地下水数值模拟02_地下水运动的数学模型

2
H 0
n 2
——隔水边界
第三类边界条件 H aH b n
例：弱透水边界
K H Hn H 0 n m1 / K1
溶质运移问题的边界条件
第一类边界条件
c(x,
y, z,t) 1

c1(x,
y, z,t)
——给定浓度边界
第二类边界条件 c
Di, j x j ni 2 f2 (xi , t)
u(x, y, z,t) t0 0(x, y, z)
• 2、边界条件
第一类边界条件 u(x, y, z,t) 1 1(x, y, z,t)
第二类边界条件
u n
2
1(x, y, z,t)
第三类边界条件
u



u n
3
3x,
y, z,t
水流问题的边界条件
Reynolds数小于1~10
• 有些情况下，用液体压强表示更为方便
– 例如：油水两相流动
vx

K
H x
vy

K
H y
vz

K
H z
K g k
H z p
g

k p
vx



x
v y


k
p y
vz


k


K ( d
)
dhc
C

t

x
K( )
x


y
K
(

)
y


z
K (
)
z


K
z


0
令： pw
二、溶质运移方程
• ——对流弥散方程
x (Dxx
c x ) y (Dyy

)
H y


z
K
(
)
H z



t
——Richards方程
统一变量化简为：
t

x
D( )
x


y
D(
)
y

z
D(
)
z


K
z
令：D(
)

K ( ) C( )
H x
)

y
(K yy
H y
)

z
(K zz
H z
)
W

s
H t
越流含水层
(T x
H ) x
(T y
H y
)

K1
H1 H m1
K2
H2 H m2

*
H t
潜水含水层 (Kh H ) (Kh H ) W H
x x y y
t
4、非饱和带水分运动的基本方程
• 非饱和带中，渗透系数K与土壤含水率有关
达西定律
v K( )J
• 非饱和带中，水的密度变化很小
连续性方程
vx vy vz 0
x y z t
x
K (
)
H x


y
K (
一维流动问题
空间三维水流问题？
Q KA H1 H2 L
v Q KJ A
➢ 非线性渗透定律
v KJ K dH ds
vx

K
H x
vy

K
H y
vz

K
H z
vx

K xx
H x

K xy
H y
K xz
H z

H1(x,
y, t )
一类边界
H

0
n 2
K
H

z
H
q

n 2
隔水边界
隔水边界
地下水水质和污染问题
• 一般情况下，对流——弥散方程中含有u，浓度分布依赖于流 速的分布，而溶质的浓度变化要影响液体的密度、粘度。密度 和粘度的变化又影响u的分布。都是未知函数。只能联立求解。
第二章 地下水运动的数学模型
主要内容
• 水流方程 • 溶质运移方程 • 热量运移方程 • 定解条件
z
一、水流方程
• 1、连续性方程
——质量守恒定律在地下水流中的应用
dz
O‘ dy
dx
x
y


(vx
x
)

(vy
y
)

(vz
z
)
xyz

t
nxyz
vy

K yx
H x

K yy
H y
K yz
H z

H
H
H
vz K zx
x
Kzy
y
Kzz
z
P. Forchheimer公式: J av bv2 或 J av bvm 1.6 m 2
Darcy定律
• Darcy定律具有一定适用范围
三、热量运移方程
• 对流作用输送的热量
与对流引起的溶质运移相似
• 热传导作用输送的热量
与分子扩散的溶质运移相似
• 局部流速不均一造成的热量输送 与机械弥散的溶质运移相似
• 由于固相与液相间温度差造成的热量输送
忽略不计
C T t

x
(xx
T ) x
y
(
yy
T ) y
——给定弥散通量边界
特例：
c Di, j x j ni 2 0
——隔水边界
第三类边界条件



Di,
j

c x j
uic ni

3

f3 (xi , t)
——给定溶质质量通量
具体问题的数学模型表述
• 均质、各向同性潜水含水层，地下水流为平面非稳定流，且与河水 有直接水力联系；A区为稻田区，其灌溉水的补给强度为W（m/d）； B区为开采区，其开采强度为ε （m/d）。
z
(zz
T z
)

Cw
(vxT ) x
Cw
(vyT ) y
Cw
(vzT ) z
单位时间单位体积含 水层内由于温度变化
造成的热量变化
由于热传导和热机械 弥散造成的热量运移
C：多孔介质热容量 Cw：水的热容量 λ：热动力弥散系数
由于水流运动造成的 热量运移
四、定解条件
• 1、初始条件
单位时间内流入与流出均衡单元体的总质量差 单元体内液体质量的变化量
方程化简 例如：
假设条件： ➢ 地下水为不可压缩均质液体：ρ为常数 ➢ 含水层骨架不可压缩：n、Δx、Δy、Δz不变
vx vy vz 0 x y z
一、水流方程
• 2、运动方程
➢ Darcy定律——线性渗透定律
p z

g

• 对于非均质流体，考虑密度与粘度的影响
– 例如：海水入侵问题
vi


ki, j
p x j

g
x3 x j



ki, j
p x j

ge j

密度耦合系数：
s 0 0cs cs
开始 t1=t0+Δt 估计t1时刻的浓度分布c* 通过状态方程计算ρ、μ
通过连续性方程和运动方程 计算速度分布u
计算弥散系数D
c=c*
通过对流-弥散方程 计算浓度分布c
|c-c*|<ε
否
是
是否达到总模拟时间 否
是
结束
t1=t1+Δt
谢谢
p
定义参考水头：H 0g x3
密度是浓度的线性函数：

0 (1

c cs
)
vi

ki, j
0g
H

x
j
ce j



K
0
i,ห้องสมุดไป่ตู้
j

H x j
ce j

3、不同含水层中 地下水运动的基本微分方程
承压含水层
x
(K xx
• 试写出该区地下水运动的数学模型 流量边界
x

K
(H

z)
H x


y
K
(H

z)
H y


W (x, y,t) (x, y,t) H

t
H x, y,0 H0 x, y
H (x,
y,t) 1
c y ) z (Dzz
c ) (uxc) (uyc) (uzc)
z x
y
z
f

c t
水动力弥散 造成的溶质运移
对流运动 造成的溶质运移
•若存在放射性衰变： f K f c
•若有井注水： •若有井抽水
f wR c*

f wc
化学反应或其他 造成的溶质变化
对流—弥散方程（运移方程）
c t

xi
(Di, j
c x j
)

xi
(cui )

N
连续性方程
(vi ) () 0
xi
t
运动方程 状态方程
ui
ki, j

( p x j

g
x3 ) xi
(c, p) (c, p)
七个方程，七个未知数。
第一类边界条件
H (x, y, z,t) 1 1(x, y, z,t)
——给定水头边界
特例：
第二类边界条件
H K n 2 q1(x, y, z,t)
——给定流量边界
H
H
H
Kxx x cos(n, x) K yy y cos(n, y) Kzz z cos(n, z) q1(x, y, z,t)