信号分析与处理期中考试答案

1 如图所示信号f(t)。 (1)求指数形式和三角形式傅立叶级数；(2)求级数S=1-1/3+1/5-1/7+…之和
f (t )
1
...
-3 -2 -1 0 1 2 3
...
t
(1)
T1 = 2
1 T21 1 1 − jnπ t − jnω1t 2π dt = ∫ e dt ω1 = = π Fn = ∫− T1 f (t )e 2 0 T1 2 T1 nπ − jnπ / 2 sin( ) e − jnπ 1 e −1 2 = = 2 − jnπ nπ
1 n = 0时，F0 = ∫ T1
f (t ) =
T1 2 T − 1 2
1 1 1 f (t )dt = ∫ 1dt = 2 0 2
n =−∞
∑
∞
Fn e jnω1t
nπ nπ ∞ sin j ( nπ t − ) 2 e 2 =∑ nπ n =−∞
1 1 − e − jnπ Fn = ( an − jbn ) = − j 2 2nπ
(2)折叠 → 平移 → 压缩： f (t ) ↔ F (ω ) ⇒ f ( −t ) ↔ F ( −ω ) f [−(t − 6)] = f (6 − t ) ↔ F (−ω )e− j 6ω 1 ω − j 6ω / 2 1 ω − j 3ω f (6 − 2t ) ↔ F (− )e = F ( − )e 2 2 2 2
z3 + z2 + z − 3 = = 1 + 2 z −1 + 3z −2 z 2 ( z − 1) z − z −3 ( z 2 + 1)( z + 1) X 2 ( z) = = z −1 z3 根据卷积定理： ( z 2 + 1)( z + 1)( z 3 + z 2 − 1) X ( z) = X1 ( z) X 2 ( z) = z 3 ( z − 1)
7 已知
z 3 + 2z 2 + 1 X (Z) = 3 , z > 1, 2 z -1.5z + 0.5z
求x(n)。
法二：设a1 ( n) = nU (n), 则根据移序性质 d z z X1 ( z) = − z ( )= dz z − 1 ( z − 1) 2 a(n) = (−1) n a1 ( n)，根据Z 域尺度变换性质， z −z X ( z) = X1 ( ) = , ( z > 1) 2 −1 ( z + 1)
∞
1 2 1 1 1 = + (sin π t + sin 3π t + sin 5π t + sin 7π t + L) 2 π 3 5 7
(2) 当t=1/2时 1 2 1 1 1 f (1/ 2) = 1 = + (1 − + − + L) 2 π 3 5 7 1 1 1 π 故S = 1 − + − + L = 3 5 7 4
(5)平移 → 压缩 → 折叠： f (t ) ↔ F (ω ) ⇒ f (t + 6) ↔ F (ω )e j 6ω 1 ω j 3ω f (6 + 2t ) ↔ F ( )e 2 2 1 ω − j 3ω f (6 − 2t ) ↔ F (− )e 2 2
(6)压缩 → 折叠 → 平移： f (t ) ↔ F (ω ) ⇒ 1 ω f (2t ) ↔ F ( ) 2 2 1 ω f (−2t ) ↔ F (− ) 2 2
1 2 n为奇数时，Fn = − j ，a n = 0, bn = nπ nπ n为偶数时，Fn = 0, an = bn = 0
f (t ) = a0 + ∑ (an cos nω1t + bn sin nω1t )
n =1 ∞ 1 2 = + ∑ sin(nπ t ) 2 n =1,奇数 nπ
ω − j 3ω 1 f [−2(t − 3)] = f (6 − 2t ) ↔ F (− )e 2 2
5 求序列的z变换及其收敛域。
1 n 1 n ( ) U (n) − ( ) U (−n − 1) 5 3
3z 1 X 2 ( z) = (z < ) 3z − 1 3 z 3z X ( z ) = X1 ( z ) + X 2 ( z ) = + z − 1/ 5 3z − 1 1 1 1 1 4 收敛域 < z < ，极点 、；零点0、 。 5 5 3 3 15 z 1 X1 ( z ) = (z > ) z − 1/ 5 5
T /2
− jn
2π t T
1 F0 = a0 = T∫ NhomakorabeaT
0
2 1 tdt = T 4
1 e e −1 f (t ) = + ∑ ( + )e 2 2 4 n =−∞ 2nπ 2n π
∞ n≠ n≠0
− jnπ
− jnπ
− jn
2π t T
3 求函数f(t)的频谱，并画出频谱图。
sin[2π (t − 2)] f (t ) = π (t − 2)
(3)压缩 → 平移 → 折叠： f (t ) ↔ F (ω ) ⇒ 1 ω f (2t ) ↔ F ( ) 2 2
1 ω j 3ω f [2(t + 3)] = f (6 + 2t ) ↔ F ( )e 2 2 ω − j 3ω 1 f (6 − 2t ) ↔ F (− )e 2 2
(4)平移 → 折叠 → 压缩： f (t ) ↔ F (ω ) ⇒ f (t + 6) ↔ F (ω )e j 6ω f (6 − t ) ↔ F ( −ω )e − j 6ω ω − j 3ω 1 f (6 − 2t ) ↔ F (− )e 2 2
sin[ωτ / 2] Gτ (t ) ↔ τ ωτ / 2
(−∞ < t < +∞)
取ωτ / 2 = 2πω，即τ = 4π
sin 2πω sin 2πω G4π (t ) ↔ 4π = 2π 2πω πω
1 sin 2πω ⇒ G4π (t ) ↔ 2π πω sin 2π t 1 ⇒ ↔ 2π G4π (ω ) = G4π (ω ) πt 2π
6 利用z变换的性质求下列各序列x(n)的z变换X(z)。
(−1) n nU (n)
法一：设a1 ( n) = (−1) n U (n), 则 z X1 ( z) = , ( z > 1) z +1 a(n) = na1 (n)，根据Z 域微分性质， d −z X ( z) = − z X1 ( z) = , ( z > 1) 2 dz ( z + 1)
sin 2π (t − 2) ⇒ ↔ G4π (ω )e − j 2ω π (t − 2)
4 已知f(t)的傅立叶变换为
F(ω)，求f(6-2t)的傅立叶变换。
(1)折叠 → 压缩 → 平移： f (t ) ↔ F (ω ) ⇒ f ( −t ) ↔ F (−ω ) 1 ω f (−2t ) ↔ F (− ) 2 2 1 ω − j 3ω f [−2(t − 3)] = f (6 − 2t ) ↔ F (− )e 2 2
( n + 1)[U (n) − U (n − 3)]*[U (n) − U ( n − 4)]
令a1 (n) = (n + 1)[u (n) − U (n − 3)], a2 (n) = U (n) − U (n − 4), 则 X1 ( z) = z z 3z − 2 1 + − 2 − 2 ( z − 1)2 z − 1 z ( z − 1) 2 z ( z − 1)
2 求如图所示信号f(t)的傅立叶级数。
f (t )
1
… -T/2
… 0 T/2 T
t
1 2 Fn = ∫ te dt 0 T T 2π T 2π T − jn t − jn t 2 1 1 2 = 2 {− te T |02 − e T |0 } 2π 2π 2 T jn ( jn ) T T T − jnπ e 2 e− jnπ − 1 = 2 {− 2 + } 2π 2π 2 T jn (n ) T T e − jnπ e− jnπ − 1 = + 2nπ 2n 2π 2