函数的极限ppt课件

第二章 函数的极限
§2. 1
2.1.1 xx0 时，函数f (x)的极限 xx0时函数f (x)的极限表示，随着x无限趋于x0，函数f (x)的变 化趋势。 定义 2.1.1
若随着x无限趋于x0，f (x)无限趋于常数A (见图2.1-1)，
Y f (x)
A f (x)
O
x
x0 x X
当x x0时, f (x) A
当函数在x0处两侧性态不一样，或表达式不一样，通常用上述 定理确定函数在x0处的极限。
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§2. 1
例2.1.4．
f
(x)
x2
1
x
x 1 x 1
, 求 lim f (x) 。 x1
Y
解：xlim1
f
(x)
2,
lim
x1
f
(x)
1
。
见图2.1-5。 2
所以 lim f (x) 不存在。 x1
下述定理指出了三种情况的关系。
定理 2.1.1 lim f (x) 存在
x x0
(1). (2).
(3).
lim f (x) 存在
x x0
lim f (x) 存在
x x0
lim f (x) lim f (x)
x x0
x x0
即，函数在x0处极限存在的充要条件是： 左极限存在，右极限存在，并且左右极限相等。
将定义2.1.2中的“右”改为“左”就给出左极限的定义(见图
2.1-4)。f (x)在x0处的左极限记为
lim f (x)
x x0
或 f (x0-0)
Y
A
f (x)
O
x x0
X
f (x)在x0处的左极限
图2.1-4
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§2. 1
这样，函数在一点x0处的极限就有三种情况： x从右侧趋于x0(见图2.1-3)，x从左侧趋于x0(见图2.1-4)，x从x0 两侧以任意方式趋于x0(见图2.1-1)。
本章主要介绍极限的概念和计算。理解极限概念，灵活的运用 各种方法计算极限是本章的重点。
2.1 极限的概念 2.2 无穷小量与无穷大量 2.3 极限的计算 2.4 用两个重要极限求极限 2.5 用等价无穷小量替换和变量替换求极限
第二章 函数的极限
§2. 1
2.1 极限的概念
函数的极限要研究：随着自变量的变化，函数的变化趋势。 自变量的变化方式有六种，分别是：
图2.1-1
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则称当x趋于x0时，f (x)的极限是A，记为 当x x0，f (x)A
或
lim f (x) A
x x0
上式中的lim是英语limit(极限)一词的缩写。上式读作
“当x趋于x0时，f (x)的极限是A”。
例2.1.1． f (x) 2x2 2 , 求 lim f (x) 。 x2
x x0 , x x0 , x x0 , x , x , x 其中：x x0 表示x从x0的两侧趋于x0 ，读作“当x趋于x0”；
x x0 表示x从x0的右侧趋于x0，读作“当x趋于x0右”； x x0 表示x从x0的左侧趋于x0，读作“当x趋于x0左”。 相应的，函数的极限也就有六种情况。我们重点介绍两种情况， 其余情况只作简单介绍。
解： lim f (x) lim 2x2 2 10
x2
x2
例2.1.2． f (x) sin x , 求 lim f (x)。 x0
解：lim f (x) lim sin x 0
x0
x0
§2. 1
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例2.1.2．f (x) c , 求 lim f (x) 。 x2
1 4x2
5
。
见图2.1-7。
图2.1-7
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§2. 1
类似的，当x朝正方向无限变大时，若f (x)无限接近于常数A， 则称当时，f (x)的极限是A，记为
lim f (x) A
x
当x朝着负方向无限变大时, 若f (x)无限接近于常数A，则称当 时，f (x)的极限是A，记为
lim f (x) A
1
x2 1
O
X
图2.1-5
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例2.1.5．
f
(
x)
sin x2
x
x 0 , 求 lim f (x) 。
x0
x0
解：∵ ∴
f (0 0) lim sin x 0 x0
f (0 0) lim x2 0 x0
f (0 0) f (0 0) 0 lim f (x) 0
解： lim f (x) lim c c ,见图2.1-2。
x2
x2
Y f (x) c
§2. 1
Ox
2
图2.1-2
xX
以后，对于函数的极限，我们不再先写出函数是什么，然后再
写出极限式，而是直接在极限符号右边，写上函数的表达式。
例如，lim 2x2 2 表示当x2时，函数f (x) = 2x2 + 2的极限。 x2
x
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§2. 1
2.1.3 数列的极限 设数列的通项公式为
y (n) = f (n)
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第二章 函数的极限 有人说，极限的思想是微积分的灵魂。这句话形象地表明了极 限概念的重要性。微积分的大多数概念和运算，就是建立在极限 概念的基础上。如果在微分和积分的过程中，你见不到极限，那 是因为在用极限建立起概念和运算的规则后，我们便沉浸在这些 概念和规则之中，而忘记了它们本质上来自于极限概念。
x0
§2. 1
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2.1.2 x 时，函数f (x)的极限 x时函数f (x)的极限就是：
随着| x | 无限变大，函数f (x)的变化趋势。
定义 2.1.3 若随着 | x | 无限变大，f (x)无限趋 于常数A，见图2.1-6。 则称当时，f (x)的极限是A，记为
当，f (x)A 或 lim f (x) A
x
图2.1-6
§2. 1
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§2. 1
例2.1.6． f (x) 1 1 x
,
求
lim f (x)。
x
解： lim f (x) lim 1 1 1 。见图2.1-6。
x
x x
例2.1.7．f
(x)
5
1 4x2
,
求 lim f (x) 。 x
解：lim x
f
(x)
lim 5 x
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§2. 1
定义 2.1.2
当x从x0的右侧趋于x0时，若f (x)无限趋于常数A(见图2.1-3)，称 f (x)在x0处的右极限为A，记为
lim
x x0
f (x)
A
或
fຫໍສະໝຸດ Baidu(x0+0) = A
Y
f (x)
A
O
x0
xX
f (x)在x0处的右极限
图2.1-3
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§2. 1