高考函数题型总结:零点问题总结
2025高考数学必刷题 第25讲、函数的零点问题(学生版)

第25讲函数的零点问题知识梳理1、函数零点问题的常见题型:判断函数是否存在零点或者求零点的个数;根据含参函数零点情况,求参数的值或取值范围.求解步骤:第一步:将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图像与x 轴(或直线y k =)在某区间上的交点问题;第二步:利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质,进而画出其图像;第三步:结合图像判断零点或根据零点分析参数.2、函数零点的求解与判断方法:(1)直接求零点:令f (x )=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[a ,b ]上是连续不断的曲线,且f (a )·f (b )<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.3、求函数的零点个数时,常用的方法有:一、直接根据零点存在定理判断;二、将()f x 整理变形成()()()f x g x h x =-的形式,通过()(),g x h x 两函数图象的交点确定函数的零点个数;三、结合导数,求函数的单调性,从而判断函数零点个数.4、利用导数研究零点问题:(1)确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像;(2)方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法,把问题转化为研究构造的函数的零点问题;(3)利用导数研究函数零点或方程根,通常有三种思路:①利用最值或极值研究;②利用数形结合思想研究;③构造辅助函数研究.必考题型全归纳题型一:零点问题之一个零点例1.(2024·江苏南京·南京市第十三中学校考模拟预测)已知函数()ln f x x =,()21212g x x x =-+.(1)求函数()()()3x g x f x ϕ=-的单调递减区间;(2)设()()()h x af x g x =-,a R ∈.①求证:函数()y h x =存在零点;②设0a <,若函数()y h x =的一个零点为m .问:是否存在a ,使得当()0,x m ∈时,函数()y h x =有且仅有一个零点,且总有()0h x ≥恒成立?如果存在,试确定a 的个数;如果不存在,请说明理由.例2.(2024·广东·高三校联考阶段练习)已知函数()e sin 1x f x a x =--,()()22cos sin 2e xx a g x a x x ++=-+-+,()f x 在()0,π上有且仅有一个零点0x .(1)求a 的取值范围;(2)证明:若12a <<,则()g x 在(),0π-上有且仅有一个零点1x ,且010x x +<.例3.(2024·全国·高三专题练习)已知函数()1ln e xx f x a x -=+.(1)当1a =时,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程;(2)证明:当0a ≥时,()f x 有且只有一个零点;(3)若()f x 在区间()()0,1,1,+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围.变式1.(2024·广东茂名·高三统考阶段练习)已知0a >,函数()e xf x x a =-,()ln g x x x a =-.(1)证明:函数()f x ,()g x 都恰有一个零点;(2)设函数()f x 的零点为1x ,()g x 的零点为2x ,证明12x x a =.题型二:零点问题之二个零点例4.(2024·海南海口·统考模拟预测)已知函数2()e x f x x +=.(1)求()f x 的最小值;(2)设2()()(1)(0)F x f x a x a =++>.(ⅰ)证明:()F x 存在两个零点1x ,2x ;(ⅱ)证明:()F x 的两个零点1x ,2x 满足1220x x ++<.例5.(2024·甘肃天水·高三天水市第一中学校考阶段练习)已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++.(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当0a =时,2()(1)()1g x x f x x =---,证明:函数()g x 有且仅有两个零点,两个零点互为倒数.例6.(2024·四川遂宁·高三射洪中学校考期中)已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++.(1)若函数()f x 在1x =处取得极值,求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程;(2)讨论函数()f x 的单调性;(3)当0a =时,2()(1)()1g x x f x x =---,证明:函数()g x 有且仅有两个零点,且两个零点互为倒数.变式2.(2024·全国·高三专题练习)已知函数()ln x f x e x a =--.(1)若3a =.证明函数()f x 有且仅有两个零点;(2)若函数()f x 存在两个零点12,x x ,证明:121222x x x x e e e a >++-.变式3.(2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈在其定义域内有两个不同的零点.(1)求a 的取值范围;(2)记两个零点为12,x x ,且12x x <,已知0λ>,若不等式()21ln 1ln 10λ-+->x x 恒成立,求λ的取值范围.变式4.(2024·江苏·高三专题练习)已知函数()4212f x ax x =-,,()0x ∈+∞,()()()g x f x f x '=-.(1)若0a >,求证:(ⅰ)()f x 在()f x '的单调减区间上也单调递减;(ⅱ)()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点;(2)若1a >,记()g x 的两个零点为12,x x ,求证:1244x x a <+<+.题型三:零点问题之三个零点例7.(2024·山东·山东省实验中学校联考模拟预测)已知函数()21ln ln 1ex ax f x x a -=---有三个零点.(1)求a 的取值范围;(2)设函数()f x 的三个零点由小到大依次是123,,x x x .证明:13e e x x a >.例8.(2024·广东深圳·校考二模)已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+.(1)当1a =时,求()f x 的单调区间;(2)①当102a <<时,试证明函数()f x 恰有三个零点;②记①中的三个零点分别为1x ,2x ,3x ,且123x x x <<,试证明22131(1)(1)x x a x >--.例9.(2024·广西柳州·统考三模)已知()3()1ln f x x ax x =-+.(1)若函数()f x 有三个不同的零点,求实数a 的取值范围;(2)在(1)的前提下,设三个零点分别为123,,x x x 且123x x x <<,当132x x +>时,求实数a 的取值范围.变式5.(2024·贵州遵义·遵义市南白中学校考模拟预测)已知函数()32113f x x ax bx =+++(a ,b ∈R ).(1)若0b =,且()f x 在()0+∞,内有且只有一个零点,求a 的值;(2)若20a b +=,且()f x 有三个不同零点,问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列?若存在,求出a 的值,若不存在,请说明理由.变式6.(2024·浙江·校联考二模)设e 2a <,已知函数()()()22e 22x f x x a x x =---+有3个不同零点.(1)当0a =时,求函数()f x 的最小值:(2)求实数a 的取值范围;(3)设函数()f x 的三个零点分别为1x 、2x 、3x ,且130x x ⋅<,证明:存在唯一的实数a ,使得1x 、2x 、3x 成等差数列.变式7.(2024·山东临沂·高三统考期中)已知函数ln ()xf x x=和()e x ax g x =有相同的最大值.(1)求a ,并说明函数()()()h x f x g x =-在(1,e )上有且仅有一个零点;(2)证明:存在直线y b =,其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.题型四:零点问题之max ,min 问题例10.(2024·湖北黄冈·黄冈中学校考三模)已知函数()()2sin cos ,lnπxf x x x x axg x x =++=.(1)当0a =时,求函数()f x 在[]π,π-上的极值;(2)用{}max ,m n 表示,m n 中的最大值,记函数()()(){}max ,(0)h x f x g x x =>,讨论函数()h x 在()0,∞+上的零点个数.例11.(2024·四川南充·统考三模)已知函数21()sin cos 2f x x x x ax =++,()ln πxg x x =.(1)当0a =时,求函数()f x 在[,]-ππ上的极值;(2)用max{,}m n 表示m ,n 中的最大值,记函数()max{(),()}(0)h x f x g x x =>,讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点个数.例12.(2024·四川南充·统考三模)已知函数()2e 2x ax x f x x =+-,()ln g x x =其中e 为自然对数的底数.(1)当1a =时,求函数()f x 的极值;(2)用{}max ,m n 表示m ,n 中的最大值,记函数()()(){}max ,(0)h x f x g x x =>,当0a ≥时,讨论函数()h x 在()0,∞+上的零点个数.变式8.(2024·广东·高三专题练习)已知函数()ln f x x =-,31()4g x x ax =-+,R a ∈.(1)若函数()g x 存在极值点0x ,且()()10g x g x =,其中10x x ≠,求证:1020x x +=;(2)用min{,}m n 表示m ,n 中的最小值,记函数()min{()h x f x =,()}(0)g x x >,若函数()h x 有且仅有三个不同的零点,求实数a 的取值范围.变式9.(2024·全国·高三专题练习)已知函数2()e (R)x f x ax a =-∈,()1g x x =-.(1)若直线()y g x =与曲线()y f x =相切,求a 的值;(2)用{}min ,m n 表示m ,n 中的最小值,讨论函数()min{(),()}h x f x g x =的零点个数.变式10.(2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末)已知函数()()31,1ln 4f x x axg x x x =++=--.(1)若过点()1,0可作()f x 的两条切线,求a 的值.(2)用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值,设函数()()(){}min ,(01)h x f x g x x =<<,讨论()h x 零点的个数.题型五:零点问题之同构法例13.已知函数1()()2(0)x axf x x ln ax a e -=+-->,若函数()f x 在区间(0,)+∞内存在零点,求实数a 的取值范围例14.已知2()12a f x xlnx x =++.(1)若函数()()cos sin 1g x f x x x x xlnx =+---在(0,]2π上有1个零点,求实数a 的取值范围.(2)若关于x 的方程2()12x a a xe f x x ax -=-+-有两个不同的实数解,求a 的取值范围.例15.已知函数()(1)1x f x ae ln x lna =-++-.(1)若1a =,求函数()f x 的极值;(2)若函数()f x 有且仅有两个零点,求a 的取值范围.题型六:零点问题之零点差问题例16.已知关于x 的函数()y f x =,()y g x =与()(h x kx b k =+,)b R ∈在区间D 上恒有()()()f x h x g x .(1)若2()2f x x x =+,2()2g x x x =-+,(,)D =-∞+∞,求()h x 的表达式;(2)若2()1f x x x =-+,()g x klnx =,()h x kx k =-,(0,)D =+∞,求k 的取值范围;(3)若42()2f x x x =-,2()48g x x =-,342()4()32(0||h x t t x t t t =--+<,[D m =,][n ⊂,,求证:n m-例17.已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++.(1)如3a b ==-,求()f x 的单调区间;(2)若()f x 在(,)α-∞,(2,)β单调增加,在(,2)α,(,)β+∞单调减少,证明:6βα->.例18.已知函数221()2x f x ae x ax =--,a R ∈.(1)当1a =时,求函数2()()g x f x x =+的单调区间;(2)当4401a e <<-,时,函数()f x 有两个极值点1x ,212()x x x <,证明:212x x ->.题型七:零点问题之三角函数例19.(2024·山东·山东省实验中学校考一模)已知函数()()sin ln 1f x a x x =-+.(1)若对(]1,0x ∀∈-时,()0f x ≥,求正实数a 的最大值;(2)证明:221sinln2n k k =<∑;(3)若函数()()1e sin x g x f x a x +=+-的最小值为m ,试判断方程()1eln 10x m x +--+=实数根的个数,并说明理由.例20.(2024·全国·高三专题练习)设函数()πsin2x f x x =-.(1)证明:当[]0,1x ∈时,()0f x ≤;(2)记()()ln g x f x a x =-,若()g x 有且仅有2个零点,求a 的值.例21.(2024·广东深圳·红岭中学校考模拟预测)已知1()sin (1)1f x a x x x x =-+>-+,且0为()f x 的一个极值点.(1)求实数a 的值;(2)证明:①函数()f x 在区间(1,)-+∞上存在唯一零点;②22111sin 121n k n k =-<<+∑,其中*N n ∈且2n ≥.变式11.(2024·山东济南·济南市历城第二中学校考二模)已知()sin n f x x =,()ln e x g x x m =+(n 为正整数,m R ∈).(1)当1n =时,设函数()()212h x x f x =--,()0,πx ∈,证明:()h x 有且仅有1个零点;(2)当2n =时,证明:()()()e 12x f x g x x m '+<+-.题型八:零点问题之取点技巧例22.已知函数()[2(1)]2(x x f x e e a ax e =-++为自然对数的底数,且1)a .(1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.例23.已知函数2()(1)()x f x xe a x a R =++∈.(1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.例24.已知函数211()(()22x f x x e a x =-++.(1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.变式12.已知函数1()()(1)2x x f x e a e a x =+-+.(1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围。
高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法

高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法【知识要点】一、方程的根与函数的零点(1)定义:对于函数()y f x =(x D ∈),把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =(x D ∈)的零点.函数的零点不是一个点的坐标,而是一个数,类似的有截距和极值点等.(2)函数零点的意义:函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根,亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标,即:方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.(3)零点存在性定理:如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线,并且有0)()(<⋅b f a f ,那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点,即存在(,c a b ∈)使得()0f c =,这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线,并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点,但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定,一般通过数形结合解决. 二、二分法(1)二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断,且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. (2)给定精确度ε,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下: 第一步:确定区间[,]a b ,验证0)()(<⋅b f a f ,给定精确度ε. 第二步:求区间(,)a b 的中点1x .第三步:计算1()f x :①若1()f x =0,则1x 就是函数的零点;②若1()()0f a f x <,则令1b x = (此时零点01(,)x a x ∈)③若1()()0f x f b <,则令1a x =(此时零点01(,)x x b ∈)第四步:判断是否达到精确度ε即若a b ε-<,则得到零点值a 或b ,否则重复第二至第四步.三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组: (1)a 的符号; (2)对称轴2bx a=-的位置; (3)判别式的符号; (4)根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1,其中的任意一个值都可以取;精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字,要看小数点后两位,四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有:(1) 方程法;(2)图像法;(3)方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程,再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点,求实数a 的取值范围.【点评】(1)本题如果用其它方法比较复杂,用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.(2)对于含有参数的函数要尝试因式分解,如果不好因式分解,再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是( ) A .4 B .5 C .6 D . 7方法二 图像法使用情景 一些简单的初等函数或单调性容易求出,比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性,再画图分析.【例2】(2017全国高考新课标I 理科数学)已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.(1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.(2) ①若0,a ≤由(1)知()f x 至多有一个零点.②若0a >,由(1)知当ln x a =-时,()f x 取得最小值,1(ln )1ln f a a a-=-+. (i )当1a =时,(ln )f a -=0,故()f x 只有一个零点. (ii )当(1,)a ∈+∞时,由于11ln a a-+>0,即(ln )0f a ->,故()f x 没有零点. (iii )当0,1a ∈()时,11ln 0a a-+<,即(ln )0f a -<. 422(2)(2)2220,f ae a e e ----=+-+>-+>故()f x 在(,ln )a -∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln ,()n n n n n n f n e ae a n e n n aa f x a>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在(-lna,+)有一个零点.综上所述,a 的取值范围为(0,1).【点评】(1)本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围,用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性,所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a ∈()时,要先判断(,ln )a -∞的零点的个数,此时考查了函数的零点定理,(ln )0f a -<,还必须在该区间找一个函数值为正的值,它就是422(2)(2)2220,f aea e e ----=+-+>-+>要说明(2)0f ->,这里利用了放缩法,丢掉了42ae ae --+.(3) 当0,1a ∈()时,要判断(ln ,)a -+∞上的零点个数,也是在考查函数的零点定理,还要在该区间找一个函数值为正的值,它就是03ln(1)n a>-,再放缩证明0()f n >0. (4)由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. (Ⅰ)求a ;(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅲ)若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点,求b 的取值范围.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,()f x 在()1,1-内单调增加,在()1,3内单调减少,在()3,+∞上单调增加,且当1x =或3x =时,()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-,极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点,当且仅当()()31f b f <<,因此,b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问,由于函数()f x 中没有参数,所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax=+,其中a 为实数,常数 2.718e =.(1) 若1 3x=是函数()f x的一个极值点,求a的值;(2) 当4a=-时,求函数()f x的单调区间;(3) 当a取正实数时,若存在实数m,使得关于x的方程()f x m=有三个实数根,求a的取值范围.方法三方程+图像法使用情景函数比较复杂,不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x=,重新构造方程()()g x h x=,再画函数(),()y g x y h x==的图像分析解答.【例4】函数()lg cosf x x x=-的零点有()A.4 个 B.3 个 C.2个 D.1个【点评】调性不是很方便,所以先令()lg cos0f x x x=-=,可化为lg cosx x=,再在同一直角坐标系下画出lgy x=和cosy x=的图像分析解答.(2)方程+图像是零点问题中最难的一种,大家注意理解掌握和灵活应用.【反馈检测3】设函数()()()221ln,1,02f x x m xg x x m x m=-=-+>.(1)求函数()f x的单调区间;(2)当1m≥时,讨论函数()f x与()g x图象的交点个数.422510152025oy=cosxy=lgxyx参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】(1)95a =;(2)()f x 的单调增区间是51(1)2-,15(,12+; ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-,15(,12-,5(1)++∞;(3)a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点,所以1()03f '=,即12910,935a a a -+==. 而当95a =时,229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--,可验证:13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时,222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=,解得51x =,而12x ≠±.所以当x 变化时,()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1,)22-,15(,1)22+;()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-,15(,1)2--,5(1,)++∞; 【反馈检测3答案】(1)单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ;(2)1.【反馈检测3详细解析】(1)函数()f x 的定义域为()()(0,,'x m x m f x x+∞=.当0x m <<()'0f x <,函数()f x 单调递减,当x m >时,()'0f x >函数()f x 单调递增,综上,函数()f x 的单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m .(2)令()()()()211ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->,问题等价于求函数()F x 的零点个数,()()()1'x x m F x x--=-,当1m =时,()'0F x ≤,函数()F x 为减函数,F x有唯一零点,即两函数图象总有一个交点.综上,函数()。
函数零点的题型归纳与解题技巧

函数零点的题型归纳与解题技巧函数零点是指函数取值为零的点,即f(x)=0的解。
在高中数学、大学数学以及各类数学竞赛中,函数零点常见的题型有很多种,这里我们将从题型归纳与解题技巧两方面进行探讨。
一、题型归纳1. 求解一元函数零点:例如求解f(x) = x^3-2x^2-x+2=0的零点。
2. 求解二元函数零点:例如求解f(x,y) = x^2+y^2-1=0的零点。
3. 求解多项式方程零点:例如求解f(x) = x^3-x^2+2x-2=0的零点。
4. 求解参数方程零点:例如求解x(t) = t^2-t+2,y(t) =t^3-t^2+2t-2,求解当f(x,y)=0时对应的参数t。
5. 利用零点求解函数的性质:例如已知f(x)的零点及其性质,求解f'(x)或f''(x)的零点。
6. 证明存在或不存在零点:例如证明函数f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点。
二、解题技巧1. 分类讨论:对于不同的函数类型,采用不同的方法求解零点。
例如线性函数、二次函数、三次函数、对数函数等,都有相应的求解方法。
2. 利用代数方法:通过代数运算,将原方程转化为容易求解的方程。
例如将原方程化为因式分解的形式,利用韦达定理等。
3. 利用几何方法:将方程与几何图形进行关联,求解图形的相交点即为零点。
例如将方程与直线、圆、椭圆、抛物线等几何图形关联起来。
4. 利用数学分析方法:利用微积分知识,如导数、二分法、牛顿法等,求解零点。
例如,求解f'(x)=0的零点,可以找到函数的拐点;二分法则多用于求解逼近零点。
5. 利用数值方法:通过计算机进行数值逼近求解零点。
例如求解非线性方程组零点时,可以采用牛顿法、拟牛顿法等。
6. 利用泰勒展开:对于非常复杂的函数,可以考虑将其在某一点附近进行泰勒展开,将高次函数近似为低次函数(如线性、二次),再求解零点。
7. 利用解析几何方法:通过解析几何知识,求解平面或空间上的几何问题。
高考数学函数图像与零点常考题型汇总

真命题是( )
A. q1 , q3 B. q2 , q3
C. q1 , q4
D. q2 , q4
15.(2017 全国Ⅲ)已知函数 f ( x) x2 2x a(ex1 e ) x1 有唯一零点,则
a ( )
A. 1 2
B. 1
C. 1
D. 1
3
2
题型二、不会画,选择题
16.(2017
全国Ⅲ)函数
1
高考数学函数图像与零点常考题型汇总
点个数为__________. 5.已知函数 y | x | 的图象与函数 y kx 的图象恰有两个交点,则实数 k
x 的取值范围是_____________. 6.函数 y e|ln x| | x | 的图象大致是
7.已知定义在区间 ,上的函数 y f (x) 的图像如图所示,则 y f ( x) 的图
________________.
12.设函数 f (x) | x 1| | x a |的图象关于直线 x 1对称,则 a 的值为
()
A. 3
B. 1
C. 1
D. 1
3
高考数学函数图像与零点常考题型汇总
13.已 知 函 数 f (x) 是 定 义 在 (,) 上 的 奇 偶 性 , 且 当 x 0 时, f (x) x a x a a ,若 x R , f (x 1) f (x) ,则实数 a 的取
(2)若 f (x) 有两个零点,则 a 的取值范围为_____________.
8. (2014 湖南)已知函数 f (x) x ex ( x )与 g(x) x ln(x a) 的图象
在存在关于 y 轴对称点,则 a 的取值范围是
7
高考数学函数图像与零点常考题型汇总
高考数学《函数零点的个数问题》知识点讲解与分析

高考数学《函数零点的个数问题》知识点讲解与分析一、知识点讲解与分析:1、零点的定义:一般地,对于函数()()y f x x D =∈,我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理:设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,且()()0f a f b <,那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点,即至少有一点()0,x a b ∈,使得()00f x =。
(1)()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提(2)零点存在性定理中的几个“不一定”(假设()f x 连续)① 若()()0f a f b <,则()f x 的零点不一定只有一个,可以有多个② 若()()0f a f b >,那么()f x 在[],a b 不一定有零点③ 若()f x 在[],a b 有零点,则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续,则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点,方程的根,两图像交点之间的联系设函数为()y f x =,则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根,若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =,即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标,其范围和个数可从图像中得到。
由此看来,函数的零点,方程的根,两图像的交点这三者各有特点,且能相互转化,在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
(详见方法技巧)二、方法与技巧:1、零点存在性定理的应用:若一个方程有解但无法直接求出时,可考虑将方程一边构造为一个函数,从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如:对于方程ln 0x x +=,无法直接求出根,构造函数()ln f x x x =+,由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭中 2、函数的零点,方程的根,两函数的交点在零点问题中的作用(1)函数的零点:工具:零点存在性定理作用:通过代入特殊值精确计算,将零点圈定在一个较小的范围内。
高中数学-函数零点问题及例题解析

高中数学-函数零点问题及例题解析高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点:(变号零点与不变号零点)1) 对于函数 y=f(x),将方程 f(x)=0 的实数根称为函数y=f(x) 的零点。
2) 方程 f(x)=0 有实根⇔函数 y=f(x) 的图像与 x 轴有交点⇔函数 y=f(x) 有零点。
若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的图像是连续的曲线,则 f(a)f(b)<0 是 f(x) 在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法:对于在区间 [a,b] 上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 y=f(x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。
二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点,对此部分的做题方法总结如下:一)函数零点的存在性定理指出:“如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且 f(a)f(b)<0,那么,函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内有零点,即存在 c∈(a,b),使得f(c)=0,这个 c 也是方程 f(x)=0 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点(或方程在某个区间上是否有根)时,一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件。
例如,函数 f(x)=ln(x+1)-2 的零点所在的大致区间是 ( )。
分析:显然函数 f(x)=ln(x+1)-2 在区间 [1,2] 上是连续函数,且 f(1)0,所以由根的存在性定理可知,函数 f(x)=ln(x+1)-2 的零点所在的大致区间是 (1,2),选 B。
二)求解有关函数零点的个数(或方程根的个数)问题。
函数零点的存在性定理,它仅能判断零点的存在性,不能求出零点的个数。
对函数零点的个数问题,我们可以通过适当构造函数,利用函数的图象和性质进行求解。
高中数学-函数的零点问题及例题分析

高中数学-函数的零点问题及例题分析1. 引言函数是数学中一个非常重要的概念,它在数学和实际问题中发挥着重要的作用。
函数的零点问题是函数中一个常见且重要的问题,它与方程的解有着紧密的联系。
本文将介绍函数的零点问题,并通过一些例题分析来加深理解。
2. 函数的定义与性质回顾函数是一个将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
函数通常用符号表示,如$f(x)$,其中$x$是自变量,$f(x)$是对应的函数值。
函数的零点指的是函数取零值的点,即满足$f(x)=0$的$x$值。
函数的零点问题与方程的解问题紧密相关。
对于一元函数,函数的零点就是方程$f(x)=0$的解。
因此,解方程可以转化为求函数的零点。
函数的零点可以通过图像、图表或数值计算等方法来确定。
下面将通过几个例题来进一步分析。
3. 例题分析3.1 例题一已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$,求函数$f(x)$的零点。
解析:要求函数$f(x)$的零点,即求解方程$2x^2-3x+1=0$。
我们可以使用配方法、求根公式或因式分解等方法来解这个二次方程,最终可以得到$x=1$和$x=\frac{1}{2}$两个解。
3.2 例题二已知函数$g(x)=\sqrt{x+3}-2$,求函数$g(x)$的零点。
解析:要求函数$g(x)$的零点,即求解方程$\sqrt{x+3}-2=0$。
为了消除平方根,我们可以将方程两边平方,得到$x+3=4$,然后解得$x=1$。
因此,函数$g(x)$的零点为$x=1$。
3.3 例题三已知函数$h(x)=\frac{1}{x-2}$,求函数$h(x)$的零点。
解析:函数$h(x)$在$x=2$处不存在定义,因此不存在零点。
4. 总结本文介绍了函数的零点问题及其与方程的解之间的联系。
函数的零点是函数取零值的点,可以通过解相应的方程来求得。
通过例题分析,我们进一步了解了求函数零点的具体方法。
在实际问题中,函数的零点问题有时对于确定某个变量的取值非常重要,因此对于函数的零点问题的理解和掌握是非常有益的。
高考常考题- 函数的零点问题(含解析)

函数的零点问题一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程,进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题,并作出函数图像。
作图与根分布综合的题目,其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图,在作图的过程中还要注意渐近线的细节,从而保证图像的准确。
例1、(2019苏州三市、苏北四市二调)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +4)=f (x ),且在区间[2,4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为 例2、(2017苏锡常镇调研)若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧12x-1,x <1,ln xx 2,x ≥1,)则函数y =|f (x )|-18的零点个数为________.例3、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π,的零点个数为________. 题型二、函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数,确定参数的取值范围,常用的方法和思路:(1) 直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2) 分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决,解法2就是此法.它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理,这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题.(3) 数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.例4、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点,则实数k 的取值范围是( ) A .(1,)+∞B .[1,)+∞C .(,1)-∞D .(,1]-∞例5、(2020·全国高三专题练习(文))函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩,若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是 ( ) A .(),4-∞B .(],4-∞C .()2,4-D .(]2,4-例6、【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点,则k 的取值范围是 A .1(,)(22,)2-∞-+∞ B .1(,)(0,22)2-∞-C .(,0)(0,22)-∞ D .(,0)(22,)-∞+∞例7、【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ,函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩.若函数()y f x ax b =--恰有3个零点,则A .a <–1,b <0B .a <–1,b >0C .a >–1,b <0D .a >–1,b >0例8、(2020·浙江学军中学高三3月月考)已知函数2(4),53()(2),3x x f x f x x ⎧+-≤<-=⎨-≥-⎩,若函数()()()1g x f x k x =-+有9个零点,则实数k 的取值范围是( )A .1111,,4664⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .1111,,3553⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .11,64⎛⎫⎪⎝⎭D .11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭例9、(2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考)已知函数()()2,22,2,x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩()2g x kx =+,若函数()()()F x f x g x =-在[)0,+∞上只有两个零点,则实数k 的值不可能为A .23- B .12-C .34-D .1-二、达标训练1、(2019·山东师范大学附中高三月考)函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为( ) A .()1,0-B .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D .()1,22、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,,,,()()g x f x x a =++.若g (x )存在2个零点,则a 的取值范围是A .[–1,0)B .[0,+∞)C .[–1,+∞)D .[1,+∞)3、(2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学)已知,a b ∈R ,函数(),0(),0x x a e ax x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩,若函数()y f x ax b =--恰有3个零点,则( ) A .1,0a b >>B .1,0a b ><C .1,0a b <>D .1,0a b <<4、(2020届山东实验中学高三上期中)设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=,且当0x ≤时,()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭,且0x 为函数()x g x e a=-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点,则实数a 的取值可能是( ) A .12BC .2e D5、(2020届山东师范大学附中高三月考)已知函数(01)()2(1)x f x x x⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩,若方程()f x x a =-+有三个不同的实根,则实数a 的取值范围是________.6、【2018年高考浙江】已知λ∈R ,函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩,当λ=2时,不等式f (x )<0的解集是___________.若函数f (x )恰有2个零点,则λ的取值范围是___________.7、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知函数()222,01,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩,若存在实数k ,使得函数()y f x k =-有6个零点,则实数a 的取值范围为__________.一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程,进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题,并作出函数图像。
专题02 函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题(学生版) -25年高考数学压轴大题必杀技系列导数

专题2 函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题是近年高考的热点及难点,特别是隐零点及零点赋值经常成为导数压轴的法宝.(一) 确定函数零点个数1.研究函数零点的技巧用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断;另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决.对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.2. 判断函数零点个数的常用方法(1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图.函数零点的个数问题即是函数图象与x 轴交点的个数问题.(2)分离出参数,转化为a =g (x ),根据导数的知识求出函数g(x )在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图.函数零点的个数问题即是直线y =a 与函数y =g (x )图象交点的个数问题.只需要用a 与函数g (x )的极值和最值进行比较即可.3. 处理函数y =f (x )与y =g (x )图像的交点问题的常用方法(1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况;(2)将函数交点问题转化为方程f (x )=g (x )根的个数问题,也通过构造函数y =f (x )-g (x ),把交点个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况.4.找点时若函数有多项有时可以通过恒等变形或放缩进行并项,有时有界函数可以放缩成常数,构造函数时合理分离参数,避开分母为0的情况.【例1】(2024届河南省湘豫名校联考高三下学期考前保温卷数)已知函数()()20,ex ax f x a a =¹ÎR .(1)求()f x 的极大值;(2)若1a =,求()()cos g x f x x =-在区间π,2024π2éù-êúëû上的零点个数.【解析】(1)由题易得,函数()2ex ax f x =的定义域为R ,又()()()22222e e 2e e e x xx xxax x ax ax ax ax f x ---===¢,所以,当0a >时,()(),f x f x ¢随x 的变化情况如下表:x(),0¥-0()0,22()2,¥+()f x ¢-0+0-()f x ]极小值Z极大值]由上表可知,()f x 的单调递增区间为()0,2,单调递减区间为()(),0,2,¥¥-+.所以()f x 的极大值为()()2420e af a =>.当a<0时,()(),f x f x ¢随x 的变化情况如下表:x(),0¥-0()0,22()2,¥+()f x ¢+0-0+()f x Z 极大值]极小值Z由上表可知,()f x 的单调递增区间为()(),0,2,¥¥-+,单调递减区间为()0,2.所以()f x 的极大值为()()000f a =<.综上所述,当0a >时,()f x 的极大值为24ea;当a<0时,()f x 的极大值为0.(2)方法一:当1a =时,()2e x xf x =,所以函数()()2cos cos e x xg x f x x x =-=-.由()0g x =,得2cos e xx x =.所以要求()g x 在区间π,2024π2éù-êúëû上的零点的个数,只需求()y f x =的图象与()cos h x x =的图象在区间π,2024π2éù-êúëû上的交点个数即可.由(1)知,当1a =时,()y f x =在()(),0,2,¥¥-+上单调递减,在()0,2上单调递增,所以()y f x =在区间π,02éù-êúëû上单调递减.又()cos h x x =在区间π,02éù-êúëû上单调递增,且()()()()()1e 1cos 11,001cos00f h f h -=>>-=-=<==,所以()2e x xf x =与()cos h x x =的图象在区间π,02éù-êúëû上只有一个交点,所以()g x 在区间π,02éù-êúëû上有且只有1个零点.因为当10a x =>,时,()20ex x f x =>,()f x 在区间()02,上单调递增,在区间()2,¥+上单调递减,所以()2e x xf x =在区间()0,¥+上有极大值()2421e f =<,即当1,0a x =>时,恒有()01f x <<.又当0x >时,()cos h x x =的值域为[]1,1-,且其最小正周期为2πT =,现考查在其一个周期(]0,2π上的情况,()2ex x f x =在区间(]0,2上单调递增,()cos h x x =在区间(]0,2上单调递减,且()()0001f h =<=,()()202cos2f h >>=,所以()cos h x x =与()2ex x f x =的图象在区间(]0,2上只有一个交点,即()g x 在区间(]0,2上有且只有1个零点.因为在区间3π2,2æùçúèû上,()()0,cos 0f x h x x >=£,所以()2e x xf x =与()cos h x x =的图象在区间3π2,2æùçúèû上无交点,即()g x 在区间3π2,2æùçúèû上无零点.在区间3π,2π2æùçúèû上,()2ex x f x =单调递减,()cos h x x =单调递增,且()()3π3π002π1cos2π2π22f h f h æöæö>><<==ç÷ç÷èøèø,,所以()cos h x x =与()2ex x f x =的图象在区间3π,2π2æùçúèû上只有一个交点,即()g x 在区间3π,2π2æùçúèû上有且只有1个零点.所以()g x 在一个周期(]0,2π上有且只有2个零点.同理可知,在区间(]()*2π,2π2πk k k +ÎN 上,()01f x <<且()2e xx f x =单调递减,()cos h x x =在区间(]2π,2ππk k +上单调递减,在区间(]2ππ,2π2πk k ++上单调递增,且()()()02π1cos 2π2πf k k h k <<==,()()()2ππ01cos 2ππ2ππf k k h k +>>-=+=+()()()02ππ1cos 2ππ2ππf k k h k <+<=+=+,所以()cos h x x =与()2ex x f x =的图象在区间(]2π,2ππk k +和2ππ,2π2π]k k ++(上各有一个交点,即()g x 在(]2π,2024π上的每一个区间(]()*2π,2π2πk k k +ÎN 上都有且只有2个零点.所以()g x 在0,2024π](上共有2024π220242π´=个零点.综上可知,()g x 在区间π,2024π2éù-êúëû上共有202412025+=个零点.方法二:当1a =时,()2e x xf x =,所以函数()()2cos cos ex x g x f x x x =-=-.当π,02éùÎ-êúëûx 时,()22sin 0e x x x g x x -=¢+£,所以()g x 在区间π,02éù-êúëû上单调递减.又()π0,002g g æö-><ç÷èø,所以存在唯一零点0π,02x éùÎ-êúëû,使得()00g x =.所以()g x 在区间π,02éù-êúëû上有且仅有一个零点.当π3π2π,2π,22x k k k æùÎ++ÎçúèûN 时,20cos 0ex x x ><,,所以()0g x >.所以()g x 在π3π2π,2π,22k k k æù++ÎçúèûN 上无零点.当π0,2x æùÎçèû时,()22sin 0exx x g x x -=¢+>,所以()g x 在区间π0,2æöç÷èø上单调递增.又()π00,g 02g æö<>ç÷èø,所以存在唯一零点.当*π2π,2π,2x k k k æùÎ+ÎçúèûN 时,()22sin exx x g x x ¢-=+,设()22sin e x x x x x j -=+,则()242cos 0exx x x x j -=+¢+>所以()g x ¢在*π2π,2π,2k k k æù+ÎçúèûN 上单调递增.又()π2π0,2π+02g k g k æö¢<>ç÷èø¢,所以存在*1π2π,2π,2x k k k æùÎ+ÎçúèûN ,使得()10g x ¢=.即当()12π,x k x Î时,()()10,g x g x <¢单调递减;当1π,2π2x x k æùÎ+çúèû时,()()10,g x g x >¢单调递增.又()π2π0,2π02g k g k æö<+>ç÷èø,所以()g x 在区间*π2π,2π,2k k k æù+ÎçúèûN 上有且仅有一个零点所以()g x 在区间π2π,2π,2k k k æù+ÎçúèûN 上有且仅有一个零点.当3π2π,2π2π,2x k k k æùÎ++ÎçúèûN 时,()22sin exx x g x x ¢-=+,设()22sin e x x x x x j -=+,则()242cos 0e xx x x x j -=+¢+>所以()g x ¢在3π2π,2π2π,2k k k æù++ÎçúèûN 上单调递增.又()3π2π0,2π2π02g k g k æö+<+<ç÷¢¢èø,所以()g x 在区间3π2π,2π2π,2k k k æù++ÎçúèûN 上单调递减:又()3π2π0,2π2π02g k g k æö+>+<ç÷èø,所以存在唯一23π2π,2π2π2x k k æöÎ++ç÷èø,使得()20g x =.所以()g x 在区间3π2π,2π2π,2k k k æù++ÎçúèûN 上有且仅有一个零点.所以()g x 在区间(]2π,2π2π,k k k +ÎN 上有两个零点.所以()g x 在(]0,2024π上共有2024π220242π´=个零点.综上所述,()g x 在区间π,2024π2éù-êúëû上共有202412025+=个零点.(二) 根据函数零点个数确定参数取值范围根据函数零点个数确定参数范围的两种方法1.直接法:根据零点个数求参数范围,通常先确定函数的单调性,根据单调性写出极值及相关端点值的范围,然后根据极值及端点值的正负建立不等式或不等式组求参数取值范围;2.分离参数法:首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围,分离参数法适用条件:(1)参数能够分类出来;(2)分离以后构造的新函数,性质比较容易确定.【例2】(2024届天津市民族中学高三下学期5月模拟)已知函数()()ln 2f x x =+(1)求曲线()y f x =在=1x -处的切线方程;(2)求证:e 1x x ³+;(3)函数()()()2h x f x a x =-+有且只有两个零点,求a 的取值范围.【解析】(1)因为()12f x x ¢=+,所以曲线()y f x =在=1x -处的切线斜率为()11112f -==-+¢,又()()1ln 120f -=-+=,所以切线方程为1y x =+.(2)记()e 1x g x x =--,则()e 1xg x ¢=-,当0x <时,()0g x ¢<,函数()g x 在(),0¥-上单调递减;当0x >时,()0g x ¢>,函数()g x 在()0,¥+上单调递增.所以当0x =时,()g x 取得最小值()00e 10g =-=,所以()e 10xg x x =--³,即e 1x x ³+.(3)()()()()()2ln 22,2h x f x a x x a x x =-+=+-+>-,由题知,()()ln 220x a x +-+=有且只有两个不相等实数根,即()ln 22x a x +=+有且只有两个不相等实数根,令()()ln 2,22x m x x x +=>-+,则()()()21ln 22x m x x -+=+¢,当2e 2x -<<-时,()0m x ¢>,()m x 在()2,e 2--上单调递增;当e 2x >-时,()0m x ¢<,()m x 在()e 2,¥-+上单调递减.当x 趋近于2-时,()m x 趋近于-¥,当x 趋近于+¥时,()m x 趋近于0,又()1e 2ef -=,所以可得()m x 的图象如图:由图可知,当10ea <<时,函数()m x 的图象与直线y a =有两个交点,所以,a 的取值范围为10,e æöç÷èø.(三)零点存在性赋值理论及应用1.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面:讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性); 求含参函数的极值或最值; 证明一类超越不等式; 求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a ) 的符号,探求赋值点 m (假定 m < a )使得 f (m ) 与 f (a ) 异号,则在 (m ,a ) 上存在零点.2.赋值点遴选要领:遴选赋值点须做到三个确保:确保参数能取到它的一切值; 确保赋值点 x 0 落在规定区间内;确保运算可行三个优先:(1)优先常数赋值点;(2)优先借助已有极值求赋值点;(3)优先简单运算.3.有时赋值点无法确定,可以先对解析式进行放缩,再根据不等式的解确定赋值点(见例2解法),放缩法的难度在于“度”的掌握,难度比较大.【例3】(2024届山东省烟台招远市高考三模)已知函数()()e x f x x a a =+ÎR .(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当3a =时,若方程()()()1f x x xm f x x f x -+=+-有三个不等的实根,求实数m 的取值范围.【解析】(1)求导知()1e xf x a =¢+.当0a ³时,由()1e 10xf x a ¢=+³>可知,()f x 在(),¥¥-+上单调递增;当a<0时,对()ln x a <--有()()ln 1e 1e0a xf x a a --=+>+×=¢,对()ln x a >--有()()ln 1e 1e 0a x f x a a --=+<+×=¢,所以()f x 在()(,ln a ¥ù---û上单调递增,在())ln ,a ¥é--+ë上单调递减.综上,当0a ³时,()f x 在(),¥¥-+上单调递增;当a<0时,()f x 在()(,ln a ¥ù---û上单调递增,在())ln ,a ¥é--+ë上单调递减.(2)当3a =时,()3e xf x x =+,故原方程可化为3e 13e 3e xx xx m x +=++.而()23e 13e 3e 3e 3e 3e 3e x x x x x x xx x x x x x x +-=-=+++,所以原方程又等价于()23e 3e xx x m x =+.由于2x 和()3e3e xxx +不能同时为零,故原方程又等价于()23e 3e x x xm x =×+.即()()2e 3e 90x x x m x m --×-×-=.设()e xg x x -=×,则()()1e xg x x -=-×¢,从而对1x <有()0g x ¢>,对1x >有()0g x ¢<.故()g x 在(],1-¥上递增,在[)1,+¥上递减,这就得到()()1g x g £,且不等号两边相等当且仅当1x =.然后考虑关于x 的方程()g x t =:①若0t £,由于当1x >时有()e 0xg x x t -=×>³,而()g x 在(],1-¥上递增,故方程()g x t =至多有一个解;而()110eg t =>³,()0e e t g t t t t --=×£×=,所以方程()g x t =恰有一个解;②若10e t <<,由于()g x 在(],1-¥上递增,在[)1,+¥上递减,故方程()g x t =至多有两个解;而由()()122222e2e e 2e 2e 12e 22x x x x xxx x g x x g g -------æö=×=×××=××£××=×ç÷èø有1222ln 1ln 222ln 2e2e t t g t t -×-æö£×<×=ç÷èø,再结合()00g t =<,()11e g t =>,()22ln 2ln 2e ln e 1t>>=,即知方程()g x t =恰有两个解,且这两个解分别属于()0,1和21,2ln t æöç÷èø;③若1t e=,则()11e t g ==.由于()()1g x g £,且不等号两边相等当且仅当1x =,故方程()g x t =恰有一解1x =.④若1e t >,则()()11eg x g t £=<,故方程()g x t =无解.由刚刚讨论的()g x t =的解的数量情况可知,方程()()2e 3e 90x x x m x m --×-×-=存在三个不同的实根,当且仅当关于t 的二次方程2390t mt m --=有两个不同的根12,t t ,且110,e t æöÎç÷èø,21,e t ¥æùÎ-çúèû.一方面,若关于t 的二次方程2390t mt m --=有两个不同的根12,t t ,且110,e t æöÎç÷èø,21,e t ¥æùÎ-çúèû,则首先有()20Δ93694m m m m <=+=+,且1212119e e m t t t -=£<.故()(),40,m ¥¥Î--È+, 219e m >-,所以0m >.而方程2390t mt m--=,两解符号相反,故只能1t =,2t =23e m >这就得到203e m ->³,所以22243e m m m æö->+ç÷èø,解得219e 3e m <+.故我们得到2109e 3em <<+;另一方面,当2109e 3e m <<+时,关于t 的二次方程2390t mt m --=有两个不同的根1t =,2t 22116e 13319e 3e 9e 3e 2et +×+×++===,2t 综上,实数m 的取值范围是210,9e 3e æöç÷+èø.(四)隐零点问题1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类:一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”;另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.2.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为0x ,再利用导函数的单调性确定0x 所在区间,最后根据()00f x ¢=,研究()0f x ,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若)(x f 中含有参数a ,关系式0)('0=x f 是关于a x ,0的关系式,确定0x 的合适范围,往往和a 的范围有关.【例4】(2024届四川省成都市实验外国语学校教育集团高三下学期联考)已知函数()e xf x =,()ln g x x =.(1)若函数()()111x h x ag x x +=---,a ÎR ,讨论函数()h x 的单调性;(2)证明:()()()()1212224x f x f x g x -->-.(参考数据:45e 2.23»,12e 1.65»)【解析】(1)由题意()()1ln 1,11x h x a x x x +=-->-,所以()()22,11ax a h x x x -+¢=>-,当0a =时,()0h x ¢>,所以()h x 在()1,+¥上为增函数;当0a ¹时,令()0h x ¢=得21x a=-,所以若0a >时,211a-<,所以()0h x ¢>,所以()h x 在()1,+¥上为增函数,若0<a 时,211a ->,且211x a<<-时,()0h x ¢>,21x a >-时,()0h x ¢<,所以()h x 在21,1a æö-ç÷èø上为增函数,在21,a æö-+¥ç÷èø上为减函数,综上:当0a ³时,()h x 在()1,+¥上为增函数,当0<a 时,()h x 在21,1a æö-ç÷èø上为增函数,在21,a æö-+¥ç÷èø上为减函数;(2)()()()()1212224x f x f x g x -->-等价于()2121e e 2ln 204x x x x ---+>,设()()2121e e 2ln 24x x F x x x =---+,则()()()222e 2e 12e e 2e e x x x x x x x x x x F x x x x x-+--¢=--==,因为0x >,所以e 10x x +>,设()e 2x x x j =-,则()()10e xx x j ¢=+>,则()x j 在()0,¥+上单调递增,而()4544e 20,1e 2055j j æö=-<=->ç÷èø,所以存在04,15x æöÎç÷èø,使()00x j =,即00e 2xx =,所以00ln ln 2x x +=,即00ln ln 2x x =-,当00x x <<时,()0F x ¢<,则()F x 在()00,x 上单调递减,当0x x >时,()0F x ¢>,则()F x 在()0,x +¥上单调递增,所以()()00200min 121e e 2ln 24x x F x x x =---+()000220001421212ln 22222ln 224x x x x x x =---++=-+-+,设()21422ln 22,15m t t t t æö=-+-+<<ç÷èø,则()3220m t t ¢=+>,则()m t 在4,15æöç÷èø上单调递增,42581632ln 222ln 20516580m æö=-+-+=->ç÷èø,则()min 0F x >,则不等式()2121e e 2ln 204x x x x ---+>恒成立,即不等式()()()()1212224x f x f x g x -->-成立.【例1】(2024届山西省晋中市平遥县高考冲刺调研)已知函数()πln sin sin 10f x x x =++.(1)求函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值;(2)判断函数()f x 的零点个数,并证明.【解析】(1)因为()πln sin sin 10f x x x =++,所以1()cos f x x x ¢=+,令()1()cos g x f x x x ==+¢,()21sin g x x x-¢=-,当[]1,e Îx 时,()21sin 0g x x x =--<¢,所以()g x 在[]1,e 上单调递减,且()11cos10g =+>,()112π11e cos e<cos 0e e 3e 2g =++=-<,所以由零点存在定理可知,在区间[1,e]存在唯一的a ,使()()0g f a a =¢=又当()1,x a Î时,()()0g x f x =¢>;当(),e x a Î时,()()0g x f x =¢<;所以()f x 在()1,x a Î上单调递增,在(),e x a Î上单调递减,又因为()ππ1ln1sin1sinsin1sin 1010f =++=+,()()ππe ln e sin e sin1sin e sin 11010f f =++=++>,所以函数()f x 在区间[1,e]上的最小值为()π1sin1sin10f =+.(2)函数()f x 在()0,¥+上有且仅有一个零点,证明如下:函数()πln sin sin 10f x x x =++,()0,x ¥Î+,则1()cos f x x x¢=+,若01x <£,1()cos 0f x x x+¢=>,所以()f x 在区间(]0,1上单调递增,又()π1sin1sin010f =+>,11πππ1sin sin 1sin sin 0e e 1066f æö=-++<-++=ç÷èø,结合零点存在定理可知,()f x 在区间(]0,1有且仅有一个零点,若1πx <£,则ln 0,sin 0x x >³,πsin010>,则()0f x >,若πx >,因为ln ln π1sin x x >>³-,所以()0f x >,综上,函数()f x 在()0,¥+有且仅有一个零点.【例2】(2024届江西省九江市高三三模)已知函数()e e (ax axf x a -=+ÎR ,且0)a ¹.(1)讨论()f x 的单调性;(2)若方程()1f x x x -=+有三个不同的实数解,求a 的取值范围.【解析】(1)解法一:()()e eax axf x a -=-¢令()()e e ax axg x a -=-,则()()2e e0ax axg x a -+¢=>()g x \在R 上单调递增.又()00,g =\当0x <时,()0g x <,即()0f x ¢<;当0x >时,()0g x >,即()0f x ¢>()f x \在(),0¥-上单调递减,在()0,¥+上单调递增.解法二:()()()()e 1e 1e e e ax ax ax ax axa f x a -+-=-=¢①当0a >时,由()0f x ¢<得0x <,由()0f x ¢>得0x >()f x \在(),0¥-上单调递减,在()0,¥+上单调递增②当0a <时,同理可得()f x 在(),0¥-上单调递减,在()0,¥+上单调递增.综上,当0a ¹时,()f x 在(),0¥-上单调递减,在()0,¥+上单调递增.(2)解法一:由()1f x x x -=+,得1e e ax ax x x --+=+,易得0x >令()e e x xh x -=+,则()()ln h ax h x =又()e e x xh x -=+Q 为偶函数,()()ln h ax h x \=由(1)知()h x 在()0,¥+上单调递增,ln ax x \=,即ln xa x=有三个不同的实数解.令()()2ln 1ln ,x x m x m x x x -=¢=,由()0m x ¢>,得0e;x <<由()0m x ¢<,得e x >,()m x \在(]0,e 上单调递增,在()e,¥+上单调递减,且()()110,e em m ==()y m x \=在(]0,1上单调递减,在(]1,e 上单调递增,在()e,¥+上单调递减当0x →时,()m x ¥→+;当x →+¥时,()0m x →,故10ea <<解得10e a -<<或10e a <<,故a 的取值范围是11,00,e e æöæö-Èç÷ç÷èøèø解法二:由()1f x x x -=+得1e e ax ax x x --+=+,易得0x >令()1h x x x -=+,则()h x 在()0,1上单调递减,在()1,¥+上单调递增.由()()e axh h x =,得e ax x =或1e ax x -=两边同时取以e 为底的对数,得ln ax x =或ln ax x =-,ln ax x \=,即ln xa x=有三个不同的实数解下同解法一.【例3】(2024届重庆市第一中学校高三下学期模拟预测)已知函数31()(ln 1)(0)f x a x a x =++>.(1)求证:1ln 0x x +>;(2)若12,x x 是()f x 的两个相异零点,求证:211x x -<【解析】(1)令()1ln ,(0,)g x x x x =+Î+¥,则()1ln g x x ¢=+.令()0g x ¢>,得1ex >;令()0g x ¢<,得10e x <<.所以()g x 在10,e æöç÷èø上单调递减,在1,e ¥æö+ç÷èø上单调递增.所以min 11()10e e g x g æö==->ç÷èø,所以1ln 0x x +>.(2)易知函数()f x 的定义域是(0,)+¥.由()(ln f x a x =+,可得()a f x x ¢=.令()0f x ¢>得x >()0f x ¢<得0<所以()0f x ¢>在æççè上单调递减,在¥ö+÷÷ø上单调递增,所以min 3()ln 333a a f x f a æö==++ç÷èø.①当3ln 3033a aa æö++³ç÷èø,即403e a <£时,()f x 至多有1个零点,故不满足题意.②当3ln 3033a a a æö++<ç÷èø,即43e a >1<<.因为()f x 在¥ö+÷÷ø上单调递增,且(1)10f a =+>.所以(1)0f f ×<,所以()f x 在¥ö+÷÷ø上有且只有1个零点,不妨记为1x 11x <<.由(1)知ln 1x x>-,所以33221(1)0f a a a a a æö=+>+=>ç÷ç÷èø.因为()f x 在æççè0f f <×<,所以()f x 在æççè上有且只有1个零点,记为2x 2x <<211x x <<<<2110x x -<-<.同理,若记12,x x öÎÎ÷÷ø则有2101x x <-<综上所述,211x x -<.【例4】(2022高考全国卷乙理)已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++(1)当1a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;(2)若()f x 在区间()()1,0,0,-+¥各恰有一个零点,求a 取值范围.的【解析】(1)当1a =时,()ln(1),(0)0e xxf x x f =++=,所以切点为(0,0),11(),(0)21ex xf x f x -¢¢=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =.(2)()ln(1)e x ax f x x =++,()2e 11(1)()1e (1)ex x xa x a x f x x x +--¢=+=++,设()2()e 1xg x a x=+-1°若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x Î-=+->,即()0f x ¢>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意,2°若10a -……,当,()0x Î+¥时,()e 20xg x ax ¢=->所以()g x 在(0,)+¥上单调递增,所以()(0)10g x g a >=+…,即()0f x ¢>所以()f x 在(0,)+¥上单调递增,()(0)0f x f >=,故()f x 在(0,)+¥上没有零点,不合题意.3°若1a <-,(1)当,()0x Î+¥,则()e 20x g x ax ¢=->,所以()g x 在(0,)+¥上单调递增,(0)10,(1)e 0g a g =+<=>,所以存在(0,1)m Î,使得()0g m =,即()0¢=f m .当(0,),()0,()x m f x f x ¢Î<单调递减,当(,),()0,()x m f x f x ¢Î+¥>单调递增,所以当(0,),()(0)0x m f x f Î<=,当,()x f x →+¥→+¥,所以()f x 在(,)m +¥上有唯一零点,又()f x 在(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+¥上有唯一零点,(2)当()2(1,0),()e 1xx g x a xÎ-=+-,()e2xg x ax ¢=-,设()()h x g x ¢=,则()e 20x h x a ¢=->,所以()g x ¢在(1,0)-上单调递增,1(1)20,(0)10eg a g ¢¢-=+<=>,所以存(1,0)n Î-,使得()0g n ¢=当(1,),()0,()x n g x g x ¢Î-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x ¢Î>单调递增,()(0)10g x g a <=+<,在又1(1)0eg -=>,所以存在(1,)t n Î-,使得()0g t =,即()0f t ¢=当(1,),()x t f x Î-单调递增,当(,0),()x t f x Î单调递减有1,()x f x →-→-¥而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x Î>,所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点,即()f x 在(1,0)-上有唯一零点,所以1a <-,符合题意,综上得()f x 在区间(1,0),(0,)-+¥各恰有一个零点,a 的取值范围为(,1)-¥-.【例5】(2024届辽宁省凤城市高三下学期考试)已知函数()1e ln xf x x x x -=--.(1)求函数()f x 的最小值;(2)求证:()()1e e e 1ln 2xf x x x +>---éùëû.【解析】(1)因为函数()1e ln x f x x x x -=--,所以()()()11111e 11e x x f x x x x x --æö=+--=+-çè¢÷ø,记()11e,0x h x x x -=->,()121e 0x h x x-¢=+>,所以()h x 在()0,¥+上单调递增,且()10h =,所以当01x <<时,()0h x <,即()0f x ¢<,所以()f x 在()0,1单调递减;当1x >时,()0h x >,即()0f x ¢>,所以()f x 在()1,¥+单调递增,且()10f ¢=,所以()()min 10f x f ==.(2)要证()()1e e e 1ln 2xf x x x éù+>---ëû,只需证明:()11e ln 02xx x --+>对于0x >恒成立,令()()11e ln 2xg x x x =--+,则()()1e 0xg x x x x¢=->,当0x >时,令1()()e xm x g x x x=¢=-,则21()(1)e 0xm x x x =+¢+>,()m x 在(0,)+¥上单调递增,即()1e xg x x x=¢-在(0,)+¥上为增函数,又因为222333223227e e033238g éùæöæöêú=-=-<ç÷ç÷êøøëû¢úèè,()1e 10g =¢->,所以存在02,13x æöÎç÷èø使得()00g x ¢=,由()0200000e 11e 0x x x g x x x x ¢-=-==,得020e 1xx =即0201x e x =即0201x e x =即002ln x x -=,所以当()00,x x Î时,()1e 0xg x x x=¢-<,()g x 单调递减,当()0,x x ¥Î+时,()1e 0xg x x x=¢->,()g x 单调递增,所以()()()0320000000022min0122111e ln 2222x x x x x x g x g x x x x x -++-==--+=++=,令()3222213x x x x x j æö=++-<<ç÷èø,则()22153223033x x x x j æö=++=++>ç÷èø¢,所以()x j 在2,13æöç÷èø上单调递增,所以()0220327x j j æö>=>ç÷èø,所以()()()002002x g x g x x j ³=>,所以()11e ln 02xx x --+>,即()()1e e e 1ln 2xf x x x éù+>---ëû.1.(2024届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷)已知函数()()e 1,ln ,xf x xg x x mx m =-=-ÎR .(1)求()f x 的最小值;(2)设函数()()()h x f x g x =-,讨论()hx 零点的个数.2.(2024届河南省信阳市高三下学期三模)已知函数()()()ln 1.f x ax x a =--ÎR (1)若()0f x ³恒成立,求a 的值;(2)若()f x 有两个不同的零点12,x x ,且21e 1x x ->-,求a 的取值范围.3.(2024届江西省吉安市六校协作体高三下学期5月联考)已知函数()()1e x f x ax a a -=--ÎR .(1)当2a =时,求曲线()y f x =在1x =处的切线方程;(2)若函数()f x 有2个零点,求a 的取值范围.4.(2024届广东省茂名市高州市高三第一次模拟)设函数()e sin x f x a x =+,[)0,x Î+¥.(1)当1a =-时,()1f x bx ³+在[)0,¥+上恒成立,求实数b 的取值范围;(2)若()0,a f x >在[)0,¥+上存在零点,求实数a 的取值范围.5.(2024届河北省张家口市高三下学期第三次模)已知函数()ln 54f x x x =+-.(1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(2)证明:3()25f x x>--.6.(2024届上海市格致中学高三下学期三模)已知()e 1xf x ax =--,a ÎR ,e 是自然对数的底数.(1)当1a =时,求函数()y f x =的极值;(2)若关于x 的方程()10f x +=有两个不等实根,求a 的取值范围;(3)当0a >时,若满足()()()1212f x f x x x =<,求证:122ln x x a +<.7.(2024届河南师范大学附属中学高三下学期最后一卷)函数()e 4sin 2x f x x l l =-+-的图象在0x =处的切线为3,y ax a a =--ÎR .(1)求l 的值;(2)求()f x 在(0,)+¥上零点的个数.8.(2024年天津高考数学真题)设函数()ln f x x x =.(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程;(2)若()(f x a x ³在()0,x Î+¥时恒成立,求a 的值;(3)若()12,0,1x x Î,证明()()121212f x f x x x -£-.9.(2024届河北省高三学生全过程纵向评价六)已知函数()ex axf x =,()sin cosg x x x =+.(1)当1a =时,求()f x 的极值;(2)当()0,πx Î时,()()f x g x £恒成立,求a 的取值范围.10.(2024届四川省绵阳南山中学2高三下学期高考仿真练)已知函数()()1ln R f x a x x a x=-+Î.(1)讨论()f x 的零点个数;(2)若关于x 的不等式()22ef x x £-在()0,¥+上恒成立,求a 的取值范围.11.(2024届四川省成都石室中学高三下学期高考适应性考试)设()21)e sin 3x f x a x =-+-((1)当a =()f x 的零点个数.(2)函数2()()sin 22h x f x x x ax =--++,若对任意0x ³,恒有()0h x >,求实数a 的取值范围12.(2023届云南省保山市高三上学期期末质量监测)已知函数()2sin f x ax x =-.(1)当1a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;(2)当0x >时,()cos f x ax x ³恒成立,求实数a 的取值范围.13.(2024届广东省揭阳市高三上学期开学考试)已知函数()()212ln 1R 2f x x mx m =-+Î.(1)当1m =时,证明:()1f x <;(2)若关于x 的不等式()()2f x m x <-恒成立,求整数m 的最小值.14.(2023届黑龙江省哈尔滨市高三月考)设函数(1)若,,求曲线在点处的切线方程;(2)若,不等式对任意恒成立,求整数k 的最大值.15.(2023届江苏省连云港市高三学情检测)已知函数.(1)判断函数零点的个数,并证明;(2)证明:.322()33f x x ax b x =-+1a =0b =()y f x =()()1,1f 0a b <<1ln 1x k f f x x +æöæö>ç÷ç÷-èøèø()1,x Î+¥21()e xf x x=-()f x 2e ln 2cos 0x x x x x --->。
高考数学总复习---压轴题之函数零点问题(解析版)

整体的代换和过渡,再结合其他条件,从而最终解决问题.我们称这类问题为“隐零
点”问题.处理此类问题的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造函数”、利用“函
数方程思想”转化等,从操作步骤看,可遵循如下处理方法:
第一步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程 f′(x0)=0,并
结合 f(x)的单调性得到零点的范围;这里应注意,确定隐性零点范围的方式是多种多
故 f (x) 在 (0, x0 ) 单调递减,在 ( x0 ,1] 单调递增,
所以当 x = x0 时, f (x) 取得最小值,最小值为 f (x0 ) = e2x0 − a ln x0 ,
由 2x0e2x0
−a
=
0 ,即 e2x0
=
a 2 x0
,两边去对数得 ln
x0
= ln
a 2
− 2x0
2 / 22
零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数的“隐零点”,破解
导数压轴问题,例题说法,高效训练.
【典型例题】
类型一 挖掘“隐零点”,求参数的最值或取值范围
例 1.【浙江省杭州第十四中学 2019 届高三 12 月月考】设函数
,曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与直线 y=3x 平行.
(1)求 a;
﹣2
﹣2
(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点 x0,且 e <f(x0)<2 .
【答案】(1)1;(2)见解析.
2
【解析】(1)因为 f(x)=ax ﹣ax﹣xlnx=x(ax﹣a﹣lnx)(x>0),则 f(x)≥0 等
价于
1 h(x)=ax﹣a﹣lnx≥0,求导可知 h′(x)=a﹣ .则当 a≤0 时 h′(x)<0,即 y=h
高考函数题型总结:零点问题总结

高考函数题型总结:零点问题总结高中函数专题——零点(看图像交点)2018新课标1理】已知函数f(x),的取值范围是()。
若存在2个零点,则答案为C。
解析】令y=f(x),则y=a(x-1)e^(x-1)+1.当y=0时,即a(x-1)e^(x-1)+1=0.当a=0时,有两个零点,矛盾。
当a0时,在(-∞,1)上递增,在(1,+∞)上递减,此时y=a(x-1)e^(x-1)+1的图象只能有一个零点,即在(1,+∞)上有一个零点。
综上,当a>0时,f(x)的零点个数为1,故答案为C。
2018•新课标Ⅲ】函数的零点个数为3.解析】由题意得f(x)=x^3-3x^2+2x,令f(x)=0,则x^3-3x^2+2x=0,整理得x(x-2)(x-1)=0,即f(x)的零点为0,1,2,故零点个数为3.2018•浙江理】已知λ∈R,函数f(x)=λ(e^(x-1)-1)/(x-1)。
当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是(1,2)。
若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是(1,4)。
解析】当λ=2时,f(x)=(e^(x-1)-1)/(x-1),不等式f(x)<0的解集是(1,2)。
当f(x)有2个零点时,即f(x)的图象在(1,2)上有两个交点,所以f(x)在(1,2)上单调性变化,即f'(x)在(1,2)上存在一个零点。
由f'(x)=(e^(x-1)(x-2)+1)/(x-1)^2=0,解得x=2,所以λ的取值范围为1<λ≤3.2018•天津理】已知a>0,函数f(x)=x^2+ax+1/x^2.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个异的实数解,则a的取值范围是(4,8)。
解析】由f(x)=x^2+ax+1/x^2=ax,整理得x^4+ax^3+x^2-a=0.由于f(x)恰有2个异的实数解,即x^2≠1,所以x^4+ax^3+x^2-a=0要么无根,要么有同号根,同号根时a>0,所以x^4+ax^3+x^2-a=0在a>0时有两个异的实数解。
高考复习专题:函数零点的求法及零点的个数

函数零点的求法及零点的个数题型1:求函数的零点。
[例1] 求函数2223+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数2223+--=x x x y 的零点就是求方程02223=+--x x x 的根[解析]令32220x x x --+=,∴2(2)(2)0x x x ---=∴(2)(1)(1)0x x x --+=,∴112x x x =-==或或即函数2223+--=x x x y 的零点为-1,1,2。
[反思归纳] 函数的零点不是点,而是函数函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标,即零点是一个实数。
题型2:确定函数零点的个数。
[例2] 求函数f(x)=lnx +2x -6的零点个数. [解题思路]求函数f(x)=lnx +2x -6的零点个数就是求方程lnx +2x -6=0的解的个数 [解析]方法一:易证f(x)= lnx +2x -6在定义域(0,)+∞上连续单调递增,又有(1)(4)0f f ⋅<,所以函数f(x)= lnx +2x -6只有一个零点。
方法二:求函数f(x)=lnx +2x -6的零点个数即是求方程lnx +2x -6=0的解的个数即求ln 62y x y x =⎧⎨=-⎩的交点的个数。
画图可知只有一个。
[反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点,有两种常用方法:①(代数法)求方程0)(=x f 的实数根;②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来,并利用函数的性质找出零点。
题型3:由函数的零点特征确定参数的取值范围 [例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数()a x ax x f --+=3222,假如函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点,求a 的取值范围。
[解题思路]要求参数a 的取值范围,就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点找寻关于参数a 的不等式(组),但由于涉及到a 作为2x 的系数,故要对a 进行探讨[解析] 若0a = , ()23f x x =- ,明显在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠.令()248382440a a a a ∆=++=++=, 解得32a -=①当a =时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ,即15a <<时,()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点。
函数与方程、不等式之间的关系 2025年高考数学知识点题型及考项复习

例5-6 (2024·广东省肇庆市期中)若函数在区间 及内各有一个零点,则实数 的取值范围是_____.
,
【解析】 函数的图象开口向上,且在区间及 内各有一个零点,解得 .故实数的取值范围是 .
知识点6 一元高次不等式的解法
例6-7 求函数的零点,并写出 的解集.
【解析】画出函数 的图象,如图3.2-10.
图3.2-10
令,由图象可知有两个根,且, .令,即,易知函数与函数 的图象有两个交点, 有两个根.令, ,易知函数与函数的图象有一个交点, 有一个根.综上所述,方程在 内的根的个数为3.
例12 (2024·山西省朔州市期中)已知函数若方程 有三个不同的实根,则实数 的取值范围是( )
当时, 恒成立.当时,在 上是减函数, ,解得, .综上所述,的取值范围为 .
方法2(分离参数法) 恒成立,即 恒成立., .在上的最小值为, 只需 即可.的取值范围为 .
例21 (2024·福建省福州市期末)已知不等式 .
(1)若时不等式恒成立,求实数 的取值范围;
【解析】令 ,①当时, 恒成立;②当时,要使时不等式恒成立,只需 即可, 解得, .
【学会了吗|变式题】
3.[多选题](2024·浙江省嘉兴市段考)关于的不等式 的解集可能是( )
ACD
A.或 B.或 C. D.
【解析】当时,原不等式解集为 ;当时,原不等式等价于 ,若,则不等式的解为 ;
若,则不等式的解为 ;若,则不等式化为,其解集为 .当时,原不等式等价于,解得或 .综上,当时,不等式的解集为 ;当时,不等式的解集为 ;当时,不等式的解集为 ;当时,不等式的解集为 ;当时,不等式的解集为或.故选 .
高考重点专项:函数零点个数问总结

高考重点专项:函数零点个数问总结1. 函数22ln 2,0()23,0x x x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨--≤⎪⎩的零点有___________________个2.已知函数22,0()21,0x x f x x x x ⎧≥⎪=⎨--+<⎪⎩,若函数()y f x m =-有三个不同的零点,则实数m 的取值范围是( ) A.[1,2] B.[1,2) C.(1,2] D.(1,2)3.已知函数22|log |,04()1234,4x x f x x x x <≤⎧=⎨-+>⎩,若方程()f x t =()t R ∈有四个不同的实数根,,,a b c d ,则abcd 的取值范围是()A . (30,32) B.(32,34) C.(32,36) D.(30,36)4. 函数()y f x =由(2)22x y x y= 确定,则方程22()3x f x +=的实数解有__________个5. 已知函数2,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,若函数2|()|()y f x k x e =-+的零点恰有4个,则实数k 的值为_________________。
6.已知定义在R 上的偶函数()f x ,对于任意的x R ∈,都有(2)(2),f x f x -=+且当[2,0]x ∈-时,()21x f x -=-,若在1a >时,关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有三个不同的实数根,则实数a 的取值范围是( )A . (1,2) B.23(2,2) C. 23(,2)(2,)-∞⋃+∞ D. (2,)+∞7.已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且0x >0,则a 的取值范围是( )A.(2,)+∞B. (,2)-∞-C. (1,)+∞D. (,1)-∞-8.已知函数()f x 满足:(1)定义域为R 。
高考数学热点必会题型第3讲 函数与方程和零点问题与嵌套函数(原卷及答案)

高考数学热点必会题型第3讲 函数与方程和零点问题与嵌套函数 ——每天30分钟7天轻松掌握一、重点题型目录【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 【题型】二、方程法判断函数零点个数 【题型】三、数形结合法判断函数零点个数 【题型】四、转化法判断函数零点个数 【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数 【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数 【题型】七、一元二次不等式恒成立问题 【题型】八、一元二次不等式能成立问题 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 例1.(2023·全国·高三专题练习)函数()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是( ) A .()1,2B .()2,3C .()3,4D .()4,5例2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞,对任意,()0x ∈+∞,都有()2()log 20f f x x -=.现已知()()17f a f a +'=,那么( ) A .(1,1.5)a ∈B .(1.5,2)a ∈C .(2,2.5)a ∈D .(2.5,3)a ∈例3.(2023·全国·高三专题练习)已知()=ln f x x ,()e xg x =,若()()f s g t =,则当s t-取得最小值时,()g t 所在区间是( ) A .11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B .11,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .()ln 2,1D .1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭例4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()()2e 0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ,且12x x <,则下列结论正确的是( ) A .101x << B .2101xx e << C .()101f x <<D .()1ln 2,a ∈-+∞【题型】二、方程法判断函数零点个数例5.(2023·全国·高三专题练习)关于函数()ln ||ln |2|f x x x =+-有下述四个结论: ①()f x 的图象关于直线1x =对称 ②()f x 在区间(2,)+∞单调递减 ③()f x 的极大值为0 ④()f x 有3个零点 其中所有正确结论的编号为( ) A .①③B .①④C .②③④D .①③④例6.(2023·全国·高三专题练习)若()f x 为奇函数,且0x 是()2e x y f x =-的一个零点,则0x -一定是下列哪个函数的零点( ) A .()e 2x y f x -=-- B .()e 2x y f x =+C .()e 2x y f x =-D .()e 2x y f x =-+例7.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()cos 2cos f x x x =+,且[]0,2πx ∈,则()f x 的零点个数为( ) A .1个B .2个C .3个D .4个例8.(2023·全国·高三专题练习)()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数,且()20f =,则方程()0f x =在区间[]6,6-内解的个数的最小值是_______.第二天学习及训练【题型】三、数形结合法判断函数零点个数例9.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()33f x x x =-,则函数()()h x f f x c =-⎡⎤⎣⎦,[]2,2c ∈-的零点个数( )A .5或6个B .3或9个C .9或10个D .5或9个例10.(2023·全国·高三专题练习)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +2)=f (x ),且当x ∈[0,1]时,f (x )=x ,则函数y =f (x )-log 3|x |的零点个数是( ) A .1B .2C .3D .4例11.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()()e 2,1ln 1,1xx f x x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩,则函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是( )A .4B .5C .6D .7例12.(2023·上海·高三专题练习)对于给定的正整数n (n ≥2),定义在区间[0,n ]上的函数y =f (x )满足:当01x ≤≤时,2()2f x x x =-+,且对任意的x ∈[1,n ],都成立f (x )=f (x ﹣1)+1.若与n 有关的实数kn 使得方程f (x )=knx 在区间[n ﹣1,n ]上有且仅有一个实数解,则关于x 的方程f (x )=knx 的实数解的个数为____. 【题型】四、转化法判断函数零点个数例13.(2022·全国·高三专题练习)已知()f x 的定义域为[)0,∞+,且满足()[)()[)1,0,121,1,xe xf x f x x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,若()()g x f x π=-,则()g x 在[]0,10内的零点个数为( )A .8B .9C .10D .11例14.(2022·全国·高三专题练习(文))已知函数()()3log 911x f x x+=-,下列说法正确的是( )A .()f x 既不是奇函数也不是偶函数B .()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C .()f x 的图象与2y =只有一个交点D .()()21f f -<-例15.(2022·全国·高三专题练习)高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一,并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的:设x ∈R ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则()[]f x x =称为高斯函数,又称为取整函数.如:(2.3)2f =,( 3.3)4f -=-.则下列结论正确的是( ) A .函数()f x 是R 上的单调递增函数 B .函数2()()3g x f x x =-有2个零点 C .()f x 是R 上的奇函数D .对于任意实数,a b ,都有()()()f a f b f a b +≤+第三天学习及训练【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数例16.(2023·全国·高三专题练习)函数f (x )=ax 2-x -1有且仅有一个零点,则实数a 的值为( )A .-14B .0C .14D .0或-14例17.(2023·全国·高三专题练习)已知函数1,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩,若方程22()(23)()30-++=f x a f x a 有5个不同的实数解,则a 的范围是( )A .33(1,)(,2)22⋃B .(1,2)(2,3)C .(1,)+∞D .(1,3)例18.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()2ln ,043,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩,若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点,则m 的取值范围是( ) A .102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B .102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C .102,3⎛⎫⎪⎝⎭D .102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦例19.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根,则m 的取值范围是( )A .13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B .13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C .134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ D .134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 例20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()()23,0,3,0,x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩以下结论正确的是( )A .()f x 在区间[7,9]上是增函数B .()()220222f f -+=C .若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =,则619i i x ==∑D .若方程()1f x kx =+恰有3个实根,则11,3k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭例21.(2023·全国·高三专题练习)若函数()()2e 2xf x x x a =-++在区间(),1a a +上存在最大值,则实数a 的取值范围为_______【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数例22.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的奇函数,满足()()20f x f x -+=,当(]0,1x ∈时,()2log f x x =-,若函数()()sin()F x f x x π=-,在区间[]1,m -上有10个零点,则m 的取值范围是( ) A .[)3.5,4B .(]3.5,4C .(]3,4D .[)3,4例23.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()2cos()1(0,0π)f x x ωϕωϕ=+-><<经过(0,0)点,且()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ,则ω的最大值为( )A .43B .12C .2D .136例24.(2023·全国·高三专题练习)已知函数π()2cos()1(0,0)2f x x ωϕωϕ=+-><<,在0x =处的切线斜率为,若()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ,则ω的最大值为( )A .43B .12C .2D .136例25.(2023·全国·高三专题练习)定义在R 上的偶函数()f x 满足()22)(f x f x -+=,当[0,2]x ∈时,()xf x =,若在区间[0,10]x ∈内,函数()()(1)mg x f x x =-+有个5零点,则实数m 的取值范围是( ) A .()110,log e B .(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C .111log e,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .11711log e,,log e 22⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例26.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩,若函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点,则实数k 的取值范围是( )A .[)1,+∞B .0,1C .()1,+∞D .()(),00,1-∞⋃例27.(2023·全国·高三专题练习)已知()e xx f x =.则下列说法正确的有( )A .函数()y f x =有唯一零点0x =B .函数()y f x =的单调递减区间为()(),01,-∞⋃+∞C .函数()y f x =有极大值1eD .若关于x 的方程()f x a =有三个不同的根.则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭第四天学习及训练【题型】七、一元二次不等式恒成立问题例28.(2023·全国·高三专题练习)已知m 是区间[]0,4内任取的一个数,那么函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率是( )A .14B .13C .12D .23例29.(2023·全国·高三专题练习)当13x ≤≤时,关于x 的不等式210ax x -<+恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B .,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭14C .,1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D .1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例30.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()312x f x x +=+,()()42e xg x x =-,若[)120,x x ∀∈+∞,,不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立,则正数t 的取值可以是( )A .6eB .(2eC .(2eD .2e【题型】八、一元二次不等式能成立问题例31.(2023·全国·高三专题练习)已知命题:R p x ∀∈,20x x a -+>,若p ⌝是真命题,则实数a 的取值范围是( ) A .1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .1,)4-∞( C .11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例32.(2023·全国·高三专题练习)若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,使2210x x λ-+<成立,则实数λ的取值范围是______________.高考数学热点必会题型第3讲 函数与方程和零点问题与嵌套函数 ——每天30分钟7天轻松掌握一、重点题型目录【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 【题型】二、方程法判断函数零点个数 【题型】三、数形结合法判断函数零点个数 【题型】四、转化法判断函数零点个数 【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数 【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数 【题型】七、一元二次不等式恒成立问题 【题型】八、一元二次不等式能成立问题 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 例1.(2023·全国·高三专题练习)函数()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是( ) A .()1,2 B .()2,3 C .()3,4 D .()4,5【答案】B【分析】利用零点存在性定理求解即可 【详解】函数()2ln 1f x x x =--在()1,+∞ 上单调递增,且在()1,+∞上连续. 因为()22ln 2ln 22021f =-=-<-,()23ln 3ln 31031f =-=->-, 所以()()230f f <,所以函数的零点所在的区间是()2,3. 故选:B例2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞,对任意,()0x ∈+∞,都有()2()log 20f f x x -=.现已知()()17f a f a +'=,那么( ) A .(1,1.5)a ∈ B .(1.5,2)a ∈C .(2,2.5)a ∈D .(2.5,3)a ∈【答案】D【分析】先由()2()log 20f f x x -=求出2()16log f x x =+,再由()()17f a f a +'=得到21log 10ln 2a a --=,结合单调性和零点存在定理进行判断即可. 【详解】不妨设2()log f x x m -=,则()20f m =,所以2log 2016m m m +=⇒=,得2()16log f x x =+,1()ln 2f x x '=, 因为()()17f a f a +'=,所以21log 10ln 2a a --=.令21()log 1ln 2g a a a =--,易得()g a 在(0,)+∞上单调递增,因为227ln118(3)log 3103ln 23ln 2g -=--=>,52531255ln 2ln 25ln 21ln 42410244(2.5)log 2.5102.5ln 25ln 25ln 25ln 25ln 2g ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭=--===<<, 由零点存在定理知:(2.5,3)a ∈. 故选:D .例3.(2023·全国·高三专题练习)已知()=ln f x x ,()e xg x =,若()()f s g t =,则当s t-取得最小值时,()g t 所在区间是( ) A .11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B .11,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .()ln 2,1D .1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由已知条件构造函数()e ln ah a a =-,利用导数求出最值,由零点存在性定理验证001e 0a a -=的根的范围即可. 【详解】令()()f s g t a ==,即e ln 0t s a ==>, ∴ln t a =,e a s =, ∴e ln (0)a s t a a -=->,令()e ln a h a a =-,则()1e ah a a'=-,令()1e am a a =-,则()21e a m a a '=+, ∴()m a 在()0,∞+上单调递增,且()1e 10m =->,1202m ⎛⎫=< ⎪⎝⎭∴存在唯一0a a =使得()0h a '=,当00a a <<时,1e a a <, ()0h a '<,当0a a >时,1e aa>, ()0h a '>,∴()0()min h h a a =,即s t -取得最小值时,0()f s a a ==,由零点的存在定理验证01e 0aa -=的根的范围,当012a =时,001e 0a a -<,当0ln2a =时,001e 0aa ->,故01(,ln 2)2a ∈, 故选:D .例4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()()2e 0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ,且12x x <,则下列结论正确的是( ) A .101x << B .2101xx e << C .()101f x << D .()1ln 2,a ∈-+∞【答案】ACD 【分析】函数()()2e0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ,令()0f x '=,则e2e =x a x判断函数()e x g x x =的单调性,由题知()e xg x x=与2e =a y 有两个交点,借助图像求出a 的取值范围,判断D ;再根据零点存在性定理判断A ;又根据11e 2-=x ax ,求出()1f x 的取值范围,判断C ;由()()1200f x f x ⎧'=='⎪⎨⎪⎩,得2112e e x xx x =,由于101x <<,21x >,所以12e 1>x x ,从而判断B.【详解】已知()2e -=-x a f x x ,则()e 2-'=-x af x x ,令()0f x '=,则e2e =x a x考虑函数()e xg x x =,则()()2e 1x x g x x -'=,当(),0x ∈-∞时,()0g x '<,即()g x 在(),0∞-上单调递减; 当()0,1x ∈时,()0g x '<,即()g x 在()0,1上单调递减; 当()1,x ∈+∞时,()0g x '>,即()g x 在()1,+∞上单调递增;故()g x 的图象大致如图:依题意,若()f x 有两个极值点,则2e e >a ,即1ln 2a >-,因此选项D 正确; 由图易知,101x <<,21x >,故选项A 正确; 又11e 2-=x ax ,故()()122211111e 211-=-=-=--x a f x x x x x ,因为101x <<,所以()101f x <<,故选项C 正确; 因为()()1200f x f x ⎧'=='⎪⎨⎪⎩,即1212e 2e 2x a x a x x --⎧=⎨=⎩,故1212e e =x x x x ,即2112e e x xx x =. 由于101x <<,21x >,所以12e 1>x x ,从而21e 1>xx ,故选项B 错误.故答案为:ACD.【题型】二、方程法判断函数零点个数例5.(2023·全国·高三专题练习)关于函数()ln ||ln |2|f x x x =+-有下述四个结论: ①()f x 的图象关于直线1x =对称 ②()f x 在区间(2,)+∞单调递减 ③()f x 的极大值为0 ④()f x 有3个零点 其中所有正确结论的编号为( ) A .①③ B .①④C .②③④D .①③④【答案】 D【分析】根据给定函数,计算(2)-f x 判断①;探讨()f x 在(2,)+∞上单调性判断②;探讨()f x 在(0,1)和(1,2)上单调性判断③;求出()f x 的零点判断④作答.【详解】函数()ln ||ln |2|f x x x =+-的定义域为(,0)(0,2)(2,)-∞⋃⋃+∞, 对于①,(,0)(0,2)(2,)x ∈-∞⋃⋃+∞,则2(,0)(0,2)(2,)x -∈-∞⋃⋃+∞, (2)ln |2|ln ||()f x x x f x -=-+=,()f x 的图象关于直线1x =对称,①正确;对于②,当2x >时,()ln ln(2)f x x x =+-,()f x 在(2,)+∞单调递增,②不正确; 对于③,当0x <时,()ln()ln(2)f x x x =-+-,()f x 在(,0)-∞单调递减,当02x <<时,2()ln ln(2)ln[(1)1]f x x x x =+-=--+,()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,又()f x 在(2,)+∞单调递增,因此()f x 在1x =处取极大值(1)0f =,③正确;对于④,由()0f x =得:2|2|1x x -=,即2210x x --=或2210x x -+=,解得1x =1x =,于是得()f x 有3个零点,④正确, 所以所有正确结论的编号为①③④. 故选:D【点睛】结论点睛:函数()y f x =的定义域为D ,x D ∀∈,存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-,则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.例6.(2023·全国·高三专题练习)若()f x 为奇函数,且0x 是()2e x y f x =-的一个零点,则0x -一定是下列哪个函数的零点( ) A .()e 2x y f x -=-- B .()e 2x y f x =+ C .()e 2x y f x =- D .()e 2x y f x =-+【答案】B【分析】根据()f x 是奇函数可得()()f x f x -=-,因为0x 是()2e =-xy f x 的一个零点,代入得()002e xf x =,利用这个等式对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断可得答案.【详解】()f x 是奇函数,()()f x f x ∴-=-且0x 是()2e =-xy f x 的一个零点,所以()002e xf x =,把0x -分别代入下面四个选项,对于A ,()()0020e e 222-=-x x f x ,不一定为0,故A 错误;对于B ,()()0000e 2e x xf x f x ---+=-0012e e 20x x -+=-⋅⋅+=,所以0x -是函数()e 2x y f x =+的零点,故B 正确;对于C ,()000224e 2e ---=--=-x f x ,故C 不正确;对于D ,()0000e22e e +24--+==x x x f x ,故D 不正确;故选:B.例7.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()cos 2cos f x x x =+,且[]0,2πx ∈,则()f x 的零点个数为( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个【答案】C【分析】解三角方程求得()f x 的零点即可解决【详解】由()()2cos 2cos 2cos cos 1cos 12cos 10x x x x x x +=+-=+-=可得cos 1x =-或1cos 2x =,又[]0,2πx ∈,则πx =,或π3x =,或5π3x =则()f x 的零点个数为3 故选:C例8.(2023·全国·高三专题练习)()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数,且()20f =,则方程()0f x =在区间[]6,6-内解的个数的最小值是_______. 【答案】13【分析】根据函数周期性和奇偶性的性质,进行递推即可. 【详解】()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数,()()3f x f x ∴+=,且()()f x f x -=-,则()00f =,则()()()()()()36600330f f f f f f ==-==-=-=,,()20f =,()()()()514050f f f f ∴=-=-=-=,,()10f =,()40f =,()20f -=,方程的解至少有0,3,6,6-,3-,2,5,5-,2-,1-,1,4,4-,共13个. 故答案为:13第二天学习及训练【题型】三、数形结合法判断函数零点个数例9.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()33f x x x =-,则函数()()h x f f x c =-⎡⎤⎣⎦,[]2,2c ∈-的零点个数( )A .5或6个B .3或9个C .9或10个D .5或9个【答案】D【分析】设()t f x =,求导分析()33f x x x =-的最值与极值,画出图形,再分析()f t c =与()t f x =的根的范围与个数即可【详解】设()t f x =,则由()()0h x f f x c =-=⎡⎤⎣⎦, 得()f f x c =⎡⎤⎣⎦,即()f t c =,()t f x = 又()()()233311f x x x x '=-=-+, 由0fx得1x <-或1x >,此时函数单调递增,由()0f x '<得11x -<<,此时函数单调递减,即函数在=1x -处取得极大值()()()311312f -=--⨯-=,函数在1x =处取得极小值()311312f =-⨯=-,又由()()()322322f -=--⨯-=-,()322322f =-⨯=可得图象:若()f t c =,()2,2c ∈-,则方程有三个解, 满足121t -<<-,211t -<<,312t <<, 则当121t -<<-时,方程()t f x =,有3个根, 当211t -<<时,方程()t f x =,有3个根, 当312t <<时,方程()t f x =,有3个根, 此时共有9个根,若()f t c =,2c =,则方程有两个解, 满足11t =-,22t =,则当11t =-时,方程()t f x =,有3个根, 当22t =,有2个根, 此时共有5个根,同理()f t c =,2c =-,也共有5个根 故选:D .例10.(2023·全国·高三专题练习)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +2)=f (x ),且当x ∈[0,1]时,f (x )=x ,则函数y =f (x )-log 3|x |的零点个数是( ) A .1 B .2C .3D .4【答案】D【分析】由题意知,f (x )是周期为2的偶函数,将函数零点转化为求两个函数图象交点的个数即可,作出图象观察得出结论.【详解】由题意知,f (x )是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数y =f (x )及y =log 3|x |的图象,如下:观察图象可以发现它们有4个交点, 即函数y =f (x )-log 3|x |有4个零点. 故选:D.例11.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()()e 2,1ln 1,1x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩,则函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是( )A .4B .5C .6D .7【答案】B【分析】令()t f x =,()0g x =,则()21f t t =-,分别作出函数()y f t =和直线21y t =-的图象,得到10t =,212t <<,再分别作出函数()y f x =和直线y t =的图象,得到方程()0f x =和方程()2t f x =的根的个数,进而得到函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数. 【详解】令()t f x =,()0g x =,则()210f t t -+=,即()21f t t =-, 分别作出函数()y f t =和直线21y t =-的图象,如图所示,由图象可得有两个交点,横坐标设为1t ,2t , 则10t =,212t <<,对于()t f x =,分别作出函数()y f x =和直线2y t =的图象,如图所示,由图象可得,当()10f x t ==时,即方程()0f x =有两个不相等的根, 当()2t f x =时,函数()y f x =和直线2y t =有三个交点, 即方程()2t f x =有三个不相等的根, 综上可得()0g x =的实根个数为5,即函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是5. 故选:B.例12.(2023·上海·高三专题练习)对于给定的正整数n (n ≥2),定义在区间[0,n ]上的函数y =f (x )满足:当01x ≤≤时,2()2f x x x =-+,且对任意的x ∈[1,n ],都成立f (x )=f (x ﹣1)+1.若与n 有关的实数kn 使得方程f (x )=knx 在区间[n ﹣1,n ]上有且仅有一个实数解,则关于x 的方程f (x )=knx 的实数解的个数为____. 【答案】2n ﹣1##12-+n【分析】数形结合,画出y =f (x )在区间[0,n ]上的图象,根据y =knx 与y =f (x )的图象交点分析即可.【详解】由题意,画出y =f (x )在区间[0,1]上的图象, 又对任意的[1,n ],都成立f (x )=f (x ﹣1)+1.可理解为区间[n ﹣1,n ]的图象由区间[n ﹣2,n ﹣1]的图象向右平移一个单位所得, 即可画出y =f (x )在区间[0,n ]上的图象,如图所示,故若与n 有关的实数kn 使得方程f (x )=knx 在区间[n ﹣1,n ]上有且仅有一个实数解, 则y =knx 与y =f (x )在区间[n ﹣1,n ]上的图象相切,且易得y =f (x )的图象在y =x 与区间[0,1],[1,2],[2,3],⋯[n ﹣1,n ]上的公切线之间,故y =knx 与y =f (x )在区间[0,1],[1,2],[2,3],⋯[n ﹣1,n ]上均有2个交点, 故关于x 的方程f (x )=knx 的实数解的个数为2(n ﹣1)+1=2n ﹣1个.故答案为:2n ﹣1.【题型】四、转化法判断函数零点个数例13.(2022·全国·高三专题练习)已知()f x 的定义域为[)0,∞+,且满足()[)()[)1,0,121,1,xe xf x f x x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,若()()g x f x π=-,则()g x 在[]0,10内的零点个数为( ) A .8 B .9 C .10 D .11【答案】B【分析】求出函数()f x 在区间[)(),109,n n n n N +≤≤∈值域及单调性,由此可得出结论.【详解】当[)0,1x ∈时,()[)10,1xf x e e =-∈-,当[)1,2x ∈时,[)10,1x -∈,则()()[)210,22f x f x e =-∈-,当[)2,3x ∈时,[)20,1x -∈,则()()()[)21420,44f x f x f x e =-=-∈-,以此类推,当[)(),109,x n n n n N ∈+≤≤∈时,()()())20,21n nf x f x n e ⎡=-=-⎣,且函数()f x 在区间[)(),109,n n n n N +≤≤∈上为增函数,122e e π-<<-,所以,函数()g x 在区间[)(),119,n n n n N +≤≤∈上有且只有一个零点,且()()()101010200g f f ππ=-=-<,因此,()g x 在[]0,10内的零点个数为9. 故选:B.【点睛】方法点睛:判定函数()f x 的零点个数的常用方法:(1)直接法:直接求解函数对应方程的根,得到方程的根,即可得出结果;(2)数形结合法:先令()0f x =,将函数()f x 的零点个数,转化为对应方程的根,进而转化为两个函数图象的交点个数,结合图象,即可得出结果.例14.(2022·全国·高三专题练习(文))已知函数()()3log 911x f x x+=-,下列说法正确的是( )A .()f x 既不是奇函数也不是偶函数B .()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C .()f x 的图象与2y =只有一个交点D .()()21f f -<- 【答案】C【分析】A 根据函数奇偶性的定义即可判断()f x 的奇偶性;B 利用放缩法,当0x >易证()1f x >,由奇函数的对称性知0x <时()1f x <-,即可知()f x 与sin y x =的交点情况;C :由()2f x =变形可得112713xx⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭,设()11327xxg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只需判断()1g x =解得个数即可;D 根据函数解析式求出()()2,1f f --比较大小即可. 【详解】A :()f x 定义域为{|0}x x ≠且()()()()()()333391log log 91log 91log 9191120x x x x x f x f x x x x x -⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭-+=-+-=--=-,故()f x 为奇函数,错误;B :当0x >时有()3log 91211xf x x>-=-=,又()f x 为奇函数,则当0x <时,()1f x <-,即在R 上()f x ∈()(),11,-∞-⋃+∞,则()f x 的图象与sin y x =没有交点,错误, C :若()2f x =,则有()3log 9112x x+-=,即()3log 913x x +=,变形得9127x x+=,即112713x x⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设()11327x xg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()g x 为减函数且其值域为0,,则()1g x =有且只有一个解,即()f x 的图象与2y =只有一个交点,正确,D :()()2333182log 1log 2log 918181211222f -⎛⎫⎛⎫++ ⎪+ ⎪⎝⎭-=-=--=- ⎪- ⎪⎝⎭3182log 29=-⨯3log =-,而()333110101log 11log 1log 993f ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则有()()21f f ->-,错误.故选:C.【点睛】关键点点睛:A 利用奇偶性定义判断函数的奇偶性,B 放缩法及奇函数的对称性,结合正弦函数的性质判断交点情况,C 将交点问题,通过恒等变形转化为方程是否有解的问题,D 通过函数解析式求函数值,进而比较大小.例15.(2022·全国·高三专题练习)高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一,并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的:设x ∈R ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则()[]f x x =称为高斯函数,又称为取整函数.如:(2.3)2f =,( 3.3)4f -=-.则下列结论正确的是( ) A .函数()f x 是R 上的单调递增函数 B .函数2()()3g x f x x =-有2个零点 C .()f x 是R 上的奇函数D .对于任意实数,a b ,都有()()()f a f b f a b +≤+ 【答案】BD【分析】对于AC ,举例判断,对于B ,利用取整函数和零点的定义判断即可,对于D ,定义{}[]a a a -=这样一个函数,就会有{}10a >≥,然后结合高斯函数的定义判断即可【详解】对于A ,(1.1)1f =,(1.2)1f =,(1.1)(1.2)f f =,()f x ∴在R 上不是单调增函数,所以A 错.对于B ,由()[]f x x =,可得1()x f x x -<≤,所以1()33x xg x -<≤,若函数()g x 要有零点,则1033x x -<≤,得[0,3)x ∈,因为()g x 要想为0,必须23x 也为整数,在这个范围内,只有30,2x x ==两个点,所以B 正确, 对于C ,(1.1)1f =,( 1.1)2(1.1)f f -=-≠-,()f x ∴不是奇函数,所以C 错, 对于D ,如果我们定义{}[]a a a -=这样一个函数,就会有{}10a >≥,同时有{}{}{}{}()([][])[[][]]f a b f a b a b a b a b +=+++=+++,当{}{}1a b +≥时,会有()[][]()()f a b a b f a f b +=+=+,当{}{}01a b <+<时,()[][]()()f a b a b f a f b +>+=+,所以D 正确,故选:BD.第三天学习及训练【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数例16.(2023·全国·高三专题练习)函数f (x )=ax 2-x -1有且仅有一个零点,则实数a 的值为( )A .-14B .0C .14D .0或-14【答案】D【分析】通过a 是否为0,然后求解函数的零点即可.【详解】解:当0a =时,函数()1f x x =--仅有一个零点,满足题意;当0a ≠时,函数2()1f x ax x =--仅有一个零点,可得140a ∆=+=,解得14a =-.故选:D例17.(2023·全国·高三专题练习)已知函数1,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩,若方程22()(23)()30-++=f x a f x a 有5个不同的实数解,则a 的范围是( )A .33(1,)(,2)22⋃B .(1,2)(2,3)C .(1,)+∞D .(1,3)【答案】A【分析】解方程22()(23)()30-++=f x a f x a 得()f x a =或3()2f x =,根据a 的取值分类讨论即可.【详解】方程22()(23)()30-++=f x a f x a ,解得()f x a =或3()2f x =, 若32a =,13,132()12()1,12x x f x x -⎧=⎪⎪==⎨⎪+≠⎪⎩, 解得1x =或0或2,不符合题意,所以32a ≠, 由3()2f x =,可得原方程有3个不等实根1x =或0或2; 所以只要|1|1()12x a -+=有2个不等实根即可.由|1|0x ->可得|1|10()12x -<<,即有12a <<,综上可得33(1,)(,2)22a ⋃∈.故选:A .例18.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()2ln ,043,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩,若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点,则m 的取值范围是( ) A .102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B .102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C .102,3⎛⎫⎪⎝⎭D .102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】画出()f x 的图像,结合函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点,结合图像列不等式来求得m 的取值范围.【详解】当0x ≤时,()f x 是开口向下的二次函数,对称轴为2x =-,()()24831,03f f -=-+-==-.由243=0x x ---解得=1x -或3x =-. 由此画出()f x 的图像如下图所示,依题意,函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点, 令()t f x =,则21y t mt =++,根据图像可知,函数21y t mt =++在区间[)3,1-上有两个不相等的实数根,则()222Δ403310110312m m m m ⎧=->⎪--+≥⎪⎪⎨++>⎪⎪-<-<⎪⎩,解得1023m <≤,所以m 的取值范围是102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选:D例19.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,若关于x的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根,则m 的取值范围是( )A .13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B .13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C .134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ D .134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【分析】画出()f x 的图象,令()t f x =,则先讨论240t mt ++=的零点,根据二次函数判别式与韦达定理,结合()f x 的图象可得240t mt ++=的较小根的范围,进而根据m 与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可.【详解】画出()f x 的图象如图,令()t f x =,则先讨论240t mt ++=的零点. 当2440m ∆=-⨯<,即44m -<<时,不合题意;当2440m ∆=-⨯=,即4m =±时,易得2t =或2t =-,此时当()2f x =或()2f x =-时均不满足有6个零点,不合题意;故2440m ∆=-⨯>,4m >或4m <-,设240t mt ++=的两根为12,t t ,不妨设12t t <,由韦达定理124t t =,且12,2t t ≠.①当12,0t t <时,()1f x t =与()2f x t =均无零点,不合题意; ②当12,0t t >时:1. 若101t <<,则24t >,此时()1f x t =有4个零点,()2f x t =有2个零点,合题意;2. 若112t ≤<,此时()1f x t =有3个零点,则()2f x t =有且仅有3个零点,此时223t <≤,故1423t ≤<; 综上可得101t <<或1423t ≤<. 又12t t m +=-,故()12114m t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,结合4y t t =+在()0,2上为减函数可得114m t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,1,4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数.故13(,5),43m ⎡⎫∈-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭故选:A【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题,需要换元先分析二次函数的零点情况,数形结合判断零点所在的区间,进而得出()f x 零点所在的区间,并结合二次函数的性质与韦达定理求解.属于难题.例20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()()23,0,3,0,x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩以下结论正确的是( )A .()f x 在区间[7,9]上是增函数B .()()220222f f -+=C .若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =,则619i i x ==∑D .若方程()1f x kx =+恰有3个实根,则11,3k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【答案】BC【分析】A 根据()f x 的周期性判断区间单调性;B 利用周期性求得()() 202230f f =-=即可判断;C 转化为y b =与()y f x =的交点问题,应用数形结合法及对称性求零点的和;D 根据函数图象求得1y kx =+与()y f x =交点个数为2或3时的临界值,即可得范围. 【详解】A :由题意,当3x ≥-时()f x 以3为周期的函数,故()f x 在[7,9]上的单调性与()f x 在[-2,0]上的单调性相同,而当0x <时()23924x x f ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,∴()f x 在[-2,0]上不单调,错误;B :()22f -=,()() 202230f f =-=,故()()2 20222f f -+=,正确;C :作出()y f x =的函数图象如图所示:由于()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点,故直线y b =与()y f x =在(),6-∞上有6个交点,不妨设1i i x x +<,i =1,2,3,4,5,由图象知:1x ,2x 关于直线32x =-对称,3x ,4x 关于直线32x =对称,5x ,6x 关于直线92x =对称,∴513392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑,正确;D :若直线1y kx =+经过(3,0),则13k =-,若直线1y kx =+与()230y x x x =--<相切,则消元可得:()2103x k x ++=+,令Δ0=可得()2340k +-=,解得k =-1或k =-5(舍),若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切,由对称性得:k =1. 因为()1f x kx =+恰有3个实根,故直线1y kx =+与()y f x =有3个交点, ∴113k -<<-或k =1,错误,故选:BC .例21.(2023·全国·高三专题练习)若函数()()2e 2xf x x x a =-++在区间(),1a a +上存在最大值,则实数a 的取值范围为_______【答案】2⎫⎪⎪⎝⎭【分析】根据开区间上连续函数的最值点必为导函数的零点,然后求导,数形结合,根据零点存在性定理建立不等式即可求解【详解】因为()()()22e 222e 2x xf x x x a x x a '=-++-+=-++,且函数()f x 在区间(),1a a +上存在最大值, 故只需()22h x x a =-++满足()()>0+1<0h a h a ⎧⎪⎨⎪⎩,所以()22++2>0+1++2<0a a a a --⎧⎪⎨⎪⎩,2a <<.故答案为:2⎫⎪⎪⎝⎭【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数例22.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的奇函数,满足()()20f x f x -+=,当(]0,1x ∈时,()2log f x x =-,若函数()()sin()F x f x x π=-,在区间[]1,m -上有10个零点,则m 的取值范围是( ) A .[)3.5,4 B .(]3.5,4C .(]3,4D .[)3,4【答案】A【分析】由已知得出函数()f x 是周期函数,周期为2,函数()F x 的零点个数转化为函数()f x 的图象与sin()y x π=的图象的交点个数,作出函数的图象(其中()f x 的图象由奇偶性与周期性结合作出),然后分析交点个数得出参数范围. 【详解】由(2)()0f x f x -+=得(2)()f x f x +=--,又()f x 是奇函数,所以(2)()()f x f x f x +=--=,即()f x 是周期函数,周期为2,sin()y x π=也是周期函数,且最小正周期是22ππ=,由奇偶性和周期性作出函数()f x 的图象,再作出sin()y x π=的图象,如图,函数()()sin()F x f x x π=-的零点个数即为函数()y f x =的图象与函数sin()y x π=的图象交点个数,()f x 是R 上的奇函数,所以(0)0f =,从而20()f k =,Z k ∈,易知它们在[1,1)-上有4个交点,从而在[1,3)上也有4个交点,而4x =时,点(4,0)是一个交点,所以4m <,在(0,1)上,2()log f x x =-,11()1sin 22f π==,即1(,1)2是(0,1)上交点,从而在(1,0)-上交点上交点为1(,1)2--,由周期性在(3,4)上两函数图象交点为7(,1)2-,所以72m ≥. 综上,724m ≤<.故选:A .例23.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()2cos()1(0,0π)f x x ωϕωϕ=+-><<经过(0,0)点,且()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ,则ω的最大值为( )A .43B .12C .2D .136【答案】C【分析】运用代入法,结合余弦型函数的性质、函数零点的定义进行求解即可. 【详解】因为()2cos()1f x x ωϕ=+-经过(0,0)点, 所以12cos 10cos 2ϕϕ-=⇒=,因为0πϕ<<,所以π3ϕ=,即π()2cos()13f x x ω=+-,令ππ1()2cos()10cos()332f x x x ωω=+-=⇒+=,因为π()0,x ∈,所以πππ(,π)333x ωω+∈+,因为()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ,所以有5πππ43327ππ3π33ωωω⎧<+⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤+⎪⎩,所以ω的最大值为2, 故选:C例24.(2023·全国·高三专题练习)已知函数π()2cos()1(0,0)2f x x ωϕωϕ=+-><<,在0x =处的切线斜率为,若()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ,则ω的最大值为( )A .43B .12C .2D .136【答案】C【分析】求出函数()f x 的导数,利用导数的几何意义求出ϕ,再由零点信息列出不等式,求解作答.【详解】依题意,()2sin()f x x ωωϕ'=-+,则(0)2sin f ωϕ'=-=,即sin ϕ=,而π02ϕ<<,解得π3ϕ=, 因此,π()2cos()13f x x ω=+-,由()0f x =得:π1cos()32x ω+=,又π()0,x ∈,有πππ(,π)333x ωω+∈+,因()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ,于是得5ππ7ππ333ω<+≤,解得423ω<≤, 所以ω的最大值为2. 故选:C例25.(2023·全国·高三专题练习)定义在R 上的偶函数()f x 满足()22)(f x f x -+=,当[0,2]x ∈时,()xf x =,若在区间[0,10]x ∈内,函数()()(1)mg x f x x =-+有个5零点,则实数m 的取值范围是( ) A .()110,log e B .(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C .111log e,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .11711log e,,log e 22⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】根据函数的奇偶性求出函数在[2,0]-上的解析式,将问题转化为函数图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点,结合图形即可得出结果.【详解】由题意知,函数()f x 为偶函数,且(2)(2)f x f x -=+,令2x x →+,则(22)()(4)()f x f x f x f x --=-=+=, 所以函数()f x 是以4为周期的函数. 当[2,0]x ∈-时,[0,2]x -∈,所以()x f x --=,即当[2,0]x ∈-时()x f x -=, 因为函数()()(1)m g x f x x =-+在[0,10]上有5个零点, 所以方程()(1)0m f x x -+=在[0,10]上有5个根,即函数图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点,如图,当[0,2]x ∈时,()xf x =,()121e 2x f x '=,()102f '=,设()(1)mp x x =+,则()1(1)m p x m x -'=+,()0p m '=,当12m ≤,()()00p f '≤', 所以在[0,2]x ∈时,函数()()(1)m g x f x x =-+只有一个零点,此时,若要使图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点, 则()()11010mf +≤,11log e m ≤,所以110log e m <≤; 当12m >时,()()00p f '>', 所以在[0,2]x ∈时,函数()()(1)m g x f x x =-+有两个零点, 所以()()166mf +<且()()11010mf +>,即7e 11em m ⎧<⎨>⎩,解得71log e 2m <<,故m 的取值范围为(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.故选:B.例26.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩,若函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点,则实数k 的取值范围是( )A .[)1,+∞B .0,1C .()1,+∞D .()(),00,1-∞⋃【答案】C【分析】根据已知条件画出函数()f x 的图象,将函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点转化为函数()f x 与直线()1y k x =-图象恰有两个交点即可求解.【详解】由题意知,画出函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩的简图,如图所示由()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点转化为()f x 与直线()1y k x =-有两个不同的交点, 由图知,当直线经过点()()1,0,0,1-两点的斜率为10101k --==-,则1k >. 所以实数k 的取值范围为()1,+∞. 故选:C.例27.(2023·全国·高三专题练习)已知()e xx f x =.则下列说法正确的有( )A .函数()y f x =有唯一零点0x =B .函数()y f x =的单调递减区间为()(),01,-∞⋃+∞C .函数()y f x =有极大值1eD .若关于x 的方程()f x a =有三个不同的根.则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】根据零点的定义判断A ,利用导数分析函数的单调性,作出函数()f x 的图象,根据图象判断其余选项.【详解】由()0f x =得:0x =,即0x =,故函数()f x 有唯一零点0x = 由题可知:(),0e e ,0e xx xxx x f x x x ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩设()e e xxx g x x -==⋅,x ∈R ,则()()1x g x x e -'=-⋅,由()()1e 0x g x x -⋅'=-≥得:1x ≤;由()()1e 0xg x x -⋅'=-≤得;1x ≥;故()g x 在(],1-∞上单调递增﹐在[)1,+∞上单调递减,作出()y g x =图象,并将0x <的部分图象关于x 轴对称可得()y f x =的图象如下:观察图象可得函数()y f x =的单调递减区间为(),0∞-,()1,+∞,B 错, 函数()y f x =在1x =时有极大值1e,C 对,方程()f x a =有三个不同的根,则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭,D 对,故选:ACD.第四天学习及训练【题型】七、一元二次不等式恒成立问题例28.(2023·全国·高三专题练习)已知m 是区间[]0,4内任取的一个数,那么函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率是( )A .14B .13C .12D .23【答案】C【分析】首先得到220()4f x x x m '=-≥+恒成立,则解出m 的范围,再根据其在[0,4]内取数,利用几何概型公式得到答案. 【详解】22()4f x x x m '=-+,3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数22()40f x x x m '∴=-+≥恒成立21640m ∴∆=-≤解得2m ≥或2m ≤- 又m 是区间[0,4]内任取的一个数24m ∴≤≤由几何概型概率公式得函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率42142P -== 故选:C .例29.(2023·全国·高三专题练习)当13x ≤≤时,关于x 的不等式210ax x -<+恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B .,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭14C .,1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D .1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分离参变量得211a x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立,只用2min 11a x x ⎡⎤⎛⎫<-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦可求解.【详解】当13x ≤≤时,由210ax x -<+恒成立可得,。
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高中函数专题——零点(看图像交点)2018年【2018新课标1理】已知函数, .若存在2个零点,则a 的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】令,∴,,当,∴,当x﹥0时,∴在(0,+∞)∴。
【2018•新课标Ⅲ】函数在的零点个数为________.【答案】3【解析】,因为则共三个零点,填3【2018•浙江理】已知λ∈R ,函数f (x )= ,当λ=2时,不等式f (x )<0的解集是________.若函数f (x )恰有2个零点,则λ的取值范围是________. 【答案】(1,4);【解析】 由题意得 或 ,所以 或 ,即 ,不等式f (x )<0的解集是当时,,此时,即在 上有两个零点;当4≤λ 时,,由在上只能有一个零点得1<3≤λ .综上, 的取值范围为.【2018•天津理】已知 a>0 ,函数若关于 x 的方程 f(x)=ax 恰有2个互异的实数解,则 a 的取值范围是________. 【答案】(4,8)【解析】∵∴=0与=0要么无根,要么有同号根,同号根时在范围内.则 ⇒4<a<82017年【2017•新课标Ⅲ理11】已知函数f (x )=x 2﹣2x+a (e x ﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则a=( )A .﹣21 B .31 C .21D .1 【答案】 C 【解析】因为f (x )=x 2﹣2x+a (e x ﹣1+e﹣x+1)=﹣1+(x ﹣1)2+a (ex ﹣1+1-e 1x )=0, 所以函数f (x )有唯一零点等价于方程1﹣(x ﹣1)2=a (ex ﹣1+1-e1x )有唯一解,等价于函数y=1﹣(x ﹣1)2的图象与y=a (ex ﹣1+1-e 1x )的图象只有一个交点. ①当a=0时,f (x )=x 2﹣2x ≥﹣1,此时有两个零点,矛盾;②当a <0时,由于y=1﹣(x ﹣1)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减, 且y=a (ex ﹣1+1-e 1x )在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减, 所以函数y=1﹣(x ﹣1)2的图象的最高点为A (1,1),y=a (e x ﹣1+1-e 1x )的图象的最高点为B (1,2a ), 由于2a <0<1,此时函数y=1﹣(x ﹣1)2的图象与y=a (ex ﹣1+1-e1x )的图象有两个交点,矛盾; ③当a >0时,由于y=1﹣(x ﹣1)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减, 且y=a (ex ﹣1+1-e 1x )在(﹣∞,1)上递减、在(1,+∞)上递增, 所以函数y=1﹣(x ﹣1)2的图象的最高点为A (1,1),y=a (e x ﹣1+1-e1x )的图象的最低点为B (1,2a ), 由题可知点A 与点B 重合时满足条件,即2a=1,即a=21,符合条件; 综上所述,a=21, 【2017年山东理】已知当x ∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=x +m 的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是( )A.(0,1]∪[23,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C. (0,2]∪[23,+∞)D. (0, 2]∪[3,+∞) 【答案】B 【解析】当0<m ≤1时,1m ≥1,y=(mx-1)2在[0,1]上单调递减,且y=(mx-1)2∈[(m-1)2,1],y=x +m 在x ∈[0,1]上单调递增,且y=x +m ∈[m ,1+m],此时有且仅有一个交点;当m >1时,0<1m <1,y=(mx-1)2在[1m ,1]上单调递增,所以要有且仅有一个交点,需(m-1)2≥1+m m ≥3.故选B.2016年【2016山东文理15】——有三个不同的根=图像有三个不同的交点 已知函数f (x )=,其中m >0,若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是 . 【答案】 (3,+∞)【解析】解:当m >0时,函数f (x )=的图象如下:∵x>m时,f(x)=x2﹣2mx+4m=(x﹣m)2+4m﹣m2>4m﹣m2,∴y要使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,必须4m﹣m2<m(m>0),即m2>3m(m>0),解得m>3,∴m的取值范围是(3,+∞),【2016天津理8】已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是()A.(0,] B.[,] C.[,]∪{} D.[,)∪{}【答案】 C【解析】y=loga(x+1)+在[0,+∞)递减,则0<a<1,函数f(x)在R上单调递减,则:;解得,;由图象可知,在[0,+∞)上,|f(x)|=2﹣x有且仅有一个解,故在(﹣∞,0)上,|f(x)|=2﹣x同样有且仅有一个解,当3a>2即a>时,联立|x2+(4a﹣3)+3a|=2﹣x,则△=(4a﹣2)2﹣4(3a﹣2)=0,解得a=或1(舍去),当1≤3a≤2时,由图象可知,符合条件,综上:a的取值范围为[,]∪{},【2016天津文14】已知函数f (x )=(a >0,且a ≠1)在R 上单调递减,且关于x 的方程|f (x )|=2﹣恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是 . 【答案】[,)【解析】解:∵f (x )是R 上的单调递减函数,∴y=x 2+(4a ﹣3)x+3a 在(﹣∞.,0)上单调递减,y=log a (x+1)+1在(0,+∞)上单调递减, 且f (x )在(﹣∞,0)上的最小值大于或等于f (0).∴,解得≤a ≤.作出y=|f (x )|和y=2﹣的函数草图如图所示:∵|f (x )|=2﹣恰有两个不相等的实数解,∴3a <2,即a .综上,.2015年【2015北京理】——分界点已知图形分别画了考虑 设函数f (x )=,①若a=1,则f (x )的最小值为 ;②若f (x )恰有2个零点,则实数a 的取值范围是 .【答案】①﹣1,②21≤a <1,或a ≥2 【解析】:①当a=1时,f (x )=,当x <1时,f (x )=2x﹣1为增函数,f (x )>﹣1,当x >1时,f (x )=4(x ﹣1)(x ﹣2)=4(x 2﹣3x+2)=4(x ﹣)2﹣1, 当1<x <时,函数单调递减,当x >时,函数单调递增, 故当x=时,f (x )min =f ()=﹣1,②设h (x )=2x﹣a ,g (x )=4(x ﹣a )(x ﹣2a ) 若在x <1时,h (x )=与x 轴有一个交点,所以a >0,并且当x=1时,h (1)=2﹣a >0,所以0<a <2,而函数g (x )=4(x ﹣a )(x ﹣2a )有一个交点,所以2a ≥1,且a <1, 所以21≤a <1, 若函数h (x )=2x﹣a 在x <1时,与x 轴没有交点, 则函数g (x )=4(x ﹣a )(x ﹣2a )有两个交点,当a ≤0时,h (x )与x 轴无交点,g (x )无交点,所以不满足题意(舍去),当h (1)=2﹣a ≤时,即a ≥2时,g (x )的两个交点为x 1=a ,x 2=2a ,都是满足题意的, 综上所述a 的取值范围是21≤a <1,或a ≥2. 【2015湖南理】——分界点未知,图像画在同一个图中,两个图形的交点,往往是参数的分界点,从而精准确定a 的取值范围 已知函数f (x )=若存在实数b ,使函数g (x )=f (x )﹣b 有两个零点,则a 的取值范围是 . 【答案】{a|a <0或a >1}【解析】∵g (x )=f (x )﹣b 有两个零点,∴f (x )=b 有两个零点,即y=f (x )与y=b 的图象有两个交点, 由x 3=x 2可得,x=0或x=1①当a >1时,函数f (x )的图象如图所示,此时存在b ,满足题意,故a >1满足题意②当a=1时,由于函数f (x )在定义域R 上单调递增,故不符合题意 ③当0<a <1时,函数f (x )单调递增,故不符合题意④a=0时,f (x )单调递增,故不符合题意⑤当a <0时,函数y=f (x )的图象如图所示,此时存在b 使得,y=f (x )与y=b 有两个交点综上可得,a <0或a >1 答案为:{a|a <0或a >1}【2015天津理】已知函数f (x )=,函数g (x )=b ﹣f (2﹣x ),其中b ∈R ,若函数y=f (x )﹣g (x )恰有4个零点,则b 的取值范围是( ) A .(47,+∞)B .(﹣∞,47)C .(0,47)D .(47,2) 【答案】 D 【解析】∵g (x )=b ﹣f (2﹣x ), ∴y=f (x )﹣g (x )=f (x )﹣b+f (2﹣x ),由f (x )﹣b+f (2﹣x )=0,得f (x )+f (2﹣x )=b , 设h (x )=f (x )+f (2﹣x ), 若x ≤0,则﹣x ≥0,2﹣x ≥2, 则h (x )=f (x )+f (2﹣x )=2+x+x 2, 若0≤x ≤2,则﹣2≤﹣x ≤0,0≤2﹣x ≤2,则h (x )=f (x )+f (2﹣x )=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2, 若x >2,﹣x <0,2﹣x <0,则h (x )=f (x )+f (2﹣x )=(x ﹣2)2+2﹣|2﹣x|=x 2﹣5x+8.即h (x )=,作出函数h (x )的图象如图:当x ≤0时,h (x )=2+x+x 2=(x+21)2+47≥47, 当x >2时,h (x )=x 2﹣5x+8=(x ﹣)2+47≥47, 故当b=47时,h (x )=b ,有两个交点,当b=2时,h (x )=b ,有无数个交点,由图象知要使函数y=f (x )﹣g (x )恰有4个零点, 即h (x )=b 恰有4个根,则满足47<b <2,【2015•安徽理】设x 3+ax+b=0,其中a ,b 均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是 (写出所有正确条件的编号)①a=﹣3,b=﹣3.②a=﹣3,b=2.③a=﹣3,b >2.④a=0,b=2.⑤a=1,b=2. 【答案】 ①③④⑤【解析】设f (x )=x 3+ax+b ,f'(x )=3x 2+a ,①a=﹣3,b=﹣3时,令f'(x )=3x 2﹣3=0,解得x=±1,x=1时f (1)=﹣5,f (﹣1)=﹣1; 并且x >1或者x <﹣1时f'(x )>0,所以f (x )在(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)都是增函数,所以函数图象与x 轴只有一个交点,故x 3+ax+b=0仅有一个实根;如图②a=﹣3,b=2时,令f'(x)=3x2﹣3=0,解得x=±1,x=1时f(1)=0,f(﹣1)=4;如图③a=﹣3,b>2时,函数f(x)=x3﹣3x+b,f(1)=﹣2+b>0,函数图象形状如图②,所以方程x3+ax+b=0只有一个根;④a=0,b=2时,函数f(x)=x3+2,f'(x)=3x2≥0恒成立,故原函数在R上是增函数;故方程方程x3+ax+b=0只有一个根;⑤a=1,b=2时,函数f(x)=x3+x+2,f'(x)=3x2+1>0恒成立,故原函数在R上是增函数;故方程方程x3+ax+b=0只有一个根;综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.【2015•安徽理】下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A.y=cosx B.y=sinx C.y=lnx D.y=x2+1【答案】 A【解析】对于A,定义域为R,并且cos(﹣x)=cosx,是偶函数并且有无数个零点;对于B,sin(﹣x)=﹣sinx,是奇函数,由无数个零点;对于C,定义域为(0,+∞),所以是非奇非偶的函数,有一个零点;对于D,定义域为R,为偶函数,都是没有零点;【2015•湖北理】函数f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|的零点个数为.【答案】2【解析】函数f(x)的定义域为:{x|x>﹣1}.f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|=2sinx﹣|ln(x+1)|=sin2x﹣|ln(x+1)|,分别画出函数y=sin2x,y=|ln(x+1)|的图象,由函数的图象可知,交点个数为2.所以函数的零点有2个.故答案为:2.【2015•天津(文)】已知函数f(x)=,函数g(x)=3﹣f(2﹣x),则函数y=f(x)﹣g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】∵g(x)=3﹣f(2﹣x),∴y=f(x)﹣g(x)=f(x)﹣3+f(2﹣x),由f(x)﹣3+f(2﹣x)=0,得f(x)+f(2﹣x)=3,设h(x)=f(x)+f(2﹣x),若x≤0,则﹣x≥0,2﹣x≥2,则h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2+x+x2,若x≤0,则﹣x≥0,2﹣x≥2,则h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2+x+x2,若0≤x≤2,则﹣2≤x≤0,0≤2﹣x≤2,则h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2,若x>2,﹣x<0,2﹣x<0,则h(x)=f(x)+f(2﹣x)=(x﹣2)2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8.即h(x)=,作出函数h(x)的图象如图:当y=3时,两个函数有2个交点,故函数y=f(x)﹣g(x)的零点个数为2个,【2015•湖南(文)】若函数f(x)=|2x﹣2|﹣b有两个零点,则实数b的取值范围是【答案】0<b<2【解析】由函数f(x)=|2x﹣2|﹣b有两个零点,可得|2x﹣2|=b有两个零点,从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点,结合函数的图象可得,0<b<2时符合条件,【2015•湖北(文)】函数的零点个数为.【答案】2【解析】f(x)=2sinxcosx﹣x2=sin2x﹣x2,由f(x)=0得sin2x=x2,作出函数y=sin2x和y=x2的图象如图:由图象可知,两个函数的图象有2个不同的交点,即函数f(x)的零点个数为2个,【2015•安徽(文)】下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A.y=lnx B.y=x2+1 C.y=sinx D.y=cosx【答案】D【解析】对于A,y=lnx定义域为(0,+∞),所以是非奇非偶的函数;对于B,是偶函数,但是不存在零点;对于C,sin(﹣x)=﹣sinx,是奇函数;对于D,cos(﹣x)=cosx,是偶函数并且有无数个零点;2014年【2014新课标1】已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣∞,﹣1)【答案】C【解析】当a=0时,f(x)=﹣3x2+1=0,解得x=,函数f(x)有两个零点,不符合题意,应舍去;当a>0时,令f′(x)=3ax2﹣6x=3ax=0,解得x=0或x=>0,列表如下:x (﹣∞,0) 0f ′(x ) + 0 ﹣0 + f (x )单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x →+∞,f (x )→+∞,而f (0)=1>0,∴存在x <0,使得f (x )=0,不符合条件:f (x )存在唯一的零点x 0,且x 0>0,应舍去. 当a <0时,f ′(x )=3ax 2﹣6x=3ax =0,解得x=0或x=<0,列表如下:x (﹣∞,)0 (0,+∞) f ′(x ) ﹣ 0 + 0 ﹣ f (x )单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f (0)=1>0,x →+∞时,f (x )→﹣∞,∴存在x 0>0,使得f (x 0)=0, ∵f (x )存在唯一的零点x 0,且x 0>0,∴极小值=,化为a 2>4,∵a <0,∴a <﹣2.综上可知:a 的取值范围是(﹣∞,﹣2).【2014•江苏理13】已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数,当x ∈[0,3)时,f (x )=|x 2﹣2x+21|,若函数y=f (x )﹣a 在区间[﹣3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 .【答案】(0,)【解析】f (x )是定义在R 上且周期为3的函数,当x ∈[0,3)时,f (x )=|x 2﹣2x+21|,若函数y=f (x )﹣a 在区间[﹣3,4]上有10个零点(互不相同),在同一坐标系中画出函数f (x )与y=a 的图象如图:由图象可知.【2014•天津理】——难已知函数f (x )=|x 2+3x|,x ∈R ,若方程f (x )﹣a|x ﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为 .【答案】 (0,1)∪(9,+∞)【解析】由y=f (x )﹣a|x ﹣1|=0得f (x )=a|x ﹣1|, 作出函数y=f (x ),y=g (x )=a|x ﹣1|的图象, 当a ≤0,不满足条件; 则a >0,此时g (x )=a|x ﹣1|=,当﹣3<x <0时,f (x )=﹣x 2﹣3x ,g (x )=﹣a (x ﹣1),当直线和抛物线相切时,有三个零点,此时﹣x 2﹣3x=﹣a (x ﹣1),即x 2+(3﹣a )x+a=0, 则由△=(3﹣a )2﹣4a=0,即a 2﹣10a+9=0,解得a=1或a=9,当a=9时,g (x )=﹣9(x ﹣1),g (0)=9,此时不成立,∴此时a=1, 要使两个函数有四个零点,则此时0<a <1,若a >1,此时g (x )=﹣a (x ﹣1)与f (x ),有两个交点,此时只需要当x >1时,f (x )=g (x )有两个不同的零点即可,即x 2+3x=a (x ﹣1),整理得x 2+(3﹣a )x+a=0, 则由△=(3﹣a )2﹣4a >0,即a 2﹣10a+9>0,解得a <1(舍去)或a >9, 综上a 的取值范围是(0,1)∪(9,+∞),故答案为:(0,1)∪(9,+∞)【2014山东理8】已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( )A.),(21B.),(121C.),(21D.),(∞+2【答案】 B【解析】画出()f x 的图象最低点是()2,1,()g x kx =过原点和()2,1时斜率最小为12,斜率最大时()g x 的斜率与()1f x x =-的斜率一致.所以k 的取值范围是),(121.【2014•重庆文】已知函数f (x )=,且g (x )=f (x )﹣mx ﹣m 在(﹣1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是( ) A .(﹣,﹣2]∪(0,21] B .(﹣,﹣2]∪(0,21]C .(﹣,﹣2]∪(0,]D .(﹣,﹣2]∪(0,]【答案】 A【解析】:由g (x )=f (x )﹣mx ﹣m=0,即f (x )=m (x+1), 分别作出函数f (x )和y=g (x )=m (x+1)的图象如图: 由图象可知f (1)=1,g (x )表示过定点A (﹣1,0)的直线, 当g (x )过(1,1)时,m ═21此时两个函数有两个交点,此时满足条件的m 的取值范围是0<m ≤21, 当g (x )过(0,﹣2)时,g (0)=﹣2,解得m=﹣2,此时两个函数有两个交点, 当g (x )与f (x )相切时,两个函数只有一个交点, 此时,即m (x+1)2+3(x+1)﹣1=0, 当m=0时,x=,只有1解,当m ≠0,由△=9+4m=0得m=﹣,此时直线和f (x )相切, ∴要使函数有两个零点,则﹣<m ≤﹣2或0<m ≤,【2014•湖北】已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2﹣3x ,则函数g (x )=f (x )﹣x+3的零点的集合为( )A .{1,3}B .{﹣3,﹣1,1,3}C .{2﹣,1,3}D .{﹣2﹣,1,3}【答案】D【解析】∵f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2﹣3x ,令x <0,则﹣x >0, ∴f (﹣x )=x 2+3x=﹣f (x ) ∴f (x )=﹣x 2﹣3x , ∴∵g (x )=f (x )﹣x+3 ∴g (x )=令g (x )=0, 当x ≥0时,x 2﹣4x+3=0,解得x=1,或x=3, 当x <0时,﹣x 2﹣4x+3=0,解得x=﹣2﹣,∴函数g (x )=f (x )﹣x+3的零点的集合为{﹣2﹣,1,3}【2014•北京6】已知函数f (x )=﹣log 2x ,在下列区间中,包含f (x )零点的区间是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(2,4) D .(4,+∞) 【答案】D【解析】∵f (x )=﹣log 2x , ∴f (2)=2>0,f (4)=﹣21<0,满足f (2)f (4)<0, ∴f (x )在区间(2,4)内必有零点。