电磁场基本方程

一、电磁场的源——电荷与电流

1、电荷与电荷密度

宏观上可以用“电荷密度”来描述带电体的电荷分布。定义体电荷密度为

3

0m C d d lim

−→∆⋅=

∆∆=V

Q

V Q V ρ其中Q ∆是体积元V ∆内包含的总电荷量。

当电荷存在于一无限薄的薄层或者截面很小的细线上时，可用面电荷密度或线电荷密度来描述

20m C d d lim

−→∆⋅=

∆∆=S

Q

S Q S S ρ1

0m C d d lim −→∆⋅=

∆∆=l

Q

l Q l l ρ一个体积为V 、表面积为S 、线长为l 上包含的电荷总量可以分别对上述三式进行体、面、线

积分得到，即

∫∫∫=V

V Q d ρ、∫∫=S

S S Q d ρ、∫=l

l l

Q d ρ2、电流与电流密度

任取一个面，穿过此面的电流定义为单位时间内穿过此面的电荷量，即

A

s C d d lim

10或−→∆⋅=

∆∆=t

Q

t Q I t 电流的正方向规定与正电荷的运动方向。

体电流密度是一个矢量，方向为正电荷的运动方向，大小等于垂直于运动方向上的单位面积上的电流。电流密度的大小可表示为

2

0m A lim

−→∆⋅∆∆=S

I J S 体电流密度矢量由体电荷密度和正电荷的运动速度确定，即v

J r r ⋅=ρ对于任意曲面，穿过此曲面的总电流为

∫∫⋅=S

S

J I r r d 同样，可以定义面电流密度为

1

0m A lim −→∆⋅∆∆=l I

J l S v

J S S r r ⋅=ρ∫⋅=l

s l

J I r r d 3、电流连续性方程（电荷守恒定律）

在一个体电荷密度为ρ的带电体内任取一个封闭曲面S ，某瞬间从此封闭曲面流出的电流为i(t)，则

()∫∫∫

∫∫−=−==⋅V S V t t Q t i S J d d d d d d ρr r 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的积分形式。

若体积V 是静止的，则对时间的微分和体积分的次序可以交换，结合散度定理，有

∫∫∫∫∫∫∫∫∂∂−=⋅=⋅∇V S V V

t S J V J d d d ρr r r

于是，对于任意体积V ，都有

t

J ∂∂−

=⋅∇ρr 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的微分形式。

当导体内通过恒定的电流（直流）时，

0=⋅∇J r 或0

d =⋅∫∫S

S J r r 这表明通过任意封闭曲面的净直流为零。将封闭曲面S 收缩为一点，即可解释直流电路中的基尔霍夫电流定律。

二、静态场的基本方程

1、库仑定律与电场强度

若两个带电体的尺寸远远小于带电体之间的距离，则带电体可视为点电荷。库仑定律是关于两个点电荷之间相互作用力的定量描述。库仑定律叙述为：真空中两个点电荷之间相互作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号电荷相互排斥、异号电荷相互吸引，作用力的大小与两个点电荷电量的乘积成正比、与这两个点电荷之间的距离平方成反比。

()R

a R Q Q R R Q Q r r r r Q Q F r r r r r r r 20

2130211231202121444πεπεπε==−−=

其中21F r 表示点电荷Q 1作用于点电荷Q 2的力，1r r 和2r r

表示点电荷Q 1作用于点电荷Q 2的矢径

（从原点到该点的距离矢量），R r

是Q 1到Q 2的距离矢量，0ε为真空介电常数，其值为

1

1290m F 10854.810361−−−⋅×≈×=π

ε电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所受的力（试验电荷应尽可能小，从而使原电场受到的影响可忽略不计），即

1

10

m V C N −−⋅⋅=

或Q F E r r 因此真空中到点电荷Q 的距离为R 处的电场强度为

R

R Q E r r 3

04πε=

若真空中有n 个点电荷，则空间中某点p 的总电场强度为

∑==

n

i i i

i R R Q E 130

41r r πε

其中i i r r R r r r −=表示从Q i 到p 点的距离矢量，r r 和i r r

为分别为p 点和Q i 的矢径。

对于真空中有限区域V 内连续分布的体电荷，在V 之外任意一点处的电场强度为

()()∫∫∫

′′−′

−′=V

V r r r r r E d 4130r

r r r r

r ρπε类似地，面分布和线分布电荷产生的电场强度为

()()∫∫′′−′−′=

S S S r r r r r E d 4130

r r r r r

r ρπε()()∫′′−′

−′=l l l r r r r r E d 4130r

r r r r r ρπε2、高斯定理与电通量密度

真空中，电通量密度（电位移矢量）可由电场强度定义为

2

0m C −⋅=E

D r

r ε高斯定理叙述为：穿过真空或自由空间中任意一个封闭曲面的电通量等于该封闭曲面所包围的体积内的自由电荷量，即

∫∫∫∫∫==⋅V

S

V Q S D d d ρr

r 或

∫∫∫∫∫==⋅V S V

Q S E d 1d 00ρεεr r 对等式左端应用散度定理，得

∫∫∫∫∫∫=⋅∇V

V

V V D d d ρr

或

∫∫∫∫∫∫=⋅∇V

V

V

V E d 1d 0

ρεr 即

ρ=⋅∇D r

或0

ερ=

⋅∇E r 表明空间任一点处电通量密度的散度等于该点的体电荷密度。

3、静电场的无旋性

静电场由电荷产生，属于“有心力场”。有心力场做功与路径无关，因此静电场是无旋场或保守场，即

0d =⋅∫l

l E r r 或0

r r =×∇

E 4、毕奥-萨伐尔定律与磁感应强度

如图，真空中，两个载有直流I 1和I 2的回路l 1和l 2，安培总结出回路l 1对l 2的作用力为