2013年高考数学总复习 7-3 简单的线性规划问题课件 新人教B版

[例 1]
表
示的平面区域为(
A．四边形及其内部 B．三角形及其内部 C．在第一象限内的一个无界区域 D．不含第一象限内的点的一个有界区域
解析：画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分， 故选 B.
答案：B
(文)(2010· 北京文)若点 P(m,3)到直线 4x－3y＋1＝ 0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x＋y<3 表示的平面区 域内，则 m＝________. 分析：如果点 P 在二元一次不等式 Ax＋By＋C＝ 0(A2＋B2≠0)表示的平面区域内，则点 P 的坐标满足此 不等式．
3．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所 以作图应尽可能精确， 图上操作尽可能规范． 求最优解时， 若没有特殊要求，一般为边界交点．若实际问题要求的最 优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解， 应作适当调整． 其方法应以与线性目标函数直线的距离为 依据，在直线附近寻求与直线距离最近的整点，但必须是 在可行域内寻找. 但考虑到作图毕竟还是会有误差，假若 图上的最优点不是明显易辨时， 应将最优解附近的整点都 找出来，然后逐一检查，以“验明正身”．
y≤x， 解析：作出不等式组y≥－x， 2x－y－4≤0，
表示的平面
区域 M 为△OPQ 内部及边界．x2＋y2≤1 表示的平面区 域 N 为单位圆 O 内部及边界，如下图所示易得
4 4 P( ，－ )，Q(4,4)， 3 3 |PQ|＝ 42 42 8 5 4－ ＋4＋ ＝ . 3 3 3
4 点 O 到直线 2x－y－4＝0 的距离 d＝ ， 5 1 8 5 4 16 ∴S△ OPQ＝ × × ＝ ， 2 3 5 3 π ∵扇形阴影部分的面积为 . 4 π 4 3π ∴由几何概型公式得所求概率 P＝ ＝ ，故选 C. 16 64 3
点评：解答本题不要误把圆面积与△OPQ 面积的比 当作所求概率．
解析：由题目所给的不等式组可知，其表示的平面 4 区域如图所示，这里直线 y＝kx＋ 只需经过线段 AB 的 3 中点 D 即可，此时
1 5 D 点的坐标为 ， ，代入可得 2 2
7 k＝ . 3
7 答案： 3
x－2y－2≤0 (文)(2011· 厦门期末)不等式组 2x＋y＋1≥0
解析： 作出可行域如图所示阴影部分， 可解得 A(2,3)， C(2,6)，B(4,4)，
易知在可行域内点 A 到原点最近， C 到原点最远． 点 ∴当 x＝2，y＝6 时，(x2＋y2)max＝40； 当 x＝2，y＝3 时，(x2＋y2)min＝13，故选 A.
答案：A
( 文 )(2011· 芜 模拟 ) 已知 实数 x， y 满足 莱 y≤1 x≤1 x＋y≥1
x－y＋1≤0 x，y 满足 x>0
，
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．[1，＋∞)
解析：作出可行域为如图阴影部分，
y k＝ 表示可行域内的点 P(x， y)与点 A(1,0)连线的 x－1 斜率，kl1＝－1，kl2＝1，∴k>1 或 k<－1.
答案：B
简单线性规划的实际应用
答案：π
点评：若两直线不垂直，可先写出两直线的方向向 量，利用向量求得两直线夹角，再求面积．
y≤x， (理)(2011· 临沂模拟)若不等式组 y≥－x， 2x－y－4≤0.
表
示的平面区域为 M，x2＋y2≤1 所表示的平面区域为 N， 现随机向区域 M 内抛一粒豆子， 则豆子落在区域 N 内的 概率为( π A. 64 3π C. 64 ) π B. 32 D. 3π 32
，则 z＝x2＋y2 的最小值为________．
解析：作出可行域如图，显然可行域内的点到原点 距离的最小值为原点到直线 x＋y＝1 的距离．
1 ∵原点到直线 x＋y＝1 的距离 d＝ ， 2 1 ∴(x ＋y )min＝d ＝ . 2 1 答案： 2
2 2 2
(理)(2011· 临沂模拟)若实数 y 则 的取值范围为( x－1 A．(－1,1) )
解题技巧 1．二元一次不等式表示的平面区域的判定方法 (1)不过原点(也不与坐标轴重合的直线)取原点检验， 将原点坐标代入，若满足不等式，则不等式表示的平面 区域为原点所在的一侧，否则为另一侧；过原点的取 x 轴(或 y 轴)上一点，如(1,0)检验，结论同上．简称直线定 界，特殊点定域．
(2)B 值判断法
解析：作出不等式组表示的平面区域如图可知，它 是一个六边形．
答案：C
平面区域的面积
[ 例 2] x≥0 x＋3y≥4 3x＋y≤4 (2011· 津 五 中 模 拟 ) 若 不 等 式 组 天 4 所表示的平面区域被直线 y＝kx＋ 分为面 3
积相等的两部分，则 k 的值是________．
区域 B>0 直线 Ax＋By＋C＝0 Ax＋By＋C>0 上方 直线 Ax＋By＋C＝0 Ax＋By＋C<0 下方 区域 B<0 直线 Ax＋By＋C＝0 下方 直线 Ax＋By＋C＝0 上方
不等式
主要看不等号与 B 的符号是否同向，若同向则在直 线上方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”，这 种判断方法称作 B 值判断法．即判定点 P(x0，y0)在直线 l：Ax＋By＋C＝0(B≠0)哪一侧时，令 d＝B(Ax0＋By0＋ C)，则 d>0⇔P 在直线 l 上方；d＝0⇔P 在 l 上；d<0⇔P 在 l 下方． 一般地说，直线不过原点时用原点判断法或 B 值判 断法，直线过原点时用 B 值判断法或用(1,0)点判断．只 要会用一种方法判断即可．
x＋y≤1 (2011· 安徽文，6)设变量 x，y 满足x－y≤1 x≥0 x＋2y 的最大值和最小值分别为( A．1，－1 C．1，－2 B．2，－2 D．2，－1 )
，则
解析：画出可行域为图中阴影部分．
Βιβλιοθήκη Baidu
作直线 l：x＋2y＝0，在可行域内平移 l
当移至经过点 A(0,1)z 取最大值 zmax＝x＋2y＝2 当移至经过点 B(0，－1)z 取最小值 zmin＝x＋2y＝－ 2.
解析：点 P 到直线 4x－3y＋1＝0 的距离 |4m－9＋11| d＝ ＝4，解得 m＝7 或 m＝－3， 5 又∵点 P 在 2x＋y<3 表示的区域内，故 m＝－3.
答案：－3
(理)(2011· 辽宁铁岭六校联考)设 a>0， 点集 S 的点(x， a a y)满足下列所有条件：① ≤x≤2a；② ≤y≤2a；③x＋ 2 2 y≥a；④x＋a≥y；⑤y＋a≥x.则 S 的边界是一个有几条 边的多边形( A．4 C．6 ) B．5 D．7
所确
定的平面区域为 D，则该平面区域 D 在圆 x2＋(y＋1)2 ＝4 内的面积是________．
解析：作出不等式组表示的平面区域 D 如图，直线 1 x－2y－2＝0 和直线 2x＋y＋1＝0 的斜率依次为 k1＝ ， 2 k2＝－2，∵k1k2＝－1，∴两直线互相垂直，故所求面积 1 为 S＝ ×π×22＝π. 4
，则 z＝2x
分析：z＝2x－y 即 y＝2x－z，当直线 y＝2x－z 在 y 轴上的截距最大(小)时，z 取最小(大)值 .
解析： 先画出可行域如图， 显然 z＝2x－y 在点(－1,3) 处达到最小值－5，在(5,3)处达到最大值 7.∴z∈[－5,7]．
答案：[－5,7]
点评：一定要弄清目标函数最值与对应直线在 y 轴 上截距的关系，不要错误的理解为截距最大(小)时，目标 函数取最大(小)值．
3．线性规划的有关概念 (1)把要求最大值或最小值的函数叫做目标函数． (2)目标函数中的变量所满足的不等式组称为约束条 件． (3)如果目标函数是关于变量的一次函数， 则称为线性 目标函数．
(4)如果约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)， 则称为线性约束条件． (5)在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或 最小值问题，称为线性规划问题． (6)满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解． 由所有 可行解组成的集合叫做可行域． (7)使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称 为问题的最优解．
答案：B
线性规划的综合应用
[例 4] (2011· 福建龙岩市模拟)已知变量 x、y 满足
x－2y＋4≤0， x≥2， x＋y－8≤0. A．[13,40] C．[4 2，6]
则 x2＋y2 的取值范围为(
)
B．(－∞，13]∪[40，＋∞) D．(－∞，4 2]∪[6，＋∞)
分析： 2＋y2 的几何意义是可行域内的点到原点距离 x 的平方，故只要画出可行域，观察可行域内的点何时到 原点距离取最大(小)值即可获解．
答案：C
简单线性规划
x＋y≥2 [例 3] 已知实数 x、y 满足x－y≤2 0≤y≤3 y 的取值范围是________． 分析：z＝2x－y 即 y＝2x－z，当直线 y＝2x－z 在 y 轴上的截距最大(小)时，z 取最小(大)值 .
，则 z＝2x－
x＋y≥2 [例 3] 已知实数 x、y 满足x－y≤2 0≤y≤3 －y 的取值范围是________．
(二)利用围成可行域的直线的斜率来判断． 若围成可 行域的直线 l1、l2、„、ln 的斜率分别为 k1<k2<„<kn，而 且目标函数的直线的斜率为 k，则当 ki<k<ki＋ 1 时，直线 li 与 li＋ 1 相交的点经常是最优解． (4)将最优解代入目标函数，求出最值．
误区警示 1．在求解应用问题时要特别注意题目中的变量的取 值范围，防止将范围扩大． 2．对线性目标函数 z＝Ax＋By 中的 B 的符号一定 要注意． 当 B>0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴上截距最小时，z 值最小；当 B<0 时， 直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴 上截距最小时，z 值最大．
[例 5] 某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个 2 项目， 按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 倍， 3 且对每个项目的投资不能低于 5 万元．对项目甲每投资 1
第 三 节
简单的线性规划问题
重点难点 重点：二元一次不等式表示的平面区域． 难点：目标函数的确定及线性规划的实际应用
知识归纳 1．含有两个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等 式称为二元一次不等式；把几个二元一次不等式组成的 不等式组称作二元一次不等式组；满足二元一次不等式 组的所有有序数对(x， y)组成的集合称作二元一次不等式 组的解集．
4．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 (1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式所表 示的平面区域作出，找出其公共部分． (2)将目标函数表达为 y＝f(x)的形式，考察待求最值 的变量的几何意义，令其为 0，作出目标函数等值线．
(3)确定最优解 (一)在可行域内平行移动目标函数等值线， 最先通过 或最后通过的顶点便是最优解对应的点，从而确定最优 解．
2．目标函数 z＝Ax＋By＋C，当 B>0 时，z 的值随 直线在 y 轴上截距的增大而增大；当 B<0 时，z 的值随 直线在 y 轴上截距的增大而减小．求整数最优解时，可 用格点法．也可将边界线附近的可行解代入目标函数， 求值比较得出．
二元一次不等式(组)表示的平面区域
2x－y＋1≥0 (2011· 济南模拟)不等式组x－2y－1≤0 x＋y≤1 )
2． 二元一次不等式 Ax＋By＋C>0(或 Ax＋By＋C<0) 表示的平面区域． (1)在平面直角坐标系中作出直线 Ax＋By＋C＝0； (2)在直线的一侧任取一点 P(x0，0)， y 特别地， C≠0 当 时，常把原点作为此特殊点．
(3)若 Ax0＋By0＋C>0，则包含点 P 的半平面为不等 式 Ax＋By＋C>0 所表示的平面区域， 不包含点 P 的半平 面为不等式 Ax＋By＋C<0 所表示的平面区域． 注意：画不等式 Ax＋By＋C≥0(或 Ax＋By＋C≤0) 所表示的平面区域时， 区域包括边界直线 Ax＋By＋C＝0 上的点，因此应将其画为实线．把等号去掉，则直线为 虚线．