212AM AN t t t t +=+=-=.所以AM AN +=【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程中参数的几何意义等知识，考查学生的运算能力、推理论证能力；其中正确掌握参数方程中参数的几何意义是求解本题的关键;属于中档题. 23．已知函数()2f x x m x =--+（m R ∈），不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，. （1）求m 的值；（2）若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值.【答案】（1）6m =（2）32【解析】()1利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于m 的方程,求出m 的值即可;()2由()1知6m =可得,212a b c ++=，利用三个正数的基本不等式a b c ++≥,构造和是定值即可求出()()()113a b c ++-的最大值.【详解】（1）∵()2f x x m x =--+，()2222f x x m x ∴-=----+，所以不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，, 即为不等式20x m x ---≥的解集为(] 4-∞，， ∴2x m x --≥的解集为(] 4-∞，, 即不等式()222x m x --≥的解集为(] 4-∞，， 化简可得,不等式()()2220m m x ++-≥的解集为(] 4-∞，， 所以242m +=,即6m =. （2）∵6m =，∴212a b c ++=.又∵0a >，0b >，3c >，∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-= ()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1223a b c +=+=-,212a b c ++=等号成立,即3a =，1b =，7c =时，等号成立，∴()()()113a b c ++-的最大值为32.【点睛】 本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式a b c ++≥的灵活运用;其中利用212a b c ++=构造出和为定值即()()()1223a b c ++-+-为定值是求解本题的关键;基本不等式a b +≥的条件:一正二定三相等是本题的易错点;属于中档题.。
2020年高考理科数学之高频考点解密19 椭圆(解析版)
解密19 椭圆考点1 椭圆的定义与标准方程调研1 对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆，则有0,0,m n m n >>≠，所以“0mn >”是“方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B ．调研2 过椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的上顶点与右顶点的直线方程为240+-=x y ，则椭圆C 的标准方程为A ．221164+=x yB ．221204+=x yC ．221248+=x yD ．221328+=x y【答案】A【解析】直线方程为240+-=x y ，令x =0，则y =2，得到椭圆的上顶点坐标为（0，2），即b =2， 令y =0，则x =4，得到椭圆的右顶点坐标为（4，0），即a =4，从而得到椭圆方程为221164+=x y ，故选A ． 调研3 椭圆x 24+y 2t=1上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t 的取值范围为________________．【答案】(3，4)∪(4，254) 【解析】当t >4时，椭圆x 24+y 2t=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则a =√t ，b =2，c =√t −4，由题意可得a −c =√t −√t −4>1，解得4<t <254；当0<t <4时，椭圆x 24+y 2t=1表示焦点在x 轴上的椭圆，则a =2，b =√t ，c =√4−t ，由题意可得a −c =2−√t −4>1，解得3<t <4；综上可知，实数t 的取值范围是(3，4)∪(4，254)．☆技巧点拨☆求椭圆的方程有两种方法：（1）定义法，根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．（2）待定系数法，这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：①做判断，根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）；②设方程，根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>；③找关系，根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）；④得椭圆方程，解方程组，将解代入所设方程即可． 【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且．考点2 椭圆的简单几何性质调研1 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0，b >0)的长轴两端点为(−4，0)，(4，0)，离心率为12，则短轴长为 A ．8 B ．4 C ．4√3 D ．2√3【答案】C【解析】由椭圆的性质得a =4，e =ca =12，则c =2， 又b 2=a 2−c 2=16−4=12，即b =2√3， 所以短轴长为2b =4√3．故选C ． 调研2 已知椭圆C ：x 236+y 227=1的右焦点为F ，点P(1，3)，若点Q 是椭圆C 上的动点，则ΔPQF 周长的最大值为 A ．2√13 B ．17 C ．30 D ．17+√13【答案】D【解析】设椭圆C 的左焦点为F ′，则△PQF 的周长l =|QF |+|QP |+|PF |=2a −|QF ′|+|QP |+|PF |≤2a +|PF ′|+|PF |=12+5+√13=17+√13，当点Q 为PF ′的延长线与椭圆C 的交点时取等号，故选D ．调研3 若椭圆2214x y m+=上一点到两焦点的距离之和为3m -，则此椭圆的离心率为A B 7C ．7D ．37或59【答案】A【解析】由题意得，230a m =->，即3m >，若24a =，即2a =，则34m -=，74m =>，不合题意，因此2a m =，即a =3m =-，解得9m =，即3a =，c ==离心率为e =．故选A ． 【名师点睛】此题主要考查椭圆的定义、方程、离心率等有关方面的知识与运算技能，属于中低档题型，也是常考题．在解决此类问题时，要充分利用椭圆的定义，即椭圆上的点到两个定点（即两个焦点）的距离之和为定长（即长轴长2a ），在焦点位置不确定的情况，有必要分两种情况（其焦点在x 轴或是y 轴）进行讨论，从而解决问题．调研4 已知椭圆2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得12MF F △中，1221sin sin MF F MF F a c∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为A ．(0－1)B ．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2⎛ ⎝⎭D ．－1,1)【答案】D【解析】由正弦定理可得：122112sin sin MF MF MF F MF F =∠∠，结合题意可得12MF MF ca=，所以1212MF MF MF MF caa c+==+，根据椭圆的定义可得122MF MF a +=，所以12acMF a c=+，222a MF a c=+，易知21MF MF >.因为M 为椭圆上一点，所以2a c MF a c -<<+，即22a a c a c a c-<<++，整理得2220c ac a +->，所以2210e e +->11e <<. 故选D ．☆技巧点拨☆1．利用椭圆几何性质解题时的注意点及技巧：（1）注意椭圆几何性质中的不等关系，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系；（2）利用椭圆几何性质的技巧：求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．2．求椭圆离心率问题的一般思路：求椭圆离心率或其范围时，一般是根据题意设出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2，消去b 即可求得离心率或离心率的范围．考点3 直线与椭圆的位置关系调研1 已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，△AF 1B 的周长为AM 与AN 的斜率之积为－23，则椭圆C 的标准方程为A ．22=1128x y + B ．22=1124x y + C ．22=132x y + D ．22=13x y + 【答案】C【解析】由△AF 1B 的周长为，可知1212|||||4|||AF AF BF BF a +++==，解得a =(M N ，设点00(,)A x y ，由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，=23-，即22002(3)3y x =--①．又2200213x y b +=，所以22200(1)3x y b =-②，由①②解得22b =，所以椭圆C的标准方程为22132x y +=．故选C ． 【名师点睛】此题主要考查椭圆方程，由椭圆定义可得出焦半径的性质，由椭圆上的点和顶点连线的斜率乘积可得出关系式，考查了斜率的坐标表示以及点在椭圆方程上的灵活应用，属于中档题型，也是常考考点．数形结合法是数学解题中常用的思想方法之一，通过“以形助数，以数解形”，根据数列与形之间的对应关系，相互转化来解决问题．调研2 过点()31，P 且倾斜角为3π4的直线与椭圆22221(0)+=>>x y a b a b相交于A ，B 两点，若=u u u v u u u v AP PB ，则该椭圆的离心率为 A ．12 B．2 C．3D．3【答案】C【解析】设()()1122，，，A x y B x y ，=Q u u u v u u u vAP PB ，∴P 是线段AB 的中点，则1232+=x x ，1212+=y y ，过点()31，P 且倾斜角为3π4的直线方程为()13-=--y x ，即4=-+y x ，联立直线与椭圆方程22221(0)+=>>x y a b a b 得222241⎧⎪⎪-+⎨=⎩+=y x x y ab ，整理得()22222228160+-+-=a b x a x a a b ， 212228∴+=+a x x a b ，()212122288+=-++=+b y y x x a b， 代入1232+=x x 得223，=a b则椭圆的离心率3=====c e a ．故选C ．调研3 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，短轴长为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点N(0，2)作两条直线，分别交椭圆C 于A ，B 两点（异于N 点）．当直线NA ，NB 的斜率之和为定值t(t ≠0)时，直线AB 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【解析】（1）由题意知ca =√22，2b =4，a 2−c 2=b 2，解得a =2√2，b =2，c =2， 所以椭圆方程为x 28+y 24=1．（2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y =kx +m(k ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由k NA +k KB =t ，得kx 1+m−2x 1+kx 2+m−2x 2=t ，整理得2kx 1x 2+(m −2)(x 1+x 2)=tx 1x 2 (∗)，联立{y =kx +m x 2+2y 2=8，消去y 得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， 由题意知二次方程有两个不等实根，∴x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，代入(∗)得2k(2m 2−8)1+2k 2−4km(m−2)1+2k 2=t(2m 2−8)1+2k 2，整理得(m −2)(4k −tm −2t)=0． ∵m ≠2，∴m =4k t−2，∴y =kx +4k t−2，即y +2=k(x +4t )．所以直线AB 过定点(−4t ，−2)．当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x =x 0，A(x 0，y 1)，B(x 0，y 2)，其中y 2=−y 1． ∴y 1+y 2=0， 由k NA +k NB =t ，得y 1−2x 0+y 2−2x 0=y 1+y 2−4x 0=−4x 0=t ，∴x 0=−4t．∴当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 也过定点(−4t ，−2)． 综上所述，直线AB 恒过定点(−4t ，−2)．调研4 已知椭圆C ： 2222x y +=的左、右顶点分别为1A ，2A ． （1）求椭圆C 的长轴长与离心率；（2）若不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点M ，直线1A Q 与2A P 交于点N ．求证：直线MN 垂直于x 轴．【思路分析】（1）由椭圆C 的方程可化为2212x y +=，可得1,1a b c ===，则长轴长为2a =，离心率2c e a ==；（2）设直线1A P 的方程为1(y k x =，2A Q 的方程为2(y k x =， 联立可得2121)M k k x k k +=-，同理可得4343)N k k x k k +=-，可证明1412k k =-且2312k k =-，从而可得N M x x =，进而可得结果．【解析】（1）椭圆C 的方程可化为2212x y +=，所以1,1a b c ===．所以长轴长为2a =，离心率c e a == （2）显然直线1A P 、2A Q 、1A Q 、2A P 都存在斜率，且互不相等，分别设为1234,,,.k k k k 设直线1A P的方程为1(y k x =，2A Q的方程为2(y k x =，联立可得)2121M k k x k k +=-．同理可得)4343N k k x k k +=-．下面证明141.2k k =-设()00,P x y ，则220022x y +=．所以22001422001222y y k k x y ====---．同理231.2k k =-所以1221211211(22)112)2N M k k k k x x k k k k --++===----，所以直线MN 垂直于x 轴． 【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．☆技巧点拨☆1．直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，难度为中高档，常作为压轴题出现，大致在第20题的位置． 2．直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略（1）求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件，寻找满足条件的关于a ，b ，c 的等式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．（2）关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．特别对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解． 3．具体解题步骤：对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理．（1）设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成x ＝my ＋b 的形式．（2）联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系．（3）一般涉及弦的问题，要用到弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|．1．（湖北省2019届高三1月联考）已知椭圆C ：y 2a 2+x 216=1(a >4)的离心率是√33，则椭圆C 的焦距为 A ．2√2 B ．2√6 C ．4√2 D ．4√6【答案】C【解析】由题可得e =c a =√33，则a =√3c ，所以c 2=a 2−b 2=3c 2−16，所以c 2=8，因此椭圆C 的焦距为2c =4√2．故选C ．2．（湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学）“26m <<”是“方程22126x y m m+=--为椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程22126x ym m +=--表示椭圆，则206026->->-⎨⎩≠⎪-⎧⎪m m m m，解得26m <<且4m ≠， 所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．3．（云南省玉溪市玉溪第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为A B ．2-CD 1【答案】A【解析】设()10PF m m =>，则22PF a m =-，222QF m a =-，142QF a m =-，因为11QF =，故(4m a =-.因为222212124PF PF F F c +==，所以()()2224244a a a c ⎡⎤-+--=⎣⎦，整理得到2436c a ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭c a ==故选A ．4．（黑龙江省双鸭山市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）已知椭圆2222:+=x y C a b()10>>a b 的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，12π2∠=F AF ，连接2AF y 交轴于M 点，若23OM OF =，则该椭圆的离心率为A ．13B ．3C ．58D 【答案】D【解析】设|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ． 如图所示，由题意可得：Rt △AF 1F 2∽Rt △OMF 2，∴122|||1|||||3==AF OM AF OF ．则m +n ＝2a ，m 2+n 2＝4c 2，n ＝3m ．化为：m 2223b =，n 2＝9m 2＝6b 2．∴223b +6b 2＝4c 2，∴()2253a c -=c 2，化为：c a =． 故选D ．5．（黑龙江省鹤岗市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，直线l 过左焦点且倾斜角为π3，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为 AB．5CD【答案】D【解析】由题意知，椭圆的左焦点为(),0c -，长轴长为2a ，焦距为2c ， 设直线l的方程为：)y x c =+0y -=， 则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为()0,0，半径为a ，∴圆心到直线l的距离d ==，2c ∴==，整理得：2247c a =，∴椭圆的离心率为c a ==故选D.6．（安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线:430l x y -=与椭圆相交于A 、B 两点.若||||6AF BF +=，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围为A ．9(0,]5B ．C ．(0,3D ．1(,]32【答案】C【解析】设椭圆的左焦点为F '，P 为短轴的上端点，连接,AF BF ''，如下图所示：由椭圆的对称性可知，,A B 关于原点对称，则||||=OA OB ， 又||||'=OF OF ，∴四边形AFBF '为平行四边形，||||'∴=AF BF ，又26AF BF BF BF a '+=+==，解得：3a =， 点P 到直线l 距离：3655b d -=≥，解得：2b ≥2=≥，0c ∴<≤，3c e a ⎛∴=∈ ⎝⎦. 故选C .7．（山东省淄博市实验中学2019-2020学年高三上学期第一次学习检测数学试题）已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122+e e 的最小值为 AB ．3C ．6D【答案】C 【解析】如图，设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ， 由题意可知：1222F F F P c ==， 又1211222,2F P F P a F P F P a +=-=Q ，111222,22F P c a F P c a ∴+=-=，两式相减，可得：122a a c -=，22112122242222e a a a c c e c a ca ++=+=Q ， ()222222222122242842422222c a a c e ca a c a ce ca ca c a ++++∴+===++，22222a cc a +≥=Q ，当且仅当2222a c c a =时等号等立，2122∴+e e 的最小值为6， 故选C ．8．（甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高三上学期9月月考数学）已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是 A ．13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【答案】D【解析】如图所示：设椭圆与双曲线的焦距为122F F c =,1PF t =， 由题意可得122,2+=-=t c a t c a ，122,2t a c t a c ∴=-=+，1222a c a c ∴-=+，即12a a c -=，12111e e ∴-=，即2121e e e =+，2222122222211111e e e e e e e e e ∴-=-==++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由21e >可知2101e <<， 令21(0,1)x e =∈，2(0,2)y x x ∴=+∈， 所以2112e e ->，故选D ． 9．（福建省南安市侨光中学2020届高三上学期第一次阶段考数学）已知点M，0)，椭圆22+14x y =与直线y ＝k (x交于点A ，B ，则△ABM 的周长为________. 【答案】8【解析】直线(=+y k x 过定点N （）， 由题设知M 、N 是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN +AM =2a =4，BM +BN =2a =4．则△ABM 的周长为AB +BM +AM =（AN +BN ）+BM +AM =（AN +AM ）+（BN +BM ）=8， 故答案为8．10．（广东省雷州市2019届高三上学期期末考试）已知A 、B 分别为椭圆x 29+y 2b =1（0<b <3）的左、右顶点，P 、Q 是椭圆上的不同两点且关于x 轴对称，设直线AP 、BQ 的斜率分别为m 、n ，若点A 到直线y =√1−mnx 的距离为1，则该椭圆的离心率为________________．【答案】√24【解析】设P(x 0，y 0)，则Q(x 0，−y 0)，m =y 0x 0+3，n =−y 0x 0−3，∴mn =−y 02x2−9，又P(x 0，y 0)在椭圆x 29+y 2b 2=1上，∴y 02=−b 29(x 02−9)，∴mn =b 29，点A 到y =√1−mnx的距离为1===d ，解得b 2=638，c =2√2e =c3=√24．11．（河南省洛阳市2019届高三上学期尖子生第二次联考）某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，得到的点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a2+y 2b 2=1的离心率e >√32的概率是________________． 【答案】13 【解析】由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的离心率e >√32，可得当a >b 时，e =c a=√a2−b 2a>√32，即得a 2>4b 2；当a <b时，e =c b =√b 2−a 2b >√32，即得b 2>4a 2．同时掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ，b ，共有6×6=36种情况，满足上述关系的有：(3，1)，(1，3)，(4，1)，(1，4)，(5，1)，(1，5)，(5，2)，(2，5)，（6，1），(1，6)，（6，2），(2，6)，共12种情况， 所以所求概率为1236=13．12．（四川省绵阳市2019届高三第二次诊断性考试）已知点P 是椭圆C ：x 29+y 2=1上的一个动点，点Q是圆E ：x 2+(y −4)2=3上的一个动点，则｜PQ ｜的最大值是________________． 【答案】4√3【解析】由圆E ：x 2+（y ﹣4）2＝3可得圆心为E （0，4），又点Q 在圆E 上，∴|PQ |≤|EP |+|EQ |＝|EP |+√3（当且仅当直线PQ 过点E 时取等号）． 设P （x 1，y 1）是椭圆C 上的任意一点，则x 129+y 12=1，即x 12=9−9y 12，∴|EP |2=x 12+(y 1−4)2=9−9y 12+(y 1−4)2=−8(y 1+12)2+27．∵y 1∈[−1，1]，∴当y 1＝﹣12时，|EP |2取得最大值27，即|PQ |≤3√3+√3=4√3， ∴|PQ |的最大值为4√3．13．（四川省眉山市2019-2020学年高三第二次诊断性考试数学）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)F，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆内一点()0,P t ，斜率为k 的直线l 交椭圆于,M N 两点，设直线,OM PN （O 为坐标原点）的斜率分别为12,k k ，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围.【解析】（1）由题意得222222c ba abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为：22142+=x y .（2）设直线l 的方程为,y kx t =+由221,42,x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元可得()222214240.k x ktx t +++-= 设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222424,.2121kt t x x x x k k --+==++ 而()12121212221211242,2t x x y y kx t kx tk k k k x x x x x x t +++-+=+=+=+=- 由12,k k k λ+=得24.2kk t λ-=- 因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242.t λ=- 由题意，点()0,P t 在椭圆内，故24022t λ≤=-<，解得 2.λ≥所以λ的取值范围是[)2,.+∞ 14．（河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B．已知椭圆的离心率为3，AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==， 从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,)x y --．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =． 由215x x =5(32)k =+， 两边平方，整理得2182580k k ++=， 解得89k =-，或12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去； 当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．15．（湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高三上学期第六次月考数学）如图，已知椭圆P:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴A 1A 2，长为4，过椭圆的右焦点F 作斜率为k （k ≠0）的直线交椭圆于B 、C 两点，直线BA 1，BA 2的斜率之积为−34.（1）求椭圆P 的方程；（2）已知直线l:x =4，直线A 1B ，A 1C 分别与l 相交于M 、N 两点，设E 为线段MN 的中点，求证：BC ⊥EF . 【解析】（1）设B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)， 因点B 在椭圆上，所以x 12a 2+y 12b 2=1，故y 12=b 2a 2(a 2−x 12). 又A 1(−a,0)，A 2(a,0)， 所以k BA 1⋅k BA 2=y 1x1+a⋅y 1x 1−a =−b 2a2，即b 2a 2=34， 又a =2，所以b =√3， 故椭圆P 的方程为x 24+y 23=1.（2）设直线BC 的方程为：y =k (x −1)，B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)， 联立方程组{x 24+y 23=1y =k (x −1)，消去y 并整理得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3.直线A 1B 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，令x =4得y M =6y 1x1+2，同理，y N =6y 2x2+2；所以y E =12(y M +y N )=3(y 1x1+2+y 2x2+2)=6kx 1x 2+3k (x 1+x 2)−12kx 1x 2+2(x 1+x 2)+4， 代入化简得y E =−3k ，即点E (4,−3k )， 又F (1,0)， 所以k EF k BC =−3k3⋅k =−1，所以BC ⊥EF .16．（江西省红色七校2019-2020学年高三第一次联考数学）已知点()2,1M 在椭圆2222:+=x y C a b()10>>a b 上，A ，B 是长轴的两个端点，且3MA MB ⋅=-u u u r u u u r．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()1,0E ，过点()2,1M 的直线l 与椭圆的另一个交点为N ，若点E 总在以MN 为直径的圆内，求直线l 的斜率的取值范围．【解析】（1）由已知可得()()2,12,13a a -----=-g ，解得28a =，又点()2,1M 在椭圆C 上，即2222118b+=，解得22b =，所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=.（2）设()11N x y ,，当直线l 垂直于x 轴时，点E 在以MN 为直径的圆上，不合题意， 因此设直线l 的方程为()21y k x =-+， 代入椭圆方程，消去y 得()()()2222418244410k x k kx kk ++-+--=，则有()2124441241k k x k --=+，即()212244141k k x k --=+，21244141k k y k --+=+， 且判别式()216210=+>k ∆，即12k ≠-， 又点E 总在以MN 为直径的圆内，所以必有0EM EN u u u u v u u u v⋅<，即有()()11111,1,110x y x y -=+-<g ，将1x ，1y 代入得222248344104141k k k k k k ----++<++，解得16k >-，所以满足条件的直线l 的斜率的取值范围是1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 17．（四川省成都市第七中学2019-2020学年高三上学期一诊模拟数学）已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−√2,0),F 2(√2,0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1,0). （1）求椭圆C 的方程;（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，设点N(3,2)，直线AN,BN 的斜率分别为k 1,k 2，问k 1+k 2是否为定值?并证明你的结论.【解析】（1）依题意，c =√2，a 2−b 2=2. ∵点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴b =|OM |=1，∴a =√3. ∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1. （2）①当直线l 的斜率不存在时，由{x =1x 23+y 2=1解得x =1，y =±√63.设1,3⎛⎝⎭A，1,3⎛- ⎝⎭B，则122233222++=+=k k 为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1=-y k x .将()1=-y k x 代入2213+=x y 整理化简，得()2222316330+-+-=k x k x k . 依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631+=+k x x k ，21223331-=+k x x k .又()111=-y k x ，()221=-y k x ， 所以1212122233--+=+--y y k k x x ()()()()()()122112232333--+--=--y x y x x x ()()()()()1221121221321393⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++k x x k x x x x x x ()()()121212121212224693⎡⎤-++-++⎣⎦=-++x x k x x x x x x x x22222222226336122246313131633933131⎡⎤--⨯+⨯-⨯+⎢⎥+++⎣⎦=--⨯+++k k k k k k k k k k k ()()2212212621+==+k k . 综上得k 1+k 2为常数2.1．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ． 2．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．3．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP的斜率为6可得2tan PAF ∠=所以2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠，所以4a c =，14e =，故选D ． 4．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=， 直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223(),a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率3c e a ===，故选A ．【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝ca；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12014,42MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.6．（2017新课标全国Ⅱ理科）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【答案】（1） 222x y +=；（2）证明见解析．【思路分析】（1）设出点P 的坐标，利用=NP u u u r u u u r得到点P 与点M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222x y +=；（2）利用1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 可得坐标之间的关系：2231m m tn n --+-=，结合（1）中的结论整理可得OQ PF ⋅=u u u r u u u r 0，即⊥OQ PF u u u r u u u r，据此即可得出结论．【解析】（1）设()()00,,,P x y M x y ，设()0,0N x ，()()00,,0,NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r．由=NP u u u r u u u r得00,2x x y y ==，因为()00,M x y 在C 上，所以22122x y +=． 因此点P 的轨迹方程为222x y +=．（2）由题意知()1,0F -．设()()3,,,Q t P m n -，则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r ，()(),,3,OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r．由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n+=，故330m tn +-=，所以OQ PF ⋅=u u u r u u u r 0，即⊥OQ PF u u u r u u u r．又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． （4）代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程．7．（2018新课标全国Ⅰ理科）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【答案】（1）2y x =-或2y x =；（2）证明见解析． 【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-，所以AM 的方程为2y x =-2y x =-． （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+． 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠．8．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析． 【思路分析】（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点．另外由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点．【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点． 又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上． 因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=． （2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2， 如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，2），（t，2-）．则121k k +=-=-，得2t =，不符合题设． 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）．将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=． 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+． 而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=． 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=．即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-． 当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）．【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．9．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，公差为28或28-． 【解析】（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=．两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=．由题设知12121,22x y x y m ++==，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=． 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =u u u r ．于是1||22x FA ===-u u u r ，同理2||22x FB =-u u u r ，所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r ，故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r成等差数列．设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r ①． 将34m =代入34k m =-得1k =-，所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=，故121212,28x x x x +==，代入①解得||28d =，所以该数列的公差为28或28-．。
2020届安徽省六校教育研究会高三第一次调研考试数学(理)试题
2020届安徽省六校教育研究会高三第一次调研考试数学试题（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则的虚部为（）A. 5B.C.D. -53.如图，和是圆两条互相垂直的直径，分别以,,,为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C.D.4.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位5.如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46.已知定义在R 上的函数满足：（1）；（2）；（3）时，.则大小关系（ ）A. B. C. D.7.已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F是C 上的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）A.（-3，3） B.（-6，6）C.（）D.（）8.函数的图象可能是9.若函数的图象过点，则（ ）A. 点是的一个对称中心 B. 直线是的一条对称轴C. 函数的最小正周期是D. 函数的值域是10.已知双曲线的左，右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，线段交左支于点.若，且，则该双曲线的离心率为（ ）A. B.C.D.11.若平面向量，满足，且，，则（ ）A. 5B.C. 18D. 25 12.定义在上的函数，满足，且当时，，若函数在上有零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C.D.第II卷非选择题（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
高考数学《平面解析几何》练习题及答案
平面解析几何1．[湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学（理)试题] 已知双曲线222:116x y E m-=的离心率为54，则双曲线E 的焦距为A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D 【解析】 【分析】通过离心率和a 的值可以求出c ，进而可以求出焦距. 【详解】由已知可得54c a =，又4a =，5c ∴=，∴焦距210c =，故选D.【点睛】本题考查双曲线特征量的计算，是一道基础题.2．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若椭圆2221x y a +=经过点1,3P ⎛ ⎝⎭，则椭圆的离心率e =A ．2 B 1C D [来 【答案】D3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为A ．83B ．3C ．163D ．6【答案】C4．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题]若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被曲线22420x y x +-+=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为A BC D 【答案】B5．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为A 1B ．12C ．2D 【答案】A 【解析】 【分析】根据12PF PF ⊥及椭圆的定义可得12PF a c =-，利用勾股定理可构造出关于,a c 的齐次方程，得到关于e 的方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：12PF PF ⊥，且2PF c =， 又122PF PF a +=，12PF a c ∴=-，由勾股定理得()222224220a c c c e e -+=⇒+-=，解得1e =. 故选A.6．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为A ．23y x =±B ．22y x =±C ．3y x =D ．2y x =【答案】A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得3x =， 所以2212||46413F F =+=13c ⇒= 因为2521a x a =-=⇒=，所以3b =所以双曲线的渐近线方程为23by x x a=±=±.【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.7．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）]P 为椭圆19110022=+y x 上的一个动点，N M ,分别为圆1)3(:22=+-y x C 与圆)50()3(:222<<=++r r y x D 上的动点，若||||PN PM +的最小值为17，则=r A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】8．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 如果123,,,P P P 是抛物线2:4C y x =上的点，它们的横坐标123,,,x x x ，F 是抛物线C 的焦点，若12201820x x x +++=，则12||||PF P F + 2018||P F ++=A ．2028B ．2038C ．4046D ．4056【答案】B9．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】C 【解析】10．[湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学（理)试题]已知P 是椭圆22:14x y E m+=上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，()2120k k k ≠，若12k k +的最小值为1，则实数m 的值为 A ．1 B ．2 C ．1或16D ．2或8【答案】A 【解析】 【分析】先假设出点M ，N ，P 的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由12k k +最小值为1运用基本不等式的知识求最小值，进而可以求出m . 【详解】设''0000(,),(,),(,)M x y N x y P x y --，''00'0012',y y y k x x x k y x -+==-+''''0000''''0020102y y y y y y y y x x x x x x k x x k +=+-++-⨯-+-+≥ '220'220y y x x -=-2'20'220(1)(1)442x x x m x m --=-- 4m=，1m ∴=. 故选A. 【点睛】本题大胆设点，表示出斜率，运用基本不等式求参数的值，是一道中等难度的题目.11．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知双曲线22221(0,x y a a b-=>0)b >的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若12F MF ∠45=︒，则双曲线的离心率为 A ．3 B ．2 C ．2D ．5【答案】A 【解析】 【分析】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F N MN ⊥，垂足为A ，由ON a =，得到12F A b =，在2Rt MF A △中，可得222MF a =，得到122MF b a =+，再由双曲线的定义，解得2b a =，利用双曲线的离心率的定义，即可求解. 【详解】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F N MN ⊥，垂足为A ，由ON a =，且ON 为12F F A △的中位线，可得22212,F A a F N c a b ==-=， 即有12F A b =，在2Rt MF A △中，可得222MF a =，即有122MF b a =+，由双曲线的定义可得1222222MF MF b a a a -=+-=，可得2b a =， 所以223c a b a =+=，所以3==ce a. 故选A.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12．[安徽省2020届高三期末预热联考理科数学]【答案】C13．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]双曲线2212516y x -=的渐近线方程为_____________.【答案】54y x =±14．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则离心率等于 . 515．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题] 已知圆02222=--+by ax y x )0,0(>>b a 关于直线022=-+y x 对称，则ba 21+的最小值为________．【答案】2916．[江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题]已知AB 是圆C :222x y r +=的直径,O 为坐标原点,直线l :2r x c=与x轴垂直,过圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点, 则2OM ONr ⋅的值为 ▲ .【答案】1【解析】设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,则2παβ+=,∴tan tan 1αβ=，记直线l :2r x c=与x 轴的交点为H ,如图，()()OM ON OH HM OH HN ⋅=+⋅+，则2(,0)r H c ,0,0OH HN OH HM ⋅=⋅=,∴22||||OM ON OH HM HN OH HM HN ⋅=+⋅=-⋅22422|||||||tan ||||tan |()()r r r HM HN AH BH r r r c c c αβ⋅==+-=-∴242222()()r r OM ON r r c c⋅=--=.即2OM ON r ⋅的值为1. 17．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F ，，,A B 是其左、右顶点，点P 是椭圆C 上任一点，且12PF F △的周长为6，若12PF F △面积的最大值为3（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点2F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,M N 两个不同点，证明：直线AM 于BN 的交点在一条定直线上.【解析】（1）由题意得222226,123,2,a c bc a b c +=⎧⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2,c b a =⎧⎪∴=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）由（1）得()2,0A -，()2,0B ，()21,0F ，设直线MN 的方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由221143x mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2243690m y my ++-=，122643m y y m ∴+=-+，122943y y m =-+，()121232my y y y ∴=+， 直线AM 的方程为()1122y y x x =++，直线BN 的方程为()2222y y x x =--， ()()12122222y yx x x x ∴+=-+-， ()()2112212121232322y x my y y x x y x my y y +++∴===---， 4x ∴=，∴直线AM 与BN 的交点在直线4x =上.18．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 已知B 是抛物线2118y x =+上任意一点，()0,1A -，且点P 为线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若F 为点A 关于原点O 的对称点，过F 的直线交曲线C 于M 、N 两点，直线OM 交直线1y =-于点H ，求证：NF NH =． 【解析】 【分析】（1）设(),P x y ，()00,B x y ，根据中点坐标公式可得00221x xy y =⎧⎨=+⎩，代入曲线方程即可整理得到所求的轨迹方程；（2）设:1MN y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，将直线MN 与曲线C 联立，可得124x x =-；由抛物线定义可知，若要证得NF NH =，只需证明HN 垂直准线1y =-，即HN y ∥轴；由直线OM 的方程可求得11,1x H y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可将H 点横坐标化简为121x x y -=，从而证得HN y ∥轴，则可得结论.【详解】（1）设(),P x y ，()00,B x y ，P 为AB 中点，00221x xy y =⎧∴⎨=+⎩， B 为曲线2118y x =+上任意一点，200118y x ∴=+，代入得24x y =，∴点P 的轨迹C 的方程为24x y =.（2）依题意得()0,1F ，直线MN 的斜率存在，其方程可设为：1y kx =+， 设()11,M x y ，()22,N x y ，联立214y kx x x=+⎧⎨=⎩得：2440x kx --=，则216160k ∆=+>，124x x ∴=-，直线OM 的方程为11y y x x =，H 是直线与直线1y =-的交点， 11,1x H y ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，根据抛物线的定义NF 等于点N 到准线1y =-的距离，H 在准线1y =-上，∴要证明NF NH =，只需证明HN 垂直准线1y =-， 即证HN y ∥轴，H 的横坐标：111222111144x x x x x x y x x --=-===， ∴HN y ∥轴成立，NF NH ∴=成立. 【点睛】本题考查圆锥曲线中轨迹方程的求解、直线与圆锥曲线综合应用中的等量关系的证明问题；证明的关键是能够利用抛物线的定义将所证结论转化为证明HN y ∥轴，通过直线与抛物线联立得到韦达定理的形式，利用韦达定理的结论证得HN y ∥轴.19．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）]在直角坐标系xOy 中，点)0,2(-M ，N 是曲线2412+=y x 上的任意一点，动点C 满足MC NC +=0. （1）求点C 的轨迹方程；（2）经过点)0,1(P 的动直线l 与点C 的轨迹方程交于B A ,两点，在x 轴上是否存在定点D （异于点P ），使得BDP ADP ∠=∠？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由.20．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知椭圆22212x y C a ：+=过点P （2，1）． （1）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（2）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A '，直线A 'P 与C 交于另一点B ．设O 为原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由． 【解析】 【分析】（1）将点P 代入椭圆方程，求出a ，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，设点A 的坐标为()11x y ，，()22B x y ，，分别求出12x x -，12y y -，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.【详解】（1）由椭圆22212x y C a +=： 过点P （2，1），可得28a =．所以222826c a =-=-=，所以椭圆C 的方程为28x +22y =1，则离心率e 622=3（2）直线AB 与直线OP 平行．证明如下： 设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得()()22241812161640k x k k x k k ++-+--=， ∴21216164241k k x k -+=+，∴21288214k k x k --=+， 同理22288241k k x k +-=+，所以1221641kx x k -=-+， 由1121y kx k =-+，2121y kx k =-++， 有()121228441ky y k x x k k -=+-=-+， ∵A 在第四象限，∴0k ≠，且A 不在直线OP 上， ∴121212AB y y k x x -==-， 又12OP k =，故AB OP k k =， 所以直线AB 与直线OP 平行．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．21．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题]双曲线2215x y -=焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. （1）求椭圆C 的方程；（2）设动点N M ,在椭圆C上，且3MN =，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.【解析】（1）双曲线2215x y -=的焦点坐标为().因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a ==1b =. 故椭圆C 的方程为2216x y +=.（2）因为23MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.代入椭圆方程2216x y +=，得()()2221612610k x kmx m +++-=.因为()()()2221224161km k m ∆=-+-()2224160k m =+->，所以2216m k <+. 设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+，()21226116m x x k -=+.则12MN x =-==因为MN == 整理得()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-.所以221875509t t m t -+-=15075189t t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯≤=.等号成立的条件是53t =， 此时223k =，253m =，满足2216m k <+，符合题意.故m. 22．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] ）已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，长轴长为 （1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）过点()0,1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足MA MB MO ++=0，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称．【解析】（1）由已知，得1a c ==，所以3c e a ===， 又222a b c =+，所以b =所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=，离心率3e =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),m m M x y ，①直线l 与x 轴垂直时，点,A B的坐标分别为(0,，(．因为()0,m m MA x y =-，()0m m MB x y =-，()0,0m m MO x y =--， 所以()3,3m m MA MB MC x y ++=--=0． 所以0,0m m x y ==，即点M 与原点重合;②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1y kx =+，由221321x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 得()2232630k x kx ++-=， ()22236123272240k k k ∆=++=+>．所以122632kx x k -+=+，则1224032y y k +=>+， 因为()11,m m MA x x y y =--，()22,m m MB x x y y =--，(),m m MO x y =--， 所以()121203,03m m MA MB MO x x x y y y ++=++-++-=0． 所以123m x x x +=，123m y y y +=．2232m k x k -=+，243032m y k =>+，消去k ，得()2223200m m m m x y y y +-=>．综上，点M 构成的曲线L 的方程为222320x y y +-=. 对于曲线L 的任意一点(),M x y ，它关于直线13y =的对称点为2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭．把2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭的坐标代入曲线L 的方程的左端：2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以点M '也在曲线L 上．所以由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称.。
2021-2022学年安徽省六校教育研究会高三(上)第一次素质测试数学试卷(理科)(附答案详解)
2021-2022学年安徽省六校教育研究会高三（上）第一次素质测试数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x∈N|x2−8x+12<0}，B={x|log2(x−1)<2}，则A∩B=()A. {x|3≤x<5}B. {x|2<x<5}C. {3,4}D. {3,4，5}2.复数z=(√3−i)(1+i)2，则|z|=()A. 4√2B. 4C. 2√3D. 2√23.一个至少有3项的数列{a n}中，前n项和S n=12n(a1+a n)是数列{a n}为等差数列的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列说法正确的是()A. 经过三点确定一个平面B. 各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C. 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D. 一个三棱锥四个面可以都为直角三角形5.二项式(x+1)n(n∈N∗)的展开式中x3的系数为20，则n=()A. 7B. 6C. 5D. 46.将点A(−35,45)绕原点逆时针旋转π4得到点B，则点B的横坐标为()A. −7√210B. −6√25C. −√210D. √2107.已知抛物线y2=2px(p>0)，A和B分别为抛物线上的两个动点，若∠AOB=π2(O 为坐标原点)，弦AB恒过定点(4,0)，则抛物线方程为()A. y2=2xB. y2=4xC. y2=8xD. y2=16x8.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为()A. 932B. 58C. 38D. 7169. 把1、2、3、4、5、6、7这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列共有( )A. 20个B. 62个C. 63个D. 64个10. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15.如图所示． 一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n 2填入n ×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的对角线上的数的和为N n ，如图三阶幻方记为N 3=15，那么N 11的值为( )A. 670B. 671C. 672D. 67511. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点为F 1、F 2，过F 2的直线交双曲线于M ，N 两点(M 在第一象限)，若ΔMF 1F 2与ΔNF 1F 2的内切圆半径之比为3：2，则直线MN 的斜率为( )A. √6B. 2√6C. √3D. 2√312. 设a =2√e ，b =2ln2，c =e 24−ln4，则( )A. c <a <bB. b <c <aC. a <c <bD. c <b <a二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=2，a ⃗ +b ⃗ =(1,3)，则|a ⃗ −b ⃗ |=______． 14. 在棱长为2的正四面体ABCD 中，AE 是△ABC 的高线，则异面直线AE 和CD 夹角的正弦值为______．15. 正割(secant)及余割(cosecant)这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔⋅威发首先引入．sec ，csc 这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割secα=1cosα，余割cscα=1sinα.已知t >0，且sec 2x +tcsc 2x ≥16对任意的实数x(x ≠kπ2,k ∈Z)均成立，则t 的最小值为______．16. 已知函数f(x)={|x +3|,x ≤02x 3−6x +3,x >0，设g(x)=kx +52，且函数y =f(x)−g(x)的图像经过四个象限，则实数k 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）(4n−1)(n∈N∗)，设b n=log2a n．17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=23(1)分别求{a n}和{b n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)求数列{1(b n+1)(b n+3)18.三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a3+c3=b2a+b2c.(1)求B；(2)若b=√3，求△ABC的面积最大值．19.近日，国家卫健委公布了2020年9月到12月开展的全国性近视专项调查结果：2020年，我国儿童青少年总体近视率为52.7%.为掌握某校学生近视情况，从该校高三(1)班随机抽取7名学生，其中4人近视、3人不近视．现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查．(1)用X表示抽取的3人中近视的学生人数，求随机变量X的分布列与数学期望；(2)设A为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件A发生的概率．20.如图，在多面体ABCEFM中，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB=π2，四边形ABFE为矩形，AE⊥面ABC，AE//CM，AE=AC=2CM=6，N为AB 中点，面EMN交BC于点G．(1)求CG长；(2)求二面角B−EG−N的余弦值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，P为椭圆上的一个动点，且ΔPF1F2面积的最大值为3√2．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点F2作与x轴不垂直的直线l1交椭圆于A，B两点，第一象限点M在椭圆上且满足MF2⊥x轴，连接MA，MB，记直线AB，MA，MB的斜率分别为k，k1，k2，探索k1+k22−k是否为定值，若是求出；若不是说明理由．22.设p，q>1，满足1p +1q=1.证明：(1)对任意正数x，有x pp +1q≥x；(2)对任意正数a，b，有a pp +b qq≥ab．答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为集合A={x∈N|x2−8x+12<0}={x|2<x<6,x∈N}={3,4，5}，又B={x|log2(x−1)<2}={x|1<x<5}，所以A∩B={3,4}．故选：C．先求出集合A，B，然后由集合交集的定义求解即可．本题考查了交集及其运算，一元二次不等式以及对数不等式的解法，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵z=(√3−i)(1+i)2=(√3−i)(2i)=2+2√3i，∴|z|=√22+(2√3)2=4．故选：B．根据已知条件，运用复数的运算法则化简z，再求出z的模即可．本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数的模，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：若S n=12n(a1+a n)，则当n≥2时，S n−1=12(n−1)(a1+a n−1)，两式相减得，2a n=n(a1+a n)−(n−1)(a1+a n−1)，即(n−1)a n−1=a1+(n−2)a n①，当n≥3时，(n−2)a n−2=a1+(n−3)a n−1②，①−②得，2(n−2))a n−1=(n−2)(a n+a n−2)，∴2a n−1=a n+a n−2，∴数列{a n}为等差数列，∴充分性成立，若数列{a n}为等差数列，则S n=12n(a1+a n)显然成立，∴必要性成立，∴前n项和S n=12n(a1+a n)是数列{a n}为等差数列的充要条件，利用等差中项法判断充分性，又必要性显然成立，可判断出结论．本题考查了等差数列的定义、等差中项法的应用、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：对于A：经过不共线的三点确定一个平面，故A错误；对于B：由多个三角形构成的多面体不一定是三棱锥，故B错误；对于C：各侧面都是正方形的棱柱，底面为菱形的四棱柱不是正棱柱，故C错误；对于D：一个三棱锥四个面可以都为直角三角形，如图所示：故选：D．直接利用锥体的定义和性质，正四棱柱体的定义的应用求出结果．本题考查的知识要点：锥体的定义和性质，正四棱柱体的定义，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵二项式(x+1)n(n∈N∗)的展开式中x3的系数为C n3=20，则n=6，故选：B．由题意利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中x3的系数，再根据展开式中x3的系数为20，求得n的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．【解析】解：设直线OA的倾斜角为θ，则sinθ=45√(−35)2+(45)2=45，cosθ=−35，则cos(θ+π4)=cosθcosπ4−sinθsinπ4=(−35)×√22−45×√22=−7√210．则点B的横坐标为−7√210．故选：A．设直线OA的倾斜角为θ，利用任意角的三角函数的定义可求sinθ，cosα的值，进而由题意根据两角和的余弦公式即可求解．本题考查了任意角的三角函数的定义，两角和的余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：设l：x=my+4，代入y2=2px，得y2−2pmx−8p=0，设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=2pm，y1y2=−8p，则x1x2=y12y224p2=16．∵∠AOB=π2(O为坐标原点)，∴x1x2+y1y2=0，即16−8p=0，解得p=2．∴抛物线的方程为y2=4x；故选：B．设l：x=my+4，代入y2=2px，得y2−2pmx+4p=0，设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用韦达定理结合向量的数量积求解p，即可得到抛物线方程；本题考查抛物线的简单性质以及抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：如图，设大正方形的边长为2，则GF=1，EF到DE的距离d=12，∴白色部分的面积为：S 白=22−12×2×1−1×12=52，∴在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为：P=S白S=5222=58．故选：B．设大正方形的边长为2，求出白色部分的面积，利用几何概型能求出在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率．本题考查概率的运算，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】B【解析】解：从1，2，3，4，5，6中选出1个数排在7的右侧，其余排在7的左侧，得到先增后减的数列有C61个，从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在7的右侧，其余排在7的左侧，得到先增后减的数列有C62个，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，故满足条件的总个数为C61+C62+C63+C64+C65=62个．故选：B．从1，2，3，4，5，6中选出1个数排在7的右侧，其余排在7的左侧，得到先增后减的数列有C61个，从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在7的右侧，其余排在7的左侧，得到先增后减的数列有C62个，以此类推，对所求的结果求和，即可求解．本题主要考查组合及简单计数问题，需要学生有分类讨论的思想，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：根据题意，幻方的每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，N n=1n [1+2+3+⋯…+(n2−1)+n2]=1n×(1+n2)×n22=(1+n2)⋅n2，故N11=(1+121)×112=671．故选：B．根据等差数列的前n项和公式，求出N n的通项公式，然后代入n=11进行计算即可．本题考查归纳推理，涉及等差数列的前n项和公式，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：设△MF 1F 2的内切圆为圆O 1，与三边的切点分别为A ，B ，C ， 如图所示，设MA =MC =m ，AF 1=BF 1=n ，BF 2=CF 2=t ， 由双曲线的定义可得{(m +n)−(m +t)=2a n +t =2c ， 所以n =a +c ，由此可知，在△MF 1F 2中，O 1B ⊥x 轴于点B ，同理可得O 2B ⊥x 轴于点B ， 所以O 1O 2⊥x 轴，过圆心O 2作CO 1的垂线，垂足为D ，因为∠O 2O 1D +∠BF 2C =180°，∠BF 2C +∠CF 2x =180°， 所以∠O 2O 1D 与直线l 的倾斜角相等，设ΔMF 1F 2与ΔNF 1F 2的内切圆半径r 1、r 2之比为3：2，因为r 1r 2=32，不妨设r 1=3，r 2=2，则O 2O 1=3+2=5，O 1D =3−2=1， 在Rt △O 2O 1D 中，O 2D =√52−12=2√6，所以tan∠O 2O 1D =O 2DO 1D =2√6，故直线l 的斜率为2√6． 故选：B ．设MA =MC =m ，AF 1=BF 1=n ，BF 2=CF 2=t ，利用双曲线的定义可得n =a +c ，作出图形，结合图形分析，可知∠O 2O 1D 与直线l 的倾斜角相等，利用直角三角形中的边角关系，求出tan∠O 2O 1D ，即可得到直线l 的斜率．本题考查直线与双曲线的位置关系，直线与圆的位置关系的综合应用，直线的斜率与倾斜角的关系的应用，解题的关键是将直线的倾斜角转化为∠O 2O 1D 进行求解，考查数形结合法的运用，逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：设f(x)=xlnx ，则a=√eln√e=f(√e)，b=f(2)，c=e2ln(e22)2=f(e22)．因为f′(x)=lnx−1(lnx)2，所以当1<x<e时，f′(x)<0；当x>e时，f′(x)>0．所以f(x)在(1,e)单调递减，在(e,+∞)单调递增．因为f(2)=f(4)，且1<√e<2<e<e22<4，所以f(√e)>f(2)=f(4)>f(e22)，即a>b>c．故选：D．构造函数f(x)=xlnx，利用函数单调性判断a，b，c的大小．本题考查利用函数的单调性比较大小，属于中档题．13.【答案】2√2【解析】解：由a⃗+b⃗ =(1,3)，可得|a⃗+b⃗ |=√10，那么(|a⃗+b⃗ |)²=10，即a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =10，∵|a⃗|=|b⃗ |=2，∴2a⃗⋅b⃗ =2；∴|a⃗−b⃗ |=√(a⃗+b⃗ )2−2a⃗⋅b⃗ =√10−2=2√2；故答案为：2√2．根据a⃗+b⃗ =(1,3)，可得|a⃗+b⃗ |=√10，则|a⃗−b⃗ |=√(a⃗+b⃗ )2−2a⃗⋅b⃗ ，即可求解．本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义和求法，属于基础题．14.【答案】√336【解析】解：在棱长为2的正四面体ABCD中，AE是△ABC的高线，取AD，EC和AC的中点N，G，F，连接NG，GF，NF，可得NG//CD，GF//AE，异面直线AE和CD夹角的平面角为∠FGN，作正四面体的高DO ，且DO =2√63，O 落在AE 的三等分点上，作NM 垂直AE ，可得NM//DO ；且NM =√63，NM ⊥△ABC ，在△EMF 中，可得EM =2√33，EF =12，∠MEF =90°，∴MF =√1912；∵NM ⊥△ABC ，∴△NMF 是直角三角形， ∴NF =32；在△GNF 中，NF =32，NG =1，GF =√32余弦定理可得cos∠FGN =2√3；那么异面直线AE 和CD 夹角的正弦值为√336．故答案为√336．作直线AE 和CD 的平行线在同一平面的夹角，即为异面直线AE 和CD 夹角，根据余弦定理求解余弦值，从而可得夹角的正弦值．主要考查了空间直线与直线形成的空间角的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，属于中档题15.【答案】9【解析】解：sec 2x +tcsc 2x =(sec 2x +tcsc 2x)(sin 2x +cos 2x) =sin 2xcos 2x +t +1+cos 2xsin 2x t ≥t +1+2√t ，当且仅当sin 2xcos 2x =cos 2x sin 2xt 时，取等号，∵sec 2x +tcsc 2x ≥16 ∴t +1+2√t ≥16 解得：t ≥9或t ≤−25(舍) 故答案为：9．运用基本不等式求解，巧用“1”，sin 2x +cos 2x =1，运用基本不等式化简(sec 2x +tcsc 2x)(sin 2x +cos 2x)，即可求出t 的范围．本题考查了基本不等式中巧用“1”的做题方法，属于基础题．16.【答案】(−92,56)【解析】解：当x >0时，f(x)=2x 3−6x +3， ∴f′(x)=6x 2−6=6(x 2−1)=6(x +1)(x −1)，若x ∈(0,1)，f′(x)<0，f(x)单调递减；若x ∈(1,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增， 且f(0)=3，f(1)=−1，则画出f(x)的大致图像，如图所示：，函数g(x)=kx +52恒过点(0,52)，要使函数y =f(x)−g(x)的图像经过四个象限，由图可知只需f(x)与g(x)在(−∞,0)和(0,+∞)上分别有交点即可，且交点不可为(−3,0)和切点， ①当k >0时，若g(x)=kx +52过点(−3,0)，则k =56， ∴0<k <56，②当k =0时，符合题意，③当k <0时，在(0,+∞)内，只需要求出过定点(0,52)与函数图像的切线的斜率即可，设切点坐标为(x 0,y 0)，则{y 0=2x 03−6x 0+3y 0−52x=6x 02−6， 解得{x 0=12y 0=14，∴切线的斜率为6x 02−6=−92， ∴−92<k <0，综上所述，实数k 的取值范围为(−92,56)， 故答案为：(−92,56).函数y =f(x)−g(x)的图像经过四个象限，转化为当x >0时，函数y =f(x)−g(x)的值有正有负，当x <0时，函数y =f(x)−g(x)的值也要有正有负，所以f(x)与g(x)在(−∞,0)和(0,+∞)上分别有交点即可，且交点不可为(−3,0)和切点，画出函数f(x)的大致图像，利用数形结合法求k 的取值范围即可．本题主要考查了分段函数的应用，考查了求切线方程，同时考查了数形结合的思想，是中档题．17.【答案】解：(1)S n =23(4n −1)(n ∈N ∗)，当n =1时，可得a 1=2；由a n =S n −S n−1(n ≥2)， 可得a n =23(4n −1)−23(4n−1−1) =2⋅4n−1，当n =1时，a 1=2⋅41−1=2，满足； ∴数列{a n }的通项公式a n =2⋅4n−1； 又∵b n =log 2a n ， ∴b n =2n −1；故得数列{b n }的通项公式b n =2n −1． (2)由(1)可知b n =2n −1， 设数列{1(bn +1)(b n +3)}={c n }，那么c n =12n⋅(2n+2)=14(1n −1n+1) ∴数列{1(b n +1)(b n+3)}的前n 项和T n =14(1−12+12−13+⋯…+1n −1n+1)=14(1−1n+1)．【解析】(1)根据a n =S n −S n−1，即可求解{a n }的通项公式；再结合b n =log 2a n ，从而求解{b n }的通项公式； (2)将b n 带入数列{1(bn +1)(b n +3)}，对其进行裂项处理，即可求解前n 项和T n ．本题考查了数列的通项公式和求和公式，关键是裂项，考查了转化能力和分析能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为a 3+c 3=b 2a +b 2c ，所以(a +c)(a 2−ac +c 2)=b 2(a +c)， 所以a 2−ac +c 2=b 2，即a 2+c 2−b 2=ac ， 由余弦定理知，cosB =a 2+c 2−b 22ac=ac 2ac=12，因为B ∈(0,π)， 所以B =π3．(2)由(1)知，a 2+c 2−b 2=ac ， 因为b =√3，所以a 2+c 2−3=ac ，所以a 2+c 2=3+ac ≥2ac ，即ac ≤3， 所以S =12acsinB ≤12×3×√32=3√34， 故△ABC 的面积最大值为3√34．【解析】(1)利用立方和公式化简原等式，可得a 2+c 2−b 2=ac ，再由余弦定理，得解； (2)结合(1)中结论可得a 2+c 2=3+ac ≥2ac ，知ac ≤3，再由S =12acsinB ，得解． 本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理，三角形的面积公式与立方和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，又P(X =k)=C 4k C 33−kC 73(k =0,1,2,3)，所以X 的分布列为：则X 的数学期望为E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127；(2)设B 为事件“抽取的3人中，不近视2人，近视1人”， 设C 为事件“抽取的3人中，不近视1人，近视2人”， 则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，所以P(A)=P(B ∪C)=P(X =2)+P(X =1)=1235+1835=67，故事件A 发生的概率为67．【解析】(1)先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可； (2)利用互斥事件的概率公式求解即可．本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，互斥事件有一个发生的概率公式，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)如图，延长EM 、AC ，设EM ∩AC =H ，连接BH ，∵AE//CM ，且AE =2CM ，∴C 为AH 的中点， 则BC 为△ABH 的中线， ∵N 为AB 的中点，∴HN 为为△ABH 的中线，又HN ∩BC =G ，∴G 为△ABH 的重心， 故BG ：GC =2：1， 由BC =6，知CG =2；(2)以C 为坐标原点，分别以CA 、CB 、CM 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则B(0,6，0)，G(0,2，0)，E(6,0，6)，N(3,3，0)， GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)，GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−2,6)，GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1,0)， 设平面GBE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4y =0m ⃗⃗⃗ ⋅GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =6x −2y +6z =0，取z =1，得m⃗⃗⃗ =(−1,0,1)； 设平面GNE 的一个法向量为n⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{n⃗ ⋅GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =6x 1−2y 1+6z 1=0n ⃗ ⋅GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3x 1+y 1=0，取x 1=1，得n⃗ =(1,−3,−2)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=−3√2×√14=−3√714． 由图可知，二面角B −EG −N 为锐角， ∴二面角B −EG −N 的余弦值为3√714．【解析】(1)延长EM 、AC ，设EM ∩AC =H ，连接BH ，证明BC 为△ABH 的中线，HN 为为△ABH 的中线，可得G 为△ABH 的重心，则CG 可求；(2)以C 为坐标原点，分别以CA 、CB 、CM 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面GBE 的法向量与平面GNE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B −EG −N 的余弦值．本题考查空间中两点间的距离的求法，训练了利用空间向量求解空间角，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)∵椭圆的离心率为√63，ΔPF 1F 2面积的最大值为3√2， ∴{ e =ca =√6312b ⋅2c =3√2a 2=b 2+c 2，解得a =3，b =√3， 故椭圆的方程为x 29+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， ∵MF 2⊥x 轴， ∴M(√6,1)．设直线l 1的方程为y =k(x −√6)，联立直线l 1与椭圆方程{y =k(x −√6)x 29+y 23=1，化简整理可得，(3k 2+1)x 2−6√6k 2x +18k 2−9=0，由韦达定理可得，x 1+x 2=6√6k 23k 2+1，x 1x 2=18k 2−93k 2+1，∴k 1+k 22=12(1x −√62x −√6)=12[1√6)−1x −√62√6)−1x −√6]=12[2k −(x −√6x−√6)]=12[2k 12√6(x −√6)(x −√6)]=12[2k −−2√63k 2+1−33k 2+1]=12[2k −2√63]=k −√63， ∴k 1+k 22−k =−√63， 故k 1+k 22−k 为定值，定值为−√63．【解析】(1)由已知条件椭圆的离心率为√63，ΔPF 1F 2面积的最大值为3√2，列出方程，即可求解．(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由MF2⊥x轴，可得M(√6,1)，设直线l1的方程为y=k(x−√6)，联立直线与椭圆方程，可得(3k2+1)x2−6√6k2x+18k2−9=0，再结合韦达定理和斜率公式，即可求解．本题主要考查了直线与椭圆的综合，需要学生较强的综合能力，属于难题．22.【答案】证明：(1)令f(x)=x pp +1q−x(x>0)，则f(1)=0，求导可得f′(x)=x p−1−1，当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，故对任意的x>0，恒有f(x)≥f(1)=0，即得证．(2)令f(x)=x pp +b qq−bx(b>0)，则f(a)=a pp+b qq−b q=0，f′(x)=x p−1−b，当0<x<b1p−1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>b1p−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)在x=b1p−1处取得极小值，f(b1p−1)=bpp−1p+b qq−b⋅b1p−1=bqp+b qq−b q=0，其中q=pp−1，故对任意x>0，f(x)≥f(b1p−1)=0，特别f(a)≥0，即得证．【解析】(1)令f(x)=x pp +1q−x(x>0)，则f(1)=0，求导可得f′(x)=x p−1−1，由函数的单调性可得，f(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，即对任意的x>0，恒有f(x)≥f(1)=0，即可求证．(2)令f(x)=x pp +b qq−bx(b>0)，则f(a)=a pp+b qq−b q=0，由函数的单调性可得，f(x)在x=b1p−1处取得极小值，也是最小值，将x=b1p−1代入函数中，即可求证．本题主要考查不等式与导数的综合应用，需要学生熟练掌握利用导数研究函数的单调性，属于中档题．。
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2．已知复数 z 满足 2 i z 3 4i ,则 z （ ）
A． 2 i
B． 2 i
C． 2 i
D． 2 i
【详解】由
(2
i)z
|
3
4i
|
5
，得
z
5 2
i
5(2 i) (2 i)(2
i)
2
i
．故选：
D
．
3．等差数列 的前 项和是 ，公差 不等于零，若
图最能准确描述 f1 、 f2 分别与 n 的关系是（ ）
【详解】要使得被加工为罐头的新芒果最少，尽量使用库存芒果，即当 m n m,n 2m 时 3
2n (n 1) nan
(n
N *)
，求数列
bn
的前 n 项和 Tn .
高三数学试题（理）第 3 页 共 4 页
18．（本小题满分 12 分）在 ABC 中 ， a, b, c 分 别 为 角 A, B, C 的 对 边 ， 且 有 cos2 A cos Acos(C B) sin B sin C . （Ⅰ）求角 A ； （Ⅱ）若 ABC 的内切圆面积为 ，当 AB AC 的值最小时，求 ABC 的面积.
数学答案（理科）
命题单位：安徽师范大学附属中学
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．设全集U R ，M {x | 1 x 4} ，N x | log2(x 2) 1 ，则 M CU N ( )
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A． 3 1
B． 3 1 2
C． 2 2
D． 5 1
2
5．过三点 A(1, 3) 、 B(4, 2) 、 C(1, 7) 的圆截直线 x ay 2 0 所得弦长的最小值等于（ ）
A． 2 3
B． 4 3
C． 13
D． 2 13
6．某罐头加工厂库存芒果 m kg ，今年又购进 n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用 于加工为芒果罐头.被加工为罐头的新芒果最多为 f1 kg ，最少为 f2 kg ，则下列坐标图最能
群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有 4 名高
三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游, 假设每名同学均从这四
个地方中任意选取一个去旅游, 则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）
A. 27 64
B. 9 16
C. 81 256
D. 7 16
A．
B．{x | 4 x 2}
C．{x | 4<x<3} D．{x | 1 x 2}
2．已知复数 z 满足 2 i z 3 4i ,则 z （ ）
A． 2 i
B． 2 i
C． 2 i
D． 2 i
3．等差数列an 的前 n 项和是 Sn ，公差 d 不等于零，若 a2 , a3, a6 成等比数列，则（ ）
12
分）已知
B
是抛物线
y
1 8
x2
1
上任意一点，
A(0,
1)
，且点
P
为线段
AB
的中点.
（Ⅰ）求点 P 的轨迹 C 的方程；
（Ⅱ）若 F 为点 A 关于原点 O 的对称点，过 F 的直线交曲线 C 于 M 、 N 两点，直线 OM 交 直线 y 1于点 H ，求证： NF NH .
高三数学试题（理）第 4 页 共 4 页
21．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) x 1, g(x) (ax 1)ex ．
（Ⅰ）记 h(x)
x
f (x) ex
，试判断函数
h(
x)
的极值点的情况；
（Ⅱ）若 af (x) g(x) 有且仅有两个整数解，求实数 a 的取值范围.
22．（本小题满分 12 分）从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标 值，由测量结果得如下频率分布直方图：
A． 3 1
B． 3 1 2
C． 2 2
D． 5 1 2
【详解】由题得 PF1 PF2 ，且 PF2 c, 又 PF1 PF2 2a PF1 2a c
由勾股定理得 2a c2 c2 4c2 e2 2e 2 0 ，解得 e 3 1 ，故选：A.
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5．过三点 A(1, 3) 、B(4, 2) 、C(1, 7) 的圆截直线 x ay 2 0 所得弦长的最小值等于（ ）
A． 2 3
B． 4 3
C． 13
D． 2 13
【详解】设圆心坐标 P 为（ a ，-2），则 r2＝ 1 a2 3 22 4 a2 2 22 ，解
9．将函数
f
(x)
4
cos
2
x和 直线 g(x)
x 1的所有交点从左到右依次记为
A1 ，A2 ，…，A5 ，
若 P 点坐标为 (0, 3) ，则 PA1 PA2 ... PA5 （ ）
A．0
B．2
C．6
D．10
10．如图，
F1、F2
框图，框图中符号m 表示不超过 m 的最大整数（例如365.7 365 ）.现有
一条形码如图（2）所示（ 97a37107202551），其中第 3 个数被污损，那么这
个被污损数字 a3 是（
）
A．9
B．8
C．7
D．6
图(1)
12．如图，已知四面体 ABCD 为正四面体， AB 1, E, F 分别是 AD, BC 中点.若用一个与直线
的最小值是
．
16．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示 的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，
1 11 121
从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1, ，记作数列
an ，若数列an 的前 n 项和为 Sn ，则 S67 =
得 a =1，所以 P（1，-2）.又直线过定点 Q（-2，0），当直线 PQ 与弦垂直时，弦长最短，
根据圆内特征三角形可知弦长 l=2 r2-PQ2 =2 25-13=4 3 ，∴直线 x ay 2 0 被圆截得
的弦长最小值为 4 3 ．故选：B．
6．某罐头加工厂库存芒果 m kg ，今年又购进 n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一 用于加工为芒果罐头.被加工为罐头的新芒果最多为 f1 kg ，最少为 f2 kg ，则下列坐标
3.46
， 3.46
1 2
2.632
；
若 X ～ N , 2 ，则① P( X ) 0.6827 ；
② P( 2 X 2 ) 0.9545 ；③ P( 3 X 3 ) 0.9973 .
安徽省六校教育研究会 2020 届高三第一次联考
11．条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的
信息，我们通常见的条形码是“EAN-13”通用代码，它是由从左
到右排列的 13 个数字（用 a1, a2 ,, a13 表示）组成，这些数字
分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校检码，其中 a13 是
图(2)
校验码，用来校验前 12 个数字代码的正确性.图（1）是计算第位校验码的程序
成等比数列，则（ ）
A．
B．
C．
【详解】由
成等比数列．可得
，
D．
可得（
）（
）（ t ），
即
，∵公差 不等于零， ＜ ，
．
（
）
＞ ． 故选：C．
4．椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左右焦点分别是 F1、F2 ，以 F2 为圆心的圆过椭圆的中心，
且与椭圆交于点 P ，若直线 PF1 恰好与圆 F2 相切于点 P ，则椭圆的离心率为( )
是双曲线
C
:
x a
2 2
y2 b2
1a
0,
b 0 的左、右焦点，过 F2 的直线与双曲线
交于 A、B 两点．若 AB : BF1 : AF1 3 : 4 : 5 ．则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. y 2 3x
B． y 2 2x
C． y 3x
D． y 2x
EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面 去截该四面体，由此
得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）
A．
1 4
B． 2 4
C． 3 4
D．1
高三数学试题（理）第 2 页 共 4 页
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题 （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．向量 a (1,1) 在 b (3, 4) 方向上的投影为______．
19．（本小题满分 12 分）已知三棱柱 ABC A1B1C1 中， ABC ， D 是 BC 的中点， B1BA 60 , B1D AB . （Ⅰ）求证： ABC 为直角三角形； （Ⅱ）求二面角 C1 AD B 的余弦值.
，侧面 ABB1A1 底面
20．（本小题满分
14．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间（- ，0）上单调递减，若实数 a 满足
f (2 a2 ) f ( 2) ，则 a 的取值范围是______.