中北大学概率统计习题册第五章完整答案(详解)

1.设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差

2

()D X σ=,则由契比雪夫不等式

{}≤

≥-σμ3X P 1

9

。 ２.设随机变量X 和Y 的数学期望都是2,方差分别为１和4,相关系数为０．5，则根据契比雪夫不等式{}

≤

≥-6Y X P 1

12

。 3．在一次试验中,事件Ａ发生的概率为2

1

,利

用契比雪夫不等式估计是否可以用大于0.97的概率确信，在1000次独立重复试验中,事件A 发生的次数在40０~60０的范围内? 解:

X

表示在1000次重复独立试验中事件A 发

生的次数,则1~1000,2X B ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭.于是：

1

()1000500,

2E X np ==⨯=11

()100025022

D X =⨯⨯=

(400600)(500100)P X P X <<=-<

2

250

(100)10.975100

P X EX =-<≥-=.因此可以用大于0．９7的概率确信，在10０0次独立重复试验中,事件A 发生的次数在4０0～600的范围内．

4.用契比雪夫不等式确定当掷一均匀铜币时,需投多少次,才能保证使得正面出现的频率在０.４和0.６ 之间的概率不小于90%? 解：设n μ表示掷n 次铜币正面出现的次数，则1(,)2n

B n μ，1()2n E n μ=,1

()4

n D n μ=

{0.40.6}{

0.50.1}n

n

P P n

n

μμ≤

≤=-≤

2()

25110.90.1n

D n n

μ≥-

=-≥250n ⇒≥ 注:事实上，由中心极限定理

{0.40.6}{0.40.6}n

n P P n n n

μμ≤

≤=≤

≤≈Φ-Φ

(210.9

=Φ-≥ (()0.95 1.96

Φ≥=Φ 1.96≥

解之得 96.0365n ≥，所以,至少需投掷97次，才能保证使得正面出现的频率在0.4和０.6 之间的概率不小于9０％。

5.一个复杂的系统，由1００个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间,每个部件损坏的概率为0.1,为了使整个系统起作用，至少需85个部件工作,求整个系统工作的概率。

解：设整个系统中有X 个部件能正常工作，

则()~100,0.9X B ，系统工作的概率为

()()85184P X P X ≥

=-≤ 1≈-Φ

()()1220.9772=-Φ-=Φ=

6．设 ,,,,21n X X X 为独立随机变量序列,且(1,2,

)i X i =服从参数为λ的指数分布，

试求:⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞

→x n n X P n i i n 1lim λ。

解:因i X 服从参数为λ的指数分布，故:

211,.i i EX DX λλ==

211

(),().

n n

i i i i n n

E X D X λλ====∑∑⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞

→x n n X P n i i n 1lim λ

lim n i n n

X P x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪

=≤⎬⎪

⎪⎭∑

lim n n i i n X E X P x →∞⎧⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎪=≤⎬⎪⎪⎭

∑∑

2

2

d ()t x t x -==Φ⎰

.