论模n剩余类环Z_n的性质与扩张

( [ i] );
由定理 2 9的证明过程可以看出: 所有循环子群 (对加法 ) 加上乘法都是模 n剩余类环 Zn 的主理想。由 定理 2 8、2 9可得
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绵阳师范学院学报 ( 自然科学版 )
第 27卷
定理 2 10 环 Zn 有且只有 T ( n ) 个子环 (其中 T ( n ) 表示 n的正因子的个数 ), 而且 Zn 是一个 n阶循 环环, 从而其子加群、子环、理想是一致的。
素 [ e] 叫做环 ∃Zn, + , # %的单位元, 记为 1R。在模 n剩余环 Zn 中, 1R 为 [ 1] . 定义 6 在环 ∃Zn, + , # %中, 如果 ! [ a ] ! Zn, 满足: 任意 ! [ b ] ! Z, 有 [ a ] [ b] = [ b] [ a] = 1R , 则
0 预备知识
在一个集合 Z 里, 固定 n ( n可以是任何形式 ), 规定 Z 的元间的一个关系 R, aR b, 当而且只当 n | a - b
的时候。
这里, 符号 n | a - b表示 n能整除 a - b。这显然是一个等价关系。这个等价关系普通叫做模 n的同余关
系, 并且用 a b ( n) 来表示。
有
定理 1 1 在模 n 剩余环 Zn 中, 若 [ a ] = [ b ], 则有
a = b + nk
( k = , - 1, 0, 1, 2, )
定理 1 2 在 Zn 中, 每个元素的 n 倍均为零。即 n[ a ] = [ a ] + [ a ] + + [ a] = [ na] = [ 0] 。
自 1910年狄德金和克隆尼克共同创立环论以来, 学者们就对各种环进行了深入系统的研究, 并开辟了 许多新的研究领域, 取得了许多有意义的研究成果。模 n剩余类环就是其中研究比较透彻的一种特殊的环。 模 n 的剩余类环为有限可换环、整环及域都提供了丰富的例证, 但其性质散见于各种论著之中, 本文特以从 模 n剩余类环的定义出发, 对模 n剩余类环的基本性质进行系统的论述, 并在此基础上, 集中讨论模 n剩余 类环的一般性质, 同时给出模 n 剩余类环的一些有意义的扩张性质及其证明。
a的倍数。否则, 称 a不整除 b, 记为 a ∀ b。
1 剩余类环 Zn 的基本性质
我们已经知道对于任意环所具有的一些基本性质, 那么对于特殊环 & & & 模 n 剩余类环 Zn 具有哪些基
本性质呢?根据文献 [ 1] 、[ 2] 、[ 3] 、[ 4], 由于 Zn 关于加法是一个加群, 从而 Zn 有加法的运算性质; 由于 Zn 关于乘法是半群, 而且加法与乘法通过左右分配律相联系, 从而具有加法与乘法相联系的一些性质。并且
s - t = nk, s = t + nk 如果 ( t, n ) = d > 1, 则由上式可知, d 是 s与 n的一个公因数, 这与 ( s, n ) = 1矛盾。因此 ( t, n ) = 1。
定理 2 14 设 0 ∀ s ! Zn, 则 ( 1) s是 Zn 中的可逆元 # ( s, n) = 1; ( 2) s不是 Zn 中的可逆元就是零因子。 证明 ( 1) 设 s是 Zn 中的可逆元, 即存在 t ! Zn 使
s = d s1, n = dn1, 1 < n1 < n. 则 n1 ∀ 0且 s n1 = sn1 = n s1 = 0, 即 s是 Zn 的零因子。 定理 2 15[ 9 ] 设 Zn 是模 n 剩余类环, 则 ( 1) 若 n 是素数, Zn 是域, 则 Zn 只有零理想和单位理想; ( 2) Zn 是域充分必要条件是 ( n ) 是 Z 的极大理想。 证明 ( 1) 显然成立。 ( 2) 根据定理 2 6知, Zn是域充分必要条件是 n为素数。因此只须证明 ( n ) 是 Z 的极大理想的充分必要 条件是 n为素数。 由于 Zn 是有单位元的交换环, 设主理想 ( n ) = { nk | k ! Z }. 若 ( n ) 为极大理想, 如果 n 不是素数, 则 必有 n = n1 n2, 1 < n1, n2 < n, 于是 n ! ( n1 ), 但 n1 ∃ ( n), ( n1 ) 是 Zn 的真包含 ( n) 的理想。由 ( n) 为极大 理想知 ( n1 ) = Zn。但 1 ∃ ( n1 ) 矛盾, 所以 n是素数。 反之, 设 n 是素数, A 是 Zn 的理想, 且 ( n) % A % Zn, ( n ) ∀ A, 则存在 a ! A, a ∃ ( n), n ∀ a。因为 n是
摘 要: 从模 n剩余类环的定 义出发, 系 统论述 了模 n剩 余类环 的基本 性质, 并利 用定义 和基 本性质 对模 n 剩余类环的一般性质进行 了深入的讨论, 同时给出了模 n剩余类环的一些有意 义的扩张性质及其证明。
关键词: 模 n剩余类环; 基本性质; 扩张性质 中图分类号: 0153 3 文献标识码: A 文章编号: 1672 612x ( 2008) 08 0006 06
而 在环 中是 否还 存在 这样 的运 算性质 呢? 我们 有 定义 4 模 n 剩余环 Zn 中, 如果任意元 [ a] ∀ 0, [ b] ∀ 0, 但 [ ab ] = 0, 那么称 [ a ] 为 Zn 的一个左零
因子, [ b] 为 Zn 的一个右零因子, 若 Zn 的左零因子与右零因子都为 [ a ], 则称 [ a ] 为 Zn 的零因子。 定义 5 一个环 < Zn, +, # > 中若有元素 e使得 ! [ a] ! Zn, 有 [ e] [ a ] = [ a ] [ e] = [ a ], 那么称元
s t = 1, 即 st = 1, n | ( st - 1). 于是存在整数 k 使
su + nv = 1. 从而 ( s, n) = 1。 反之, 若 ( s, n) = 1, 则存在整数 u, v使
su + nv = 1. 由此可得 su + nv = 1, 但 nv = 0, 故 su = 1. 即 s是 Zn 的可逆元。 ( 2) 若 s ∀ 0不是可逆元, 则由 ( 1) 知, ( s, n) = d > 1。令
0) = ( 0) = (m 1) = m ( 1) = m l), ∗ n | m. 反之, 设 n | m。下证 : k |+ k)( k ! Zm, k)! Zn ) 是 Zm 到 Zn 的满同态。 若 k1 = k2, 则 m | ( k1 - k2 ). 但 n | m, 故 n | ( k1 - k2 ), 从而 k)2 即 是 Zm 到 Zn 的一个映射, 又显然 满射且保持运算, 故 是同态满射。因此
1([ b ] - [ c] = [ b - c] ! ( [ i] ); 2([ a] [ b ] = [ ab ] = [ b ] + [ b] + + [ b] ! ( [ i ] ), 同理: [ b ] [ a ] !
a
所以 ( [ i] ) 做为一个理想, 显然 ( [ i] ) 是主理想。
等价关系决定了 Z 的一个分类。这样得来的类叫做模 n的剩余类。下面列出文献 [ 1]、[ 2]、[ 3] 、[ 4] 中 本文将要用到的几个主要概念。
定义 1 任取正整数 n, 令 Zn = { 0, 1, 2, , n - 1}, 即 Zn 为 n个剩余类的集合, 对任意 i, j ! Zn, 规定
2008年 8月 第 27卷 第 8期
绵阳师范学院学报 Journa l o fM iany ang N orm al U niversity
A ug. , 2008 V o .l 27 N o. 8
论模 n剩余类环 Zn 的性质与扩张
唐再良
(绵阳师范学院数学与 计算机科学学院, 四川绵阳 621000)
( 3) 设 n = uv( u 是合数 ) ∀ 1, | S | = u, 则 S 是有零因子无单位元的环。
定理 2 8 模 n 剩余类环 Zn 的所有子群 (对加法 ) 是循环子群。 上述定理的证明在文献 [ 1] 、[ 2]、[ 3]、[ 4] 、[ 8] 里已有论述, 这里不再赘述。
定理 2 9 模 n 剩余类环 Zn 的所有理想都是主理想。 证明 对上面的所有循环子群 (对加法 ), ! ( [ i] ), 根据理想的定义, ! [ a ] ! Zn, [ b] , [ c] ! ( [ i] ) 有
收稿日期: 2008 04 16 作者简介: 唐再良 ( 1958- ) , 男, 教授, 主要研究方向: 环论与符号计算。
第 8期
唐再良等: 论模 n剩余类环 Zn 的性质与扩张
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称 [ a ] 是 Zn 中的可逆元, 且 [ b] 为 [ a] 的逆元。 定义 7 设 R 为任意一个环, 而 I是 R 的理想. 那么 R /I称作 R 关于理想 I的剩余类环 (也叫商环或差
定理 2 5 模 n 剩余环 Zn 为整环的充分必要条件是 n 为素数。 定理 2 6 对于 Zp, ( 1) Zp 是特征为 p 的有单位元的可换环; ( 2) 环 Zp 是域 # p 为素数; ( 3) 如 p 是一 个合数, 则环 Zp 有零因子, 从而不是域。 定理 2 7[ 8] 设 n 是正整数, p 是素数, Zn 是模 n 剩余类环, S 是 Zn 的子环, 则 ( 1) 设 n = pt ( t ∋ 2), | S | = pr ( r < t), 则 S 是有零因子无单位元的环; ( 2) 设 n = pq, | S | = p, 当 (p, q ) = 1则 S 是域, 当 ( p, q ) = p 时, S 是零环;
定理 1 3 设 a, b ! Zn, 则 a | b 的充要条件为 ( a, n ) | b。
2 剩余类环 Zn 的一般性质
利用已有的定义和基本性质, 可以得出模 n剩余环 Zn 的更一般的一些性质。
定理 2 1 定理 2 2 定理 2 3 定理 2 4 同。
模 n 剩余环 Zn 是交换环。 在模 n 剩余环 Zn 中, 所有左右零因子都是其零因子。 模 n 剩余环 Zn 是无零因子环的充分必要条件是 n为素数。 设 ∃Zn, +, # %为无零因子环 (Zn 模大于 1), 那么加群 ∃Zn, + %中每一个非零元素的阶必相
环 ), 其中 R /I 中, 每个元素叫作模 I 的剩余类. 定义 8 模 n剩余环 Zn 的乘法群 G (当 n为素数, Zn 中的所有非零元作成乘法群, 当 n为合数, Zn中的
所有可逆元作成乘法群 ) 中, 适合 a2 = a的元素 a 称为环 Zn 的一个幂等元。 定义 9 设 a, b ! Zn, 若存在 q ! Zn 使得 b = a q, 则称 a整除 b, 记为 a | b, 称 a为 b的因数, 而称 b为
定理 2 11 Zm 与 Zn 同态 (即存在 Zm 到 Zn 的同态满射 ) 当且仅当 n | m。 证明 设 是 Zm 到 Zn 的一个同态满射, 分别用 a 表示 a)表示 Zm 与 Zn 的元素, 则
( 1) = 1), ( 0) = 0) 但由于 m 1 = 0且 1)的阶是 n, 故由上得
定义 3 称环 Zn 的一个非空子集 A 叫做 Zn 的一个理想子环, 假如:
( i) [ a] ! A, [ b ] ! A [ a - b] ! A;
( ii) [ a ] ! A,
[ b ] ! Zn [ b ] [ a ], [ a ] [ b ] ! A.
在代数运算中, 我们都知道若 a = 0, b = 0, 则必有 ab = 0, 相反若 ab = 0, 则必有 a = 0或 b = 0成立,
i + j = i + j, i j = ij, 则ห้องสมุดไป่ตู้Zn关于这两个运算做成一个环, 且是一个具有单位元的交换环, 称之为以 n为模的剩 余类环, 或简称模 n 剩余类环。
定义 2 对任意 i ! Zn, 若类 i中有一个整数与 n互素, 则这个类中所有整数均同 n互素, 因此称类 i与 n 互 素。
Zm ~ Zn. 定理 2 12 环 Zn 中的任何两个不同的子环不同构。 证明 ( 1) 若环 Zn 的两个子环不同阶, 则结论显然成立。 ( 2) 设 R 为 Zn 的任意 k阶子环, 则 k | n。而 ( Zn, + ) 为 n阶循环群, 故对 n的每个正因数 k, ( Zn, + ) 有 且仅有一个 k 阶子群, 从而 Zn 有且仅有一个 k 阶子环。于是可知, Zn 的任何两个不同子环不同构。 定理 2 13 设 s ! Zn, 若 ( s, n ) = 1, s = t, 则 ( t, n) = 1。 证明 因为 s = t, 故 n | ( s - t), 从而有整数 k 使