中南大学 机械原理 习题
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齿顶圆上压 cos力 a 角 rrba ： 346.625
aacr o3s4.6625 2.924
则：a ra sina
42s in29 24 20.5mm
r sin
39 sin 20 13 .33 mm
k k′
N
rb rk
аk
O1
题10-22、测量齿轮的公法线长度是检验齿轮精度的常用方法。 试推导渐开线标准齿轮公法线长度的计算公式：
齿厚和齿槽宽： s1s2e1e22 p4.7m 1 m
4-2、已知一对外啮合标准直齿圆柱齿轮的中心距a=160mm，
齿数z1=20，z2=60，求模数和分度圆直径。
解：
a
m 2
z1
z2
即： 160 m 20 60
2 得：m 4mm
分度圆直径：d1 204 80mm, d2 604 240mm
解： a
[z1(t ga 1 t g)z2(t ga2 t g)] 2
（1）、求两轮齿顶圆半径
ra11 2(m1 z2ha *m)5.25mm
ra21 2(z2m2ha *m)11m0m
（2）、两轮基圆半径
1 rb12m1czo2s04.46m 4 m rb21 2m2zco2s09.86m 7 m
题10-23、在一机床的主轴箱中有一直齿圆柱渐开线标准齿轮， 发现该齿轮已经损坏，需要重做一个齿轮更换，试确定这个齿 轮的模数。经测量其压力角α=20°，齿数z=40,齿顶圆直径 da=83.82mm,跨5齿的公法线长度L5=27.512mm,跨6齿的 公法线长度L6=33.426mm。
解：根据题意
解： a12(z1z2)m z1z22m a25 350140
又：i12
z2 z1
9 5
得z1： 5,0 z290
分度圆直径 d=m ×z
Z1=50
d1=250
Z2=90
d2=450
齿顶圆直径 da=mz+2h*m
基圆直径 db=dcos20°
分度圆上的齿 厚S=mπ/2
分度圆上的齿 槽宽e=mπ/2
（1）、任意一对轮齿啮 合点在 A2 B 2 、A1 B1 上移 动时啮合线上有两对轮齿
同时啮合。
（2）、任意一对轮齿啮 合点在 A2 A1上移动时啮合 线上只有一对轮齿啮合。
当有一对轮齿在节点K 处啮合时，没有其他轮 齿也处于啮合状态。
0.82Pb
A2 A1
0.64Pb
0.64Pb 0.36Pb
单齿啮合区
L m c o （ [k s 0 .5 ) zin ] v
式中： 跨k 齿 z/1 数 8 0 .0 5
解：
L(k 1 )m co s sba
b
i
j
与a、b点的位置无关
L
b
sbsrrb2rb(i nb vi nv )
s cos 2 rb inv
1mcosmczoisnv
2
L m c o （ [k s 0 .5 ) zin ]
齿顶圆直径： da1(z12ha )m(1 92)36m 3 m da2(z22ha )m(4 12)312m9m
齿根圆直径： df1z12ha 2cm4.95mm df2z22ha 2cm11.55 mm
齿距： p 1 p 2m 3 .1 3 4 9 .4m 2m
基圆直径： db1d1co2s05 7co2s05.6 3mm db2d2co2s012c3 o2s011 .6m 5 m
αj2
O2
b
当 22 30
a acos cos
12(z1 z2)mcos20
中 心
cos2230 距
a
71m 2 m
O1
α′ N1 α′ 节圆
N2
α′
O2
B59
题10-29、在某牛头刨床中，又一对外啮合渐开线直齿圆柱齿 轮传动。已知z1=17, z2=118, m =5mm,α =20°,ha*=1, a′=337.5mm现发现小齿轮已严重磨损,拟将其报废,大齿轮磨 损较轻（沿分度圆齿厚两侧的磨损量为0.75mm），拟修复使 用,并要求所设计的小齿轮的齿厚尽可能大些,问如何设计这一对 齿轮?
齿顶圆上c压 osa力 rrba角 11： 085792
aacro11 s08 .95 272.65
则 a r a ： sia n 1s 0 2 in 5 6 4 9 m 6
L β
r
r90
a a
inv2tg(x1x2)inv
z1z2
x1x2 0
采用等变位齿轮传动
x1 0.21
B42
（3）、几何尺寸计算
小齿轮
x 1 0 . 21
d 1 z 1 m 85 mm
h a1
(h
* a
x1)m
6 . 05
mm
h f1
(h
* a
c * x1)m
5 .2 mm
d a 1 d 1 2 h a 1 97 . 1 mm
解（1）、当rk=65mm时
k
K rk2rb2 41.53mm
k
arccorbs39.7 rk
θk
ρk αk B
rk
k0.13r7a 37 d .8 27
（2）、当θk =5°时
k 0.0872r6a6d
k 34 45
34518
k
ρk rk
θk αk B
5045 (87268672)23 8792857223
d f 1 d 1 2 h f 1 74 . 6 mm
d b 1 d 1 cos 79 . 9 mm
s1
( 2
2 x 1 tg
)m
8 . 62
mm
e1
( 2
2 x 1 tg
)m
7 .1 mm
p 1 s 1 e 1 15 . 72 mm
大齿轮
x 2 0 . 21
d 2 z 2 m 590 mm
解：分度圆直径： d1mz131957mm d2 mz2 34112m3m
齿顶高： ha1ha2ha *m 133mm
齿根高： hf1 hf 2 (ha* c*)m(10.25)33.75mm
顶隙： c 1 c 2 c * m 0 .2 5 3 0 .7m 5m
中心距：
m
3
a2(z1z2)2(1 94)1 9m 0 m
题10-20、在如图中，已知基圆半径rb=50mm，现需求： （1）、当rk=65mm时，渐开线的展角θk 、渐开线的压力
角αk和曲率半径ρk。
（2）、当θk =5°时，渐开线的压力角αk及向径rk的值。
α 次 … 30′ 35′ 40′ 45′ 50′ 55′
34 0.0 85142 85832 86525 87223 87925 88631
解：（1）、确定大齿轮变位系数
大齿轮在修复时将磨损层切去， 齿厚变薄成为负变位齿轮。
2x2mt g s0.75
x2
0.75 0.21 25tg20
B40
（2）、确定传动类型 设所设计的小齿轮与修复后的大齿轮仍按原中心距安装，
且保证无侧隙，则小齿轮的分度圆齿厚相对原来的标准齿厚 将增大。即小齿轮为正变位。
0.3
题10-21、设有一渐开线标准齿轮， Z=26,m=3mm, h*a=1 α=20°,求其齿廓曲线在分度圆和齿顶圆上的曲率半径及齿顶圆 压力角
解：分度圆半径：r 1 263 39mm 2
基圆 r b rc 半 2 o 0 s径 3c9 2 o ： 0 s3.6 6 m 5
齿顶r a圆 m 2z 2 半 h a 2 3 径 2 6 2 ： 4m 2
4-4、已知一正常齿知标准直齿圆柱齿轮=20°，m=5mm， z=40，试分别求出分度圆，基圆、齿顶圆上渐开线齿廓的曲 率半径和压力角。
解：
分度圆直径： d 0 5 200 mm
基圆 d b d c 直 2 o 0 s 2 径 c 02 o 0 ： 0 s 18 9 m 7
齿顶 d a圆 m 2z 2 半 h a 5 2 径 4 0 2 ： 1m 05 m
7 . 1 mm
e2
( 2
2 x 2 tg
)m
8 . 62
mm
p 2 s 2 e 2 15 . 72 mm
练习
4-1、已知一对外啮合正常齿制标准直齿圆柱齿轮m=3， z1=19，z2=41，试计算这对齿轮的分度圆直径、齿顶高、齿 根高、顶隙、中心距、齿顶圆直径、齿根圆直径、基圆直径、 齿距、齿厚和齿槽宽。
ha2
(h
* a
x 2 )m
3 . 95
mm
h f2
(
h
* a
c*
x2)m
7 . 3 mm
d a 2 d 2 2 h a 2 597 . 9 mm
d f 2 d 2 2 h f 2 575 . 4 mm
d b 2 d 2 cos 554 . 4 mm
s2
( 2
2 x 2 tg
)m
双齿啮合区 b
题10-27、设有一对外啮合齿轮的齿数Z1=30,Z2=40,模 数m=20mm, 压力角α=20°，齿顶高系数h*a=1。试 求当中心距α′=725mm时，两轮的啮合角α′。又当 α′=22°30′时，试求中心距α′ 。
解： aco saco s
当 a72m 5m
arccoasc(os）
2 .5 7 1 m c2 2 o [ 4 . 0 5 s 4 in 2 0 ]v 0 3 .4 3 2 m c6 2 o [ 5 .0 5 s 4 in 2 0 ]v 0
m= 2.0032 = 2 （圆整）
da=mz+2h*m =2×40+2 ×1 ×2 = 84(mm)
题10-24、已知一对渐开线标准外啮合圆柱齿轮传动的模数 m=5mm，压力角α=20°，中心距a=350mm，传动比 i=9/5，试求两轮的齿数、分度圆直径、齿顶圆直径、基圆 直径以及分度圆上的齿厚和齿槽宽。
da1=260mm db1≈234.92m m S1≈7.85mm
e1≈7.85mm
da2=460mm db1≈422.86m m S2 ≈ 7.85mm
e2 ≈7.85mm
b
题10-25、试问当渐开线标准齿轮的齿根圆与基圆重合时，其 齿数应为多少？又当齿数大于以上求得的齿数时，试问基圆与 齿根圆哪个大?
（3）、求两轮齿顶圆压力角
a1
arc
c
orb1s32 ra1
a2
arccrob2s2 ra2
6.2
（4）、求εa
[z1(t ga 1 t g)z2(t ga2 t g)]
a
2
[1(t9 3 g 2 t2 g )0 4(t2 2 g.2 6 t2 g )0 ] 2
1.64
a
B 1 B 2 1.64 Pb
a
arccos12(z1
z2)mcos20
725
24.8
b
任意中心距安装
a co ( r 1 s r 2 ) co r b 1 s r b 2
标准中心距安装
a co ( r 1 s r 2 ) co r b 1 s r b 2
标
准 中
aa
心
距
N2
O1
αj1
N1 α（′ 分节度圆圆）
答： df m 2 z h * m 2 c*m
dbmczo2s0
2(h*c*)
当df
db时: z
1c
o
s2
0
db
df
当 z ＞ 2(h*c*)时： 1cos20
d f ＞db
b
题10-26、已知一对标准外啮合直齿圆柱齿轮传动的 α=20°，m=5mm、z1=19、z2=42，试求其重合度εa. 问 当有一对轮齿在节点K处啮合时，是否还有其他轮齿也处于 啮合状态；又当一对轮齿在B1点处啮合时，情况又如何？
aacr o3s4.6625 2.924
则：a ra sina
42s in29 24 20.5mm
r sin
39 sin 20 13 .33 mm
k k′
N
rb rk
аk
O1
题10-22、测量齿轮的公法线长度是检验齿轮精度的常用方法。 试推导渐开线标准齿轮公法线长度的计算公式：
齿厚和齿槽宽： s1s2e1e22 p4.7m 1 m
4-2、已知一对外啮合标准直齿圆柱齿轮的中心距a=160mm，
齿数z1=20，z2=60，求模数和分度圆直径。
解：
a
m 2
z1
z2
即： 160 m 20 60
2 得：m 4mm
分度圆直径：d1 204 80mm, d2 604 240mm
解： a
[z1(t ga 1 t g)z2(t ga2 t g)] 2
（1）、求两轮齿顶圆半径
ra11 2(m1 z2ha *m)5.25mm
ra21 2(z2m2ha *m)11m0m
（2）、两轮基圆半径
1 rb12m1czo2s04.46m 4 m rb21 2m2zco2s09.86m 7 m
题10-23、在一机床的主轴箱中有一直齿圆柱渐开线标准齿轮， 发现该齿轮已经损坏，需要重做一个齿轮更换，试确定这个齿 轮的模数。经测量其压力角α=20°，齿数z=40,齿顶圆直径 da=83.82mm,跨5齿的公法线长度L5=27.512mm,跨6齿的 公法线长度L6=33.426mm。
解：根据题意
解： a12(z1z2)m z1z22m a25 350140
又：i12
z2 z1
9 5
得z1： 5,0 z290
分度圆直径 d=m ×z
Z1=50
d1=250
Z2=90
d2=450
齿顶圆直径 da=mz+2h*m
基圆直径 db=dcos20°
分度圆上的齿 厚S=mπ/2
分度圆上的齿 槽宽e=mπ/2
（1）、任意一对轮齿啮 合点在 A2 B 2 、A1 B1 上移 动时啮合线上有两对轮齿
同时啮合。
（2）、任意一对轮齿啮 合点在 A2 A1上移动时啮合 线上只有一对轮齿啮合。
当有一对轮齿在节点K 处啮合时，没有其他轮 齿也处于啮合状态。
0.82Pb
A2 A1
0.64Pb
0.64Pb 0.36Pb
单齿啮合区
L m c o （ [k s 0 .5 ) zin ] v
式中： 跨k 齿 z/1 数 8 0 .0 5
解：
L(k 1 )m co s sba
b
i
j
与a、b点的位置无关
L
b
sbsrrb2rb(i nb vi nv )
s cos 2 rb inv
1mcosmczoisnv
2
L m c o （ [k s 0 .5 ) zin ]
齿顶圆直径： da1(z12ha )m(1 92)36m 3 m da2(z22ha )m(4 12)312m9m
齿根圆直径： df1z12ha 2cm4.95mm df2z22ha 2cm11.55 mm
齿距： p 1 p 2m 3 .1 3 4 9 .4m 2m
基圆直径： db1d1co2s05 7co2s05.6 3mm db2d2co2s012c3 o2s011 .6m 5 m
αj2
O2
b
当 22 30
a acos cos
12(z1 z2)mcos20
中 心
cos2230 距
a
71m 2 m
O1
α′ N1 α′ 节圆
N2
α′
O2
B59
题10-29、在某牛头刨床中，又一对外啮合渐开线直齿圆柱齿 轮传动。已知z1=17, z2=118, m =5mm,α =20°,ha*=1, a′=337.5mm现发现小齿轮已严重磨损,拟将其报废,大齿轮磨 损较轻（沿分度圆齿厚两侧的磨损量为0.75mm），拟修复使 用,并要求所设计的小齿轮的齿厚尽可能大些,问如何设计这一对 齿轮?
齿顶圆上c压 osa力 rrba角 11： 085792
aacro11 s08 .95 272.65
则 a r a ： sia n 1s 0 2 in 5 6 4 9 m 6
L β
r
r90
a a
inv2tg(x1x2)inv
z1z2
x1x2 0
采用等变位齿轮传动
x1 0.21
B42
（3）、几何尺寸计算
小齿轮
x 1 0 . 21
d 1 z 1 m 85 mm
h a1
(h
* a
x1)m
6 . 05
mm
h f1
(h
* a
c * x1)m
5 .2 mm
d a 1 d 1 2 h a 1 97 . 1 mm
解（1）、当rk=65mm时
k
K rk2rb2 41.53mm
k
arccorbs39.7 rk
θk
ρk αk B
rk
k0.13r7a 37 d .8 27
（2）、当θk =5°时
k 0.0872r6a6d
k 34 45
34518
k
ρk rk
θk αk B
5045 (87268672)23 8792857223
d f 1 d 1 2 h f 1 74 . 6 mm
d b 1 d 1 cos 79 . 9 mm
s1
( 2
2 x 1 tg
)m
8 . 62
mm
e1
( 2
2 x 1 tg
)m
7 .1 mm
p 1 s 1 e 1 15 . 72 mm
大齿轮
x 2 0 . 21
d 2 z 2 m 590 mm
解：分度圆直径： d1mz131957mm d2 mz2 34112m3m
齿顶高： ha1ha2ha *m 133mm
齿根高： hf1 hf 2 (ha* c*)m(10.25)33.75mm
顶隙： c 1 c 2 c * m 0 .2 5 3 0 .7m 5m
中心距：
m
3
a2(z1z2)2(1 94)1 9m 0 m
题10-20、在如图中，已知基圆半径rb=50mm，现需求： （1）、当rk=65mm时，渐开线的展角θk 、渐开线的压力
角αk和曲率半径ρk。
（2）、当θk =5°时，渐开线的压力角αk及向径rk的值。
α 次 … 30′ 35′ 40′ 45′ 50′ 55′
34 0.0 85142 85832 86525 87223 87925 88631
解：（1）、确定大齿轮变位系数
大齿轮在修复时将磨损层切去， 齿厚变薄成为负变位齿轮。
2x2mt g s0.75
x2
0.75 0.21 25tg20
B40
（2）、确定传动类型 设所设计的小齿轮与修复后的大齿轮仍按原中心距安装，
且保证无侧隙，则小齿轮的分度圆齿厚相对原来的标准齿厚 将增大。即小齿轮为正变位。
0.3
题10-21、设有一渐开线标准齿轮， Z=26,m=3mm, h*a=1 α=20°,求其齿廓曲线在分度圆和齿顶圆上的曲率半径及齿顶圆 压力角
解：分度圆半径：r 1 263 39mm 2
基圆 r b rc 半 2 o 0 s径 3c9 2 o ： 0 s3.6 6 m 5
齿顶r a圆 m 2z 2 半 h a 2 3 径 2 6 2 ： 4m 2
4-4、已知一正常齿知标准直齿圆柱齿轮=20°，m=5mm， z=40，试分别求出分度圆，基圆、齿顶圆上渐开线齿廓的曲 率半径和压力角。
解：
分度圆直径： d 0 5 200 mm
基圆 d b d c 直 2 o 0 s 2 径 c 02 o 0 ： 0 s 18 9 m 7
齿顶 d a圆 m 2z 2 半 h a 5 2 径 4 0 2 ： 1m 05 m
7 . 1 mm
e2
( 2
2 x 2 tg
)m
8 . 62
mm
p 2 s 2 e 2 15 . 72 mm
练习
4-1、已知一对外啮合正常齿制标准直齿圆柱齿轮m=3， z1=19，z2=41，试计算这对齿轮的分度圆直径、齿顶高、齿 根高、顶隙、中心距、齿顶圆直径、齿根圆直径、基圆直径、 齿距、齿厚和齿槽宽。
ha2
(h
* a
x 2 )m
3 . 95
mm
h f2
(
h
* a
c*
x2)m
7 . 3 mm
d a 2 d 2 2 h a 2 597 . 9 mm
d f 2 d 2 2 h f 2 575 . 4 mm
d b 2 d 2 cos 554 . 4 mm
s2
( 2
2 x 2 tg
)m
双齿啮合区 b
题10-27、设有一对外啮合齿轮的齿数Z1=30,Z2=40,模 数m=20mm, 压力角α=20°，齿顶高系数h*a=1。试 求当中心距α′=725mm时，两轮的啮合角α′。又当 α′=22°30′时，试求中心距α′ 。
解： aco saco s
当 a72m 5m
arccoasc(os）
2 .5 7 1 m c2 2 o [ 4 . 0 5 s 4 in 2 0 ]v 0 3 .4 3 2 m c6 2 o [ 5 .0 5 s 4 in 2 0 ]v 0
m= 2.0032 = 2 （圆整）
da=mz+2h*m =2×40+2 ×1 ×2 = 84(mm)
题10-24、已知一对渐开线标准外啮合圆柱齿轮传动的模数 m=5mm，压力角α=20°，中心距a=350mm，传动比 i=9/5，试求两轮的齿数、分度圆直径、齿顶圆直径、基圆 直径以及分度圆上的齿厚和齿槽宽。
da1=260mm db1≈234.92m m S1≈7.85mm
e1≈7.85mm
da2=460mm db1≈422.86m m S2 ≈ 7.85mm
e2 ≈7.85mm
b
题10-25、试问当渐开线标准齿轮的齿根圆与基圆重合时，其 齿数应为多少？又当齿数大于以上求得的齿数时，试问基圆与 齿根圆哪个大?
（3）、求两轮齿顶圆压力角
a1
arc
c
orb1s32 ra1
a2
arccrob2s2 ra2
6.2
（4）、求εa
[z1(t ga 1 t g)z2(t ga2 t g)]
a
2
[1(t9 3 g 2 t2 g )0 4(t2 2 g.2 6 t2 g )0 ] 2
1.64
a
B 1 B 2 1.64 Pb
a
arccos12(z1
z2)mcos20
725
24.8
b
任意中心距安装
a co ( r 1 s r 2 ) co r b 1 s r b 2
标准中心距安装
a co ( r 1 s r 2 ) co r b 1 s r b 2
标
准 中
aa
心
距
N2
O1
αj1
N1 α（′ 分节度圆圆）
答： df m 2 z h * m 2 c*m
dbmczo2s0
2(h*c*)
当df
db时: z
1c
o
s2
0
db
df
当 z ＞ 2(h*c*)时： 1cos20
d f ＞db
b
题10-26、已知一对标准外啮合直齿圆柱齿轮传动的 α=20°，m=5mm、z1=19、z2=42，试求其重合度εa. 问 当有一对轮齿在节点K处啮合时，是否还有其他轮齿也处于 啮合状态；又当一对轮齿在B1点处啮合时，情况又如何？