简单的幂函数(课件)
合集下载
北师大版高中数学必修1课件2 简单的幂函数课件
北京师范大学出版社 高中一年级 | 必修一
第二章 ·函数
第 5 节 简单的幂函数
北京师范大学出版社 高中一年级 | 必修一
一、导入新课
数学史上很早就使用“幂”字，起先用于表示面、面积，后来扩 充为表示平方或立方.1859年我国清末大数学家李善兰(1811～1882) 译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词 ，如函数、极 限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”
)
D．y＝x2－1
北京师范大学出版社 高中一年级 | 必修一
[答案] C [解析]
y xa
幂函数的形式为，只有C符合
北京师范大学出版社 高中一年级 | 必修一
5、小结
一：幂函数的定义
二：幂函数的图像 2.1描点法作图 2.2根据函数的图像分析性质（定义域、值域、单调性、图像特征） 2.3题型：幂函数的图像与性质、比较函数值大小
北京师范大学出版社 高中一年级 | 必修一
三：函数的奇偶性
3.1根据指数的奇偶分类，观察图像（指数为奇的幂函数图像关 于原点对称、……） 3.2函数奇偶性的定义及满足的等式 3.3深化对奇偶性概念的认识（定义域，函数值、运算等） 3.4题型：根据函数奇偶性画图像、求函数的解析式（方程组、 待定系数法、分段函数）、比较函数值，解函数值不等式。
果α >0，则幂函数的图像还过（0，0），并在区间[0，＋∞)上递增；如 果α <0，则幂函数在区间 [0，＋∞) 上递减，在第一象限内，当x从右边 趋向于原点时，图像与y轴无限接近；当x趋向于＋∞时，图像与x轴无限 接近。
北京师范大学出版社 高中一年级 | 必修一
函数f(x)＝(m2－m－5) 的，试确定m的值．
第二章 ·函数
第 5 节 简单的幂函数
北京师范大学出版社 高中一年级 | 必修一
一、导入新课
数学史上很早就使用“幂”字，起先用于表示面、面积，后来扩 充为表示平方或立方.1859年我国清末大数学家李善兰(1811～1882) 译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词 ，如函数、极 限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”
)
D．y＝x2－1
北京师范大学出版社 高中一年级 | 必修一
[答案] C [解析]
y xa
幂函数的形式为，只有C符合
北京师范大学出版社 高中一年级 | 必修一
5、小结
一：幂函数的定义
二：幂函数的图像 2.1描点法作图 2.2根据函数的图像分析性质（定义域、值域、单调性、图像特征） 2.3题型：幂函数的图像与性质、比较函数值大小
北京师范大学出版社 高中一年级 | 必修一
三：函数的奇偶性
3.1根据指数的奇偶分类，观察图像（指数为奇的幂函数图像关 于原点对称、……） 3.2函数奇偶性的定义及满足的等式 3.3深化对奇偶性概念的认识（定义域，函数值、运算等） 3.4题型：根据函数奇偶性画图像、求函数的解析式（方程组、 待定系数法、分段函数）、比较函数值，解函数值不等式。
果α >0，则幂函数的图像还过（0，0），并在区间[0，＋∞)上递增；如 果α <0，则幂函数在区间 [0，＋∞) 上递减，在第一象限内，当x从右边 趋向于原点时，图像与y轴无限接近；当x趋向于＋∞时，图像与x轴无限 接近。
北京师范大学出版社 高中一年级 | 必修一
函数f(x)＝(m2－m－5) 的，试确定m的值．
高中数学必修一简单的幂函数公开课优质课比赛获奖课件
(0, )上单调递减，求 m，n，f (x) .
解析：由题意知
m2 2m 2 1
n
2
2n
3
0
，则
m 1 1 n 3
又 n N ，则 n 1 或 n 2
所以 m 1, n 1或2 ， f (x) x4 或 f (x) x3
奇偶性
观察幂函数的图像我们会发现：
有些幂函数图像关于原点对称，如 y x1，y x，y x3.
北师大版必修一第二章 函数
简单的幂函数
问题导入
我们先看下面几个具体问题：
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要支____y__x_____元. y是x的一次函数
(2)如果正方形的边长为 x,那么正方形的面积__y___x_2 . y 是x的二次函数
(3)如果立方体的边长为x,那么立方体的体积__y__x_3__. y是x的三次函数
与
性
质
(1,1)
1
1
图像性质 例2.（1）比较 30.2 与 0.2 的大小
解析：函数 f (x) x0.2在 (0, )上单调递增
Q3 30.2 0.2
（2）幂函数 f (x) x 满足 f (2) f (8)，则 f (x) 是否过 (0, 0) ？
解析：Q f (2) f (8) 幂函数 f (x) x 在 (0, )上单调递减.
且 f (x) (x)3 x3 －f (x)，
所以 y x3为奇函数，又 3 0， 所以 y x3在 (0, ) 单调递减，
故草图如右图所示：
奇偶性
例3.判断下列幂函数是否有奇偶性，若有，画出它的草图
1
（1）y x 2 （2）y x3
（3） y x4
解析：由题意知
m2 2m 2 1
n
2
2n
3
0
，则
m 1 1 n 3
又 n N ，则 n 1 或 n 2
所以 m 1, n 1或2 ， f (x) x4 或 f (x) x3
奇偶性
观察幂函数的图像我们会发现：
有些幂函数图像关于原点对称，如 y x1，y x，y x3.
北师大版必修一第二章 函数
简单的幂函数
问题导入
我们先看下面几个具体问题：
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要支____y__x_____元. y是x的一次函数
(2)如果正方形的边长为 x,那么正方形的面积__y___x_2 . y 是x的二次函数
(3)如果立方体的边长为x,那么立方体的体积__y__x_3__. y是x的三次函数
与
性
质
(1,1)
1
1
图像性质 例2.（1）比较 30.2 与 0.2 的大小
解析：函数 f (x) x0.2在 (0, )上单调递增
Q3 30.2 0.2
（2）幂函数 f (x) x 满足 f (2) f (8)，则 f (x) 是否过 (0, 0) ？
解析：Q f (2) f (8) 幂函数 f (x) x 在 (0, )上单调递减.
且 f (x) (x)3 x3 －f (x)，
所以 y x3为奇函数，又 3 0， 所以 y x3在 (0, ) 单调递减，
故草图如右图所示：
奇偶性
例3.判断下列幂函数是否有奇偶性，若有，画出它的草图
1
（1）y x 2 （2）y x3
（3） y x4
第二章-4.2-简单幂函数的图象和性质高中数学必修第一册北师大版
第二章 函数
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.2 简单幂函数的图象和性质
教材帮|必备知识解读
知识点1 幂函数的概念
例1-1 在函数 = −4 , = 3 2 , = 2 + 2, = 1中,幂函数的个数为( B
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】函数 = −4 为幂函数;
函数 = 3 2 中 2 的系数不是1,所以它不是幂函数;
的增大而减小；
当 = −3时，2 − 2 − 3 = 12, = 12 是幂函数，但不满足当 ∈ 0, +∞ 时，
随的增大而减小，故舍去.
∴ 实数的值为2.
【学会了吗|变式题】
2.(2024·广东省汕头市期末)已知函数 = 2 − 2 − 2 ⋅ −2 是幂函数，且在
故A正确；
幂函数 = 的图象只在第一象限内和原点，故B不正确；
当 > 0时， > 0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故C不正确；
幂函数 = 与 = 3 的图象的交点为 −1, −1 ， 0,0 ， 1,1 ，共三个，故D不正确.
方法帮|关键能力构建
题型1 幂函数的定义域和值域
0, +∞ 上单调递增，则实数 =( C
A.−1
B.−1或3
)
C.3
D.2
【解析】由题意知,2 − 2 − 2 = 1，即 + 1 − 3 = 0，
解得 = −1或 = 3，
∴ 当 = −1时， − 2 = −3，则 = −3 在 0, +∞ 上单调递减，不合题意；
当 = 3时， − 2 = 1，则 = 在 0, +∞ 上单调递增，符合题意，∴ = 3，
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.2 简单幂函数的图象和性质
教材帮|必备知识解读
知识点1 幂函数的概念
例1-1 在函数 = −4 , = 3 2 , = 2 + 2, = 1中,幂函数的个数为( B
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】函数 = −4 为幂函数;
函数 = 3 2 中 2 的系数不是1,所以它不是幂函数;
的增大而减小；
当 = −3时，2 − 2 − 3 = 12, = 12 是幂函数，但不满足当 ∈ 0, +∞ 时，
随的增大而减小，故舍去.
∴ 实数的值为2.
【学会了吗|变式题】
2.(2024·广东省汕头市期末)已知函数 = 2 − 2 − 2 ⋅ −2 是幂函数，且在
故A正确；
幂函数 = 的图象只在第一象限内和原点，故B不正确；
当 > 0时， > 0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故C不正确；
幂函数 = 与 = 3 的图象的交点为 −1, −1 ， 0,0 ， 1,1 ，共三个，故D不正确.
方法帮|关键能力构建
题型1 幂函数的定义域和值域
0, +∞ 上单调递增，则实数 =( C
A.−1
B.−1或3
)
C.3
D.2
【解析】由题意知,2 − 2 − 2 = 1，即 + 1 − 3 = 0，
解得 = −1或 = 3，
∴ 当 = −1时， − 2 = −3，则 = −3 在 0, +∞ 上单调递减，不合题意；
当 = 3时， − 2 = 1，则 = 在 0, +∞ 上单调递增，符合题意，∴ = 3，
新教材高中数学第二章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数 简单幂函数的图象和性质课件北师大版必修第一册
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识
知识点1 幂函数的概念 一般地,形如_____y_＝__x_α_(α_为__常__数__)___的函数,即底数是自变量、指数
是常数的函数称为幂函数． 思考1：幂函数的解析式有什么特征？ 提示：①系数为1；②底数x为自变量；③幂指数为常数．
y＝x2 __偶___函数
_[_0_,＋__∞__)
y＝x3 _奇___函数 ___R___
y＝1x
1
y＝x2
__奇___函数
_非__奇__非__偶__ 函数
无
_[_0_,_＋__∞_)__
减区间
无
__(－__∞__,0_)_
无
_(－__∞__,0_)_,_(0_, ＋__∞__) ____
无
定点
___(_1_,_1_) ___
思考2：在区间(0,＋∞)上,幂函数有怎样的单调性？ 提示：幂函数在区间(0,＋∞)上,当α＞0,y＝xα是增函数；当α＜0时,y ＝xα是减函数．
基础自测
1．下列函数为幂函数的是
( D)
A．y＝2x4
B．y＝2x3－1
C．y＝2x
D．y＝x2
[解析] y＝2x4 中，x4 的系数为 2，故 A 不是幂函数；y＝2x3－1 不
第二章 函 数
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.2 简单幂函数的图象和性质
【素养目标】 1．通过具体实例,理解幂的概念．(数学抽象) 2．会画简单幂函数的图象,并能根据图象得出这些函数的性质．(直 观想象) 3．理解常见幂函数的基本性质．(逻辑推理)
【学法解读】 以五种常见的幂函数为载体,学生应自己动手在同一个平面直角坐标 系下画出这五种幂函数的图象,通过观察比较研究其图象和性质,进而研 究一般幂函数的图象和性质．
北师大版高中数学必修一第二章 函数第五节简单的幂函数之函数的奇偶性说课课件(共22张PPT)
教材分析 教学重点、难点
教法、学法
学情分析 教学目标
教学过程
教学反思
板书设计
教材分析
奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学 生熟悉的函数入手，从特殊到一般，从具体到 抽象，注重信息技术的应用，比较系统地介绍 了函数的奇偶性。从知识结构看，它既是函数 概念的拓展和深化，又是后续研究指数函数、 对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此， 本节课起着承上启下的重要作用
指导观察、形成概念
考察下列函数：
f (x) x2
思考1:观察这个函数的图象，并讨论有何特征？
思考2:对于上述函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)有什么
关系？ 12
f(a)与f1(0 -a)f呢x =？x2
8
思考3:怎样定义偶函数？ 6
思考4:函数 f (x) x2 , x [3, 2] 偶函数吗？ 4
f(x)≠0
若f(-x)/f(x)=-1，则f(x)为奇函数；
若f(-x)/f(x)=1，则f(x)为偶函数。
完成“函数奇偶性”概念的第三 个层次。
讲练结合，巩固新知
例. 利用定义判断下列函数的奇偶性
f (x) x3 2x
练习：利用定义判断下列函数的奇偶性
(1)f (x) x 1 (2)f (x) x2 -1
f (x) x -2
(1)f (x) x3 , x [1,1]
(2)f (x) x3 , x [1,1) -4
(3)f (x) x3, x [2,1) [1,2]-6
-8
强化定义，深化内涵
对奇函数、偶函数定义的说明: (1)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么
我们就说函数f(x) 具有奇偶性。 (2)函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称。 (3)若f(x)为奇函数, 则对于定义域中的任意x,
函数简单的幂函数课件
函数简单的幂函数课件pptxx年xx月xx日contents •幂函数概述•幂函数的图象和性质•幂函数的应用•幂函数的拓展•总结与反思目录01幂函数概述幂函数定义：形如y=x^a的函数，其中a为常数。
幂函数在高等数学中占有重要地位，其性质和应用有着广泛的应用。
0102非零的常数次幂函数$y=x^a$，当a>0时，函数在$(0,+\infty)$上单调递增；当a<0时，函数在$(0,+\infty)$上单调递减。
幂函数的图象幂函数的图象由点$(1,1)$出发，在$y$轴右侧的图象是上升的，在$y$轴左侧的图象是下降的，并且图象过点$(0,0)$。
幂函数的奇偶性当$a$为整数时，幂函数为奇函数；当$a$为偶数时，幂函数为偶函数。
当$a$为负奇数时，幂函数为既奇又偶函数；当$a$为负偶数时，幂函数为非奇非偶函数。
幂函数的对称性$y=x^a$的图象关于原点对称；$y=x^{-a}=1/x^a$的图象关于$y$轴对称。
幂函数的扩展在实际应用中，可以将幂函数扩展到多个变量的情形，如二元三次幂函数等。
03040502幂函数的图象和性质幂函数图象的绘制步骤、要点、注意事项总结词步骤要点注意事项1.定义域，2.函数式，3.图象1.定义域的确定，2.函数式的变换，3.图象的绘制1.定义域的边界值的处理，2.函数式变换的准确性，3.图象的精确度幂函数性质的运用基本性质、应用、实例总结词1.单调性，2.奇偶性，3.周期性基本性质1.函数的单调性，2.函数的奇偶性，3.函数的周期性应用 1.幂函数的单调递增区间，2.幂函数的奇偶性判断，3.幂函数的周期求解实例03幂函数的应用总结词了解幂函数与方程根的关系，掌握利用幂函数求解方程的方法。
利用幂函数求解方程通过对幂函数的性质和图像的掌握，利用幂函数求解方程的解，特别注意在特定区间求解方程时需要注意的问题。
幂函数与方程根的关系幂函数在方程中的应用，主要是指利用幂函数的性质和图像特点，通过观察幂函数的图像来确定方程的根。
沪教版(上海)数学高一上册-4.1幂函数的图象与性质(一)课件
,
(
2 )3 ,
( 1 )0 ,
(
3
)
2 3
按由小到大的
顺序排列：_(3__2_)_3 __(_53_)_13___(5_1_)_0 __2(_3_)_32___2_32
3
3
5
2
(1) y=4x
(4)
y
2
x3
(2)
(5) y=2x2
(3) y= -x2
(6) y=x3+x
2.已知幂函数f(x)的图象过点 (2,
2) 2
,则f(4)的值
是______________.
探究（二）：简单幂函数的图象和性质
在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x，y=x2，
y=x3，y=x 2，y=x-1的图象： y=x3
1.单调性法 2.中间量法
1
1
1.53 1.73
(
2
)
2 3
<（
p
） 23
3
6
内容： 幂函数的概念、图象和性质；
课堂小结
重点： 幂函数的图象、性质及简单应用；
关键：
幂函数指数 的变化对函数图
象性质的影响；
思想方法： 数形结合思想、由特殊到一般的 思想方法
思 考
已知函数 f (x) (m2 m 1)xm2 2m3 是幂函数，且 在 (0, )上是减函数，求满足条件的实数m的值。
y
=1
2. 当a 0时 函数在 [0,+∞) 上 是单调增函数。(0< 1, 1)
0< <1
1
<0
3. 当a 0时函数在（0,+∞) 上是
单调减函数。
函数简单的幂函数课件ppt
幂函数在化学反应中的运 用
描述化学反应速率、平衡常数等化学现象。
幂函数在物质性质中的运用
描述物质溶解度、沸点、密度等化学性质。
幂函数在量子力学中的运 用
用于描述原子能级、分子结构等化学现象。
05
总结与展望
本章内容总结
幂函数的定义
掌握了幂函数的定义和基本形 式。
幂函数的性质
了解了幂函数的单调性、奇偶性 、渐近线等性质。
幂函数的图像
幂函数的图像概述
幂函数的图像呈现出一种类似于直线或者曲线的形态，其变 化趋势和单调性及奇偶性有关。
绘制幂函数图像的方法
可以采用描点法或者直接根据幂函数的定义绘制图像。对于 不同的$a$值，可以分别绘制对应的幂函数图像，观察其变化 规律。
03
幂函数的运算性质
幂函数的加减乘除运算
总结词
幂函数的求导与求积分
总结词
幂函数的求导与求积分是学习幂函数的进阶内容，掌握其方法对解决实际问题有很大帮助 。
详细描述
求导是指找出函数在某一点的导数值，它反映了函数在这一点附近的斜率；求积分是指计 算函数在一个区间内的面积，它反映了函数在区间内的整体性质。对于幂函数，我们可以 利用微积分的基本公式进行求导与求积分。
幂函数的复合运算
01
总结词
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
幂函数的复合运算是学习幂函数的重要一环，通过复合运算可以加深
对幂函数的理解。
02 03
详细描述
复合运算通常是指将一个函数嵌套在另一个函数中，从而形成一个新 的函数。在幂函数的复合运算中，我们通常将一个幂函数作为另一个 幂函数的自变量。
举例
例如，我们可以将两个幂函数f(x)=x^a和g(x)=x^b进行复合，得到 一个新的幂函数h(x)=f(g(x))=(x^b)^a=x^(a*b)。
描述化学反应速率、平衡常数等化学现象。
幂函数在物质性质中的运用
描述物质溶解度、沸点、密度等化学性质。
幂函数在量子力学中的运 用
用于描述原子能级、分子结构等化学现象。
05
总结与展望
本章内容总结
幂函数的定义
掌握了幂函数的定义和基本形 式。
幂函数的性质
了解了幂函数的单调性、奇偶性 、渐近线等性质。
幂函数的图像
幂函数的图像概述
幂函数的图像呈现出一种类似于直线或者曲线的形态，其变 化趋势和单调性及奇偶性有关。
绘制幂函数图像的方法
可以采用描点法或者直接根据幂函数的定义绘制图像。对于 不同的$a$值，可以分别绘制对应的幂函数图像，观察其变化 规律。
03
幂函数的运算性质
幂函数的加减乘除运算
总结词
幂函数的求导与求积分
总结词
幂函数的求导与求积分是学习幂函数的进阶内容，掌握其方法对解决实际问题有很大帮助 。
详细描述
求导是指找出函数在某一点的导数值，它反映了函数在这一点附近的斜率；求积分是指计 算函数在一个区间内的面积，它反映了函数在区间内的整体性质。对于幂函数，我们可以 利用微积分的基本公式进行求导与求积分。
幂函数的复合运算
01
总结词
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
幂函数的复合运算是学习幂函数的重要一环，通过复合运算可以加深
对幂函数的理解。
02 03
详细描述
复合运算通常是指将一个函数嵌套在另一个函数中，从而形成一个新 的函数。在幂函数的复合运算中，我们通常将一个幂函数作为另一个 幂函数的自变量。
举例
例如，我们可以将两个幂函数f(x)=x^a和g(x)=x^b进行复合，得到 一个新的幂函数h(x)=f(g(x))=(x^b)^a=x^(a*b)。
第二章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数4.1函数的奇偶性1函数奇偶性的概念 课件
【典例】已知f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,则f(3)=
.
【思路导引】根据f(x)的解析式发现f(x)为非奇非偶函数,设一个新函数g(x),
根据新函数的奇偶性求出f(3)的值.
【解题策略】 已知函数的某一个自变量值,求对应的函数值时,常利用函数的奇偶性或部分
函数的奇偶性求值.
f(-x)=_f_(_x_)_
f(-x)= _-_f_(_x_)_
关于_y_轴__对称
关于_原__点__对称
(2)本质:奇偶性是描述函数图象对称性的性质. (3)应用:研究具有奇偶性的函数性质时,先研究它在非负区间上的性质,再利用 对称性可知它在非正区间上的性质.
【思考】 具有奇偶性的函数,其定义域有何特点?
【题组训练】
1.函数f(x)= 1 x2 x2 1 的奇偶性是 ( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
x 1, x＜0，
2.函数f(x)= 0, x 0， 的奇偶性是
x 1, x＞0
A.奇函数
B.偶函数
()
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
3.函数f(x)= 1 1 的奇偶性是 ( )
提示:定义域关于原点对称.
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1) 对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.
() (2) 若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数. ( ) (3)奇函数的图象一定过(0,0). ( )
x 1 x 1
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
幂函数ppt课件
3.第一象限内函数的单调性与指数大 小或正负性有什么关系？
4. 哪些是奇函数？哪些是偶函数？
观察： 不管指数是多少，图象都经过 哪个点？
1.过定点 图象都经过点（1，1）
α>0时,图象还都过点 (0,0)。
y
y x2 y x1
1
y x2
1
O1
y x1
x
观察： 图象分布有什么规律？ （都经过或不经过哪个 象限）
22＝2×2，故 C 对；D 中直线对应函数为 y＝－x，曲线对应函数为 y＝x3，
－1≠3.故 D 错．
三、习题讲解
幂函数 y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq 的图象如图，则将 m，n，p，q 的大小关系用“<”连接起来结果是________．
【解析】 过原点的指数 α>0，不过原点的 α<0，所以 n<0， 当 x>1 时，在直线 y＝x 上方的 α>1，下方的 α<1，所以 p>1， 0<m<1，0<q<1；x>1 时，指数越大，图象越高，所以 m>q，综上所 述 n<q<m<p. 【答案】 n<q<m<p 依据 α<0,0<α<1 和 α>1 的幂函数图象的特征判断．
• [分析] 逐个分析函数图象，也可给α分别取已知数值，研究两个函数在 同一个坐标系的图象形状．
[解析] A 中直线对应函数 y＝x，曲线对应函数为 y＝x－1,1≠－1，
1
故 A 错；B 中直线对应函数为 y＝2x，曲线对应函数为 y＝x2
，2≠12，
故 B 错；C 中直线对应函数为 y＝2x，曲线对应函数为 y＝x2，当 x＝2 时，
4. 哪些是奇函数？哪些是偶函数？
观察： 不管指数是多少，图象都经过 哪个点？
1.过定点 图象都经过点（1，1）
α>0时,图象还都过点 (0,0)。
y
y x2 y x1
1
y x2
1
O1
y x1
x
观察： 图象分布有什么规律？ （都经过或不经过哪个 象限）
22＝2×2，故 C 对；D 中直线对应函数为 y＝－x，曲线对应函数为 y＝x3，
－1≠3.故 D 错．
三、习题讲解
幂函数 y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq 的图象如图，则将 m，n，p，q 的大小关系用“<”连接起来结果是________．
【解析】 过原点的指数 α>0，不过原点的 α<0，所以 n<0， 当 x>1 时，在直线 y＝x 上方的 α>1，下方的 α<1，所以 p>1， 0<m<1，0<q<1；x>1 时，指数越大，图象越高，所以 m>q，综上所 述 n<q<m<p. 【答案】 n<q<m<p 依据 α<0,0<α<1 和 α>1 的幂函数图象的特征判断．
• [分析] 逐个分析函数图象，也可给α分别取已知数值，研究两个函数在 同一个坐标系的图象形状．
[解析] A 中直线对应函数 y＝x，曲线对应函数为 y＝x－1,1≠－1，
1
故 A 错；B 中直线对应函数为 y＝2x，曲线对应函数为 y＝x2
，2≠12，
故 B 错；C 中直线对应函数为 y＝2x，曲线对应函数为 y＝x2，当 x＝2 时，
人教A版高中数学必修第一册3.3幂函数【课件】
α
∴f(2)=,∴2 =,解得 α=-2,
∴f(x)=x-2.
f(x)的图象如图所示.
f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调递减区间为(0,+∞),单调递
增区间为(-∞,0).
反思感悟
1.幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四
象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第
(2)y= 的图象位于第一象限,因为函数为增函数,所以函数图
象是上升的,函数 y= -1 的图象可看作由 y= 的图象向下平
移 1 个单位长度得到(如选项 A 中的图象所示),将 y= -1 的图
象关于 x 轴对称后即为选项 B 中的图象.
答案:(1)B (2)B
探究二 幂函数的性质及其应用
对称,且在区间(0,+∞)内单调递减,求满足(2a-1) <(3-a) 的实
数 a 的取值范围.
解:∵函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴3m-9<0,解得 m<3.
又 m∈N*,∴m=1,2.
又函数图象关于 y 轴对称,∴3m-9 为偶数,故 m=1,Leabharlann -
-
-
∴有(2a-1) <(3-a) .∵y= 在区间(-∞,0),(0,+∞)内均单调递减,
【例2】 比较下列各组数的大小:
(1)1.13,1.23;
(2)4.8-3,4.9-3;
(3) -
-
, -
-
.
解:(1)设f(x)=x3,因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,
高中数学必修一 简单的幂函数
第6课时 简单的幂函数一 幂函数的概念 如果一个函数底数是自变量x ，指数是常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数. 二 幂函数的图像与性质作出函数(1)y ＝x ；(2)y ＝x 2；(3)y ＝x 3；(4)y ＝12x ；(5)y ＝x－1的图像.y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝12x y ＝x －1 定义域 值域单调性 奇偶性总结 根据上表，可以归纳一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都过点 ；(2)α>0时，幂函数的图像通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是 函数.特别地，当α>1时，幂函数的图像下凸；当0<α<1时，幂函数的图像上凸；(3) 时，幂函数的图像在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线y ＝x 对称；(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从 到 的顺序排列.例1 (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝⎛⎭⎫12x；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1).其中幂函数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知y ＝22222()m m m x －＋－＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值.跟踪训练1 (1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于(2)已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于例2 (1)如图所示，C 1，C 2，C 3为幂函数y ＝x α在第一象限内的图像，则解析式中的指数α依次可以取( )A.43，－2，34B.－2，34，43C.－2，43，34D.34，43，－2 (2)下列关于函数y ＝x α与y ＝αx ⎝⎛⎭⎫α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2，3的图像正确的是( )例3 设函数f (x )＝23x ，若f (a )＞f (b )，则( ) A.a 2＞b 2 B.a 2＜b 2 C.a ＜b D.a ＞b 跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3；(2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1；课后作业1.下列幂函数中，定义域不是R 的是( )A.y ＝xB.y ＝32xC.y ＝25xD.y ＝35x2.已知幂函数f (x )的图像过点(4,2)，则f ⎝⎛⎭⎫18＝______________.3.若幂函数f (x )＝2223()1m m m m x －－－－在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________. 4.下列函数中是幂函数的是( )A.y ＝x 4＋x 2B.y ＝10xC.y ＝1x3 D.y ＝x ＋15.已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是减函数，则m 的值为( ) A.－3 B.2 C.－3或2 D.36.已知f (x )＝12x ，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1bB.f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a )C.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1aD.f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 7.在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图像可能是( )8.如果1122(+4)(32)m m ---＜，则m 的取值范围是________.。
2.4.2简单幂函数的图像和性质课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
① y = 2x2
1 ④ y = x2
② y = x2 + x
⑤ y = x3
③ y = x－4
⑥ y 2x
2.已知点 (2, 1) 在幂函数 f (x) 的图像上.
4
求 f (x) 的解析式。
解 :由题可知设f (x) x
点(2, 1)在该函数图像上 4
1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 解得 2
4
f (x) x2
3.若函数 f (x) (a2 3a 3)x2 是幂函数，则 a 的值为？
解 : f (x)为幂函数 a2 3a 3 1
解得 4或 1
【活动三】：自主归纳
幂函数特征:
1. x 的系数是1；
2.底数 x 是自变量，指数为常数.
【活动四】：探究幂函数的性质
例1 画出函数 y x3 的图像，并讨论其图像性质. 列表
3、若蛋糕是棱长为 x 的正方体，则蛋糕的体积 y x3 4、若蛋糕是正方体，且每个面的面积为 x ，则蛋糕的棱长为 y
1
x x2
y 5、若将一个蛋糕平均分给 x 个人，则每人分得整个蛋糕的比
1 x
x1
你能发现这几个函数解 析式有什么共同特征吗?
yx
y x2 y x3
1
y x2
y x1
4 巩固提高
例： 已知 f (x) (m2 m 1)xm 是幂函数，且在 (0,)为增函 数，求m 的值. m 2
变式：已知 f (x) (m2 m 1)xm22m3是幂函数，且在 (0,) 为减函
数，求此幂函数的解析式. y x3
例： 下图所示的曲线是幂函数 y x 在第一象限内的图像，已知 分别
（4）数学思想
幂函数 课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
y x 1
[0，+∞） ，0 （0，+） [0，+∞） ，0 （0，+）
奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数
非奇非偶 函数
奇函数
R上 单调性
公共点
在（－∞,0]
上
R上
在(0, +∞） 上
（1，1）
在(0，+∞) 在( －∞,0)，
上
(0, +∞）上
幂函数性质：
1)定点：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点 （1，1）； 当α ＞0时，幂函数的图象都通过原点
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
(2)当α∈{－1，1，1,3}时，幂函数 y＝xα的图象不可能经过第_二__、__四__象限． 2
题型三
角度1 比较幂的大小 探究问题]
1．幂函数 y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？ 提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂
2)单调性：当α ＞0时，在区间[0，+∞)上是增函数 当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数.
3)奇偶性： 当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数
题型一
1．已知幂函数 f(x)的图象过点(2,2 2)，则 f(4)的值为( )
A．4
B．8
C．2 2
[D解．析1] 设 f(x)＝xα，∴2 2＝
⑤ x3 ⑥
1
yx 2
中，是幂函数的是（①⑤⑥）
.
(2) 已知幂函数 y＝f (x)的图象过点(3， 3)，则 f (9)＝ 3 .
2-5简单的幂函数
成才之路· 数学
北师大版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
第二章
函
数
第二章 函数
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
§5
简单的幂函数
第二章 ·§5
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
学习方法指导
知能自主梳理 方法警示探究
思路方法技巧
探索延拓创新
第二章 ·§5
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
(ⅱ)F1(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数， F2(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数． (ⅲ)对于复合函数 F(x)＝f[g(x)]： 若 g(x)为偶函数，f(x)为偶函数，则 F(x)为偶函数； 若 g(x)为奇函数，f(x)为奇函数，则 F(x)为奇函数； 若 g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，则 F(x)为偶函数； 若 g(x)为偶函数，f(x)为奇函数，则 F(x)为偶函数．
第二章 ·§5
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
知能自主梳理
第二章 ·§5
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
1．幂函数 如果一个函数，底数是________，指数是________，即 y ＝xα，这样的函数称为幂函数． 2．奇函数与偶函数 (1)一般地， 图像关于________对称的函数叫作奇函数． 在 奇函数 f(x) 中， f(x) 与 f( － x) 绝对值 ______________ ，符号 ____________ ， 即 f( － x) ＝ ______________ ； 反 之 ， 满 足 ________的函数 y＝f(x)一定是奇函数．
第二章 ·§5
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
北师大版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
第二章
函
数
第二章 函数
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
§5
简单的幂函数
第二章 ·§5
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
学习方法指导
知能自主梳理 方法警示探究
思路方法技巧
探索延拓创新
第二章 ·§5
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
(ⅱ)F1(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数， F2(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数． (ⅲ)对于复合函数 F(x)＝f[g(x)]： 若 g(x)为偶函数，f(x)为偶函数，则 F(x)为偶函数； 若 g(x)为奇函数，f(x)为奇函数，则 F(x)为奇函数； 若 g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，则 F(x)为偶函数； 若 g(x)为偶函数，f(x)为奇函数，则 F(x)为偶函数．
第二章 ·§5
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
知能自主梳理
第二章 ·§5
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
1．幂函数 如果一个函数，底数是________，指数是________，即 y ＝xα，这样的函数称为幂函数． 2．奇函数与偶函数 (1)一般地， 图像关于________对称的函数叫作奇函数． 在 奇函数 f(x) 中， f(x) 与 f( － x) 绝对值 ______________ ，符号 ____________ ， 即 f( － x) ＝ ______________ ； 反 之 ， 满 足 ________的函数 y＝f(x)一定是奇函数．
第二章 ·§5
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.幂函数的概念 2.奇函数，偶函数的概念 3.函数的奇偶性及其判断方法
作业：
P50 A组1（2）,2 , 3（1）（2） 4 B组1
2020/10/14
10
对任意的x，f(-x)=-f(x)
图像关于原点对称的函数 叫作奇函数
问题2：观察y=x2的图像，说出它有 哪些特征？
对任意的x，f(-x)=f(x)
图像关于y轴对称的函数 叫作偶函数
2020/10/14
4
示范：判断f(x)=-2x5和f(x)=x4+2的 奇偶性
方法小结
2020/10/14
5
基本训练题
简单的幂函数
2020/10/14
1
y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数，底数是自变量x,
指数是常量，即
y x
这样的函数称为幂函数.
2020/10/14
2
幂函数 的图像
2020/10/14
y=x y=x-1
y=x2 y=x3
1
y x2
图
3
问题1：观察y=x3的图像，说出它有 哪些特征？
B .减少的 D.先减后增
2020/10/14
8
拓展性训练题
4.已知y=f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数， 且在（-1，1）上是单调递减的，则不等式 f(1-x)+f(1-x2)<0的解集是（ ）
A.(-1,1) B.(0,√2) C.(0,1) D.(1C,√2)
2020/10/14
9
小结：
讨论下列函数的奇偶性：
（1） f ( x )
4 x2
x2 6x 9 3
(2)g(x) 3x3 4x 2 3x 2
(3)h(x) x 3 1 1 x 3
(4)u(x) ( x )2
2020/10/14
6
拓展性训练题
1x2,x0 1.已知 f(x)0,x0, ，试判断这个函 偶数 性 .
x2 1,x0.
2020/10f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数 ，则f(x)在(-∞,0]上是（ A ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是
减少的，则它在[-b,-a]上是（ B ）
A.增加的 C.先增后减