高等数学第七版--97 多元函数微分法习题课PPT课件
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多元函数微积分(课件)
3 V 为因变量的二元函数。根据问题的实际意义，函数的定义域为
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
4
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
4
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
多元函数微分法 PPT课件
x
y
z f [u( x, y), x, y]
z
x
y
z f u f , x u x x
两者的区别
变而对 x 的偏导数
z f u f . y u y y
把 z f (u, x, y) 中 的 u 及 y
把复合函数 z f [(x, y), x, y] 中的 y 看作不 看作不变而对 x 的
的偏导数都存在,函数在 z f (u, v) 对应点 (u, v) 可微，则 复合函数 z f [ ( x, y), ( x, y)] 在点 ( x, y ) 处存在对 x 、 y 的偏导数,且
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
z z u z v v 1 v vu x u ln u 1 y u y v y
xy(1 xy)
y
y 1
(1 xy) ln(1 xy)
y
xy (1 xy) [ ln(1 xy)] 1 xy
医用高等数学
推论:
”
医用高等数学
医用高等数学
第三节
多元函数微分法
一、复合函数微分法
二、隐函数微分法
医用高等数学
一、复合函数微分法
我们知道 : 如果函数u ( x )在点 x处可导 , 而 y f ( u)在 x点对应u处可导 , 则复合函数 y f [ ( x )] 在点 x处可导, 且其导数为
u
z
v
x
医用高等数学
全导数
例4-24 设 z e
u 2v
3 u sin x v x , 而 ， ,求
《多元函数的微积分》课件
最优化问题
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
THANKS
感谢观看
多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
THANKS
感谢观看
多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
医用高等数学(第7版)PPT课件 第四章 第五节 多元复合函数和隐函数的微分法
所以 x z y z y dz y dz 0 x y x du x du
医用高等数学（第7版）
例4-23 设 z euv , u sin x ，v x2 cos x ,
求 dz .
dx
u
解 dz z du z dv dx u dx v dx
z
x
v
veuv cos x ueuv (2x cos x x2 sin x)
导数为
dy dy du dx du dx
这一法则称为一元复合函数的锁链式求导法.现在,我们将这一法则推 广到多元复合函数.
医用高等数学（第7版）
定理4-2 如果函数 u u( x, y) 、v v( x, y) 在点 ( x, y) 处有连续偏导数，
而函数 z f (u,v) 在对应点 (u, v) 处有连续偏导数，则复合函数
医用高等数学（第7版）
2.当中间变量都是多元函数时，其导数是偏导数. （1）一个中间变量是二元函数
z f (u) ，而 u u( x, y), 则复合函数 z f u( x, y) 的偏导数
z dz u x du x
x
z dz u y du y
zu
y
医用高等数学（第7版）
（2）两个中间变量都是二元函数，见定理4-2.
医用高等数学（第7版）
锁链式法则
y
u
x
u
z v
x
z
y
(1) 单链是导数关系,多链是偏导关系; (2) 一条链之间,依次求导相乘; (3) 各条链之间,求导后逐条相加.
ux
v
w
y
医用高等数学（第7版）
例4-21 设
z u2, ln v
而
高等数学 多元函数微分法及其应用ppt课件
其余类推
fxy( x,
y)
lim
y0
fx(x, y
y) y
fx(x, y)
(2) 同样可得：三阶、四阶、…、以及n 阶偏导数。
(3) 【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
【例
1】设 z
x3
y2
3 xy 3
xy
1，求二阶偏导数及
3z x 3
.
【解】 z 3x2 y2 3 y3 y, x
x2 y2 sin x2 y2 ( x2 y2 )3 2
y0
换元,化为一元 函数的极限
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【阅读与练习】 求下列极限
5/51
x2
(1)lim sin( xy) (a 0); (2) lim (1 1 )x2 y2 ;
x0 x
x
x
ya
ya
1
(3)lim(1 sin xy)xy; x0
(2) 【复合函数求导链式法则】
①z
u
v
t t
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
u
x z z u z v y x u x v x
②z
v
x z z u z v
y y u y v y
③ z f (u, x, y)
u x z f f u
y x x u x
(
x,
y,
z)
lim
z0
z
.
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10/51
4. 【偏导数的几何意义】 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
多元函数微分学基础PPT课件
rhvrhvrhrh这里是随着的变化而变化的当在一定范围内内取定一对数值时的对应值就随之确定611三角形面积见图其面积依赖于三角形的两条边及其夹角图611例2示意图xyzxy设有变量如果当变量在一定范围内任意取定一对数值时变量按照一定法则总有惟一确定的数值与之对应则称是的二元函数记作xy式中叫作自变量叫作因变量
(b)有界区域
(c)有界区域
图6-12 区域示意
若区域能延伸到无限远处，就称这区域是无界的，如 图6-12(c)所示，否则，它总可以被包含在一个以原点O为中 心，而半径适当大的圆内，这样的区域称为有界的，如图612(a)、(b)所示，围成区域的曲线叫区域的边界.
闭区域：连同边界在内的区域的曲线叫区域的边界.
同样,函数z f (x, y)在点(x0,y0 )处对y的偏导数定义为
lim f ( y0 y, y0 ) f (x0 ,y0 )
x0
y
记作 z , f , z (x ,y )或f (x ,y )等.
y x (x0 ,y0 )
(x0 ,y0 )
y 00
y 00
如果函数z f (x, y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数 都有存在,那么这个偏导数就是x, y的函数,称为函数z f (x, y) 对自变量x的偏导函数.记作
y
a x2 y2 a2
O ax
例 5 求二元函数z ln(x y)的定义域．
解 自变量x, y 所取的值必须满足不等式x y 0 , 即定义域为
D (x, y) | x y 0.
点集D 在 xOy 面上表示一个在直线上方的半平面(不 包含边界x y 0)，如下图所示，此时 D 为无界开区域．
(如右图所示)．
(b)有界区域
(c)有界区域
图6-12 区域示意
若区域能延伸到无限远处，就称这区域是无界的，如 图6-12(c)所示，否则，它总可以被包含在一个以原点O为中 心，而半径适当大的圆内，这样的区域称为有界的，如图612(a)、(b)所示，围成区域的曲线叫区域的边界.
闭区域：连同边界在内的区域的曲线叫区域的边界.
同样,函数z f (x, y)在点(x0,y0 )处对y的偏导数定义为
lim f ( y0 y, y0 ) f (x0 ,y0 )
x0
y
记作 z , f , z (x ,y )或f (x ,y )等.
y x (x0 ,y0 )
(x0 ,y0 )
y 00
y 00
如果函数z f (x, y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数 都有存在,那么这个偏导数就是x, y的函数,称为函数z f (x, y) 对自变量x的偏导函数.记作
y
a x2 y2 a2
O ax
例 5 求二元函数z ln(x y)的定义域．
解 自变量x, y 所取的值必须满足不等式x y 0 , 即定义域为
D (x, y) | x y 0.
点集D 在 xOy 面上表示一个在直线上方的半平面(不 包含边界x y 0)，如下图所示，此时 D 为无界开区域．
(如右图所示)．
《多元函数微分学》PPT课件
0 V .
14
定义1 设D是xOy平面上的点集, 若变量z与D
多 元
函
中的变量x, y之间有一个依赖关系, 使得在D内
数 的
基
每取定一个点P(x, y)时,按着这个关系有确定的
本 概
z值与之对应, 则称z是x, y的二元(点)函数.记为 念
z f ( x, y) (或z f (P) )
称x, y为自变量,称z为因变量,点集D称为该函数
P0 称为 E 的内点：如果存在一个正数 使得U (P0 ) E P0 称为 E 的外点：如果存在一个正数 使得
U (P0 ) E
P0 称为 E 的边界点：如果对任意一个正数 使得
U (P0 ) 中即有E中点又有非E中点
P0 即不是E的内点也不是E的外点
闭区域： G G G
12
（3）Rn 中的集合到 Rm的映射
的 基 本
和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元
概 念
函数之间差异不大. 因此研究多元函数时, 将以
二元函数为主.
24
3、多元函数的极限
多
讨论二元函数 z f ( x, y),当x x0 , y y0 ,
元 函
即P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时的极限.
数 的 基
怎样描述呢? 回忆: 一元函数的极限
多 元 函 数
的
基
解 定义域是 ( x 1)2 y2 1且x2 y2 1
本 概
念
y
•
O
1
x
有界半开半闭区域
18
3 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2的) 定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
多元函数微分学(共184张PPT)
z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大 值而 为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
上一页 下一页 返 回
•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ，x 偏0导数 z 存 在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
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• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
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• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n
多元函数微分基本概念ppt课件
n 维向量. xi 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量.
10
Rn中两点x (x1,, xn ), y ( y1,, yn ) 的距离定义为
记作
特别, 点 x (x1, x2,, xn )与零元 0 的距离为
x x12 x22 xn2 当n 1,2,3时, x 通常记作 x .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
5
(2) 聚点
若对任意给定的 ,点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点.
聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
6
(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
若点集 E E , 则称 E 为闭集；
若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,
则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限
不存在 .
例3. 讨论函数
f
(x,
y)
x2
xy y2
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
lim
x0
f (x, y)
lim
x0
x2
kx2 k2x2
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二、题型练习 （一）多元复合函数求导法 （二）隐函数求导法 （三）隐函数组求导法 （四）微分形式不变性 （五）杂题
（二）隐函数求导法
1．一个方程确定 2．两个方程确定
（二）隐函数求导法
1．一个方程确定 2．两个方程确定
方程由具体函数构成
例15 设 ln x2y2 arctany, 求 d y .
➢一个方程确定的隐函数
F(x,y)=0
d y Fx
dx
Fy
F(x,y,z)=0
z Fx , z Fy x Fz y Fz
➢两个方程确定的隐函数组
Fx表示F对x求偏导 分子和分母不要颠倒 不要丢掉负号
F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u,v) 0
u u (x, y) v v (x, y)
dx
例3 设 z u 2 v u v 2 ,u x c o s y ,v x s in y ,求 z , z .
x y
例4 设 z u a r c ta n (u v ),u x 2 ,v y e x , 求 z , z .
x y
例5 设 zx2u,ucosxy, 求 z , z .
第七讲 多元函数微分法习题课
多元函数微分法习题课
一、内容小结 二、题型练习
多元函数微分法习题课
一、内容小结 二、题型练习
一、内容小结
（一）多元复合函数求导法则 （二）隐函数求导法则
一、内容小结
（一）多元复合函数求导法则 （二）隐函数求导法则
多元复合函数的五种基本类型
类型
举例
复合关系图 求导法则 注
x y
3．复合函数：外层抽象、内层具体
例6 设 zf(x2y2,exy)求 z , z .
x y
例7 设 z f(u ,v ),u 2 x y ,v x 2 y , 求 z , z .
x y
例8 设zf(xy2,x2y),
求
2z x 2
,
2z xy
.
4．简单函数与复合函数的运算
例9 设 z1f(xy)y(xy), 求 2 z .
又是自变量
➢注
一个关键： 画出复合关系图. 勿漏中间变量
三点注意： 分清层次关系 搞清对谁求偏导，把谁看成常数
多元复合函数的高阶偏导数
依次求导 注意符号的含义 先四则,后复合 高阶偏导数与原来函数具有相同的复合关系
一、内容小结
（一）多元复合函数求导法则 （二）隐函数求导法则
一、内容小结
（一）多元复合函数求导法则 （二）隐函数求导法则
例13 设 w F ( x ,y ,z ) ,z f ( x ,y ) ,y ( x ) ,求d w . dx
例14 设
z f ( x , u , v ) , v g ( x , y , u ) , u h ( x ,y ) ,求 z
x
,
z .
y
二、题型练习 （一）多元复合函数求导法 （二）隐函数求导法 （三）隐函数组求导法 （四）微分形式不变性 （五）杂题
x dx
例16 设 x l n z , 求 z , z .
z
y x y
方程由抽象的简单函数构成
例17 设 x x ( y ,z ) ,y y ( x ,z ) ,z z ( x ,y ) 由方程F(x,y,z)=0 确定,证明 x y z 1
y z x
方程由抽象的复合函数构成 ➢例18 设 zz(x, y)由方程 F(x z , y z ) 0 确定,证明
x
xy
例10设 z
y f (x2 y2) ,
求 z , z .
x y
5．复合函数：外层抽象、内层抽象
多层复合
例11 设 u f ( x ,y , t ) ,x x ( s , t ) ,y y ( s ,t ) ,求 u , u .
s t
例12 设 u f ( x ,y ,z ) ,y ( x , t ) ,t h ( x ,z ) ,求 u . x
一中间变量，多自变量 uf(x) x(s,t)
外层一元，内层多元
多中间变量，一自变量 uf(x,y)
外层多元，内层一元
xx(t) yy(t)
多中间变量，多自变量 uf(x,y)
外层多元，内层多元
xx(t,s) yy(t,s)
一个变量既是中间变量 uf(x,y,t)
又是自变量
x(t) y(t)
多个变量既是中间变量 u f(x ,y ,z )z(x ,y )
yx xz yz zxy.
x y
➢例19 设 zz(x, y)由方程 xazf(ybz)确定,计算
a z b z 个方程确定 2．两个方程确定
（二）隐函数求导法
1．一个方程确定 2．两个方程确定
两个方程均由具体函数构成
例20 设 f(x,y,z)xy2z3, x2y2z23xyz0,
（1）若 zz(x, y)是上述方程确定的隐函数，求 f
x
. ( 1 ,1 ,1 )
（2）若 y y(x,z)是上述方程确定的隐函数，求 f
x
. ( 1 ,1 ,1 )
一个具体、一个抽象
例21 设 wf(x,y,z), z=z(x,y)由方程 z55xy5z1
确定，求
w x
,
2w x 2
.
两个抽象
例22 设 uf(x,y,z), z=z(x,y)由方程 (x,y,z)0
确定，求 u , u .
x y
例23 设u f (z), z=z(x,y)由方程 zxyg(z)确定，
求证
u y
g(z) u x
.
二、题型练习 （一）多元复合函数求导法 （二）隐函数求导法 （三）隐函数组求导法 （四）微分形式不变性 （五）杂题
二、题型练习 （一）多元复合函数求导法 （二）隐函数求导法 （三）隐函数组求导法 （四）微分形式不变性 （五）杂题
1．简单、具体函数 例1 设 z(x2y2)earctanxy 求 2 z .
xy
2．复合函数：外层具体、内层具体
例2 设 u e x (y z ),y s in x ,z c o sx ,求 d u .
(1) 确定因变量个数与自变量个数.
明确变量个数与方程个数
确定因变量个数 方程个数
确定自变量个数 变量个数
(2) 明确因变量与自变量. 题目要求
方程个数
(3) 方程两边求偏导.
多元函数微分法习题课
一、内容小结 二、题型练习
多元函数微分法习题课
一、内容小结 二、题型练习
二、题型练习 （一）多元复合函数求导法 （二）隐函数求导法 （三）隐函数组求导法 （四）微分形式不变性 （五）杂题