高考函数题型总结：零点问题总结

高中函数专题——零点（看图像交点）2018年【2018新课标1理】已知函数， .若存在2个零点，则a 的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】令，∴，，当，∴，当x﹥0时，∴在（0，+∞）∴。

【2018•新课标Ⅲ】函数在的零点个数为________．【答案】3【解析】，因为则共三个零点，填3【2018•浙江理】已知λ∈R ，函数f (x )= ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________． 【答案】(1,4)；【解析】 由题意得 或 ，所以 或 ，即 ，不等式f (x )<0的解集是当时，，此时，即在 上有两个零点；当4≤λ 时，，由在上只能有一个零点得1<3≤λ .综上， 的取值范围为.【2018•天津理】已知 a>0 ，函数若关于 x 的方程 f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则 a 的取值范围是________. 【答案】（4,8）【解析】∵∴=0与=0要么无根，要么有同号根，同号根时在范围内.则 ⇒4<a<82017年【2017•新课标Ⅲ理11】已知函数f （x ）=x 2﹣2x+a （e x ﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（ ）A ．﹣21 B ．31 C ．21D ．1 【答案】 C 【解析】因为f （x ）=x 2﹣2x+a （e x ﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x ﹣1）2+a （ex ﹣1+1-e 1x ）=0， 所以函数f （x ）有唯一零点等价于方程1﹣（x ﹣1）2=a （ex ﹣1+1-e1x ）有唯一解，等价于函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象与y=a （ex ﹣1+1-e 1x ）的图象只有一个交点． ①当a=0时，f （x ）=x 2﹣2x ≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a ＜0时，由于y=1﹣（x ﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a （ex ﹣1+1-e 1x ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 所以函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象的最高点为A （1，1），y=a （e x ﹣1+1-e 1x ）的图象的最高点为B （1，2a ）， 由于2a ＜0＜1，此时函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象与y=a （ex ﹣1+1-e1x ）的图象有两个交点，矛盾； ③当a ＞0时，由于y=1﹣（x ﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a （ex ﹣1+1-e 1x ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增， 所以函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象的最高点为A （1，1），y=a （e x ﹣1+1-e1x ）的图象的最低点为B （1，2a ）， 由题可知点A 与点B 重合时满足条件，即2a=1，即a=21，符合条件； 综上所述，a=21， 【2017年山东理】已知当x ∈[0,1]时，函数y=(mx-1)2的图象与y=x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A.(0,1]∪[23,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C. (0,2]∪[23,+∞)D. (0, 2]∪[3,+∞) 【答案】B 【解析】当0＜m ≤1时，1m ≥1，y=(mx-1)2在[0,1]上单调递减，且y=(mx-1)2∈[(m-1)2，1]，y=x +m 在x ∈[0,1]上单调递增，且y=x +m ∈[m ，1+m]，此时有且仅有一个交点；当m ＞1时，0＜1m ＜1，y=(mx-1)2在[1m ,1]上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需（m-1）2≥1+m m ≥3.故选B.2016年【2016山东文理15】——有三个不同的根=图像有三个不同的交点 已知函数f （x ）=，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 ． 【答案】 （3，+∞）【解析】解：当m ＞0时，函数f （x ）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），【2016天津理8】已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}【答案】 C【解析】y=loga（x+1）+在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，【2016天津文14】已知函数f （x ）=（a ＞0，且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|f （x ）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 ． 【答案】[，）【解析】解：∵f （x ）是R 上的单调递减函数，∴y=x 2+（4a ﹣3）x+3a 在（﹣∞．，0）上单调递减，y=log a （x+1）+1在（0，+∞）上单调递减， 且f （x ）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f （0）．∴，解得≤a ≤．作出y=|f （x ）|和y=2﹣的函数草图如图所示：∵|f （x ）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，∴3a ＜2，即a ．综上，．2015年【2015北京理】——分界点已知图形分别画了考虑 设函数f （x ）=，①若a=1，则f （x ）的最小值为 ；②若f （x ）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】①﹣1，②21≤a ＜1，或a ≥2 【解析】：①当a=1时，f （x ）=，当x ＜1时，f （x ）=2x﹣1为增函数，f （x ）＞﹣1，当x ＞1时，f （x ）=4（x ﹣1）（x ﹣2）=4（x 2﹣3x+2）=4（x ﹣）2﹣1， 当1＜x ＜时，函数单调递减，当x ＞时，函数单调递增， 故当x=时，f （x ）min =f （）=﹣1，②设h （x ）=2x﹣a ，g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ） 若在x ＜1时，h （x ）=与x 轴有一个交点，所以a ＞0，并且当x=1时，h （1）=2﹣a ＞0，所以0＜a ＜2，而函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有一个交点，所以2a ≥1，且a ＜1， 所以21≤a ＜1， 若函数h （x ）=2x﹣a 在x ＜1时，与x 轴没有交点， 则函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有两个交点，当a ≤0时，h （x ）与x 轴无交点，g （x ）无交点，所以不满足题意（舍去），当h （1）=2﹣a ≤时，即a ≥2时，g （x ）的两个交点为x 1=a ，x 2=2a ，都是满足题意的， 综上所述a 的取值范围是21≤a ＜1，或a ≥2． 【2015湖南理】——分界点未知，图像画在同一个图中，两个图形的交点，往往是参数的分界点，从而精准确定a 的取值范围 已知函数f （x ）=若存在实数b ，使函数g （x ）=f （x ）﹣b 有两个零点，则a 的取值范围是 ． 【答案】{a|a ＜0或a ＞1}【解析】∵g （x ）=f （x ）﹣b 有两个零点，∴f （x ）=b 有两个零点，即y=f （x ）与y=b 的图象有两个交点， 由x 3=x 2可得，x=0或x=1①当a ＞1时，函数f （x ）的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故a ＞1满足题意②当a=1时，由于函数f （x ）在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当0＜a ＜1时，函数f （x ）单调递增，故不符合题意④a=0时，f （x ）单调递增，故不符合题意⑤当a ＜0时，函数y=f （x ）的图象如图所示，此时存在b 使得，y=f （x ）与y=b 有两个交点综上可得，a ＜0或a ＞1 答案为：{a|a ＜0或a ＞1}【2015天津理】已知函数f （x ）=，函数g （x ）=b ﹣f （2﹣x ），其中b ∈R ，若函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ） A ．（47，+∞）B ．（﹣∞，47）C ．（0，47）D ．（47，2） 【答案】 D 【解析】∵g （x ）=b ﹣f （2﹣x ）， ∴y=f （x ）﹣g （x ）=f （x ）﹣b+f （2﹣x ），由f （x ）﹣b+f （2﹣x ）=0，得f （x ）+f （2﹣x ）=b ， 设h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）， 若x ≤0，则﹣x ≥0，2﹣x ≥2， 则h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）=2+x+x 2， 若0≤x ≤2，则﹣2≤﹣x ≤0，0≤2﹣x ≤2，则h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2， 若x ＞2，﹣x ＜0，2﹣x ＜0，则h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）=（x ﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x 2﹣5x+8．即h （x ）=，作出函数h （x ）的图象如图：当x ≤0时，h （x ）=2+x+x 2=（x+21）2+47≥47， 当x ＞2时，h （x ）=x 2﹣5x+8=（x ﹣）2+47≥47， 故当b=47时，h （x ）=b ，有两个交点，当b=2时，h （x ）=b ，有无数个交点，由图象知要使函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点， 即h （x ）=b 恰有4个根，则满足47＜b ＜2，【2015•安徽理】设x 3+ax+b=0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b ＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2． 【答案】 ①③④⑤【解析】设f （x ）=x 3+ax+b ，f'（x ）=3x 2+a ，①a=﹣3，b=﹣3时，令f'（x ）=3x 2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f （1）=﹣5，f （﹣1）=﹣1； 并且x ＞1或者x ＜﹣1时f'（x ）＞0，所以f （x ）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）都是增函数，所以函数图象与x 轴只有一个交点，故x 3+ax+b=0仅有一个实根；如图②a=﹣3，b=2时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=0，f（﹣1）=4；如图③a=﹣3，b＞2时，函数f（x）=x3﹣3x+b，f（1）=﹣2+b＞0，函数图象形状如图②，所以方程x3+ax+b=0只有一个根；④a=0，b=2时，函数f（x）=x3+2，f'（x）=3x2≥0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；⑤a=1，b=2时，函数f（x）=x3+x+2，f'（x）=3x2+1＞0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．【2015•安徽理】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1【答案】 A【解析】对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；【2015•湖北理】函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为．【答案】2【解析】函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|=2sinx﹣|ln（x+1）|=sin2x﹣|ln（x+1）|，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2．所以函数的零点有2个．故答案为：2．【2015•天津（文）】已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】∵g（x）=3﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣3+f（2﹣x），由f（x）﹣3+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=3，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当y=3时，两个函数有2个交点，故函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为2个，【2015•湖南（文）】若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是【答案】0＜b＜2【解析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，【2015•湖北（文）】函数的零点个数为．【答案】2【解析】f（x）=2sinxcosx﹣x2=sin2x﹣x2，由f（x）=0得sin2x=x2，作出函数y=sin2x和y=x2的图象如图：由图象可知，两个函数的图象有2个不同的交点，即函数f（x）的零点个数为2个，【2015•安徽（文）】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx【答案】D【解析】对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；2014年【2014新课标1】已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）【答案】C【解析】当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0） 0f ′（x ） + 0 ﹣0 + f （x ）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x →+∞，f （x ）→+∞，而f （0）=1＞0，∴存在x ＜0，使得f （x ）=0，不符合条件：f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，应舍去． 当a ＜0时，f ′（x ）=3ax 2﹣6x=3ax =0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x （﹣∞，）0 （0，+∞） f ′（x ） ﹣ 0 + 0 ﹣ f （x ）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f （0）=1＞0，x →+∞时，f （x ）→﹣∞，∴存在x 0＞0，使得f （x 0）=0， ∵f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，∴极小值=，化为a 2＞4，∵a ＜0，∴a ＜﹣2．综上可知：a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）．【2014•江苏理13】已知f （x ）是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3）时，f （x ）=|x 2﹣2x+21|，若函数y=f （x ）﹣a 在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 ．【答案】（0，）【解析】f （x ）是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3）时，f （x ）=|x 2﹣2x+21|，若函数y=f （x ）﹣a 在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f （x ）与y=a 的图象如图：由图象可知．【2014•天津理】——难已知函数f （x ）=|x 2+3x|，x ∈R ，若方程f （x ）﹣a|x ﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 ．【答案】 （0，1）∪（9，+∞）【解析】由y=f （x ）﹣a|x ﹣1|=0得f （x ）=a|x ﹣1|， 作出函数y=f （x ），y=g （x ）=a|x ﹣1|的图象， 当a ≤0，不满足条件； 则a ＞0，此时g （x ）=a|x ﹣1|=，当﹣3＜x ＜0时，f （x ）=﹣x 2﹣3x ，g （x ）=﹣a （x ﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x 2﹣3x=﹣a （x ﹣1），即x 2+（3﹣a ）x+a=0， 则由△=（3﹣a ）2﹣4a=0，即a 2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g （x ）=﹣9（x ﹣1），g （0）=9，此时不成立，∴此时a=1， 要使两个函数有四个零点，则此时0＜a ＜1，若a ＞1，此时g （x ）=﹣a （x ﹣1）与f （x ），有两个交点，此时只需要当x ＞1时，f （x ）=g （x ）有两个不同的零点即可，即x 2+3x=a （x ﹣1），整理得x 2+（3﹣a ）x+a=0， 则由△=（3﹣a ）2﹣4a ＞0，即a 2﹣10a+9＞0，解得a ＜1（舍去）或a ＞9， 综上a 的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），故答案为：（0，1）∪（9，+∞）【2014山东理8】已知函数()12+-=x x f ，()kx x g =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A.），（21B.），（121C.），（21D.），（∞+2【答案】 B【解析】画出()f x 的图象最低点是()2,1，()g x kx =过原点和()2,1时斜率最小为12，斜率最大时()g x 的斜率与()1f x x =-的斜率一致.所以k 的取值范围是），（121.【2014•重庆文】已知函数f （x ）=，且g （x ）=f （x ）﹣mx ﹣m 在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(﹣，﹣2]∪（0，21] B ．（﹣，﹣2]∪（0，21]C ．（﹣，﹣2]∪（0，]D ．（﹣，﹣2]∪（0，]【答案】 A【解析】：由g （x ）=f （x ）﹣mx ﹣m=0，即f （x ）=m （x+1）， 分别作出函数f （x ）和y=g （x ）=m （x+1）的图象如图： 由图象可知f （1）=1，g （x ）表示过定点A （﹣1，0）的直线， 当g （x ）过（1，1）时，m ═21此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m 的取值范围是0＜m ≤21， 当g （x ）过（0，﹣2）时，g （0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点， 当g （x ）与f （x ）相切时，两个函数只有一个交点， 此时，即m （x+1）2+3（x+1）﹣1=0， 当m=0时，x=，只有1解，当m ≠0，由△=9+4m=0得m=﹣，此时直线和f （x ）相切， ∴要使函数有两个零点，则﹣＜m ≤﹣2或0＜m ≤，【2014•湖北】已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣3x ，则函数g （x ）=f （x ）﹣x+3的零点的集合为（ ）A ．{1，3}B ．{﹣3，﹣1，1，3}C ．{2﹣，1，3}D ．{﹣2﹣，1，3}【答案】D【解析】∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣3x ，令x ＜0，则﹣x ＞0， ∴f （﹣x ）=x 2+3x=﹣f （x ） ∴f （x ）=﹣x 2﹣3x ， ∴∵g （x ）=f （x ）﹣x+3 ∴g （x ）=令g （x ）=0， 当x ≥0时，x 2﹣4x+3=0，解得x=1，或x=3， 当x ＜0时，﹣x 2﹣4x+3=0，解得x=﹣2﹣，∴函数g （x ）=f （x ）﹣x+3的零点的集合为{﹣2﹣，1，3}【2014•北京6】已知函数f （x ）=﹣log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，4） D ．（4，+∞） 【答案】D【解析】∵f （x ）=﹣log 2x ， ∴f （2）=2＞0，f （4）=﹣21＜0，满足f （2）f （4）＜0， ∴f （x ）在区间（2，4）内必有零点。