高考函数题型总结：零点问题总结

高中函数专题——零点（看图像交点）

2018年

【2018新课标1理】已知函数， .若存在2个零点，则a 的取值范围是( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】令，∴，，

当，∴，

当x﹥0时，∴在（0，+∞）

∴。

【2018•新课标Ⅲ】函数在的零点个数为________．

【答案】3

【解析】，因为

则共三个零点，填3

【2018•浙江理】已知λ∈R ，函数f (x )= ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是

________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________． 【答案】(1,4)；

【解析】 由题意得 或 ，所以 或 ，即 ，

不等式f (x )<0的解集是

当

时，

，此时

，即在 上有两个零点；

当4≤λ 时，

，由

在

上只能有一个零点得

1<3≤λ .综上， 的取值范围为

.

【2018•天津理】已知 a>0 ，函数

若关于 x 的方程 f(x)=ax 恰有2个互

异的实数解，则 a 的取值范围是________. 【答案】（4,8）

【解析】∵

∴

=0与

=0要么无根，要么有同号根，同号根时在范围内.

则 ⇒4

2017年

【2017•新课标Ⅲ理11】已知函数f （x ）=x 2

﹣2x+a （e x ﹣1

+e

﹣x+1

）有唯一零点，则a=（ ）

A ．﹣

21 B ．31 C ．2

1

D ．1 【答案】 C 【解析】因为f （x ）=x 2

﹣2x+a （e x ﹣1

+e

﹣x+1

）=﹣1+（x ﹣1）2+a （e

x ﹣1

+

1

-e 1

x ）=0， 所以函数f （x ）有唯一零点等价于方程1﹣（x ﹣1）2

=a （e

x ﹣1

+

1-e

1

x ）有唯一解，

等价于函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象与y=a （e

x ﹣1

+

1

-e 1

x ）的图象只有一个交点． ①当a=0时，f （x ）=x 2

﹣2x ≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；

②当a ＜0时，由于y=1﹣（x ﹣1）2

在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a （e

x ﹣1

+

1

-e 1

x ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 所以函数y=1﹣（x ﹣1）2

的图象的最高点为A （1，1），y=a （e x ﹣1

+

1

-e 1

x ）的图象的最高点为B （1，2a ）， 由于2a ＜0＜1，此时函数y=1﹣（x ﹣1）2

的图象与y=a （e

x ﹣1

+

1-e

1

x ）的图象有两个交点，矛盾； ③当a ＞0时，由于y=1﹣（x ﹣1）2

在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a （e

x ﹣1

+

1

-e 1

x ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增， 所以函数y=1﹣（x ﹣1）2

的图象的最高点为A （1，1），y=a （e x ﹣1

+

1-e

1

x ）的图象的最低点为B （1，2a ）， 由题可知点A 与点B 重合时满足条件，即2a=1，即a=2

1

，符合条件； 综上所述，a=

2

1， 【2017年山东理】已知当x ∈[0,1]时，函数y=(mx-1)2

的图象与y=x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )

A.(0,1]∪[23,+∞)

B.(0,1]∪[3,+∞)

C. (0,2]∪[23,+∞)

D. (0, 2]∪[3,+∞) 【答案】B 【解析】当0＜m ≤1时，1

m ≥1，y=(mx-1)2在[0,1]上单调递减，且y=(mx-1)2∈[(m-1)2，1]，y=x +m 在x ∈[0,1]上单调递增，且y=x +m ∈[m ，1+m]，此时有且仅有一个交点；当m ＞1时，0＜1

m ＜1，y=(mx-1)2

在[1

m ,1]上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需（m-1）2≥1+m m ≥3.故选B.

2016年

【2016山东文理15】——有三个不同的根=图像有三个不同的交点 已知函数f （x ）=

，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个

不同的根，则m 的取值范围是 ． 【答案】 （3，+∞）

【解析】解：当m ＞0时，函数f （x ）=

的图象如下：

∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，

∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，

必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，

∴m的取值范围是（3，+∞），

【2016天津理8】已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）

A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}

【答案】 C

【解析】y=loga（x+1）+在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，

函数f（x）在R上单调递减，则：；

解得，；

由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，

故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，

当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）+3a|=2﹣x，

则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），

当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，